专题10不等式基础及一元一次不等式求解(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年浙教版八年级数学上册

专题10不等式基础及一元一次不等式求解 预习目标 ·认识>、<、≥、≤、≠五种不等号，读懂“至少、至多、不大于、不小于、超 过、不足”等关键词，能根据文字描述准确列出不等式；理解不等式、不等式的解的 概念，会检验数值是否为不等式的解。 ·掌握在数轴上表示不等式解集的方法，区分空心圆圈（不含该数）与实心圆点（包 含该数)，既能由不等式画出解集，也能根据数轴解集写出对应不等式。 ·熟记不等式三条基本性质，对比等式性质找到异同；重点牢记性质3：不等式两边 同时乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变；能运用性质对不等式进行变形，将 不等式化成x>a或x<a的最简形式。 ·清楚不等式两边同乘含字母式子时，需要分正数、负数分类讨论不等号方向，规避 变形易错点。 ·掌握一元一次不等式定义：只含一个未知数、未知数次数为1、左右两边均为整 式，能快速判断一个式子是否为一元一次不等式。 ·类比一元一次方程，梳理一元一次不等式完整解题步骤：去分母→去括号→移项一 合并同类项→系数化为1；每一步变形能对应不等式基本性质，系数化为1时正确判 断是否需要改变不等号方向。 ·解出不等式后，规范在数轴上表示解集；会基础含参题型，根据不等式解集反向求 解参数取值范围。 梳理知识逻辑链条：文字不等关系列不等式→利用不等式性质变形化简→解一元 试卷第1页，共3页 次不等式并在数轴表示解集。 自主整理本节高频易错点（乘除负数不变号、数轴虚实点混淆、一元一次不等式判 定出错)，标记有疑问的例题与题型，课堂针对性突破难点。 题型梳理 1.不等式相关概念 2.数轴上表示不等式解集 预习必备 3.不等式基本性质 4.一元一次不等式 知识梳理 5.基础含参不等式题型 6.高频易错点汇总 1.不等式的定义 2.不等式的性质 3.一元一次不等式的定义 4.不等式的解集 常考题型 5.求一元一次不等式解集 6.求一元一次不等式整数解 精讲精练 7数轴上表示不等式解集 8.求一元一次不等式解的最值 9.解x≥a型的不等式 10.新定义运算题型 强化题型 解答题8题 知识梳理 知识点01：不等式相关概念 1.不等式：用>、<、≥、≤、≠表示不等关系的式子。 关键词：不相等、超过、不足、至少、至多、不低于、不超过。 试卷第2页，共3页 种类 符号 表示意义 读法 举例 小于号 小于、不足 小于 2<3 大于号 小 大于、高出 大于 -2>-3 小于或等于号 ≤ 不大于、不超过、至多 小于或等于（不大于） a≤2 大于或等于号 ≥ 不小于、不低于、至少 大于或等于（不小于） x≥5 不等于号 不等 不等于 -2≠2 2.不等式的解：能使不等式成立的单个未知数取值（有限或无限个）。 3.不等式的解集：所有解的全体，是取值范围；解是具体数值，解集是集合。 4解不等式：求解集的变形过程。 知识点02：在数轴上表示不等式解集（必考） ①>、<：空心圆圈，不含该点；之、≤：实心圆点，包含该数： ②大于向右画线，小于向左画线。 不等式的解集 图示 说明 x>a 界点用空心圆圈，方向向右 X<a 界点用空心圆圈，方向向左 x>a 界点用实心圆点，方向向右 X≤a 界点用实心圆点，方向向左 知识点03：不等式基本性质（本章最核心、学生最大易错点） 试卷第3页，共3页 性质 文字表述 数学符号表示 关键注意点 性质1 不等式两边加（或减）同一个数 若a>b, 加减任意数/式 (或式子)，不等号方向不变 则a±c>b±c。 子，方向不变 性质2 不等式两边乘（或除以）同一个 若a>b,c>0, 乘除正数，方向不 正数，不等号方向不变 则ac> be, 、 c 变 c 若a>b,c<0, 性质3 不等式两边乘（或除以）同一个 6 易错点：乘除负 a 负数，不等号方向改变 则ac<bc, 数，必须变号 知识点04：一元一次不等式 1.定义三要素 ①只含一个未知数：②未知数最高次数为1；③左右两边都是整式 标准形式：ax+b>0、ax+b<0(a≠0) 2.解一元一次不等式的步骤（与解一元一次方程对比） ☑重中之重：五步全程只有系数化为1时，负数系数才变号，其余步骤一律 不改动不等号！ 步骤 具体操作 与解方程的区别 1.去分母 两边同乘各分母的最小公倍数 同乘负数时，不等号变号 2.去括号 用分配律去括号，注意符号 与解方程一致 3.移项 把含未知数项移到左边，常数项移到右边移项变号（与解方程一致） 4.合并同类项 左边：ax;右边：常数 与解方程一致 5.系数化为1两边同除以未知数系数a a<0时，不等号变号 最终要求： 解集必须规范画数轴：不含等号空心圈、含等号实心点，大于向 右、小于向左。 知识点05：基础含参不等式题型 试卷第4页，共3页 己知不等式解集，反求参数取值范围，核心思路： 1.正常解不等式，用参数表示解集； 2.结合题目给出的解集，对比得到等式/不等式，求出参数； 3重点注意系数正负带来的不等号反向限制。 知识点06：一元一次方程s一元一次不等式对比 步骤 元一次方程 一元一次不等式 去分母、去括号、移项、合并同类项 规则完全相同规则完全相同 系数化为1 等号永远不变除以负数， 不等号反向 解的情况 唯一解 无数个解（解集) 数轴表示 单个点 射线（区间） 知识点07：高频易错汇总 1.去分母漏乘常数项： 2.系数化为1时除数为负，忘记变不等号： 3.判断一元一次不等式时忽略“整式、次数为1、一个未知数”任一条件： 4.数轴表示解集虚实圆点、方向画错： 5.含参数题目不讨论系数正负，直接化简。 常考题型精讲精练 试卷第5页，共3页 题型1.不等式的定义 (kg) 【典例】若一部电梯的载重标准是不超 1000kg,设该电梯的载重量为 则x满足 的不等式为 【跟踪专练1】7月1日是建党节，我县气象局预测这一天的最低温度为21℃，最高温度 为31℃，则我县这一天气温2(C 的变化范围是() A.t>21 B.t≤31 c.21<t<31 D.21≤t≤31 【跟踪专练2】“x减去y的差的2倍不大于x的一半减去6列不等式： 【跟踪专练3】下列数学表达式，是不等式的有() 1 ①m=0:②x*1:®x+3>0:④4+2ab+b2:回220，⑥1>-2 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 题型2.不等式的性质 6 【典例】若a>b,c<0,则元 。(填“”或“<”或“_”) 【跟踪专练1】己知2x>2y,则下列不等式不成立的是() A.2x-5>2y-5 B.x>y C.4x+1>4y+1 D.-6x>-6y 【跟踪专练2】若>y,且m-2)x<(m-2》,m是正整数，则”的值是 【跟踪专练3】下列说法错误的是() A.若a-2>b-2,则a>b B.若a>b,则a+2>b+1 a b C.若1+c>1+c,则a>b D.若a>b,则ac>bc 题型3.一元一次不等式的定义 【典例】请写出一个关于x的一元一次不等式，使x=1为该不等式的一个解.不等式为 试卷第6页，共3页 【跟踪专练1】下列说法正确的是() A.x=3是不等式2x>5的一个解 B.x=3是不等式2x>5的解集 C.不等式2x>5的解集是x>3 D.不等式2x>5的解集是x<3 【跟踪专练2】若m-3引x+2026> 是关于的一元一次不等式，则的值为 【跟踪专练3】下列式子： ①3>0：②4x+5>0;③x<3:④x2+x<2:⑤x=-4:⑥2x+2>x+1,其中一元一次 不等式有()个. A.3 B.4 C.5 D.6 题型4.不等式的解集 【典例】写出不等式x>3的一个解 (任写一个即可). 2-x 【跟踪专练1】要使分式x+2有意义，则x的取值范围为 【跟踪专练2】已知某个不等式的解集是x>-2,下列说法正确的是() A.-3是这个不等式的解 B.1不是这个不等式的解 C.大于-3的数都是这个不等式的解 D.大于-1的数都是这个不等式的解 【跟踪专练3】已知x=3是不等式r-(a-x-1≤0 的解，x=2不是该不等式的解，则a 的取值范围是() 1 1 1 A.-2 。三32 C. as、1 D. <a< 3 2 2 题型5.求一元一次不等式解集 【典例】不等式3x-2<1的解集是 【跟踪专练1】下列各数，能使不等式2x+3<1成立的x的值可以是() A.-2 B.-1 C.0 D.1 【跟踪专练2】若不等式(a+2)r<(口+2) 的解集是x>1,则“的取值范围为 【跟踪专练3】如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有3个 试卷第7页，共3页 非负整数解，则a的取值范围是() 0 a A.2≤a<3 B.2<a≤3 C.1≤a<2 D.1<a≤2 题型6.求一元一次不等式整数解 【典例】不等式-2x-3<1的负整数解为」 【跟踪专练1】不等式5x-1>2的最小整数解是() A.0 B.1 C.2 D.3 【跟踪专练2】若不等式2x-m≤0的最大整数解是2，则m的取值范围是 x-53x-1 【跟踪专练3】不等式2<3的负整数解有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 题型7.数轴上表示不等式解集 【典例】如图，表示关于x的不等式的解集，此解集为 -2 0 【跟踪专练1】不等式3x-2≤1的解集在数轴上表示为( A.102→ B.1012 c.1012→ D.-102 【跟踪专练2】若一个不等式的解集如图所示，则这个不等式可以是 -432-0123> 【跟踪专练3】已知天平右盘中每个砝码的质量均为3g,则物体M的质量x(单位：g) 的取值范围在数轴上可表示为() 吧A吧 试卷第8页，共3页 g。 题型8.求一元一次不等式解的最值 【典例】满足不等式x≥2的x的最小值是a,满足不等式x≤-6的x的最大值是b,则 a+b= 【跟踪专练1】若“为正整数，且满足-1> ,则“的最小值为() A.3 B.4 C.5 D.6 【跟踪专练2】现引入一种新的运算符号“⊙”，规定：aOb=2a-4b,若4⊙m≥0，则 m的最大值是 【跟踪专练3】已知实数a,b,c满足a+b=8,c-a=1.若a+2b≥0，则2a+b+c的 最大值为() A.40 B.41 C.48 D.50 题型9.解x2a型的不等式 【典例】若Br-2引-=2-3 ,则() 3 B.>3 3 C.x 3 2-3 D.x2 【跟踪专练1】不等式x-3+x+4P9的解为一 【跟踪专练2】不等式xPx+5|的解集为() 2 C.r<- 2 D月 题型10新定义运算题型 试卷第9页，共3页 【典例1定义一种运算0®60-2b,则不等式2x®K-3引》>2的解集是 【跟踪专练1】对于x,y定义一种新运算“*”：x*y=3x-2y,等式右边是通常的减法和 乘法运算，如2*5=3x2-2x5=-4,那么x+)*3-27 解集是一 a(a≥0) 【跟踪专练2】对实数a,b,定义运算“★”：a★b= b(a<0),设y=（-x-1)★(x-1), 则不等式y>0的解为() A.x<1 B.-1<x<1 C.x>-1 D.x<-1或x>1 a⑧b= [2a-b(ab≥0) 【跟踪专练3】定义一种新运算： a+2b(ab<0). 3⑧(-1)=1 ① ②若2⑧x=3,则x=1或x=-1； ③若x-1)82=4 则=4： ④若1<x<3,则(4r-3)8(-4+6x-2的最小值为9. 以上说法正确的有() A.②③ B.①③ C.①④ D.①③④ 解答题 1.【阅读理解】 在证明命题“如果a、b、c、d都是正数，且a>b,c>d,那么ac>bd”时，小明的证 明方法如下： 证明：a>b,c是正数， ∴.ac> c>d,b是正数， ..bc> 试卷第10页，共3页 ∴aC>bd(不等关系具有传递性)· 【问题解决】 (1)请将上述的证明过程填写完整： (2)若a<b,b是负数，请求证a2>b2. 2.已知 b+2)x2<-3+b+2 4是关于x的一元一次不等式，试求b的值，并解这个一元一 次不等式 3.若关于x的不等式x<a有且只有一个正整数解，求α的取值范围， 1+x1+2x 4.某同学解不等式2 3 +1的部分运算过程如下： 3(1+x)≤2(1+2x)+1 解：去分母，得 ① 去括号得3+3x≤2+4x+1, ② 移项，得3x-4x≤2+1-3， ③ (1)上面的运算过程中，开始出错的步骤是 (2)请你完整写出解这个不等式的正确过程，. 5.新定义：若两个一元一次不等式的解集存在公共部分，且公共部分内既有正整数解，又 有负整数解，则称这两个不等式为“联动不等式”.现有不等式A:x+2≥a,不等式B: x-a≤l (1)当a取以下哪些值时 (填序号)，可使不等式A和B为联动不等式： ①a=-2②a=1③a=3 (2)在(I)中取一个合适的a值使不等式A和B为联动不等式，且关于x的方程 2x-k=-4-x的解恰好落在不等式A和B的公共解集中，求整数k的最小值； (3)若不等式A和B为“联动不等式”，则a的取值范围为 一.（直接写出答案） 6.解方程及不等式： (1)解方程：2.4-七-4_3 25 2x-3、3x-2 (2)解不等式：3 2,并把它的解集在数轴上表示出来. 试卷第11页，共3页 7.解关于x的不等式： x+2+x-3>7 2 5 8.已知x是整数，当代数式4与x-1的差不小于一2时，x有最大值还是最小值？是多 少？ 试卷第12页，共3页 专题10不等式基础及一元一次不等式求解 · 认识＞、＜、≥、≤、≠五种不等号，读懂 “至少、至多、不大于、不小于、超过、不足” 等关键词，能根据文字描述准确列出不等式；理解不等式、不等式的解的概念，会检验数值是否为不等式的解。 · 掌握在数轴上表示不等式解集的方法，区分空心圆圈（不含该数）与实心圆点（包含该数），既能由不等式画出解集，也能根据数轴解集写出对应不等式。 · 熟记不等式三条基本性质，对比等式性质找到异同；重点牢记性质 3：不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变；能运用性质对不等式进行变形，将不等式化成x>a或x<a的最简形式。 · 清楚不等式两边同乘含字母式子时，需要分正数、负数分类讨论不等号方向，规避变形易错点。 · 掌握一元一次不等式定义：只含一个未知数、未知数次数为 1、左右两边均为整式，能快速判断一个式子是否为一元一次不等式。 · 类比一元一次方程，梳理一元一次不等式完整解题步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1；每一步变形能对应不等式基本性质，系数化为 1 时正确判断是否需要改变不等号方向。 · 解出不等式后，规范在数轴上表示解集；会基础含参题型，根据不等式解集反向求解参数取值范围。 · 梳理知识逻辑链条：文字不等关系列不等式→利用不等式性质变形化简→解一元一次不等式并在数轴表示解集。 · 自主整理本节高频易错点（乘除负数不变号、数轴虚实点混淆、一元一次不等式判定出错），标记有疑问的例题与题型，课堂针对性突破难点。 预习必备 知识梳理 1.不等式相关概念 2.数轴上表示不等式解集 3.不等式基本性质 4.一元一次不等式 5.基础含参不等式题型 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.不等式的定义 2.不等式的性质 3.一元一次不等式的定义 4.不等式的解集 5.求一元一次不等式解集 6.求一元一次不等式整数解 7.数轴上表示不等式解集 8.求一元一次不等式解的最值 9.解|x|a型的不等式 10.新定义运算题型 强化题型 解答题8题 知识点01:不等式相关概念 1.不等式：用 ＞、＜、≥、≤、≠ 表示不等关系的式子。 关键词：不相等、超过、不足、至少、至多、不低于、不超过。 2.不等式的解：能使不等式成立的单个未知数取值（有限或无限个）。 3.不等式的解集：所有解的全体，是取值范围；解是具体数值，解集是集合。 4.解不等式：求解集的变形过程。 知识点02：在数轴上表示不等式解集（必考） ①＞、＜：空心圆圈，不含该点；≥、≤：实心圆点，包含该数； ②大于向右画线，小于向左画线。 知识点03:不等式基本性质（本章最核心、学生最大易错点） 性质 文字表述 数学符号表示 关键注意点 性质 1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变 若 a＞b， 则 a±c ＞ b±c。 加减任意数 / 式子，方向不变 性质 2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变 若 a＞b，c＞0， 则 ac ＞ bc，＞ 。 乘除正数，方向不变 性质 3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变 若 a＞b，c＜0， 则 ac ＜ bc， ＜ 易错点：乘除负数，必须变号 知识点04:一元一次不等式 1. 定义三要素 ①只含一个未知数；②未知数最高次数为1；③左右两边都是整式 标准形式：ax+b＞0、ax+b＜0(a0) 2. 解一元一次不等式的步骤（与解一元一次方程对比） ✅重中之重：五步全程只有系数化为 1 时，负数系数才变号，其余步骤一律不改动不等号！ 步骤 具体操作 与解方程的区别 1.去分母 两边同乘各分母的最小公倍数 同乘负数时，不等号变号 2.去括号 用分配律去括号，注意符号 与解方程一致 3.移项 把含未知数项移到左边，常数项移到右边 移项变号（与解方程一致） 4.合并同类项 左边：ax；右边：常数 与解方程一致 5.系数化为 1 两边同除以未知数系数 a a＜0 时，不等号变号 最终要求：解集必须规范画数轴：不含等号空心圈、含等号实心点，大于向右、小于向左。 知识点05：基础含参不等式题型 已知不等式解集，反求参数取值范围，核心思路： 1.正常解不等式，用参数表示解集； 2.结合题目给出的解集，对比得到等式 / 不等式，求出参数； 3.重点注意系数正负带来的不等号反向限制。 知识点06：一元一次方程 vs 一元一次不等式对比 步骤 一元一次方程 一元一次不等式 去分母、去括号、移项、合并同类项 规则完全相同 规则完全相同 系数化为 1 等号永远不变 除以负数，不等号反向 解的情况 唯一解 无数个解（解集） 数轴表示 单个点 射线（区间） 知识点07：高频易错汇总 1.去分母漏乘常数项； 2.系数化为 1 时除数为负，忘记变不等号； 3.判断一元一次不等式时忽略 “整式、次数为 1、一个未知数” 任一条件； 4.数轴表示解集虚实圆点、方向画错； 5.含参数题目不讨论系数正负，直接化简。 题型1.不等式的定义 【典例】若一部电梯的载重标准是不超过，设该电梯的载重量为，则x满足的不等式为________． 【答案】 【详解】解：由题意得，电梯载重量不超过， 【跟踪专练1】7月1日是建党节，我县气象局预测这一天的最低温度为，最高温度为，则我县这一天气温的变化范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最低温度和最高温度的实际含义，气温不低于最低温度，不高于最高温度，据此列出不等式即可得到结果． 【详解】解：∵这一天的最低温度为，最高温度为， ∴气温满足． 【跟踪专练2】“x减去y的差的2倍不大于x的一半减去6”列不等式：___________． 【答案】 【分析】先将题目中的文字语言转化为数学语言，分别表示出对应代数式，再根据“不大于”的含义确定不等号，即可列出不等式． 【详解】解：∵减去的差为， ∴减去的差的倍为， 又∵x的一半减去6为， 因此列出不等式为． 【跟踪专练3】下列数学表达式，是不等式的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的辩别．熟练掌握不等式的特征，是解答此题的关键．不等式的定义：用符号“<”或“>”表示大小关系的式子，叫做不等式，用符号“”表示不相等关系的式子也是不等式． 根据上述定义分别对各个式子进行分析判断即可得出结论． 【详解】在①；②；③；④；⑤；⑥中， 不等式有②；③；⑤；⑥，共4个； 是等式； ④是代数式． 故选：C． 题型2.不等式的性质 【典例】若，，则_______（填“”或“”或“”） 【答案】 【详解】解：，， ． 【跟踪专练1】已知，则下列不等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据已知不等式，结合不等式的基本性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵，∴两边同时除以，得，故选项B成立，不符合题意． ∵不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变∴，故选项A成立，不符合题意． ∵，两边同时乘得，不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变∴，故选项C成立，不符合题意． ∵，两边同时乘负数，不等号方向需要改变∴，故选项D不成立，符合题意． 【跟踪专练2】若，且，是正整数，则的值是______． 【答案】1 【分析】根据不等式的性质判断出的符号，再结合为正整数的条件即可求出的值． 【详解】解：，且， ， 解不等式得， 又是正整数， ． 【跟踪专练3】下列说法错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】解：A、若，则，故A正确； B、若，则，又，则，故B正确； C、若，又，则，故C正确； D、若，，则；若，则；若，则；故D错误． 题型3.一元一次不等式的定义 【典例】请写出一个关于x的一元一次不等式，使为该不等式的一个解．不等式为______． 【答案】(答案不唯一) 【详解】解：例如， ∴ ∴为该不等式的一个解． ∴符合题意的不等式可以是：(答案不唯一)． 【跟踪专练1】下列说法正确的是（） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 【答案】A 【分析】先解出不等式的解集，再结合定义逐项判断即可． 【详解】解：首先解不等式，得，即， 对选项A，将代入不等式，得，不等式成立， ∴是该不等式的一个解，A正确； 对选项B，解集是不等式所有解的集合，只是一个解不是解集， ∴B错误； 对选项C，该不等式的解集为，不是， ∴C错误； 对选项D，该不等式的解集为，不是， ∴D错误． 【跟踪专练2】若是关于的一元一次不等式，则的值为________． 【答案】1 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数为，且未知数的系数不为，据此列出条件求解． 【详解】解：由题意，不等式是关于的一元一次不等式， ∴，且， ∴或， 即或. ∵， ∴，不符合系数不为的条件，舍去； 当时，，符合条件． 【跟踪专练3】下列式子： ①；②；③；④；⑤；⑥，其中一元一次不等式有（   ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式．根据一元一次不等式的定义分析判断即可． 【详解】解：①，属于不等式，但不是一元一次不等式，不合题意； ②，属于一元一次不等式，符合题意； ③，属于一元一次不等式，符合题意； ④，属于一元二次不等式，不合题意； ⑤属于方程，不合题意； ⑥，属于一元一次不等式，符合题意． 综上所述，一元一次不等式有3个． 故本题选：A． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的判别，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题关键． 题型4.不等式的解集 【典例】写出不等式的一个解_______（任写一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据不等式解的定义，只需写出一个满足的数即可. 【详解】解：不等式的解是所有大于的数，任取一个大于的数，可得符合要求. 【跟踪专练1】要使分式有意义，则的取值范围为_________． 【答案】 【详解】解：根据题意得， 解得． 【跟踪专练2】已知某个不等式的解集是，下列说法正确的是（     ） A．是这个不等式的解 B．1不是这个不等式的解 C．大于的数都是这个不等式的解 D．大于的数都是这个不等式的解 【答案】D 【分析】已知不等式解集为，根据不等式解的定义，判断每个选项是否符合解集条件即可得到结论． 【详解】解：对于A选项，， ∴ -3不是这个不等式的解，A错误； 对于B选项，， ∴ 1是这个不等式的解，B错误； 对于C选项，例如，但，不是不等式的解， ∴ C错误； 对于D选项，所有大于的数都满足， ∴ 大于的数都是这个不等式的解，D正确． 【跟踪专练3】已知是不等式的解，不是该不等式的解，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式解的定义，将已知的x值代入不等式，得到关于a的不等式组，求解不等式组即可得到a的取值范围. 【详解】解：∵是不等式 的解， ∴将代入不等式得， 化简得：，即， 解得； 又∵不是该不等式的解， ∴不满足不等式， ∴，化简得，即， 解得； 综上，的取值范围是. 题型5.求一元一次不等式解集 【典例】不等式的解集是___________． 【答案】 【分析】利用不等式的基本性质，通过移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ． 【跟踪专练1】下列各数，能使不等式成立的的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 解得 对比选项，只有，满足不等式要求． 【跟踪专练2】若不等式的解集是，则的取值范围为_________． 【答案】 【分析】根据不等式解集的不等号方向改变，结合不等式的基本性质，可得的系数小于，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：不等式的解集是，不等号方向发生改变， ， 解得：， 的取值范围是． 【跟踪专练3】如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有3个非负整数解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据数轴确定不等式的解集，再根据不等式有3个非负整数解，确定该不等式的非负整数解，从而确定的取值范围． 【详解】解：由数轴可得该不等式的解集为， ∵该不等式恰好有3个非负整数解， ∴该不等式的非负整数解为0，1，2， ∴． 题型6.求一元一次不等式整数解 【典例】不等式的负整数解为__________． 【答案】 【分析】求出一元一次不等式的解集，再求出整数解即可． 【详解】解：， ， 合并同类项得， 系数化为得， 不等式的负整数解为． 【跟踪专练1】不等式的最小整数解是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】先解一元一次不等式得到解集，再在解集中找出最小整数即可得到答案． 【详解】解：， 移项、合并同类项得，， 系数化为得，， 不等式的最小整数解为． 【跟踪专练2】若不等式的最大整数解是，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】先解关于的一元一次不等式，再根据不等式的最大整数解为列出关于的不等式，求解得到的取值范围。 【详解】解：， 移项得， 系数化为得：， 不等式的最大整数解是， ， ∴． 【跟踪专练3】不等式的负整数解有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式的解法，先按步骤求出不等式的解集，再找出解集中的所有负整数，统计个数即可得到结果． 【详解】解：不等式 不等式两边同乘6得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：， 大于的负整数为、、、，共4个， 不等式的负整数解有4个． 题型7.数轴上表示不等式解集 【典例】如图，表示关于的不等式的解集，此解集为________ 【答案】 【分析】根据数轴上表示不等式解集的方法，观察边界点的虚实及折线的方向进行判断即可． 【详解】解：由数轴可知，表示解集的折线起始于处，且处为空心圆圈，说明解集不包含，折线方向向右，表示 的取值大于，即此解集为． 【跟踪专练1】不等式的解集在数轴上表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解一元一次不等式，通过移项、系数化为1得到不等式的解集，再对照各选项的数轴表示，选出符合求解结果的选项即可． 【详解】解：不等式 ， 移项得 ， 合并同类项得 ， 系数化为1得， 包含等号（、）端点用实心点， 小于等于代表解集是以及左侧的数，线向左延伸，故B符合要求． 【跟踪专练2】若一个不等式的解集如图所示，则这个不等式可以是_______________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：根据数轴可得出这个不等式的解集为：， 故不等式为：（答案不唯一）． 【跟踪专练3】已知天平右盘中每个砝码的质量均为3g，则物体的质量（单位：g）的取值范围在数轴上可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据天平的倾斜方向列出不等式组，求出x的取值范围，再在数轴上表示出来即可． 【详解】由左图可知，物体M的质量大于1个砝码的质量， ， 由右图可知，物体M的质量小于3个砝码的质量， ，即， ∴物体M的质量x的取值范围是， 在数轴上表示时，3和9处应为空心圆圈，且取两点之间的部分，观察选项，只有A选项符合． 题型8.求一元一次不等式解的最值 【典例】满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了求不等式的最大和最小值，根据题意可得a是不等式的最小值，b是不等式的最大值，据此可得a、b的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】若为正整数，且满足，则的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】先估算无理数的取值范围，再解不等式得到的范围，结合为正整数求出的最小值． 【详解】，， ，即 又为正整数 的最小值为． 【跟踪专练2】现引入一种新的运算符号“”，规定：，若，则的最大值是_________． 【答案】 【分析】根据给定的新运算规则列出关于的不等式，解不等式得到的取值范围，即可求出的最大值． 【详解】解：，且， ，解得， 的最大值为2． 【跟踪专练3】已知实数，，满足，．若，则的最大值为（     ） A．40 B．41 C．48 D．50 【答案】B 【分析】先根据已知等式将b，c用含a的代数式表示，再代入不等式求出a的取值范围，最后将所求整理为关于a的一次式，结合a的范围计算最大值即可． 【详解】解：，， ，， ， ∴，解得， ， ， ， 即的最大值为41． 题型9.解|x|a型的不等式 【典例】若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，利用“一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为非正数”这一性质列不等式求解x的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， 移项得 两边同时除以3，得． 故选：C． 【跟踪专练1】不等式的解为_____． 【答案】或 【分析】分、和三种情况进行讨论，去掉绝对值符号，即可求解． 【详解】解：当时，原不等式即，解得：； 当时，原式即：，无解； 当时，原式即：，解得：． 故不等式的解集是：或． 【跟踪专练2】不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的解集，掌握一元一次不等式的解法以及绝对值的性质是正确解答的关键． 先根据的取值范围化简绝对值，再解一元一次不等式即可． 【详解】解：当时，，， 恒成立． ∴． 当时，，， ，解得． ∴． 当时，，， ，无解． 综上所述，． 故选：C． 题型10.新定义运算题型 【典例】定义一种运算，则不等式的解集是______． 【答案】 【分析】根据新定义的运算规则列出正确的一元一次不等式，再按照一元一次不等式的解法求解即可． 【详解】解： ，， ∴， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 解得． 【跟踪专练1】对于x，y定义一种新运算“*”：，等式右边是通常的减法和乘法运算，如，那么的解集是____． 【答案】 【分析】根据新运算的定义，将所求新运算转化为常规的一元一次不等式，再求解一元一次不等式的解集即可． 【详解】解：由题意得，， ∴ ∴ ∴． 【跟踪专练2】对实数，定义运算“★”：，设，则不等式的解为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义运算规则列出关于x的不等式．根据新定义运算规则，分别从和两种情况列出关于x的不等式，求解后即可得出结论． 【详解】解：由题意得，当时， 即时，， ∵， 则， 解得：， 综上：， 当时， 即时，， ∵， 则， 解得：， 综上：， 综上所述，的解集是或． 故选：D． 【跟踪专练3】定义一种新运算：． ①； ②若，则或； ③若，则； ④若，则的最小值为9． 以上说法正确的有（     ） A．②③ B．①③ C．①④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题为新定义运算题，解题思路是根据新运算的分段规则，先判断的符号，再选择对应公式计算，逐个验证四个结论后得到正确选项． 【详解】解：， ①正确 分两种情况讨论： 当时， ，用： ，符合条件． 当时，， ，与矛盾，舍去． 因此只有． ②错误 分两种情况： 当时， ，用： ，符合条件． 当时， ，用： 不满足，舍去． 只有解，③正确 ， ，故，用第二条公式： 原式变为： 令，由得，式子化为． 几何意义：数轴上点到2和11的距离和，最小值为两点间距， 当（即）时取到最小值9． ④正确 解答题 1．【阅读理解】 在证明命题“如果、、、都是正数，且，，那么”时，小明的证明方法如下： 证明：，是正数， ________． ，是正数， ________． （不等关系具有传递性）． 【问题解决】 (1)请将上述的证明过程填写完整； (2)若，是负数，请求证． 【答案】(1)， (2)证明：，是负数， ， ，是负数， ， ，是负数， ∴， ． 【分析】（1）根据不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变得到，，进而根据不等式的传递性可证得结论； （2）根据不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变得到，，进而根据不等式的传递性可证得结论． 【详解】（1）略 （2）略 2．已知是关于的一元一次不等式，试求的值，并解这个一元一次不等式． 【答案】， 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义和解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．根据一元一次不等式的定义求出的值，再还原不等式，解之即可． 【详解】解：是关于的一元一次不等式， ， 解得， 将代入不等式得， ， 解得． 3．若关于x的不等式有且只有一个正整数解，求a的取值范围． 【答案】 【分析】解题思路是先根据题意确定唯一的正整数解，再结合不等式的性质分析端点的取值，从而得到的取值范围，正确判断端点能否取到是解题关键． 【详解】解： 关于的不等式有且只有一个正整数解， 则唯一的正整数解为， 若，不等式没有正整数解，不符合要求， 若，不等式至少包含两个正整数解，不符合要求， 因此的取值范围为． 4．某同学解不等式的部分运算过程如下： 解：去分母，得，    ① 去括号得，    ② 移项，得，    ③ … (1)上面的运算过程中，开始出错的步骤是_______； (2)请你完整写出解这个不等式的正确过程． 【答案】(1)① (2) 解：去分母，得，     去括号得，     移项，得， 合并同类项得：， 所以不等式的解集为． 【详解】（1）略 （2）略 5．新定义：若两个一元一次不等式的解集存在公共部分，且公共部分内既有正整数解，又有负整数解，则称这两个不等式为“联动不等式”．现有不等式A：，不等式B： (1)当a取以下哪些值时________（填序号），可使不等式A和B为联动不等式； ①    ②    ③ (2)在（1）中取一个合适的a值使不等式A和B为联动不等式，且关于x的方程的解恰好落在不等式A和B的公共解集中，求整数k的最小值； (3)若不等式A和B为“联动不等式”，则a的取值范围为________．（直接写出答案） 【答案】(1)② (2) (3) 【分析】（1）求得公共部分为；分别将a的值代入计算，即可判断； （2）由（1）得时，公共解集：，根据题意得到，据此求解即可； （3）根据题意得到不等式组，，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵不等式A的解集为，不等式B的解集为， ∴公共部分为． ①时， 解集：，只有负整数，无正整数，不是联动不等式； ②时， 解集：，负整数：；正整数：1和2，正负都有，是联动不等式； ③时， 解集：，只有正整数，无负整数，不是联动不等式； （2）解：由（1）得时，公共解集：， 解方程，得， 满足，解得， ∴整数k的最小值为； （3）解：∵不等式A和B为“联动不等式”， ∴公共部分内既有正整数解，又有负整数解． ∵不等式A的解集为，不等式B的解集为， ∴公共部分为． 要使公共部分内有负整数解，则，即； 要使公共部分内有正整数解，则，即． 综合以上条件，可得． 6．解方程及不等式： (1)解方程：． (2)解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：， 去分母，两边同时乘，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为“”，得． （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为“”，得． 它在数轴上的表示如图所示： 7．解关于的不等式：． 【答案】或 【分析】采用零点分段法，先确定绝对值的零点，对定义域分段后去掉绝对值符号，转化为一元一次不等式求解，最后取各段解集的并集得到最终结果． 【详解】解：由题意，令，得，令，得，按的范围分三种情况讨论： (1) 当时，原不等式去掉绝对值符号得 ． 去括号得 ． 合并同类项得 ． 移项得 ． 系数化为得 ． 结合前提，得该段解集为． (2) 当时，原不等式去掉绝对值符号得 ． 化简得 ． 该不等式不成立，因此此段无解． (3) 当时，原不等式去掉绝对值符号得 ． 去括号得 ． 合并同类项得 ． 移项得 ． 系数化为得 ． 结合前提，得该段解集为． 取以上三段解集的并集，可得原不等式的解集为或． 8．已知x是整数，当代数式与的差不小于时，x有最大值还是最小值？是多少？ 【答案】有最大值，4 【分析】该题考查了解一元一次不等式，根据题意，可以列出，然后解方程，最后根据x是整数，而得出答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得：． 所以有最大值，是4． 试卷第1页，共3页 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