第15讲 一元一次不等式组的实际应用（2大知识点+7大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年八年级上册数学（浙教版2024）

第15讲 一元一次不等式组实际综合应用（2大知识点+7大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 列一元一次不等式组 典型例题二 不等式组的行程问题 典型例题三 不等式组的工程问题 典型例题四 不等式组的经济问题 典型例题五 不等式组的分配问题 典型例题六 不等式组的方案选择问题 典型例题七 不等式组的阶梯收费问题 知识点01 盈不足与行程问题 1.盈不足问题 2.行程问题，常用等量关系：路程=速度×时间 【即时训练】 1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行使距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 【即时训练】 2．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读材料，回答问题： 已知，符号表示大于或等于的最小正整数，例如，，，… (1)填空：______； (2)若，则的取值范围是______； (3)某市的出租车收费标准规定如下：以内（包括）收费9元，超过的，每超过加收2元（不足的按计算），用表示所行的公里数，表示行公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算： 当（单位：）时，（元） 当（单位：）时，（元） 某乘客乘车后付车费33元，求该乘客所行的路程的取值范围． 知识点02 经济与方案问题 一．经济问题： 常见等量关系： 利润=售价-成本. 利润率=（售价-成本）/成本 X100%. 售价=成本X（1+利润率） 【即时训练】 1．（23-24八年级上·浙江衢州·单元测试）某商店计划用不超过2000元的资金，购进甲、乙两种单价分别为30元、60元的商品共50件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利5元、15元，两种商品均售完．若所获利润大于380元，则该店进货方案有（     ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【即时训练】 2．（2025·黑龙江绥化·模拟预测）某电脑经销商计划购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购进电脑机箱10台和液晶显示器8台，共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和液晶显示器5台，共需要资金4120元．该经销商购进这两种商品共50台，购进电脑机箱不超过26台，而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元，则该经销商有 种进货方案． 【典型例题一 列一元一次不等式组】 【例1】（24-25七年级下·浙江衢州·课后作业）定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]=5，[5]=5，[﹣π]=﹣4．如果[a]=﹣3，则a的取值范围为（　　） A．﹣4＜a≤﹣3 B．﹣4≤a＜﹣3 C．﹣3＜a≤﹣2 D．﹣3≤a＜﹣2 【例2】（24-25八年级上·湖南长沙·期中）已知点在平面直角坐标系的第四象限，则的取值范围在数轴上可表示为(   ) A．   B．   C．   D．   【例3】（24-25七年级下·浙江衢州·单元测试）的倍与的和大于，且的倍是非负数，列不等式组为 ． 【例4】（24-25七年级·浙江衢州·阶段练习）某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，一次服用药品的剂量设为，则的取值范围是 ． 1．（2025七年级下·浙江衢州·专题练习）已知某长方体形状的容器长5cm，宽3cm，高8cm，容器内有水，水的高度为2cm．现准备向容器里面继续注水，用V（单位：）表示新注入的水的体积．求V的取值范围（容器壁厚忽略不计）． 2．（24-25七年级下·浙江衢州·课后作业）某长方体形状的容器长．宽，高．容器内原有水的高度为，现准备向它继续注水．用（单位：）表示新注入水的体积，写出的取值范围． 3．（2025·浙江宁波·模拟预测）请你阅读如图框内老师的新定义运算规定，然后解答下列各小题． （1）若x⊕y=1，x⊕2y=﹣2，分别求出x和y的值； （2）若x满足x⊕2≤0，且3x⊕（﹣8）＞0，求x的取值范围． 【典型例题二 不等式组的行程问题】 【例1】（24-25七年级下·浙江衢州·课后作业）阳阳从家到学校的路程为2400米，他早晨8点离开家，要在8点30分之后8点40分之前到学校，如果用表示他的速度（单位：米/分），的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·北京·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 【例3】（2025·江苏宿迁·模拟预测）从小明家到学校的路程是2400米，如果小明早上7点离家，要在7点30分到40分之间到达学校，设步行速度为米/分，小明步行的速度范围是 ． 【例4】（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）某种出租车的收费标准：起步价5元（即行驶距离不超过3千米都需付5元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收1.2元（不足1千米按1千米计）．某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费15.8元，设甲地到乙地路程是x千米，则x的范围是 ． 1．（2025八年级上·浙江衢州·专题练习）小颖和小华进行百米赛跑，小颖的平均速度是，小华的平均速度是，小颖让小华先跑10米． (1)求小颖何时追上小华； (2)求从什么时间开始，小颖到终点的距离不超过16米； (3)求小颖何时和小华相距5米． 2．（23-24八年级上·重庆渝中·期末）“元旦节”假期最后一天，李老师驾车从老家沿高速路回主城，途中依次经过四地，其中和路程均为为高速出口，且在出口旁有加油站，的路程为．李老师用2小时通过路段，其中通过路段的平均速度是通过路段的1.2倍． (1)求李老师通过路段的平均速度． (2)李老师所驾驶汽车的“最佳油耗时速”为（以此速度行驶时油耗最低），以“最佳油耗时速”行驶，每100公里耗油为，速度每增加，每100公里耗油增加．当他经过地时的时间为上午9：30，发现此时油箱里还剩余燃油．若李老师要在中午12：00前通过地，同时通过地时燃油未耗尽，求他在路段的平均时速的取值范围． 3．（24-25七年级下·广东广州·期末）化工厂与A、B两地有公路和铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．如图为该化工厂与A、B两地的距离，已知公路运价为元/（吨·千米），铁路运价为元/（吨·千米），这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元． (1)请计算这批产品的销售款比原料费和运输费的和多多少元？ (2)工厂原计划从A地购买的原料和送往B地的产品一共20吨，此时产品的销售款与原料的进货款之差不少于66000元，且原料至少购买8吨，有多少种购买方案？ 【典型例题三 不等式组的工程问题】 【例1】（24-25七年级下·福建厦门·期末）“厦一高速”项目工程建设已近尾声，其中某施工路段总长公里，若由甲、乙两工程队合做6个月可以完成，若甲工程做4个月，乙工程队做9个月也可以完成． (1)甲、乙两队每月的施工路段各是多少公里？ (2)已知甲队每月施工费用为万元，乙队每月施工费用为9万元，按要求该工程总费用不超过万元，现由甲队做个月，乙队做个月（、均为正整数）恰好完成施工，请你设计施工费用最低的施工方案． 【例2】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）2024年初，洪山区某老旧小区，积极推动实施小区“瓶改管”燃气改造项目甲、乙两个工程队参与该项目施工．该工程若由甲队单独施工会超过规定工期40天；若由乙队单独施工则会超过规定工期80天．施工方案如下：甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成． (1)求这项工程的规定工期是多少天？ (2)在甲、乙两队工作效率不变的前提下，为让居民更快用上天然气，工程指挥部决定缩短工期，总工期不超过100天，并修改原有施工方案：甲、乙两队先合做a天，剩余的由乙队单独施工，恰好按缩短后的总工期完成．请给出所有可行具体施工方案（合做天数a和总工期均为正整数） 【例3】（23-24八年级上·河北石家庄·期末）某校为美化校园，计划对面积为的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用6天． (1)求甲乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少？ (2)在该次校园绿化工程中，设安排甲队工作y天 ①再安排乙队工作_____天，完成该工程（用含有y的式子表示） ②若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.12万元，要使这次的绿化总费用不超过7.6万元，乙队的工作天数不超过34天，如何安排甲队的工作天数？ 1．（24-25八年级上·黑龙江黑河·期末）黑河市政府在道路改造过程中，某路段需要铺设一条长1000米的下水管道，现有甲乙两个施工队具备施工能力，政府工作人员分别到两个施工队了解情况，获得如下信息： 信息一：甲工程队比乙工程队每天能多铺设10米； 信息二：甲工程队铺设480米所用的天数与乙工程队铺设400米所用的天数相同． 根据以上信息完成下列问题： (1)甲、乙工程队每天各能铺设多少米？ (2)如果两工程队同时施工，要求完成该项工程的工期不超过10天，那么两工程队分配工程量（以整百米为单位）的方案有几种？请你帮助设计出来． 2．（23-24七年级下·重庆北碚·期末）校园景观升级工程，若由甲工程队单独完成所需天数是由乙工程队单独完成所需天数的1.5倍；若甲工程队单独做3天后，再由乙工程队单独做6天，恰好完成该工程的，甲，乙工程队每天的施工费用分别为0.6万元和1万元． (1)单独完成此项工程，甲、乙两工程队各需多少天？（列方程解应用题） (2)若甲工程队先做a天后有事离场，再由乙工程队完成余下工程，若要完成全部工程的施工费用不超过15.4万元，且乙工程队的施工天数大于8天，求a的值．（天数为整数） 3．（2025·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）国家发改委、工业和信息化部、财政部公布了“节能产品惠民工程”，公交公司积极响应将旧车换成节能环保公交车，计划购买A型和B型两种环保型公交车10辆，其中每台的价格、年载客量如表： A型 B型 价格（万元/台） x y 年载客量/万人次 60 100 若购买A型环保公交车1辆，B型环保公交车2辆，共需400万元；若购买A型环保公交车2辆，B型环保公交车1辆，共需350万元． （1）求x、y的值； （2）如果该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保10辆公交车在该线路的年载客量总和不少于680万人次，问有哪几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，哪种方案使得购车总费用最少？最少费用是多少万元？ 4．（24-25七年级下·浙江衢州·单元测试）已知某项工程，乙工程队单独完成所需天数是甲工程队单独完成所需天数的两倍，若甲工程队单独做10天后，再由乙工程队单独做15天，恰好完成该工程的，共需施工费用85万元，甲工程队每天的施工费用比乙工程队每天的施工费用多1万元． （1）单独完成此项工程，甲、乙两工程对各需要多少天？ （2）甲、乙两工程队每天的施工费各为多少万元？ （3）若要完成全部工程的施工费用不超过116万元，且乙工程队的施工天数大于10天，求甲工程队施工天数的取值范围？ 【典型例题四 不等式组的经济问题】 【例1】（24-25七年级下·安徽六安·期中）某种家用电器的进价为每件800元，以每件1200元的标价出售，由于电器积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最低可按标价的（    ）折出售 A．6 B．7 C．8 D．9 【例2】（2024·天津红桥·模拟预测）某服装店试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系．有下列结论： ①销售单价可以是90元； ②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为891元； ③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元， 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例3】（24-25八年级上·重庆铜梁·阶段练习）“九月已经霜，蟹肥菊桂香”，古往今来，每至农历九月，蟹都是人们翘首以待的珍馐．某大闸蟹养殖户十月捕捞了第一批成熟的大闸蟹，并以每只相同的价格（价格为整数）批发给某经销商．预计十一月捕捞第二批成熟的大闸蟹，同时决定将与某电商合作，将第二批大闸蟹根据品质及重量分为A（小蟹）、B（中蟹）、C（大蟹）三类，每类按照不同的单价（价格都为整数）网上销售，若2只A类蟹、1只B类蟹和3只C类蟹的价格之和正好是第一批蟹8只的价格，而6只A类蟹、3只B类蟹和4只C类蟹的价格之和正好是第一批蟹14只的价格，且A类蟹与B类蟹每只的单价之比为3：4，根据市场有关部门的要求A、B、C三类蟹的单价之和不低于50元、不高于60元，则第一批大闸蟹每只价格为 元． 【例4】（2025·山东德州·模拟预测）德州扒鸡闻名浙江衢州，远销海外，被誉为“天下第一鸡”，是享誉浙江衢州的特色产品．某超市计划采购A、B两种品牌扒鸡，已知购买1盒A品牌扒鸡和1盒B品牌扒鸡共需210元；购买2盒A品牌扒鸡和3盒B品牌扒鸡共需515元． (1)求A、B两种品牌扒鸡的单价各是多少元？ (2)该超市预算不超过11300元采购A、B两种扒鸡共100盒，且A的数量不低于B数量的，若两种扒鸡的售价均为185元/盒，如何安排采购量才能使销售利润最大？最大利润是多少？ 1．（24-25八年级上·福建福州·期中）某文具店准备购进甲、乙两种水笔进行销售，每支进价和利润如表： 甲水笔 乙水笔 每支进价（元） 每支利润（元） 2 3 已知花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等． (1)求甲，乙两种水笔每支进价分别为多少元． (2)若该文具店准备拿出1000元全部用来购进这两种水笔，考虑顾客需求，要求购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍，问该文具店如何进货能使利润最大，最大利润是多少元． 2．（2025·云南·模拟预测）根据以下素材，完成探究学习任务． 如何为书店设计销售利润最大方案 素材1 某书店为了迎接“读书节”决定购进，两种图书，相关信息如下表： 类别 种 种 进价（元/本） 18 12 备注 ①用不超过16800元购进，两种图书共1000本； ②种图书不少于600本 素材2 若顾客按标价购买10本种图书和15本种图书，则一共需要540元； 若顾客按标价购买14本种图书和11本种图书，则一共需要576元 素材3 经市场调查后，李经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案 问题解决 任务1 建立方程 求，两种图书的标价； 任务2 拟定销售利润最大方案 种图书按照标价8折销售，种图书价格不变，若该书店所购图书均可卖出，则书店应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少元？ 3．（2025·湖南·模拟预测）湖南茶陵是中华茶文化的发源地之一，茶陵县也是中国历史上唯一以茶命名的行政县，相传炎帝神农氏在这里发现了茶，并被称为“茶祖”，湖南不仅在茶文化上有重要地位，其茶叶品种也非常丰富，其所产的君山银针和古丈毛尖更是享誉浙江衢州，某茶庄主要经营的茶类有君山银针和古丈毛尖，其中君山银针卖得比较好的是A规格的，古丈毛尖卖得比较好的是B规格的，它们的进价和售价如下表： 种类 君山银针A规格 古丈毛尖B规格 进价（元/斤） 160 500 售价（元/斤） 200 600 该茶庄计划购进这两种规格的茶共100斤． (1)若该茶庄购进这两种规格的茶共花费29600元，求该茶庄购进A，B两种规格的茶各多少斤？ (2)根据市场销售分析，A规格茶的进货量不低于B规格茶进货量的3倍．问：该茶庄如何进货才能使本次购进的茶全部销售完获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【典型例题五 不等式组的分配问题】 【例1】（2025·四川资阳·模拟预测）在芦山地震抢险时，某镇部分村庄需8组战士步行运送物资，要求每组分配的人数相同，若按每组人数比预定人数多分配1人，则总数会超过100人；若按每组人数比预定人数少分配1人，则总数不够92人，那么预定每组分配的人数是（　　　） A．10人 B．11人 C．12人 D．13人 【例2】（24-25八年级上·安徽宿州·期中）在地震救援时，某镇部分村庄需8组战士步行运送物资，要求每组分配的人数相同．若按每组人数比预定人数多分配1人，则总数会超过100人；若按每组人数比预定人数少分配1人，则总数不足90人，设预定每组分配的人数是x，则x应满足的不等式组是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）某商家为迎接“10周年购物狂欢节”，准备将编号为l号，2号，…，60号的奖券分别对应60份奖品．现将奖券不均匀分配放置在，，三个抽奖盒中，若将盒中的26号奖券调换到盒，将盒中的44号奖券调换到盒，此时，、两盒奖券的编号平均数比调换前增加了0.6，盒奖券的编号平均数比调换前增加了0.9，同时经计算发现，盒中编号平均数调换前低于36，调换后编号平均数却高于36，则调换前盒中有 张奖券． 【例4】（24-25七年级下·福建泉州·期末）根据以下素材，探索完成任务．如何确定木板分配方案？ 素材1：我校开展爱心义卖活动，小明和同学们打算制作自己的手工制品，他们买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别是，． 素材2：现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为．其余木板按图2虚线裁剪出三块大小一样的木板（作为盖子），给部分盒子配上盖子． 问题解决： (1)求出长方体收纳盒的高度． (2)若按图1方式裁剪的木板不少于块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数，则木板该如何分配？请给出分配方案． 1．（23-24八年级上·浙江衢州·课后作业）将两个班学生编成人数相等的8组，若每组分配人数比预定多1名，则总数超过100人；若每组分配比预定人数少1名，则总数不足90人，问预定每组分配多少名学生？ 2．（24-25七年级下·北京·阶段练习）田老师想为七（13）班获得线上学习优胜奖的同学购买冰激凌作为奖励，了解到某店共推出“新地”和“圆筒”两种冰激凌，3 个新地冰激凌和 2 个圆筒冰激凌的价格为21.5 元； 4 个圆筒冰激凌比 1 个新地冰激凌的价格多4.5 元． (1)“新地”冰激凌和“圆筒”冰激凌的单价分别为多少元？ (2)田老师计划用 200 元为班级中24 名获奖的同学买冰激凌作为奖励，仅设置一等奖和二 等奖两个奖项． 24 人中的“一等奖”奖励 1 个圆筒冰激凌和 1 个新地冰激凌，“二等奖”仅奖 励 1 个圆筒冰激凌，要求买完余下的钱不超过 85 元，购买新地冰激凌的花费不超过 66 元， 共有哪几种分配“一等奖”和“二等奖”名额的方案？请你写出所有符合题意的方案． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）为了满足日益增长的高品质蔬菜市场需求，促进蔬菜产业发展，带动农民增收，某市建立了一个有机蔬菜基地，并提供了如下信息： 信息1：年基地计划将亩土地全部用来种植甲、乙两种有机蔬菜，甲种蔬菜的种植面积不少于亩，乙种蔬菜的种植面积不少于亩． 信息2：甲种蔬菜每亩的种植成本（元）与其种植面积（亩）之间满足函数关系，乙种蔬菜每亩的成本为元． 请根据以上信息，解答下面的问题： (1)若甲种蔬菜种植成本为元，求乙种蔬菜的总种植成本； (2)如何分配两种蔬菜的种植面积，使甲乙两种蔬菜的总种植成本为元？ 【典型例题六 不等式组的方案选择问题】 【例1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）为迎接2025年哈尔滨亚洲冬季运动会，某初中开展了以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题的演讲比赛，计划拿出240元钱全部用于购买两种奖品，两种奖品都要买，已知种奖品每件15元，B种奖品每件10元，则共有几种购买方案？（   ） A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 【例2】（18-19八年级上·山东青岛·期中）为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元，求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为(    ) A． B． C． D． 【例3】（2025·黑龙江绥化·模拟预测）小明去商店购买A、B两种玩具，共用了10元钱，A种玩具每件1元，B种玩具每件2元．若每种玩具至少买一件，且A种玩具的数量多于B种玩具的数量．则小明的购买方案有 种． 1．（2025九年级·浙江衢州·专题练习）为了美化校园，学校决定利用现有的2660盆甲种花卉和3000盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在校园内，已知搭配一个A种造型需甲种花卉70盆，乙种花卉30盆，搭配一个B种造型需甲种花卉40盆，乙种花卉80盆，则符合要求的搭配方案有 种． 2．（24-25七年级下·新疆伊犁·期末）某商场准备购进一批两种不同型号的衣服．已知购进种型号衣服1件和种型号衣服2件，共需元；购进种型号衣服2件和种型号衣服3件，共需元．销售一件种型号衣服可获利元，销售一件种型号衣服可获利元． (1)，两种型号衣服的进价各是多少元？ (2)若已知购进种型号衣服的数量是种型号衣服数量的2倍还多4件，要使在这次销售中获利不少于780元，且种型号衣服不多于件，则该商场在这次进货中，共有哪几种方案？ 3．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）某超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电器，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 2台 3台 900元 第二周 3台 5台 1430元 （进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） (1)求A、B两种型号的电器的销售单价； (2)若超市准备再采购这两种型号的电器共40台，总费用不超过5700元，销售完这40台电器能否实现利润超过1800元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 4．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买两种机器人进行销售．已知每个种机器人比种机器人贵5万元，用1200万元购进种机器人的数量是用650万元购进种机器人数量的2倍． (1)求购买一个种机器人、一个种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再购进第二批、两种机器人共100个，且种机器人数量不超过种机器人数量的3倍．据市场销售分析，当种机器人提价种机器售价为购买价的倍时，销售状况最好，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大，求出最大利润及对应的购进方案． 【典型例题七 不等式组的阶梯收费问题】 【例1】（24-25八年级上·福建漳州·期末）漳州市政府为了鼓励市民绿色出行，投资了一批城市公共自行车，收费如下：第1小时内免费，1小时以上，每半小时收费0.5元（不到半小时按半小时计）．马小跳刷卡时显示收费1.5元，则马小跳租车时间x的取值范围为（　　） A．1＜x≤1.5 B．2＜x≤2.5 C．2.5＜x≤3 D．3＜x≤4 【例2】（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）某自来水公司的收费标准如下：若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费1.8元；若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收费2元．小颖家每月水费都不少于25元，则小颖家每月用水量至少是 立方米． 【例3】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．我校为了落实“双减”政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”，每套甲型号“文房四宝”的价格是80元，每套乙型号“文房四宝”的价格是50元． (1)学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过5870元，并且根据学生需求，购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，共有哪几种购买方案？ (2)甲、乙两商场各自推出不同的优惠方案：甲商场累计购物超过3000元后，超出3000元的部分按收费；乙商场累计购物超过4420元后，超出4420元的部分按收费．若学校按（1）中的方案去购买，应该如何选择商场才合算？ 1．（23-24八年级上·浙江衢州·阶段练习）某市为鼓励居民节约用水，对每户用水按如下标准收费：若每户每月用水不超过立方米，则每立方米按元收费；若每户每月用水超过立方米，则超过的部分每立方米按元收费．某用户月份用水立方米，缴纳水费元． (1)求关于的函数解析式，并写出的取值范围； (2)此用户要想每月水费不超过元，那么每月的用水量不超过多少立方米？ 2．（24-25七年级下·福建龙岩·期末）为鼓励市民节约用电，某市对居民用电实行“阶梯收费”（总电费=第一阶梯电费+第二阶梯电费），规定．用电量不超过200度按第一阶梯电价收费，超过200度的部分按第二阶梯电价收费，用电度数均取整数． 下表是刘先生家2022年4月和5月所交电费的清单． 户名 电表号 月份 用电量（度） 金额（元） 刘×× 1205 4 220 112 刘×× 1205 5 265 139 (1)该市规定的第一阶梯电费和第二阶梯电费单价分别为多少元/度? (2)刘先生家6月份家庭支出计划中电费不超过160元，他家最大用电量为多少度？ 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）经过武汉人民的不懈努力，新冠疫情已得到有效控制，在武汉市全面复工复产的过程中，专家建议要定期对办公场所进行消毒杀菌（简称“消杀”），现有A，B，C三个公司针对中小企业开展消杀业务，价格如下： 公司 器材租赁费（单位：元） 人工费用（单位：元/平方米） A 0 0.5 B 40 0.3 C 298 0 （1）设某办公场所需要消杀的面积为x平方米（0＜x≤1000），公司A，B的收费金额y1，y2都是x的函数，则这两个函数的解析式分别是　 　，　 　． 若选择公司A最省钱，则所需要消杀的面积x的取值范围为　 　； 若选择公司B最省钱，则所需要消杀的面积x的取值范围为　 　； 若选择公司C最省钱，则所需要消杀的面积x的取值范围为　 　． （2）A公司为了开拓市场推出了以下优惠活动：前a平方米按原价收费，超过的部分半价优惠，经过价格比较：消杀面积为700平方米的某企业选择了B公司，消杀面积为860平方米的某幼儿园选择了A公司，试根据以上信息，求a的取值范围． 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）八年级（1）班同学去植树，若每人植树7棵，则还剩9棵；若每人植树9棵，则有1名同学植树的棵数不到8棵．若设该班同学人数为人，则根据题意可以列不等式组为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·河南信阳·期末）如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再将一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测一颗玻璃球的体积（    ） A．大于，小于 B．大于，小于 C．大于，小于 D．大于，小于 3．（24-25七年级下·天津和平·期末）如图，某农场准备用50米的护栏围成一块靠墙的长方形花园，设长方形花园平行于墙的边长为米，垂直于墙的边长为米．受场地条件的限制，a的取值范围为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）如图1的标志表示机动车驶入前方道路之后的最低时速限制，即要求在前方路况良好的情况下，机动车最低时速不得低于50千米/小时；如图2的标志表示机动车驶入前方道路之后的最高时速限制，即机动车行驶的最高时速不得超过70千来/小时．若在公路上同时看到上述两个标志，且前方路况良好的情况下，机动车行驶速度（v）的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 5．（2025·江苏南京·模拟预测）小明买了每袋250克的食品若干袋，营养成分如下表所示．通常情况下，人体每日摄入膳食纤维的适宜量是克．若小明今天仅依靠此食品来获取膳食纤维，他需要吃（   ） 营养成分 项 目 每100克 营养量参考值 能量 2092千焦 蛋白质 克 脂肪 24.0克 碳水化合物 克 膳食纤维 克 钠 250毫克 A．1袋 B．2袋 C．3袋 D．4袋 6．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）一个两位数，十位数字比个位上的数字小5，若这两位数处在40到60之间，那么这个两位数是 ． 7．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）某校701班和702班两班若干名学生在学校组织下到独秀山公园参观，分住在若干间宿舍，若每间住4人，则还有21人无宿舍住；若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，则宿舍最多有 间，宿舍最少有 间． 8．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，用长的篱笆围成一边靠墙（墙长16米）的长方形菜园，则长的取值范围为 ． 9．（2025·四川绵阳·模拟预测）炎炎夏日，清凉爽口的西瓜是最受欢迎的水果之一．某大型超市每天从当地的西瓜种植基地购进甲、乙两种西瓜共600千克．根据以往的销售经验，甲种西瓜的进货量不低于乙种西瓜的进货量，但不能超过乙种西瓜进货量的3倍．若甲种西瓜每千克获利1.2元，乙种西瓜每千克获利1.4元，则该超市每天能获得的最大利润是 元． 10．（2024·江苏常州·模拟预测）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v（）的取值范围是 ． 11．（24-25八年级上·广东广州·开学考试）复活赛上，甲、乙两人根据投票结果决出最后一个参加决赛的名额，投票人数固定，每票必须投给甲、乙两人之一，最后，乙的得票数为甲的得票数的，甲胜出，但是，若乙得票数至少增加4票，则可胜甲，请计算甲、乙所得的票数． 12．（24-25七年级下·青海西宁·期末）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩．新建1个地上充电桩和2个地下充电桩共需0.8万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需0.7万元． (1)新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过16.2万元的资金新建60个充电桩，且地上充电桩的最多建20个，则共有几种建造方案？请列出所有方案． 13．（2024·山东滨州·模拟预测）（1）小明带10元钱想买一盒饼干和一袋牛奶，可是售货员阿姨说：本来10 元钱够一盒饼干的，但再买一袋牛奶就不够了，今天是儿童节给你的饼干打9折，两样东西拿好，再找你8角钱，饼干的标价可是整数哦，请你帮小明算出牛奶和饼干的标价 （2）我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费． 14．（24-25八年级上·云南玉溪·期末）截至2025年5月18日，《哪吒之魔童闹海》以158.54亿元票房位列全球影史票房榜第五位，这部动画电影不仅刷新了国产电影的天花板，更让世界见证了中国动画的崛起——从“国漫崛起”到“全球爆款”，“哪吒”用五年时间完成了从现象级IP到文化符号的蜕变．某影城想借影片的热度提升收益，计划推出玩偶、保温杯等周边产品，采购时得知购买1个玩偶和2个保温杯共需160元，购买2个玩偶和1个保温杯共需140元． (1)求玩偶和保温杯的单价； (2)该影城需要购买玩偶、保温杯共3000个，且购买保温杯的数量不少于玩偶数量的2倍．请你帮助影城计算应购买玩偶、保温杯各多少个，才能使总费用最低，最低费用为多少元？ 15．（24-25八年级上·四川成都·期末）为了市民游玩方便，准备在风阳湖市政森林公园内的环形路上提供免费游览车服务，如图是游览车路线图，已知间的路程为米，间的路程为米，间的路程为米，间的路程为米，现有有号，号两游览车分别从出口A和景点同时出发，号车逆时针、号车顺时针沿环形路连续循环行驶，供游客随时免费乘车(上，下车的时间忽略不计)，两车速度均为米/分．    探究：设行驶时间为分． （1）当时，分别写出号车，号车在下半圈环线离出口A的路程，(米)与(分)的函数关系式，并求出当两车相距的路程少于米时的取值范围； （2）为何值时，号车第三次恰好经过景点，并直接写出这一段时间内它与号车相遇过的次数． 应用：已知游客小双在上从景点向出口A走去，步行的速度是米/分，当行进到上一点(不与点， A重合)时，刚好与号车迎面相遇，设的路程为s米，写出他原地等候乘号车到出口A所花时间与的函数关系式，并直接写出在什么范围内时，等候乘号车能更快到达． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 一元一次不等式组实际综合应用（2大知识点+7大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 列一元一次不等式组 典型例题二 不等式组的行程问题 典型例题三 不等式组的工程问题 典型例题四 不等式组的经济问题 典型例题五 不等式组的分配问题 典型例题六 不等式组的方案选择问题 典型例题七 不等式组的阶梯收费问题 知识点01 盈不足与行程问题 1.盈不足问题 2.行程问题，常用等量关系：路程=速度×时间 【即时训练】 1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行使距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，根据超过部分每千米2元，求出超过的千米数为千米，根据不足1千米按1千米计，实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米，据此列出不等式组解不等式组即可． 【详解】解：∵总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，超过部分每千米2元， ∴超过的千米数为千米， ∵不足1千米按1千米计， ∴实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米， ∴， 解得：， 故选：D． 【即时训练】 2．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读材料，回答问题： 已知，符号表示大于或等于的最小正整数，例如，，，… (1)填空：______； (2)若，则的取值范围是______； (3)某市的出租车收费标准规定如下：以内（包括）收费9元，超过的，每超过加收2元（不足的按计算），用表示所行的公里数，表示行公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算： 当（单位：）时，（元） 当（单位：）时，（元） 某乘客乘车后付车费33元，求该乘客所行的路程的取值范围． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）按材料上提供的计算方法确定答案即可； （2）按材料上提供的计算方法确定的取值范围算即可； （2）直接把代入，求出的范围即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：1； （2）若，则的取值范围是． 故答案为：； （3）因乘车费用，故该乘客乘车路程超过， 根据题意，可得 ， 解得， ∴， ∴． 答：该乘客所行的路程的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了新定义下的运算、一元一次不等式组解决实际问题等知识，根据材料上提供的方法，弄清实际意义，得到正确的结论是解题的关键． 知识点02 经济与方案问题 一．经济问题： 常见等量关系： 利润=售价-成本. 利润率=（售价-成本）/成本 X100%. 售价=成本X（1+利润率） 【即时训练】 1．（23-24八年级上·浙江衢州·单元测试）某商店计划用不超过2000元的资金，购进甲、乙两种单价分别为30元、60元的商品共50件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利5元、15元，两种商品均售完．若所获利润大于380元，则该店进货方案有（     ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】A 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的不等关系，并据此列出不等式组．设该店购进甲种商品件，则购进乙种商品件，根据“购进甲乙商品不超过2000元的资金、两种商品均售完所获利润大于380元”列出关于的不等式组，解之求得整数的值即可得出答案． 【详解】解：设该店购进甲种商品件，则购进乙种商品件， 根据题意，得：， 解得：， ∵为整数， ∴、35、36， ∴该店进货方案有3种， 故选：A． 【即时训练】 2．（2025·黑龙江绥化·模拟预测）某电脑经销商计划购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购进电脑机箱10台和液晶显示器8台，共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和液晶显示器5台，共需要资金4120元．该经销商购进这两种商品共50台，购进电脑机箱不超过26台，而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元，则该经销商有 种进货方案． 【答案】3 【分析】根据题意得出等量关系列出方程组，求出电脑机箱和液晶显示器的单价，再根据购进两种商品共50台资金不超过22240列出不等式组，求出解集，结合m为正整数，确定m可能取的值，得出方案． 【详解】解：设电脑机箱单价x元，液晶显示器单价y元，则 解之得 设购进电脑机箱m台，则液晶显示器（50−m）台 由题意得60m+800（50−m）≤22240     （m≤26） 60m+40000−800m≤22240 740m≥17760 解得 又 ∴m可取的值有24，25，26 ∴购进方案有三种 第一种：购进电脑机箱24台，液晶显示器26台． 第二种：购进电脑机箱25台，液晶显示器25台． 第三种：购进电脑机箱26台，液晶显示器24台． 故方案有：3 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及不等式组的应用，根据题意得出等量关系是解决问题的关键． 【典型例题一 列一元一次不等式组】 【例1】（24-25七年级下·浙江衢州·课后作业）定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]=5，[5]=5，[﹣π]=﹣4．如果[a]=﹣3，则a的取值范围为（　　） A．﹣4＜a≤﹣3 B．﹣4≤a＜﹣3 C．﹣3＜a≤﹣2 D．﹣3≤a＜﹣2 【答案】D 【详解】∵[a]=﹣3， ∴﹣3≤a＜﹣2. 点睛：此题考查了信息迁移和一元一次不等式组的应用，解题的关键是明确题意，根据题意列出不等式组． 【例2】（24-25八年级上·湖南长沙·期中）已知点在平面直角坐标系的第四象限，则的取值范围在数轴上可表示为(   ) A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据点P在第四象限可得横坐标为正，纵坐标为负，由此列出不等式组，解不等式组即可. 【详解】解：∵点在平面直角坐标系的第四象限， ∴a-1＞0且-a＜0， 解得：a＞1， 把解集在数轴上表示为：    故选A. 【点睛】本题考查象限内点的坐标的特点，熟练掌握每个象限内点的坐标的特点是解题关键. 【例3】（24-25七年级下·浙江衢州·单元测试）的倍与的和大于，且的倍是非负数，列不等式组为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得不等式，，再联立两个不等式即可． 【详解】解：根据题意， 可得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，解题关键是理解题意，抓住题目中的关键词语． 【例4】（24-25七年级·浙江衢州·阶段练习）某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，一次服用药品的剂量设为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意分别表示出分3次服用和分4次服用的剂量范围，再综合两种情况分析即可得出结论． 【详解】若每天服用3次，则所需剂量为之间， 若每天服用4次，则所需剂量为之间， 所以，一次服用这种药的剂量为之间， 所以． 故答案为：． 【点睛】本题考查不等式的实际应用问题，能够准确分情况讨论出不同的范围再综合分析是解题关键． 1．（2025七年级下·浙江衢州·专题练习）已知某长方体形状的容器长5cm，宽3cm，高8cm，容器内有水，水的高度为2cm．现准备向容器里面继续注水，用V（单位：）表示新注入的水的体积．求V的取值范围（容器壁厚忽略不计）． 【答案】 【分析】根据题意可求出长方体容器的体积，根据水的高度可以求出容器里现有水的体积，再用总容积减去现有水的体积，即可求出还能注入水的体积． 【详解】解：由题意，得该长方体形状的容器的容积为． 又因为容器内原有的水的体积为， 所以容器内剩余未注水的体积为， 所以的取值范围为． 【点睛】本题主要主要考查了有理数乘法和有理数减法的计算，解决此题的关键是要读懂题意，列出式子． 2．（24-25七年级下·浙江衢州·课后作业）某长方体形状的容器长．宽，高．容器内原有水的高度为，现准备向它继续注水．用（单位：）表示新注入水的体积，写出的取值范围． 【答案】． 【分析】水的总体积不能超过容器的总体积，列出不等式组求解． 【详解】解：根据题意列出不等式组： 解得：． 【点睛】本题考查的是不等式组的应用，读懂题意，找到符合题意的不等关系式组是解决本题的关键． 3．（2025·浙江宁波·模拟预测）请你阅读如图框内老师的新定义运算规定，然后解答下列各小题． （1）若x⊕y=1，x⊕2y=﹣2，分别求出x和y的值； （2）若x满足x⊕2≤0，且3x⊕（﹣8）＞0，求x的取值范围． 【答案】（1） ；（2）x的取值范围是﹣2＜x≤ 【分析】（1）根据定义新运算得到二元一次方程组，再解方程组即可求解； （2）根据定义新运算得到一元一次不等式组，再解不等式组即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得：，解得：； （2）根据题意得：，解得：﹣2＜x≤． 故x的取值范围是﹣2＜x≤． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组，熟练掌握解一元一次不等式组，二元一次方程组的方法是解答本题的关键． 【典型例题二 不等式组的行程问题】 【例1】（24-25七年级下·浙江衢州·课后作业）阳阳从家到学校的路程为2400米，他早晨8点离开家，要在8点30分之后8点40分之前到学校，如果用表示他的速度（单位：米/分），的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解“当阳阳8点30分时到，当阳阳8点40分时到”时的速度，再根据“要在8点30分之后8点40分之前到学校”写出的范围即可. 【详解】解：当阳阳8点30分时到，则米/分， 当阳阳8点40分时到，则米/分， 所以要在8点30分之后8点40分之前到学校，则的取值范围为： . 故选： 【点睛】本题考查的是列一元一次不等式组，正确理解“要在8点30分之后8点40分之前到学校”是解题的关键. 【例2】（24-25七年级下·北京·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了圈时，他的运动里程数小于，设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出的取值范围，再根据，代入求出的取值即可． 【详解】解：由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了圈时，他的运动里程数小于， 设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，根据题意，得， 解得， ∴ ∴， 又， ∴， ∴， ∴整数， 即他一共跑的圈数是17， 故选：D． 【例3】（2025·江苏宿迁·模拟预测）从小明家到学校的路程是2400米，如果小明早上7点离家，要在7点30分到40分之间到达学校，设步行速度为米/分，小明步行的速度范围是 ． 【答案】60米/分-80米/分 【详解】设步行速度为x米/分，依题意可得： ， 解不等式组得：60≤x≤80 所以小明的步行范围是60米/分-80米/分． 故答案为60米/分-80米/分． 【例4】（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）某种出租车的收费标准：起步价5元（即行驶距离不超过3千米都需付5元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收1.2元（不足1千米按1千米计）．某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费15.8元，设甲地到乙地路程是x千米，则x的范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． 设甲地到乙地的路程为千米，根据题意列出一元一次不等式组，并求解即可获得答案． 【详解】解：设甲地到乙地的路程为千米， 根据题意，可得， 解得：． 故答案为：． 1．（2025八年级上·浙江衢州·专题练习）小颖和小华进行百米赛跑，小颖的平均速度是，小华的平均速度是，小颖让小华先跑10米． (1)求小颖何时追上小华； (2)求从什么时间开始，小颖到终点的距离不超过16米； (3)求小颖何时和小华相距5米． 【答案】(1)10秒 (2)12秒开始 (3)5秒 【分析】（1）设经过x秒小颖追上小华，根据在x秒内小颖通过的路程小华通过的路程米，列出方程，解方程即可； （2）设经过y秒后，小颖到终点的距离不超过16米，根据到终点的距离不超过16米列出不等式组，解不等式组即可； （3）分两种情况，小颖追上小华之前，小颖追上小华之后，分别求出结果即可得出答案． 【详解】（1）解：设经过x秒小颖追上小华，由题意得： ， 解得：， 答：经过10秒小颖追上小华． （2）解：设经过y秒后，小颖到终点的距离不超过16米，由题意得 ， 解得：， 答：从12秒开始，小颖到终点的距离不超过16米． （3）解：设小颖追上小华之前，经a秒小颖和小华相距5米， ， 解得：， 设小颖追上小华之后，经b秒小颖和小华相距5米， ， 解得：， 小颖跑完100米所用时间为：（秒）， ∵， ∴不符合题意舍去． 答：经5秒小颖和小华相距5米． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式和不等式组的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是根据题目中的不等关系和等量关系列出不等式或方程． 2．（23-24八年级上·重庆渝中·期末）“元旦节”假期最后一天，李老师驾车从老家沿高速路回主城，途中依次经过四地，其中和路程均为为高速出口，且在出口旁有加油站，的路程为．李老师用2小时通过路段，其中通过路段的平均速度是通过路段的1.2倍． (1)求李老师通过路段的平均速度． (2)李老师所驾驶汽车的“最佳油耗时速”为（以此速度行驶时油耗最低），以“最佳油耗时速”行驶，每100公里耗油为，速度每增加，每100公里耗油增加．当他经过地时的时间为上午9：30，发现此时油箱里还剩余燃油．若李老师要在中午12：00前通过地，同时通过地时燃油未耗尽，求他在路段的平均时速的取值范围． 【答案】(1)李老师通过路段的平均速度为 (2)李老师通过路段的速度应大于小于 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用． （1）设李老师通过路段的平均速度为，则李老师通过路段的平均速度为，利用时间路程度数，结合李老师用2小时通过路段，可列出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设李老师在路段的平均时速为，则每100公里耗油，根据“李老师要在中午前通过地，同时通过地时燃油未耗尽”，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设李老师通过路段的平均速度为，则李老师通过路段的平均速度为， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：李老师通过路段的平均速度为； （2）解：共，． 设李老师在路段的平均时速为，则每100公里耗油， 根据题意得：， 解得：． 答：李老师在路段的平均时速大于小于． 3．（24-25七年级下·广东广州·期末）化工厂与A、B两地有公路和铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．如图为该化工厂与A、B两地的距离，已知公路运价为元/（吨·千米），铁路运价为元/（吨·千米），这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元． (1)请计算这批产品的销售款比原料费和运输费的和多多少元？ (2)工厂原计划从A地购买的原料和送往B地的产品一共20吨，此时产品的销售款与原料的进货款之差不少于66000元，且原料至少购买8吨，有多少种购买方案？ 【答案】(1)1887800元 (2)3种 【分析】（1）设工厂制成了吨产品，购买吨原料，根据两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元列出方程组，解之，再分别求出销售款和原料费和运输费之和，相减即可； （2）设从A地购买m吨，根据产品的销售款与原料的进货款之差不少于66000元，且原料至少购买8吨列不等式组求出m的范围，取正整数解即可． 【详解】（1）解：设工厂制成了吨产品，购买吨原料，依题意得： ， 解得：， ∴销售款为：元， 原料费和运输费之和为：元， ∴这批产品的销售款比原料费和运输费的和多：元； （2）设从A地购买m吨，则送往B地吨， 由题意可得：， 解得：， ∵原料至少购买8吨， ∴， ∴m可以取的整数值为8，9，10， ∴共有3种购买方案． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，是一道与实际密切相关的热点考题，解答此类题时，要弄清题中的等量关系，列出相应的方程组，进而得到解决问题的目的． 【典型例题三 不等式组的工程问题】 【例1】（24-25七年级下·福建厦门·期末）“厦一高速”项目工程建设已近尾声，其中某施工路段总长公里，若由甲、乙两工程队合做6个月可以完成，若甲工程做4个月，乙工程队做9个月也可以完成． (1)甲、乙两队每月的施工路段各是多少公里？ (2)已知甲队每月施工费用为万元，乙队每月施工费用为9万元，按要求该工程总费用不超过万元，现由甲队做个月，乙队做个月（、均为正整数）恰好完成施工，请你设计施工费用最低的施工方案． 【答案】(1)甲队每月施工9公里，设乙队每月施工6公里； (2)甲队8个月，乙队3个月； 【分析】（1）设甲队每月施工x公里，设乙队每月施工y公里，根据题意列式求解即可得到答案； （2）根据总费用不超过万元列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：设甲队每月施工x公里，设乙队每月施工y公里，由题意可得， ， 解得：， 答：甲队每月施工9公里，设乙队每月施工6公里； （2）解：由题意可得， 且、均为正整数， 解得， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴最低的施工方案是：甲队8个月，乙队3个月； 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，不等式的应用，解题的关键是根据题意得到等量关系式列式． 【例2】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）2024年初，洪山区某老旧小区，积极推动实施小区“瓶改管”燃气改造项目甲、乙两个工程队参与该项目施工．该工程若由甲队单独施工会超过规定工期40天；若由乙队单独施工则会超过规定工期80天．施工方案如下：甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成． (1)求这项工程的规定工期是多少天？ (2)在甲、乙两队工作效率不变的前提下，为让居民更快用上天然气，工程指挥部决定缩短工期，总工期不超过100天，并修改原有施工方案：甲、乙两队先合做a天，剩余的由乙队单独施工，恰好按缩短后的总工期完成．请给出所有可行具体施工方案（合做天数a和总工期均为正整数） 【答案】(1)120天 (2)当，具体施工方案甲、乙两队先合做80天，剩余的由乙队单独施工20天；当，具体施工方案甲、乙两队先合做84天，剿余的由乙队单独施工11天；当，具体施工方案甲、乙两队先合做88天，剩余的由乙队单独施工2天． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及不等式组的应用； （1）设这项工程的规定工期是t天，根据甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成，再建立分式方程求解即可； （2）由（1）求解甲队工作效率，乙队工作效率，设缩短后总工期t天，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：设这项工程的规定工期是t天， 根据题意得：， 解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：这项工程的规定工期是120天； （2）解：由（1）得甲队工作效率，乙队工作效率， 设缩短后总工期t天， 根据题意得：， 解得：， ∵，均为正整数且由实际可知， ∴， 得 故当，具体施工方案甲、乙两队先合做80天，剩余的由乙队单独施工20天； 当，具体施工方案甲、乙两队先合做84天，剿余的由乙队单独施工11天； 当，具体施工方案甲、乙两队先合做88天，剩余的由乙队单独施工2天． 【例3】（23-24八年级上·河北石家庄·期末）某校为美化校园，计划对面积为的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用6天． (1)求甲乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少？ (2)在该次校园绿化工程中，设安排甲队工作y天 ①再安排乙队工作_____天，完成该工程（用含有y的式子表示） ②若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.12万元，要使这次的绿化总费用不超过7.6万元，乙队的工作天数不超过34天，如何安排甲队的工作天数？ 【答案】(1)甲工程队每天能完成绿化的面积是，乙工程队每天能完成绿化的面积是； (2)①；②应安排甲队工作8或9或10天． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用一元一次不等式组的应用： （1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是，根据题意，列出方程，即可求解； （2）①用乙队的工作量除以乙队的工作效率，即可；②设应安排甲队工作a天，根据题意，列出不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：设乙工程队每天能完成绿化的面积是，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则甲工程队每天能完成绿化的面积是． 答：甲工程队每天能完成绿化的面积是，乙工程队每天能完成绿化的面积是； （2）解：①再安排乙队工作天，完成该工程； 故答案为：． ②设应安排甲队工作a天，根据题意得： ， 解得：． ∵a取整数， ∴a取8，9，10， 答：应安排甲队工作8或9或10天． 1．（24-25八年级上·黑龙江黑河·期末）黑河市政府在道路改造过程中，某路段需要铺设一条长1000米的下水管道，现有甲乙两个施工队具备施工能力，政府工作人员分别到两个施工队了解情况，获得如下信息： 信息一：甲工程队比乙工程队每天能多铺设10米； 信息二：甲工程队铺设480米所用的天数与乙工程队铺设400米所用的天数相同． 根据以上信息完成下列问题： (1)甲、乙工程队每天各能铺设多少米？ (2)如果两工程队同时施工，要求完成该项工程的工期不超过10天，那么两工程队分配工程量（以整百米为单位）的方案有几种？请你帮助设计出来． 【答案】(1)甲工程队每天能铺设60米，乙工程队每天能铺设50米 (2)分配方案有2种．方案一：分配给甲工程队500米，分配给乙工程队500米；方案二：分配给甲工程队600米，分配给乙工程队400米 【分析】（1）设甲工程队每天能铺设米，则乙工程队每天能铺设米，根据“甲工程队铺设480米所用的天数与乙工程队铺设400米所用的天数相同”列出方程，即可求解； （2）设分配给甲工程队米，则分配给乙工程队米，根据“完成该项工程的工期不超过10天，”列出不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：设甲工程队每天能铺设米，则乙工程队每天能铺设米， 依题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解． 答：甲工程队每天能铺设60米，乙工程队每天能铺设50米； （2）解：设分配给甲工程队米，则分配给乙工程队米， 由题意，得，解得， 取整数， 分配方案有2种． 方案一：分配给甲工程队500米，分配给乙工程队500米； 方案二：分配给甲工程队600米，分配给乙工程队400米． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． 2．（23-24七年级下·重庆北碚·期末）校园景观升级工程，若由甲工程队单独完成所需天数是由乙工程队单独完成所需天数的1.5倍；若甲工程队单独做3天后，再由乙工程队单独做6天，恰好完成该工程的，甲，乙工程队每天的施工费用分别为0.6万元和1万元． (1)单独完成此项工程，甲、乙两工程队各需多少天？（列方程解应用题） (2)若甲工程队先做a天后有事离场，再由乙工程队完成余下工程，若要完成全部工程的施工费用不超过15.4万元，且乙工程队的施工天数大于8天，求a的值．（天数为整数） 【答案】(1)单独完成此项工程，甲、乙两工程队各需24天和16天 (2)9 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式组的应用．理解题意，找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键． （1）设乙单独完成此项工程需要x天，则甲单独完成此项工程需要天，根据题意可列出关于x的分式方程，求解并检验即可解答； （2）根据题意可列出关于a的一元一次不等式组，求解，再结合天数为整数分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：设乙单独完成此项工程需要x天，则甲单独完成此项工程需要天， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原方程的解， 天， 答：单独完成此项工程，甲、乙两工程队各需24天和16天； （2）解：∵甲工程队先做a天，完成工作量为， ∴乙工程队需要完成， ∴乙工程队需要天完成． 根据题意得： ， 解得： ， ∵天数为整数， ∴为整数，为整数， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意， 综上可知． 3．（2025·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）国家发改委、工业和信息化部、财政部公布了“节能产品惠民工程”，公交公司积极响应将旧车换成节能环保公交车，计划购买A型和B型两种环保型公交车10辆，其中每台的价格、年载客量如表： A型 B型 价格（万元/台） x y 年载客量/万人次 60 100 若购买A型环保公交车1辆，B型环保公交车2辆，共需400万元；若购买A型环保公交车2辆，B型环保公交车1辆，共需350万元． （1）求x、y的值； （2）如果该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保10辆公交车在该线路的年载客量总和不少于680万人次，问有哪几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，哪种方案使得购车总费用最少？最少费用是多少万元？ 【答案】（1）；（2）有三种购车方案，方案一：购买A型公交车6辆，购买B型公交车4辆；方案二：购买A型公交车7辆，购买B型公交车3辆；方案三：购买A型公交车8辆，购买B型公交车2辆；（3）总费用最少的方案是购买A型公交车8辆，购买B型公交车2辆，购车总费用为1100万元． 【分析】（1）根据“购买A型环保公交车1辆，B型环保公交车2辆，共需400万元；若购买A型环保公交车2辆，B型环保公交车1辆，共需350万元”列出二元一次方程组求解可得； （2）购买A型环保公交车m辆，则购买B型环保公交车（10﹣m）辆，根据“总费用不超过1200万元、年载客量总和不少于680万人次”列一元一次不等式组求解可得； （3）设购车总费用为w万元，根据总费用的数量关系得出w＝100m+150（10﹣m）＝﹣50m+1500，再进一步利用一次函数的性质求解可得． 【详解】（1）由题意，得， 解得； （2）设购买A型环保公交车m辆，则购买B型环保公交车（10﹣m）辆， 由题意，得， 解得6≤m≤8， ∵m为整数， ∴有三种购车方案 方案一：购买A型公交车6辆，购买B型公交车4辆； 方案二：购买A型公交车7辆，购买B型公交车3辆； 方案三：购买A型公交车8辆，购买B型公交车2辆． （3）设购车总费用为w万元 则w＝100m+150（10﹣m）＝﹣50m+1500， ∵﹣50＜0，6≤m≤8且m为整数， ∴m＝8时，w最小＝1100， ∴购车总费用最少的方案是购买A型公交车8辆，购买B型公交车2辆，购车总费用为1100万元． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组和二元一次方程的应用，理解题意，找到题目蕴含的数量关系是解题的关键． 4．（24-25七年级下·浙江衢州·单元测试）已知某项工程，乙工程队单独完成所需天数是甲工程队单独完成所需天数的两倍，若甲工程队单独做10天后，再由乙工程队单独做15天，恰好完成该工程的，共需施工费用85万元，甲工程队每天的施工费用比乙工程队每天的施工费用多1万元． （1）单独完成此项工程，甲、乙两工程对各需要多少天？ （2）甲、乙两工程队每天的施工费各为多少万元？ （3）若要完成全部工程的施工费用不超过116万元，且乙工程队的施工天数大于10天，求甲工程队施工天数的取值范围？ 【答案】（1）甲、乙两工程队各需要25天和50天； （2）甲工程队每天的施工费为4万元，乙工程队每天的施工费为3万元； （3）取值范围是：17≤m＜20．   【详解】分析：（1）设甲工程队单独施工完成此项工程的天数为x天，乙工程队单独施工完成此项工程的天数为2x天，根据工程队单独做10天后，再由乙工程队单独做15天，恰好完成该工程的，列方程求解即可； （2）设甲工程队每天的施工费为a万元，则乙工程队每天的施工费为（a-1）万元，根据甲队的10天的总费用+乙队15天的总费用=85”列方程求解可得； （3）根据题意表示出甲、乙两队的施工天数，再根据不等关系：①甲队施工总费用+乙队施工总费用≤116，②乙队施工天数＞10，列出不等式组，求出范围． 详解：（1）设甲工程队单独施工完成此项工程的天数为x天，乙工程队单独施工完成此项工程的天数为2x天，根据题意得： +=， 解得：x=25， 经检验：x=25是原方程的根， 则2x=25×2=50（天）， 答：甲、乙两工程队各需要25天和50天； （2）设甲工程队每天的施工费为a万元，则乙工程队每天的施工费为（a-1）万元， 根据题意得：10a+15（a-1）=85， 解得：a=4， 则a-1=3（万元）， 答：甲工程队每天的施工费为4万元，乙工程队每天的施工费为3万元； （3）设全部完成此项工程中，甲队施工了m天， 则甲完成了此项工程的，乙队完成了此项工程的（）， 故乙队在全部完成此项工程中，施工时间为：=50-2m（天）， 根据题意得：， 解得：17≤m＜20． 答：甲工程队施工天数m的取值范围是：17≤m＜20． 点睛：本题考查分式方程、一元一次一次方程、一元一次不等式组的应用，分析题意，找到合适的等量关系，列出方程和不等式组是解决问题的关键，注意分式方程要检验． 【典型例题四 不等式组的经济问题】 【例1】（24-25七年级下·安徽六安·期中）某种家用电器的进价为每件800元，以每件1200元的标价出售，由于电器积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最低可按标价的（    ）折出售 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】设按标价的x折出售，根据利润率不低于5%列，计算可得． 【详解】解：设按标价的x折出售，由题意得 ， 解得， ∴最低可按标价的七折出售， 故选：B． 【点睛】此题考查了一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 【例2】（2024·天津红桥·模拟预测）某服装店试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系．有下列结论： ①销售单价可以是90元； ②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为891元； ③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元， 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据已知条件列出总利润与销售价的函数关系式，利用二次函数的性质及其x的取值范围求出利润的最大值．利用函数的性质是解答此题的关键． 【详解】解：由题意可知，解得：， ∴销售单价不可能是90元，故①不正确； 利润与销售价的函数关系式： ， ， 抛物线的开口向下， 当时，随的增大而增大， 而， 当时，（元）． 当销售单价定为87元时，可获得最大利润，最大利润是891元，故②正确； 当时，， 解得：，（不符合题意，舍去）， 则只有1个销售单价为70元时，满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元，故③不正确； 综上，正确的结论只有1个， 故选：B． 【例3】（24-25八年级上·重庆铜梁·阶段练习）“九月已经霜，蟹肥菊桂香”，古往今来，每至农历九月，蟹都是人们翘首以待的珍馐．某大闸蟹养殖户十月捕捞了第一批成熟的大闸蟹，并以每只相同的价格（价格为整数）批发给某经销商．预计十一月捕捞第二批成熟的大闸蟹，同时决定将与某电商合作，将第二批大闸蟹根据品质及重量分为A（小蟹）、B（中蟹）、C（大蟹）三类，每类按照不同的单价（价格都为整数）网上销售，若2只A类蟹、1只B类蟹和3只C类蟹的价格之和正好是第一批蟹8只的价格，而6只A类蟹、3只B类蟹和4只C类蟹的价格之和正好是第一批蟹14只的价格，且A类蟹与B类蟹每只的单价之比为3：4，根据市场有关部门的要求A、B、C三类蟹的单价之和不低于50元、不高于60元，则第一批大闸蟹每只价格为 元． 【答案】15 【分析】设第一批大闸蟹每只价格为x元，A类蟹与B类蟹每只的单价分别为3y，4y，C类蟹的价格为z元，根据“2只A类蟹、1只B类蟹和3只C类蟹的价格之和正好是第一批蟹8只的价格，而6只A类蟹、3只B类蟹和4只C类蟹的价格之和正好是第一批蟹14只的价格”列出方程组，求得A、B、C三类蟹的单价之和为，根据“A、B、C三类蟹的单价之和不低于50元、不高于60元，”列出一元一次不等式组，根据整数解确定的值即可求解． 【详解】设第一批大闸蟹每只价格为x元，A类蟹与B类蟹每只的单价分别为3y，4y，C类蟹的价格为z元， 根据题意得：， 解得：， 则A、B、C三类蟹的单价之和为：7y+z＝， 由题意得：50≤≤60， 解得：14≤x≤17， ∴x的整数解为：15，16，17， 又因为A类蟹与B类蟹的单价也是整数， 所以x＝15， 故答案为：15． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的有意义，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组与不等式组是解题的关键． 【例4】（2025·山东德州·模拟预测）德州扒鸡闻名浙江衢州，远销海外，被誉为“天下第一鸡”，是享誉浙江衢州的特色产品．某超市计划采购A、B两种品牌扒鸡，已知购买1盒A品牌扒鸡和1盒B品牌扒鸡共需210元；购买2盒A品牌扒鸡和3盒B品牌扒鸡共需515元． (1)求A、B两种品牌扒鸡的单价各是多少元？ (2)该超市预算不超过11300元采购A、B两种扒鸡共100盒，且A的数量不低于B数量的，若两种扒鸡的售价均为185元/盒，如何安排采购量才能使销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)购买A品牌扒鸡的单价是115元，购买B品牌扒鸡的单价是95元 (2)该超市购买A品牌扒鸡60盒，B品牌扒鸡40盒时，销售完两种品牌扒鸡获得的利润最大，最大利润为7800元 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式组和一次函数的实际应用： （1）设购买A品牌扒鸡的单价为x元，购买B品牌扒鸡的单价为y元，根据购买1盒A品牌扒鸡和1盒B品牌扒鸡共需210元；购买2盒A品牌扒鸡和3盒B品牌扒鸡共需515元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买A品牌扒鸡a盒，则购买B品牌扒鸡盒，根据题意，列出不等式组，求出的范围，设销售完两种品牌扒鸡获得的利润为w元，列出函数关系式，利用一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设购买A品牌扒鸡的单价为x元，购买B品牌扒鸡的单价为y元，则根据题意， 得， 解得； 答：购买A品牌扒鸡的单价是115元，购买B品牌扒鸡的单价是95元； （2）设购买A品牌扒鸡a盒，则购买B品牌扒鸡盒，根据题意，得 ，解得， 设销售完两种品牌扒鸡获得的利润为w元，则 ， ，则w随a的增大而减小， 当时，w的值最大，最大值为， 此时； 答：该超市购买A品牌扒鸡60盒，B品牌扒鸡40盒时，销售完两种品牌扒鸡获得的利润最大，最大利润为7800元． 1．（24-25八年级上·福建福州·期中）某文具店准备购进甲、乙两种水笔进行销售，每支进价和利润如表： 甲水笔 乙水笔 每支进价（元） 每支利润（元） 2 3 已知花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等． (1)求甲，乙两种水笔每支进价分别为多少元． (2)若该文具店准备拿出1000元全部用来购进这两种水笔，考虑顾客需求，要求购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍，问该文具店如何进货能使利润最大，最大利润是多少元． 【答案】(1)甲种水笔每支进价为5元，乙种水笔每支进价为10元 (2)该文具店购进甲种水笔132支，乙种水笔34支能使利润最大，最大利润是366元 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用等知识，熟练掌握分式方程和一次函数的应用是解题关键． （1）根据花费400元购进甲种水笔的数量和花费800元购进乙种水笔的数量相等建立方程，解方程，进行检验即可得； （2）设该文具店购进甲种水笔支，获得的利润为元，则购进乙种水笔支，先求出，再求出，根据一次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， 则， 答：甲种水笔每支进价为5元，乙种水笔每支进价为10元． （2）解：设该文具店购进甲种水笔支，获得的利润为元，则购进乙种水笔支， 由题意得：， ∵考虑顾客需求，要求购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍， ∴， 解得， 由一次函数的性质可知，在内，随的增大而增大， 又∵和均为正整数， ∴当时，取得最大值，最大值为， 此时， 答：该文具店购进甲种水笔132支，乙种水笔34支能使利润最大，最大利润是366元． 2．（2025·云南·模拟预测）根据以下素材，完成探究学习任务． 如何为书店设计销售利润最大方案 素材1 某书店为了迎接“读书节”决定购进，两种图书，相关信息如下表： 类别 种 种 进价（元/本） 18 12 备注 ①用不超过16800元购进，两种图书共1000本； ②种图书不少于600本 素材2 若顾客按标价购买10本种图书和15本种图书，则一共需要540元； 若顾客按标价购买14本种图书和11本种图书，则一共需要576元 素材3 经市场调查后，李经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案 问题解决 任务1 建立方程 求，两种图书的标价； 任务2 拟定销售利润最大方案 种图书按照标价8折销售，种图书价格不变，若该书店所购图书均可卖出，则书店应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】任务1：种图书的标价为27元，种图书的标价为18元；任务2：当购买种图书600本，种图书400本时，利润最大，最大利润是4560元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意，正确列出一元一次不等式、二元一次方程组以及一次函数解析式是解此题的关键． 任务1：设种图书的标价为元，种图书的标价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； 任务2：设购买种图书本，则购买种图书本，利润为元，根据题意列出一元一次不等式组求出，再由一次函数的性质求解即可． 【详解】解：任务1：设种图书的标价为元，种图书的标价为元， 根据题意，得， 解得， 答：种图书的标价为27元，种图书的标价为18元； 任务2：设购买种图书本，则购买种图书本，利润为元， 根据题意，得， 解得， ， ， 随的增大而减小， 当时，最大，， ． 答：当购买种图书600本，种图书400本时，利润最大，最大利润是4560元． 3．（2025·湖南·模拟预测）湖南茶陵是中华茶文化的发源地之一，茶陵县也是中国历史上唯一以茶命名的行政县，相传炎帝神农氏在这里发现了茶，并被称为“茶祖”，湖南不仅在茶文化上有重要地位，其茶叶品种也非常丰富，其所产的君山银针和古丈毛尖更是享誉浙江衢州，某茶庄主要经营的茶类有君山银针和古丈毛尖，其中君山银针卖得比较好的是A规格的，古丈毛尖卖得比较好的是B规格的，它们的进价和售价如下表： 种类 君山银针A规格 古丈毛尖B规格 进价（元/斤） 160 500 售价（元/斤） 200 600 该茶庄计划购进这两种规格的茶共100斤． (1)若该茶庄购进这两种规格的茶共花费29600元，求该茶庄购进A，B两种规格的茶各多少斤？ (2)根据市场销售分析，A规格茶的进货量不低于B规格茶进货量的3倍．问：该茶庄如何进货才能使本次购进的茶全部销售完获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)该茶庄购进A规格的茶60斤，B规格的茶40斤； (2)该茶庄购进A规格的茶75斤，B规格的茶25斤时，全部销售完获得的利润最大，最大利润是5500元． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答 （1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的二元-次方程组，从而可以求得该茶庄购进4，B两种规格的茶各多少斤； （2）根据题意和表格中的数据，可以得到利润和购进A规格茶叶数量的函数关系式，然后根据A规格的进货量不低于B规格的3倍，可以得到购进A规格茶叶数量的取值范围，再根据最后根据一次函数的性质确定最大值． 【详解】（1）解：设该茶庄购进A规格的茶x斤，购进B规格的茶y斤，根据题意得． 根据题意，得 解得 答：该茶庄购进A规格的茶60斤，B规格的茶40斤． （2）设该茶庄购进A规格的茶m斤，则购进B规格的茶斤． 因为A规格茶的进货量不低于B规格茶进货量的3倍， 所以， 解得． 设该茶庄本次购进的茶全部销售完获得的利润为W元． 根据题意，得． 因为， 所以w随m的增大而减小． 又， 所以当时，w取得最大值，最大值为． 此时． 答：该茶庄购进A规格的茶75斤，B规格的茶25斤时，全部销售完获得的利润最大，最大利润是5500元． 【典型例题五 不等式组的分配问题】 【例1】（2025·四川资阳·模拟预测）在芦山地震抢险时，某镇部分村庄需8组战士步行运送物资，要求每组分配的人数相同，若按每组人数比预定人数多分配1人，则总数会超过100人；若按每组人数比预定人数少分配1人，则总数不够92人，那么预定每组分配的人数是（　　　） A．10人 B．11人 C．12人 D．13人 【答案】C 【详解】解：设预定每组分配x人，根据“按每组人数比预定人数多分配1人，总数会超过100人”得；根据“按每组人数比预定人数少分配1人，总数不够90人”得，联立得． 解得：11＜x＜12． ∵x为整数，∴x=12． 故选C． 【例2】（24-25八年级上·安徽宿州·期中）在地震救援时，某镇部分村庄需8组战士步行运送物资，要求每组分配的人数相同．若按每组人数比预定人数多分配1人，则总数会超过100人；若按每组人数比预定人数少分配1人，则总数不足90人，设预定每组分配的人数是x，则x应满足的不等式组是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所给的两种情况分别列不等式，再联立即可． 【详解】解：设预定每组分配的人数是x， 由“按每组人数比预定人数多分配1人，则总数会超过100人”可得， 由“按每组人数比预定人数少分配1人，则总数不足90人”可得， 因此x应满足的不等式组是． 故选C． 【点睛】本题考查列一元一次不等式组，解题的关键是正确理解题意． 【例3】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）某商家为迎接“10周年购物狂欢节”，准备将编号为l号，2号，…，60号的奖券分别对应60份奖品．现将奖券不均匀分配放置在，，三个抽奖盒中，若将盒中的26号奖券调换到盒，将盒中的44号奖券调换到盒，此时，、两盒奖券的编号平均数比调换前增加了0.6，盒奖券的编号平均数比调换前增加了0.9，同时经计算发现，盒中编号平均数调换前低于36，调换后编号平均数却高于36，则调换前盒中有 张奖券． 【答案】24 【分析】设调换前A盒中有x张奖券，编号平均数为a，B盒中有y张奖券，编号平均数为b，C盒中有z张奖券，编号平均数为c，利用B盒中平均数增加了0.9可求出B盒中的奖券数，再根据A、C盒中的编号平均数增加0.6建立等式，根据B盒中编号平均数调换前低于36，调换后编号平均数却高于36，可得出B盒中编号数的总和范围，进而得到A、C盒中编号数的范围，从而建立不等式求解． 【详解】设调换前A盒中有x张奖券，编号平均数为a，B盒中有y张奖券，编号平均数为b，C盒中有z张奖券，编号平均数为c， 由题意可得：， ∵调换后B盒中平均数增加了0.9 ∴，解得 ∵盒中编号平均数调换前低于36，调换后编号平均数却高于36 ∴调换前B盒中的编号平均数 则调换前B盒中的编号总和范围： ∵调换后、两盒奖券的编号平均数比调换前增加了0.6 ∴， 整理得， ∵，即 ∴，整理得 由调换前，，可得： ，即 将，，代入得： 整理得： 解得 ∵为正整数， ∴ 即调换前A盒中有24张奖券， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了平均数与不等式组的应用，难度较大，利用平均数建立等式，根据编号总和范围建立不等式组是解题的关键． 【例4】（24-25七年级下·福建泉州·期末）根据以下素材，探索完成任务．如何确定木板分配方案？ 素材1：我校开展爱心义卖活动，小明和同学们打算制作自己的手工制品，他们买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别是，． 素材2：现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为．其余木板按图2虚线裁剪出三块大小一样的木板（作为盖子），给部分盒子配上盖子． 问题解决： (1)求出长方体收纳盒的高度． (2)若按图1方式裁剪的木板不少于块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数，则木板该如何分配？请给出分配方案． 【答案】(1)长方体的高度为 (2)见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程及不等式组的应用，找出相等关系或不等关系是解题的关键． （1）根据“底面长与宽之比为”列方程求解； （2）根据“按图1方式裁剪的木板不少于块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数”列不等式组求解． 【详解】（1）解：设长方体的高度为， 则：， 解得：， 答：长方体的高度为； （2）设图1方式需要裁剪x张木板，图2方式需要裁剪张木板， ∴， ∴， ∴x的整数解有：，，，， ∴共有4种方案： ①图1方式需要裁剪张木板，图2方式需要裁剪张木板 用张木板制作有盖收纳盒，张木板制作无盖的收纳盒 ②图1方式需要裁剪张木板，图2方式需要裁剪张木板 用张木板制作有盖收纳盒，张木板制作无盖的收纳盒 ③图1方式需要裁剪张木板，图2方式需要裁剪张木板 用张木板制作有盖收纳盒，张木板制作无盖的收纳盒 ④图1方式需要裁剪张木板，图2方式需要裁剪张木板 用张木板制作有盖收纳盒，张木板制作无盖的收纳盒 1．（23-24八年级上·浙江衢州·课后作业）将两个班学生编成人数相等的8组，若每组分配人数比预定多1名，则总数超过100人；若每组分配比预定人数少1名，则总数不足90人，问预定每组分配多少名学生？ 【答案】预定每组分配12名学生 【分析】此题主要考查了一元一次不等式组的应用，弄清题意，根据关键语句“分配给每组的人数比预定人数多1名，那么学生总数超过100人；如果每组分配的人数比预定人数少1名，那么学生人数不到90人”得到学生总数的两个关系式是解决本题的关键．首先设预定每组分配x人，根据题意可得关系式为：（预定每组分配的人数+1）×组数；（预定每组分配的人数-1）×组数，把相关数值代入后可得到不等式组，解不等式组后，取整数解即可． 【详解】解：设预定每组分配x名学生，得 ， 解得， ∴整数． 答：预定每组分配12名学生． 2．（24-25七年级下·北京·阶段练习）田老师想为七（13）班获得线上学习优胜奖的同学购买冰激凌作为奖励，了解到某店共推出“新地”和“圆筒”两种冰激凌，3 个新地冰激凌和 2 个圆筒冰激凌的价格为21.5 元； 4 个圆筒冰激凌比 1 个新地冰激凌的价格多4.5 元． (1)“新地”冰激凌和“圆筒”冰激凌的单价分别为多少元？ (2)田老师计划用 200 元为班级中24 名获奖的同学买冰激凌作为奖励，仅设置一等奖和二 等奖两个奖项． 24 人中的“一等奖”奖励 1 个圆筒冰激凌和 1 个新地冰激凌，“二等奖”仅奖 励 1 个圆筒冰激凌，要求买完余下的钱不超过 85 元，购买新地冰激凌的花费不超过 66 元， 共有哪几种分配“一等奖”和“二等奖”名额的方案？请你写出所有符合题意的方案． 【答案】(1)“新地”冰激凌的单价为5.5元，“圆筒”冰激凌的单价为2.5元； (2)符合题意的方案有3种，“一等奖”名额有10名，“二等奖”名额14名； “一等奖”名额有11名，“二等奖”名额13名；“一等奖”名额有12名，“二等奖”名额12名． 【分析】（1）设“新地”冰激凌的单价为x元，“圆筒”冰激凌的单价为y元，根据“3 个新地冰激凌和 2 个圆筒冰激凌的价格为21.5 元； 4 个圆筒冰激凌比 1 个新地冰激凌的价格多4.5 元．”列出方程组，即可求解； （2）设“一等奖”名额有a名，则“二等奖”名额有（24-a）名，根据““二等奖”仅奖 励 1 个圆筒冰激凌，要求买完余下的钱不超过 85 元，购买新地冰激凌的花费不超过 66 元，”列出不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：设“新地”冰激凌的单价为x元，“圆筒”冰激凌的单价为y元，根据题意得： ，解得：， 答：“新地”冰激凌的单价为5.5元，“圆筒”冰激凌的单价为2.5元； （2）解：设“一等奖”名额有a名，则“二等奖”名额有（24-a）名，根据题意得： ，解得：， ∵a为正整数， ∴a取10，11，12， ∴ 符合题意的方案有3种，分别为： “一等奖”名额有10名，“二等奖”名额14名； “一等奖”名额有11名，“二等奖”名额13名；“一等奖”名额有12名，“二等奖”名额12名． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）为了满足日益增长的高品质蔬菜市场需求，促进蔬菜产业发展，带动农民增收，某市建立了一个有机蔬菜基地，并提供了如下信息： 信息1：年基地计划将亩土地全部用来种植甲、乙两种有机蔬菜，甲种蔬菜的种植面积不少于亩，乙种蔬菜的种植面积不少于亩． 信息2：甲种蔬菜每亩的种植成本（元）与其种植面积（亩）之间满足函数关系，乙种蔬菜每亩的成本为元． 请根据以上信息，解答下面的问题： (1)若甲种蔬菜种植成本为元，求乙种蔬菜的总种植成本； (2)如何分配两种蔬菜的种植面积，使甲乙两种蔬菜的总种植成本为元？ 【答案】(1)乙种蔬菜的总种植成本为元； (2)甲种蔬菜的种植面积为亩，乙种蔬菜的种植面积为亩，使甲乙两种蔬菜的总种植成本为元． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出相应的方程和不等式． （1）先将代入，得出，再求出乙种蔬菜的种植面积，然后求出乙种蔬菜的种植成本即可； （2）根据甲乙两种蔬菜总种植成本为元，得出，求出的值，根据甲种蔬菜种植面积不少于亩，乙种蔬菜种植面积不少于亩，求出，得出结果即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得：， 乙种蔬菜的种植面积为（亩）， （元）， 答：乙种蔬菜的总种植成本为元； （2）根据题意可得：， 解得：，， ，， 解得：， 不合题意舍去， ，乙种蔬菜的种植面积为（亩）， 甲种蔬菜的种植面积为亩，乙种蔬菜的种植面积为亩，使甲乙两种蔬菜的总种植成本为元． 【典型例题六 不等式组的方案选择问题】 【例1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）为迎接2025年哈尔滨亚洲冬季运动会，某初中开展了以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题的演讲比赛，计划拿出240元钱全部用于购买两种奖品，两种奖品都要买，已知种奖品每件15元，B种奖品每件10元，则共有几种购买方案？（   ） A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程，以及不等式的应用，设分别购买两种奖品件，根据题意得到，再结合题意推出为正整数，据此分析求解，即可解题． 【详解】解：设分别购买两种奖品件， 根据题意得， 两种奖品都要买， 为正整数， 根据整理得， 有，，且为整数，即为的倍数， 解得， ，且为的倍数， ， 共有种购买方案， 故选：B． 【例2】（18-19八年级上·山东青岛·期中）为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元，求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设买篮球x个，则买足球（50-x）个，根据购买篮球的数量不少于足球数量的一半和购买足球和篮球的总费用不超过3200元建立不等式组. 【详解】设买篮球x个，则买足球（50-x）个，根据购买篮球的数量不少于足球数量的一半得， 根据购买资金不超过3200元得， 组成不等式组为： 选项A、B、D均错误.选项C正确. 故答案为C. 【点睛】本题考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用，解答本题时找到建立不等式的不等关系是解答本题的关键 【例3】（2025·黑龙江绥化·模拟预测）小明去商店购买A、B两种玩具，共用了10元钱，A种玩具每件1元，B种玩具每件2元．若每种玩具至少买一件，且A种玩具的数量多于B种玩具的数量．则小明的购买方案有 种． 【答案】3 【分析】设购买A种玩具x件，则购买B种玩具件．根据题意即可列出关于x的一元一次不等式组，解出x的解集，再根据x为整数，为整数，即得出答案． 【详解】设购买A种玩具x件，则购买A种玩具用x元， ∴购买B种玩具用(10-x)元， ∴购买B种玩具件， 根据题意可知， 解得：． ∵x为整数，为整数， ∴x的值为4或6或8， 即可购买A种玩具4件，B种玩具3件， 可购买A种玩具6件，B种玩具2件， 可购买A种玩具8件，B种玩具1件． 故小明的购买方案有3种． 故答案为：3． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用．正确的用x表示出购买B种玩具的数量和正确的列出不等式组是解题关键． 1．（2025九年级·浙江衢州·专题练习）为了美化校园，学校决定利用现有的2660盆甲种花卉和3000盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在校园内，已知搭配一个A种造型需甲种花卉70盆，乙种花卉30盆，搭配一个B种造型需甲种花卉40盆，乙种花卉80盆，则符合要求的搭配方案有 种． 【答案】3 【分析】设可以搭配成个A种造型，则可以搭配成个B种造型，根据搭配50个园艺造型所需甲种花卉不超过2660盆、乙种花卉不超过3000盆，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为整数，即可得出符合要求的搭配方案有3种． 【详解】解：设可以搭配成个A种造型，则可以搭配成个B种造型， 依题意得：， 解得：． 又∵x为整数， ∴x可以为20，21，22， ∴符合要求的搭配方案有3种． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 2．（24-25七年级下·新疆伊犁·期末）某商场准备购进一批两种不同型号的衣服．已知购进种型号衣服1件和种型号衣服2件，共需元；购进种型号衣服2件和种型号衣服3件，共需元．销售一件种型号衣服可获利元，销售一件种型号衣服可获利元． (1)，两种型号衣服的进价各是多少元？ (2)若已知购进种型号衣服的数量是种型号衣服数量的2倍还多4件，要使在这次销售中获利不少于780元，且种型号衣服不多于件，则该商场在这次进货中，共有哪几种方案？ 【答案】(1)型号衣服每件元，型号衣服每件元； (2)有两种进货方案：①型号衣服购买件，型号衣服购进件；②型号衣服购买件，型号衣服购进件． 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意即可． （1）设型号衣服每件元，型号衣服每件元，由题意得，据此即可求解； （2）设型号衣服购进件，则型号衣服购进件，由题意得，据此即可求解； 【详解】（1）解：设型号衣服每件元，型号衣服每件元， 由题意得，解得， 答：型号衣服每件元，型号衣服每件元； （2）解：设型号衣服购进件，则型号衣服购进件， 由题意得 解得， 为正整数， 或， 当时，， 当时，． ∴有两种进货方案：①型号衣服购买件，型号衣服购进件；②型号衣服购买件，型号衣服购进件． 3．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）某超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电器，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 2台 3台 900元 第二周 3台 5台 1430元 （进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） (1)求A、B两种型号的电器的销售单价； (2)若超市准备再采购这两种型号的电器共40台，总费用不超过5700元，销售完这40台电器能否实现利润超过1800元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)A、B两种型号电风扇的销售单价分别为210元、160元 (2)能；方案1：采购A种型号的电器21台，B种型号的电器19台；方案2：采购A种型号的电器22台，B种型号的电器18台 【分析】本题主要考查二元一次方程组与一元一次不等式组的应用，熟练掌握等量关系是解题的关键． （1）设A、B两种型号的电器的销售单价分别为x元、y元，根据题意列出二元一次方程进行计算即可； （2）设采购A种型电器a台，则采购B种型号电器台，列出不等式组进行计算即可． 【详解】（1）解：设A、B两种型号电器的销售单价分别为x元、y元， 依题意得：， 解得：， 答：A、B两种型号电器的销售单价分别为210元、160元； （2）解：能； 设采购A种型号电器a台，则采购B种型号电器台， ， 解得：， ∵a为整数， 或． 方案有两种： 方案1：采购A种型号的电器21台，B种型号的电器19台； 方案2：采购A种型号的电器22台，B种型号的电器18台． 4．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买两种机器人进行销售．已知每个种机器人比种机器人贵5万元，用1200万元购进种机器人的数量是用650万元购进种机器人数量的2倍． (1)求购买一个种机器人、一个种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再购进第二批、两种机器人共100个，且种机器人数量不超过种机器人数量的3倍．据市场销售分析，当种机器人提价种机器售价为购买价的倍时，销售状况最好，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大，求出最大利润及对应的购进方案． 【答案】(1)种机器人的价格为万元，种机器人的价格为万元． (2)购进了种机器人个，种机器人个；最大利润万元 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数最值问题等知识点，理解题意合理列出方程是解题的关键． （1）设种机器人的价格为万元，则种机器人的价格为万元，利用1200万元购进种机器人的数量是用650万元购进种机器人数量的2倍的关系列出分式方程求解即可； （2）先运算出和的售价，设购买的数量为个，则的数量为个，列出不等式方程组求出的取值范围，再通过利润的表达式分析出方案即可． 【详解】（1）解：设种机器人的价格为万元，则种机器人的价格为万元， 由题意可得： 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴种机器人的价格为（万）， 答：种机器人的价格为万元，种机器人的价格为万元． （2）解：由题意可得：的售价为：万元，的售价为：万元， 设购买的数量为个，则的数量为个， ∴由题意可得：， 解得：， ∴， ∵利润， ∵ ∴当越小时，利润最大， 把代入可得：， ∴最大利润为：万，此时购进了种机器人个，种机器人个． 答：安排购进了种机器人个，种机器人个时最大利润为万元． 【典型例题七 不等式组的阶梯收费问题】 【例1】（24-25八年级上·福建漳州·期末）漳州市政府为了鼓励市民绿色出行，投资了一批城市公共自行车，收费如下：第1小时内免费，1小时以上，每半小时收费0.5元（不到半小时按半小时计）．马小跳刷卡时显示收费1.5元，则马小跳租车时间x的取值范围为（　　） A．1＜x≤1.5 B．2＜x≤2.5 C．2.5＜x≤3 D．3＜x≤4 【答案】B 【分析】根据题意，可以列出相应的不等式组，从而可以求得x的取值范围． 【详解】由题意可得，，解得，2＜x≤2.5，故选B． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式组，注意题目中每半小时收费0.5元，也就是说每小时收费1元． 【例2】（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）某自来水公司的收费标准如下：若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费1.8元；若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收费2元．小颖家每月水费都不少于25元，则小颖家每月用水量至少是 立方米． 【答案】13 【分析】先根据小颖家得的水费，判断是否超过5立方米，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴小颖家每月用水量超过了5立方米， 设小颖家每月用水量为x立方米， ， 解得：， ∴小颖家每月用水量至少是立方米． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找出题目中的不等关系是解题的关键． 【例3】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．我校为了落实“双减”政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”，每套甲型号“文房四宝”的价格是80元，每套乙型号“文房四宝”的价格是50元． (1)学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过5870元，并且根据学生需求，购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，共有哪几种购买方案？ (2)甲、乙两商场各自推出不同的优惠方案：甲商场累计购物超过3000元后，超出3000元的部分按收费；乙商场累计购物超过4420元后，超出4420元的部分按收费．若学校按（1）中的方案去购买，应该如何选择商场才合算？ 【答案】(1)共有4种购买方案，见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，有理数四则混合运算应用，正确地列出一元一次不等式组是解题的关键． （1）设需购进甲型号“文房四宝”x套，则需购进乙型号“文房四宝”套，根据题意得到不等式组，解不等式组即可得到结论； （2）根据两个商场推出的优惠方案，分别求得（1）中各方案的费用，进而比较可得结论； 【详解】（1）解：设需购进甲型号“文房四宝”x套，则需购进乙型号“文房四宝”套， 由题意可得：， 解得， 又∵x为正整数， ∴x可以取26，27，28，29； ∴共有4种购买方案， 方案1：购进26套甲型号“文房四宝”，74套乙型号“文房四宝”； 方案2：购进27套甲型号“文房四宝”，73套乙型号“文房四宝”； 方案3：购进28套甲型号“文房四宝”，72套乙型号“文房四宝”； 方案4：购进29套甲型号“文房四宝”，71套乙型号“文房四宝”； （2）解：方案1总费用：（元）， 甲商场：（元）， 乙商场：（元）， ∵ ， ∴选择甲商场才合算； 方案2总费用：（元）， 甲商场：（元）， 乙商场：（元）， ∵ ， ∴选择甲商场才合算； 方案3总费用：（元）， 甲商场：（元）， 乙商场：（元）， ∴选择甲、乙商场都合算； 方案4总费用：（元）， 甲商场：（元）， 乙商场：（元）， ∵ ， ∴选择乙商场才合算； 1．（23-24八年级上·浙江衢州·阶段练习）某市为鼓励居民节约用水，对每户用水按如下标准收费：若每户每月用水不超过立方米，则每立方米按元收费；若每户每月用水超过立方米，则超过的部分每立方米按元收费．某用户月份用水立方米，缴纳水费元． (1)求关于的函数解析式，并写出的取值范围； (2)此用户要想每月水费不超过元，那么每月的用水量不超过多少立方米？ 【答案】(1) (2)每月的用水量不超过立方米 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系． （1）分情况讨论：当时，当时，分别根据题意列出等量关系即可； （2）根据用户每月水费不超过元，且要求每月的用水量不超过多少立方米，可得，求出的范围即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 关于的函数解析式为； （2）由题意得：， 解得：， 每月的用水量不超过立方米． 2．（24-25七年级下·福建龙岩·期末）为鼓励市民节约用电，某市对居民用电实行“阶梯收费”（总电费=第一阶梯电费+第二阶梯电费），规定．用电量不超过200度按第一阶梯电价收费，超过200度的部分按第二阶梯电价收费，用电度数均取整数． 下表是刘先生家2022年4月和5月所交电费的清单． 户名 电表号 月份 用电量（度） 金额（元） 刘×× 1205 4 220 112 刘×× 1205 5 265 139 (1)该市规定的第一阶梯电费和第二阶梯电费单价分别为多少元/度? (2)刘先生家6月份家庭支出计划中电费不超过160元，他家最大用电量为多少度？ 【答案】(1)该市规定的第一阶梯电费单价为0.5元/度，第二阶梯电费单价为0.6元/度． (2)他家最大用电量为300度． 【分析】（1）设该市规定的第一阶梯电费单价为元度，第二阶梯电费单价为元度，根据刘先生家2022年4月和5月所交电费的清单中的数据，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设刘先生6月份用电量为度，根据刘先生家6月份家庭支出计划中电费不超过160元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】（1）解：设该市规定的第一阶梯电费单价为元度，第二阶梯电费单价为元度， 依题意得：， 解得：． 答：该市规定的第一阶梯电费单价为0.5元度，第二阶梯电费单价为0.6元度． （2）解：设刘先生6月份用电量为度， 依题意得：， 解得：． 答：他家最大用电量为300度． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）经过武汉人民的不懈努力，新冠疫情已得到有效控制，在武汉市全面复工复产的过程中，专家建议要定期对办公场所进行消毒杀菌（简称“消杀”），现有A，B，C三个公司针对中小企业开展消杀业务，价格如下： 公司 器材租赁费（单位：元） 人工费用（单位：元/平方米） A 0 0.5 B 40 0.3 C 298 0 （1）设某办公场所需要消杀的面积为x平方米（0＜x≤1000），公司A，B的收费金额y1，y2都是x的函数，则这两个函数的解析式分别是　 　，　 　． 若选择公司A最省钱，则所需要消杀的面积x的取值范围为　 　； 若选择公司B最省钱，则所需要消杀的面积x的取值范围为　 　； 若选择公司C最省钱，则所需要消杀的面积x的取值范围为　 　． （2）A公司为了开拓市场推出了以下优惠活动：前a平方米按原价收费，超过的部分半价优惠，经过价格比较：消杀面积为700平方米的某企业选择了B公司，消杀面积为860平方米的某幼儿园选择了A公司，试根据以上信息，求a的取值范围． 【答案】（1）y1＝0.5x，y2＝0.3x+40；0＜x≤200；200≤x≤860； 860≤x≤1000；（2）300≤a≤332． 【分析】（1）根据题意，A公司人工费用每平方米0.5元，可得，y1＝0.5x；B公司需要器材租赁费40元，人工费用每平方米0.3元，则y2＝0.3x+40；若选择公司A最省钱，则需要让A公司的收费金额小于等于B公司和C公司的费用，列出不等式组进行求解；依此类推． （2）已知消杀面积为700平方米的某企业选择了B公司，消杀面积为860平方米的某幼儿园选择了A公司，由此可列出不等式组，进行求解． 【详解】解：（1）由题意可得，y1＝0.5x，y2＝0.3x+40， 若选择公司A最省钱，则有 ， 解得x≤200， ∵0＜x≤1000， ∴0＜x≤200； 若选择公司B最省钱，则有， 解得200≤x≤860； ∵0＜x≤1000， ∴200≤x≤860； 若选择公司C最省钱，则有 ， 解得x≥860， ∵0＜x≤1000， ∴860≤x≤1000． 故答案为：y1＝0.5x；y2＝0.3x+40；0＜x≤200；200≤x≤860；860≤x≤1000． （2）根据题意可得，推出优惠活动后，y1＝0.5a+0.25（x﹣a）＝0.25x+0.25a， 则有， 解得300≤a≤332． ∴此时a的取值范围为：300≤a≤332． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，明确题意，列出不等式组是解题的关键． 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）八年级（1）班同学去植树，若每人植树7棵，则还剩9棵；若每人植树9棵，则有1名同学植树的棵数不到8棵．若设该班同学人数为人，则根据题意可以列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 根据题意，总树数在两种情况下保持不变,当每人植树9棵时，有1名同学植树棵数不到8棵，即该同学植树棵数在0到8之间（包含0，不包含8），由此建立不等式组． 【详解】解：设该班同学人数为人，则植树的总棵数为棵，位同学植树棵数为， 有1位同学植树的棵数不到8棵，可列不等式组为：， 即． 故选：B． 2．（23-24七年级下·河南信阳·期末）如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再将一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测一颗玻璃球的体积（    ） A．大于，小于 B．大于，小于 C．大于，小于 D．大于，小于 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，设一颗玻璃球的体积为，根据题意列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：设一颗玻璃球的体积为，根据题意得： ， 解得：， 即一颗玻璃球的体积大于，小于． 故选：D． 3．（24-25七年级下·天津和平·期末）如图，某农场准备用50米的护栏围成一块靠墙的长方形花园，设长方形花园平行于墙的边长为米，垂直于墙的边长为米．受场地条件的限制，a的取值范围为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及列代数式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．由护栏的总长度为50米，可得出，结合，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：护栏的总长度为50米， ， ． ， ， 解得：， 的取值范围是． 故选：A． 4．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）如图1的标志表示机动车驶入前方道路之后的最低时速限制，即要求在前方路况良好的情况下，机动车最低时速不得低于50千米/小时；如图2的标志表示机动车驶入前方道路之后的最高时速限制，即机动车行驶的最高时速不得超过70千来/小时．若在公路上同时看到上述两个标志，且前方路况良好的情况下，机动车行驶速度（v）的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查生活中不等式的应用，正确理解图示的含义是解题的关键，根据标志的意义，得出不等式组即可解答． 【详解】解：由图1得，由图2得， ∴， 故选：C． 5．（2025·江苏南京·模拟预测）小明买了每袋250克的食品若干袋，营养成分如下表所示．通常情况下，人体每日摄入膳食纤维的适宜量是克．若小明今天仅依靠此食品来获取膳食纤维，他需要吃（   ） 营养成分 项 目 每100克 营养量参考值 能量 2092千焦 蛋白质 克 脂肪 24.0克 碳水化合物 克 膳食纤维 克 钠 250毫克 A．1袋 B．2袋 C．3袋 D．4袋 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等组的应用，先求出每袋食品中膳食纤维的含量，设需要吃袋，则总膳食纤维量为克，依题意列出不等式组，求解即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：每袋食品中膳食纤维的含量为： （克）， 设需要吃袋，则总膳食纤维量为克，依题意得： ， 解得：， ∴小明需要吃袋， 故选：B． 6．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）一个两位数，十位数字比个位上的数字小5，若这两位数处在40到60之间，那么这个两位数是 ． 【答案】49 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，设十位数字为，则个位数字为，根据这两位数处在40到60之间，列出不等式组进行求解即可． 【详解】解：设十位数字为，则个位数字为，由题意，得： ， 解得：， ∵为整数， ∴， ∴， ∴这个两位数是49； 故答案为：49． 7．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）某校701班和702班两班若干名学生在学校组织下到独秀山公园参观，分住在若干间宿舍，若每间住4人，则还有21人无宿舍住；若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，则宿舍最多有 间，宿舍最少有 间． 【答案】 13 11 【分析】设宿舍有间，根据学生人数不变列出不等式组，求解不等式组得到的取值范围，进而确定的最值．本题主要考查了一元一次不等式组的应用，熟练掌握根据不等关系列出不等式组并求解是解题的关键． 【详解】解：设宿舍有间， ∵每间住人，还有人无宿舍住， ∴学生有人． ∵每间住人时，有间住满人，最后一间不空也不满， ∴ ． 解，得 ． 解，得 ． ∴， ∵为整数， ∴，， ． ∴宿舍最多有间，最少有间 ， 故答案为：13，11． 8．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，用长的篱笆围成一边靠墙（墙长16米）的长方形菜园，则长的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，明确题意、列出相应的不等式组是解答本题的关键． 根据题意和相关数据列不等式组求解即可． 【详解】解：设的长为x米， 由题意可得，， 解得：． 故答案为：． 9．（2025·四川绵阳·模拟预测）炎炎夏日，清凉爽口的西瓜是最受欢迎的水果之一．某大型超市每天从当地的西瓜种植基地购进甲、乙两种西瓜共600千克．根据以往的销售经验，甲种西瓜的进货量不低于乙种西瓜的进货量，但不能超过乙种西瓜进货量的3倍．若甲种西瓜每千克获利1.2元，乙种西瓜每千克获利1.4元，则该超市每天能获得的最大利润是 元． 【答案】780 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用， 设购进甲种西瓜x千克，可知乙种西瓜为千克，再根据不等式关系得，进而得出取值范围，然后根据利润得出一次函数，最后结合自变量取值范围讨论最大值即可． 【详解】解：设购进甲种西瓜x千克，可知乙种西瓜为千克，每天获得利润为y元，根据题意，得 ， 解得，且． ∵， ∴函数值y随着x的增大而减小， 即当时，（元）． 所以该超市每天获得的最大利润是780元． 故答案为：780． 10．（2024·江苏常州·模拟预测）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v（）的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 利用路程速度时间，结合小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出车速的取值范围． 【详解】解： ． 根据题意得：， 解得：， 车速的取值范围是． 故答案为：． 11．（24-25八年级上·广东广州·开学考试）复活赛上，甲、乙两人根据投票结果决出最后一个参加决赛的名额，投票人数固定，每票必须投给甲、乙两人之一，最后，乙的得票数为甲的得票数的，甲胜出，但是，若乙得票数至少增加4票，则可胜甲，请计算甲、乙所得的票数． 【答案】①甲所得票数为147票，乙所得票数140票，②甲所得票数为126票，乙所得票数120票 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的应用，设甲得票数为x，则乙的得票数为，根据乙得票数至少增加4票，则甲必至少减少4票，此时才能使乙胜甲列出不等式关系式，求解即可． 【详解】解：设甲得票数为x，则乙的得票数为， 由题意得：， 化简得，，解得， 又∵x为正整数，且也为正整数， ∴，， 即：①甲得票数是147票，乙的得票数是140票；②甲得票数是126票，乙的得票数是120票． 故答案是：甲147票，乙140票；或甲126票，乙120票． 12．（24-25七年级下·青海西宁·期末）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩．新建1个地上充电桩和2个地下充电桩共需0.8万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需0.7万元． (1)新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过16.2万元的资金新建60个充电桩，且地上充电桩的最多建20个，则共有几种建造方案？请列出所有方案． 【答案】(1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩分别需要0.2万元和0.3万元； (2)一共有3种方案，分别为：方案①新建个地上充电桩，42个地下充电桩；方案②新建个地上充电桩，41个地下充电桩；方案③新建个地上充电桩，40个地下充电桩． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设新建一个地上充电桩需要x万元，新建一个地下充电桩需要y万元，根据“1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元，2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元”列方程组求解即可； （2）设新建m个地上充电桩，则新建地下充电桩的数量为个，根据“不超过16.2万元的资金，地上充电桩的最多建20个”列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设新建一个地上充电桩需要x万元，新建一个地下充电桩需要y万元， 依题意得，， 解得， 答：该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩分别需要0.2万元和0.3万元； （2）解：设新建个地上充电桩，则新建地下充电桩的数量为个， 由题意得， 解得， ∴整数m的值为18，19，20． 一共有3种方案，分别为： 方案①新建个地上充电桩，42个地下充电桩； 方案②新建个地上充电桩，41个地下充电桩； 方案③新建个地上充电桩，40个地下充电桩． 13．（2024·山东滨州·模拟预测）（1）小明带10元钱想买一盒饼干和一袋牛奶，可是售货员阿姨说：本来10 元钱够一盒饼干的，但再买一袋牛奶就不够了，今天是儿童节给你的饼干打9折，两样东西拿好，再找你8角钱，饼干的标价可是整数哦，请你帮小明算出牛奶和饼干的标价 （2）我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费． 【答案】（1）饼干的标价为9元，牛奶的标价为1.1元；（2）0.2元 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式组的应用： （1）设饼干的标价为x元，则牛奶的标价为元，根据题意，列出不等式组，即可求解； （2）设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元．根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：（1）设饼干的标价为x元，则牛奶的标价为元，根据题意得： ， 解得：， ∵x为整数， ∴x取9， 此时 答：饼干的标价为9元，牛奶的标价为1.1元； （2）解：设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元．根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的根，且符合题意． 答：这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2元． 14．（24-25八年级上·云南玉溪·期末）截至2025年5月18日，《哪吒之魔童闹海》以158.54亿元票房位列全球影史票房榜第五位，这部动画电影不仅刷新了国产电影的天花板，更让世界见证了中国动画的崛起——从“国漫崛起”到“全球爆款”，“哪吒”用五年时间完成了从现象级IP到文化符号的蜕变．某影城想借影片的热度提升收益，计划推出玩偶、保温杯等周边产品，采购时得知购买1个玩偶和2个保温杯共需160元，购买2个玩偶和1个保温杯共需140元． (1)求玩偶和保温杯的单价； (2)该影城需要购买玩偶、保温杯共3000个，且购买保温杯的数量不少于玩偶数量的2倍．请你帮助影城计算应购买玩偶、保温杯各多少个，才能使总费用最低，最低费用为多少元？ 【答案】(1)玩偶的单价为40元，保温杯的单价为60元； (2)购买玩偶1000个，保温杯2000个时总费用最低，最低费用为160000元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式的应用，根据题意列出方程组，一次函数解析式解题的关键； （1）设玩偶每个x元，保温杯每个y元，根据题意列方程组求解即可； （2）设购买玩偶m个，费用为元，则购买保温杯个，根据题意，得，然后根据“购买保温杯的数量不少于玩偶数量的2倍”，求出m的取值范围，最后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设玩偶的单价为元，保温杯的单价为元， 根据题意得： 解得 答：玩偶的单价为40元，保温杯的单价为60元； （2）设购买玩偶个，则购买保温杯个，总费用为元， 由题意得：， 即， ． ，随的增大而减小， 当时，取最小值，此时． 答：购买玩偶1000个，保温杯2000个时总费用最低，最低费用为160000元． 15．（24-25八年级上·四川成都·期末）为了市民游玩方便，准备在风阳湖市政森林公园内的环形路上提供免费游览车服务，如图是游览车路线图，已知间的路程为米，间的路程为米，间的路程为米，间的路程为米，现有有号，号两游览车分别从出口A和景点同时出发，号车逆时针、号车顺时针沿环形路连续循环行驶，供游客随时免费乘车(上，下车的时间忽略不计)，两车速度均为米/分．    探究：设行驶时间为分． （1）当时，分别写出号车，号车在下半圈环线离出口A的路程，(米)与(分)的函数关系式，并求出当两车相距的路程少于米时的取值范围； （2）为何值时，号车第三次恰好经过景点，并直接写出这一段时间内它与号车相遇过的次数． 应用：已知游客小双在上从景点向出口A走去，步行的速度是米/分，当行进到上一点(不与点， A重合)时，刚好与号车迎面相遇，设的路程为s米，写出他原地等候乘号车到出口A所花时间与的函数关系式，并直接写出在什么范围内时，等候乘号车能更快到达． 【答案】探究：（1），，； （2）号车第三次恰好经过景点，这一段时间内它与号车相遇的次数为次； 应用：，． 【分析】（1）根据信息列出，米与分的函数关系式，两车相距的路程少于米时间介于相遇前相距400米的之间和相遇后相距400米的时间之间，据此得解； （2）根据题意先求出号车第三次恰好经过景点行驶的路程为：，即可求出时间，根据题意求出两车第一次相遇的时间为：，再求出第一次相遇后两车每相遇一次需要的时间为：，即可求出答案． 应用：先得出两车的相遇地点是不变的，相遇地点分别在出口A到景点C的路程一半位置和在景点C到出口A的路程一半位置，在出口A到景点C的路程一半位置时，的路程为米，再分①，② ，③三种情况讨论，找出1号车的位置，从计算出小双原地等候乘号车到出口A所花时间T为．又分和两种情况，根据等候乘号车能更快到达列出不等式，从而得到s的取值范围． 【详解】探究：（1）解：由题意，得，， 当相遇前相距米时， ， ， 当相遇后相距米时， ， ， 当两车相距的路程少于米时的取值范围； （2）解：由题意得： 号车第三次恰好经过景点行驶的路程为：(米)， 号车第三次经过景点需要的时间为：(分钟)， 两车第一次相遇的时间为：(分钟)， 第一次相遇后两车每相遇一次需要的时间为：(分钟)， 两车相遇的次数为：(次)， 这一段时间内它与号车相遇的次数为：次； 应用：∵两车的速度一样，景点A到景点C的路程占整圈的一半， ∴1号车到达景点C时，2号车也到达出口A，接着1号车到达出口A时，2号车也到达景点C，如此反复…… ∴它们的相遇地点是不变的，相遇地点分别在逆时针方向从出口A到景点C的路程一半位置和逆时针方向从景点C到出口A的路程一半位置． 根据题意在逆时针方向从出口A到景点C的路程一半位置时，的路程为米， ①当时，两车未相遇，且到相遇点的路程相等， 此时两车相距的路程是：米，这也是1号车到达小双的位置的路程． ∴他原地等候乘号车到出口A所花时间为：， ②当时，两车刚好相遇，小双无需等待直接上车， ∴他原地等候乘号车到出口A所花时间为：，(也适合情况①可合并) ③当时，两车已经相遇，且到相遇点的路程相等， 此时两车相距的路程是：米， 1号车到达小双的位置的路程是：(米) ∴他原地等候乘号车到出口A所花时间为：； 综上所述：小双原地等候乘号车到出口A所花时间与的函数关系式为：， 当时，由于等候乘号车能更快到达， 故， 解得：， ∴s的取值范围是； 当时，由于等候乘号车能更快到达， 故， 解得：(舍去)， 综上所述：当时，等候乘号车能更快到达． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，根据公式正确列出函数解析式，方程和不等式． 学科网（北京）股份有限公司 $$