第10讲 认识不等式和不等式的性质（暑假预习讲义）新八年级数学新教材浙教版

第10讲 认识不等式和不等式的性质 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 不等式的定义 题型2 根据实际列不等式 题型3 不等式在数轴上的表示 题型4 不等式的解集 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 不等式 不等号 不等式的解 数轴表示解集 不等式基本性质 1.能从生活实例中识别不等关系，认识五种不等号(>、＜﹑≥﹑≤﹑≠)，准确说出不等式定义，会根据文字描述、实际情境列出不等式，能判断一个数是否为不等式的解。 2.掌握数轴表示简单不等式解集的规范画法(空心圈/实心点、方向区分)能双向转化:文字不等关系一不等式一数轴图像，建立数形结合思维。 3.能运用不等式表示生活中的范围问题，建立简单不等模型，为后续一元一次不等式解法铺垫基础。 学习重点： (1)理解不等式概念，熟练使用五种不等号，能根据实际文字、生活情境准确列出不等式:规范用数轴表示æ <a、x > a、b<x<a类解集，区分空心与实心端点。 (2)熟记不等式三条基本性质，精准掌握乘除负数不等号反向这一核心规则，熟练运用性质完成不等式变形、判断变形对错。 学习难点： (1)不等式性质3理解与运用:不等式两边同时乘/除以同一个负数时，容易遗漏不等号方向改变，易与等式性质混淆出错。 (2)文字语言转化符号语言:捕捉“不大于、不少于、至多、至少、不足、超过”等隐藏不等关键词，准确选择>、<列不等式。 (3)数形结合规范表达:数轴表示解集时分不清空心圈(不含等号)、实心点(含等号)，区间双向取值画图易出错。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 不等式的定义 （1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如： 等都是不等式． （2）常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”． 即时即练 1．以下式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中不等式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 知识点02 不等式的性质 基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变． 如果，那么 如果，那么 基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么． 不等式的传递性：如果，，那么． 易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． ②在计算的时候符号方向容易忘记改变． 即时即练 1．下列判断正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 知识点03 不等式的解集 不等式的解集 不等式的解集 ①概念：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫做解不等式。 ②用数轴表示不等式解集 解集x>−4在数轴上表示为 解集x≥−4在数轴上表示为 解集 x < 4 在数轴上表示为 解集 x ≤4在数轴上表示为 即时即练 1．下列数值中，不是不等式的解的是(　　) A． B． C． D． 2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 题型1 不等式的定义 【例1】下面给出了5个式子：①，②，③，④，⑤，其中不等式有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-1】下列选项中，是不等式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列式子：①；②；③3；④；⑤．其中不等式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】下列是不等式的是（   ） A． B． C． D． 题型2 根据实际列不等式 【例2】与2的差是负数，用不等式表示为（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】小林在水果摊上买了苹果，摊主称了几个苹果说：“你看秤，高高的”如果设苹果的实际质量为，用不等式把意思表示出来是（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】永州市春季某日的最高气温是，最低气温是，则该地当日气温的变化范围是______． 【变式2-3】用不等式表示：x的平方与3的和大于5______． 题型3 不等式的性质 【例3】若，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知，下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】下列变形正确的是（     ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【变式3-3】如图，左、右托盘中黑球的质量分别为，，白球的质量为，图中体现的数学原理可表示为（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型4 不等式在数轴上的表示 【例4】关于x的不等式的解集如图所示，则这个不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】一个一元一次不等式的解集在数轴上表示如下图，则此不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】数轴上某不等式的解集表示如图所示，则该不等式的解集可能是（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知一个不等式的解集在数轴上的表示如图，则该不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 题型5 不等式的解集 【例5】下列各数中，是不等式的解的是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式5-1】下列各数中，是不等式的解的是（   ） A．1 B．2 C． D．4 【变式5-2】下列说法中，正确的是（   ）． A．方程和不等式的解是一样的 B．不是不等式的解 C．是不等式的一个解 D．是不等式的解集 【变式5-3】下列的值中，是不等式的解的是（    ） A．4 B．2 C．0 D． 1．下列各式中，是不等式的是（    ） A． B． C． D． 2．若x的3倍不大于5，下列表示正确的是（     ） A． B． C． D． 3．交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高的范围可表示为（   ） A． B． C． D． 4．根据下图所示，可知x□20，则“□”内应填的符号是（   ） A． B． C． D． 5．某发酵乳的包装瓶上标注“每100克含钙>87毫克”，它的含义是（    ） A．每100克含钙高于87毫克 B．每100克含钙低于87毫克 C．每100克含钙不低于87毫克 D．每100克含钙不超过87毫克 6．一种药品的说明书上写着：“每日用量，分次服用”，一次服用这种药品的有效剂量不可以为（    ） A． B． C． D． 7．已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 8．不等式的解的情况是（    ） A．有无数个解 B．有两个解 C．只有一个解 D．无解 9．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 10．研究表明，运动时将心率p（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值为，最低值为．所以40岁的人最佳燃脂心率p的范围为______．（包括最高值和最低值） 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 认识不等式和不等式的性质 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 不等式的定义 题型2 根据实际列不等式 题型3 不等式在数轴上的表示 题型4 不等式的解集 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 不等式 不等号 不等式的解 数轴表示解集 不等式基本性质 1.能从生活实例中识别不等关系，认识五种不等号(>、＜﹑≥﹑≤﹑≠)，准确说出不等式定义，会根据文字描述、实际情境列出不等式，能判断一个数是否为不等式的解。 2.掌握数轴表示简单不等式解集的规范画法(空心圈/实心点、方向区分)能双向转化:文字不等关系一不等式一数轴图像，建立数形结合思维。 3.能运用不等式表示生活中的范围问题，建立简单不等模型，为后续一元一次不等式解法铺垫基础。 学习重点： (1)理解不等式概念，熟练使用五种不等号，能根据实际文字、生活情境准确列出不等式:规范用数轴表示æ <a、x > a、b<x<a类解集，区分空心与实心端点。 (2)熟记不等式三条基本性质，精准掌握乘除负数不等号反向这一核心规则，熟练运用性质完成不等式变形、判断变形对错。 学习难点： (1)不等式性质3理解与运用:不等式两边同时乘/除以同一个负数时，容易遗漏不等号方向改变，易与等式性质混淆出错。 (2)文字语言转化符号语言:捕捉“不大于、不少于、至多、至少、不足、超过”等隐藏不等关键词，准确选择>、<列不等式。 (3)数形结合规范表达:数轴表示解集时分不清空心圈(不含等号)、实心点(含等号)，区间双向取值画图易出错。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 不等式的定义 （1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如： 等都是不等式． （2）常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”． 即时即练 1．以下式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中不等式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据不等式的定义：“用不等号表示两个量间的不等关系的式子叫做不等式”分析各个式子进行判断即可 【详解】解：①是等式，不符合题意； ②是不等式，符合题意； ③是不等式，符合题意； ④不是不等式，不符合题意； ⑤是不等式，符合题意； ⑥是不等式，符合题意； ∴有4个不等式， 故选：C 知识点02 不等式的性质 基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变． 如果，那么 如果，那么 基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么． 不等式的传递性：如果，，那么． 易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． ②在计算的时候符号方向容易忘记改变． 即时即练 1．下列判断正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】A 【分析】根据不等式性质对各选项逐一判断即可得到结果． 【详解】解：对选项A：∵ ，∴ ， 又∵ ，∴ ，故A正确． 对选项B：举反例，若，，满足，但，故B错误． 对选项C：当时，根据不等式性质，不等式两边同时除以负数，不等号方向改变，可得，故C错误． 对选项D：当时，不等式两边同时乘以负数，不等号方向改变，可得，故D错误． 知识点03 不等式的解集 不等式的解集 不等式的解集 ①概念：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫做解不等式。 ②用数轴表示不等式解集 解集x>−4在数轴上表示为 解集x≥−4在数轴上表示为 解集 x < 4 在数轴上表示为 解集 x ≤4在数轴上表示为 即时即练 1．下列数值中，不是不等式的解的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式，不等式的解集，根据不等式的性质解不等式，进而即可求解． 【详解】解：移项得，， 所以，不是不等式的解集的是． 故选：D． 2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，根据不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（向右画；向左画），在表示解集时，用空心圆表示，用实心点表示，即可得出结果． 【详解】解：依题意，不等式组的解集在数轴上表示： 故选：C． 题型1 不等式的定义 【例1】下面给出了5个式子：①，②，③，④，⑤，其中不等式有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据不等式的定义，判断给出的每个式子是否为不等式，统计个数即可得到答案． 【详解】解：①用不等号连接，是不等式； ②用等号连接，是等式，不是不等式； ③用不等号连接，是不等式； ④用等号连接，是等式，不是不等式； ⑤用不等号连接，是不等式； 因此不等式共有3个． 【变式1-1】下列选项中，是不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“用不等号连接表示不等关系的式子是不等式”即可逐一判断选项． 【详解】解：是用等号连接的等式，不符合不等式定义，A不符合要求； 没有连接不等号表示不等关系，不符合不等式定义，B不符合要求； 是用不等号连接，表示不等关系的式子，符合不等式定义，C符合要求； 是用等号连接的等式，不符合不等式定义，D不符合要求． 【变式1-2】下列式子：①；②；③3；④；⑤．其中不等式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，掌握用不等号连接的式子是不等式，等式和单独的代数式不是不等式是解题的关键． 根据不等式的定义，用不等号（如等）连接的式子是不等式，逐一判断每个式子即可． 【详解】解：∵① 使用，是不等式； ② 使用，是不等式； ③ 使用，是等式，不是不等式； ④ 没有不等号，不是不等式； ⑤ 使用，是不等式； ∴不等式有①、②、⑤，共个． 故选：C． 【变式1-3】下列是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查不等式，根据不等式的定义，用不等号（如＞、＜、≥、≤、≠）连接的式子称为不等式．逐项分析判断即可． 【详解】解：A． ：含不等号“＞”，属于不等式，故此选项符合题意． B． ：含等号“＝”，是等式，不是不等式，故此选项不符合题意． C． ：含等号“＝”，是方程，属于等式，故此选项不符合题意． D． ：无任何关系符号，仅为代数式，既非等式也非不等式，故此选项不符合题意． 故选：A． 题型2 根据实际列不等式 【例2】与2的差是负数，用不等式表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照题意将文字关系转化为数学不等式即可． 【详解】解：与2的差为，负数是小于的数， ∴根据题意可得不等式 ． 【变式2-1】小林在水果摊上买了苹果，摊主称了几个苹果说：“你看秤，高高的”如果设苹果的实际质量为，用不等式把意思表示出来是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的知识和生活常识，根据生活常识，“秤高高的”通常指称量时显示的数值超过目标值，即实际质量大于显示的数值，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据不等式的知识和生活常识，进行作答，即可求解； 【详解】由题意可知，摊主称量苹果时显示为，并称“秤高高的”，这表示实际质量超过显示的，因此，用不等式表示为，对应选项C， 故选：C； 【变式2-2】永州市春季某日的最高气温是，最低气温是，则该地当日气温的变化范围是______． 【答案】 【详解】解：∵该地当日最高气温为，最低气温为， 则该地当日气温的变化范围是 【变式2-3】用不等式表示：x的平方与3的和大于5______． 【答案】 【详解】解：根据题意列不等式为：． 题型3 不等式的性质 【例3】若，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式性质推导得到正确结论． 【详解】解：∵， ∴当时，，，； 当时，，不一定大于0，； 当时，，，； ∴A、B、C不一定正确，不符合题意，D选项正确． 【变式3-1】已知，下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A、，，此选项错误，不符合题意； B、，，此选项错误，不符合题意； C、，，此选项错误，不符合题意； D、，，，此选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式3-2】下列变形正确的是（     ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断各选项即可． 【详解】根据不等式的基本性质判断： 对于A，∵ ，不等式两边同除以，不等号方向改变， ∴ ， A变形错误． 对于B，∵ ，不等式两边同除以，是正数，不等号方向不变， ∴ ， B变形错误． 对于C，∵ ，当时，， 可得， C变形错误． 对于D，∵ ， ∴ ，不等式两边同时除以，不等号方向不变， 可得， 即， 也就是， D变形正确． 【变式3-3】如图，左、右托盘中黑球的质量分别为，，白球的质量为，图中体现的数学原理可表示为（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】解：由图可得：若，则． 题型4 不等式在数轴上的表示 【例4】关于x的不等式的解集如图所示，则这个不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 数轴上表示解集的起点在 处，且为空心圆圈， 不包含 ，即不带等号 ， 折线方向向右， 表示大于 该不等式的解集是 ． 【变式4-1】一个一元一次不等式的解集在数轴上表示如下图，则此不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴上表示出的解集，用式子写出即可． 【详解】由数轴可得， 此不等式的解集为． 【变式4-2】数轴上某不等式的解集表示如图所示，则该不等式的解集可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向右可知，根据表示数的点是实心点，所以，所以不等式的解集是． 【详解】解：由数轴可知，不等式的解集为． 【变式4-3】已知一个不等式的解集在数轴上的表示如图，则该不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察数轴上的表示，空心点表示不包含该点，向右的射线表示大于该点，由此可直接确定不等式的解集． 【详解】解：A、在数轴上用实心圆点表示，且方向向右，此选项不符合题意； B、在数轴上用空心圆圈表示，且方向向右，与题图一致，此选项符合题意； C、在数轴上用实心圆点表示，且方向向左，此选项不符合题意； D、在数轴上用空心圆圈表示，且方向向左，此选项不符合题意． 题型5 不等式的解集 【例5】下列各数中，是不等式的解的是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【详解】解：∵不等式的解是所有小于的数， ∴依次判断各选项： ，不满足条件，A错误； ，不满足条件，B错误； ，不满足条件，C错误； ，满足不等式条件，D正确． 【变式5-1】下列各数中，是不等式的解的是（   ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的解，解题的关键是正确求出不等式的解集．先求得不等式的解集，再从选项中选择符合不等式的解，即可求解． 【详解】解： ∴ 四个选项中只有， 故选：A． 【变式5-2】下列说法中，正确的是（   ）． A．方程和不等式的解是一样的 B．不是不等式的解 C．是不等式的一个解 D．是不等式的解集 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的解，熟练掌握不等式的解是解题的关键；因此此题可根据不等式的解进行排除选项． 【详解】解：A、方程和不等式的解是不一样的，故原说法错误； B、是不等式的解，故原说法错误； C、是不等式的一个解，故原说法正确； D、不是不等式的解集，故原说法错误； 故选C． 【变式5-3】下列的值中，是不等式的解的是（    ） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】A 【解析】略 1．下列各式中，是不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：用等号连接，是等式，不是不等式； 选项B：是代数式，没有不等关系，不是不等式； 选项C：用不等号连接，表示不等关系，符合不等式的定义； 选项D：是单独的常数，属于代数式，不是不等式． 2．若x的3倍不大于5，下列表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：的3倍不大于5，不大于5的含义是小于或等于5， ∴根据题意可得不等式． 3．交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高的范围可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的概念及实际应用，根据图形中的标志，可得出通过该桥洞的车高最高为，据此得出答案． 【详解】解：由题意知，图形中的标志表示的是通过该桥洞的车高范围为， 故选：D． 4．根据下图所示，可知x□20，则“□”内应填的符号是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列不等式，根据图中重量的轻重可得结论． 【详解】解：由图可知，， 故选：B． 5．某发酵乳的包装瓶上标注“每100克含钙>87毫克”，它的含义是（    ） A．每100克含钙高于87毫克 B．每100克含钙低于87毫克 C．每100克含钙不低于87毫克 D．每100克含钙不超过87毫克 【答案】A 【分析】本题考查不等式的定义，根据不等式的定义求解即可． 【详解】解：“每100克含钙>87毫克” 的含义是每100克含钙高于87毫克， 故选：A． 6．一种药品的说明书上写着：“每日用量，分次服用”，一次服用这种药品的有效剂量不可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是不等式的定义，本题需注意应找到每天服用时4次每次的剂量；每天服用时3次每次的剂量，然后找到最大值与最小值即可． 【详解】解：根据题意，由“每日用量，分次服用”， 用（/次），（/次） 得到一次服用这种药的剂量为：， 则没在此范围内， 故选：A． 7．已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．不等式两边同时减去，不等号方向不变，可得，故A错误． B．不等式两边同时乘以，不等号方向改变，可得，故B正确． C．不等式两边先乘以，得，再两边同时减去，可得，故C错误． D．不等式两边同时除以，不等号方向不变，可得，故D错误． 8．不等式的解的情况是（    ） A．有无数个解 B．有两个解 C．只有一个解 D．无解 【答案】A 【分析】本题主要考查了解不等式、不等式的解集等知识点，正确求得不等式的解集成为解题的关键. 先求出不等式的解集，然后根据解集即可解答. 【详解】解：解不等式可得其解集为：，即有无数个解. 故选A. 9．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：由不等式可知：解集在数轴上表示为． 10．研究表明，运动时将心率p（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值为，最低值为．所以40岁的人最佳燃脂心率p的范围为______．（包括最高值和最低值） 【答案】 【分析】根据定义，代入求值，用不等式形式解答即可． 本题考查了求代数式的值，不等式的应用，熟练掌握求值，和不等式的应用是解题的关键． 【详解】解：根据定义，得，当年龄为40时， 最佳燃脂心率最高值为，最低值为． 故． 故答案为：． 2 / 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