专题 1.5 三角形全等的判定（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年浙教版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦三角形全等的判定核心知识点，系统梳理“SSS”“SAS”“ASA/AAS”判定定理，构建从基础定理到综合应用的学习支架，涵盖证明、求值及尺规作图等题型，形成基础夯实到综合培优的递进脉络。 该资料亮点在于分层设计，基础题型巩固判定应用，综合题型如两次全等证明、折叠问题提升推理能力，尺规作图环节培养几何直观。同步检测覆盖多样题型，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，体现数学思维与应用意识。

专题 1.5 三角形全等的判定（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与题型精析（基础夯实） 1 【知识点一】全等三角形的判定（1） 1 【题型 1】利用“SSS”证明三角形全等 2 【题型 2】全等的性质与“SSS”综合求值证明 4 【题型 3】尺规作图——边边边 7 【知识点二】全等三角形的判定（2） 9 【题型 4】利用“SAS”证明三角形全等 9 【题型 5】全等的性质与“SAS”综合求值证明 12 【题型 6】尺规作图——边角边 15 【知识点三】全等三角形的判定（3） 20 【题型 7】利用“ASA或AAS”证明三角形全等 20 【题型 8】全等的性质与“ASA或AAS”综合求值证明 22 【题型 9】尺规作图——角边角或角角边 25 二.题型精析（综合培优） 30 【题型 10】三角形全等——两次证明三角形全等 30 【题型 11】全等三角形与折叠问题 34 三.同步检测 38 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 38 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 46 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 51 一.知识梳理与题型精析（基础夯实） 【知识点一】全等三角形的判定（1） 1、 一般地，我们有如下基本事实:三边分别相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”） 2、 尺规作图——作一个角等于已知角 作图步骤 示图 （1）以点圆心,适当长为半径作弧,分别交、于点、； （2）作一条射线，以点为圆心,长为半径作弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径作弧,交弧于点; （4）过点,作射线 就是所求作的角。 连结，。由作法可知， . 【题型 1】利用“SSS”证明三角形全等 【例题1】（2026·云南保山·二模）如图，是线段的中点，，．求证：． 【分析】根据中点的性质得到，再由证明三角形全等． 证明：是线段的中点， ． 在和中， ，                         【变式1】（25-26八年级上·四川乐山·期末）如图，，，则可判定，判定的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，已知两组对边相等，隐藏条件是，可知根据可判定． 解：在和中， ， ， 判定的依据是． 故选：D． 【变式2】（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，点E是边上一点，且，点D在上，连接，，若，，，则的度数为_______． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，先证明，可得，再利用三角形的外角的性质可得答案． 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，，，．求证：． 证明：∵（________）， ∴________________（________）， 即________________． 在和中，， ∴（________）． 【答案】已知；；；等式的性质；；；；； 【分析】首先根据可得，再加上条件，可利用定理证明． 本题主要考查了三角形全等的判定方法，得出是解题的关键． 解：证明：∵（已知）， ∴（等式的性质）， 即． 在和中，， ∴（）． 故答案为：已知；；；等式的性质；；；；； 【题型 2】全等的性质与“SSS”综合求值证明 【例题2】（25-26七年级上·山东烟台·期中）点A，D，B，E共线，，，．若，，求． 【答案】 【分析】利用可证，根据全等三角形的性质可得：，利用三角形内角和定理即可求出的度数． 解：， ， 即， 和 中， ， ， ， ． 【变式1】（25-26八年级上·河南商丘·期末）如图，在和中，点在线段上，若，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，先证明，所以，然后通过三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式2】（25-26七年级下·上海·期中）如图，在与中，在边上，，若，则的度数为_____． 【答案】/25度 解：在 与 中， ， 设 与 相交于点 ， 在 中， ， 在 中，， ， ， ， 【变式3】（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，已知点和点在线段上，且，，，则与的位置关系如何？为什么？ 【答案】，理由见分析 【分析】先求得，再利用证明，得到，利用平行线的判定定理即可得到． 解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【题型 3】尺规作图——边边边 【例题3】（23-24八年级上·广东江门·期中）如图，以的顶点A为圆心，任意长为半径画弧，与交于点E，与交于点F，分别以E，F为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点D，连结，和． （1）上述画图过程可以得到哪些相等的线段？ （2）证明：平分． 【答案】（1），；（2）见分析 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义． （1）根据尺规作图可得出结果； （2）利用证明，从而得出即可得出结论． 解：（1）解：由尺规作图可知：，； （2）证明：在与中， ，，， ， ， 平分． 【变式1】（24-25八年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点C，D；②画一条射线，以点为圆心，为半径画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步所画的弧交于点；④过点画射线，则有．其依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作图-基本作图和全等三角形的判定．利用基本作图得到，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断． 解：由作法得， 所以， 所以， 即． 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·福建莆田·阶段检测）如图，已知，以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交，于点E，F，再以点E为圆心，以长为半径画弧，交弧①于点D，画射线．若，则的度数为____________．    【答案】/56度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，基本作图知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 根据作图过程可得，，利用证明，即可得出结果． 解：根据作图过程可知： ，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级上·吉林四平·阶段检测）如图，在中，以点C为圆心，以长为半径画圆弧，交的延长线于点D．分别以点C、D为圆心，以线段为半径画弧，两弧交于点E，连接．根据以上作图过程，求证：． 【答案】证明见分析 【分析】本题考查了作三角形，三角形全等的判定与性质，平行线的判定．根据作图得到，证明，推出，即可证明． 解：证明：根据作图知， ∴， ∴， ∴． 【知识点二】全等三角形的判定（2） 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）。 【题型 4】利用“SAS”证明三角形全等 【例题4】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，点，，，在同一直线上，，，．试说明． 【答案】见分析 【分析】本题考查全等三角形的判定，证明，，根据证明即可． 解：证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·内蒙古包头·期中）如图1是某博物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图2所示，为了测量其底部内径的长，考古学家将两根细木条的中点O固定在一起，则有，因此量出的A，B两点之间的距离即为的长，其中判定三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中点的定义可得两组对应边相等，根据对顶角相等可得一组对应角相等，利用即可判定三角形全等． 解：点是两根细木条的中点， ，． 与是对顶角， ． 在和中， ， ． 【变式2】（25-26七年级下·山西太原·阶段检测）如图，在与中，，若利用“边角边”来判定，还需添加的一个直接条件为________． 【答案】 解：若添加时，则有： ， ∴，故符合题意． 【变式3】（25-26七年级上·山东泰安·期末）如图所示，在中，，于点，，平分交于点，的延长线交于点．试说明： （1）； （2）． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （）由角平分线得到，再根据即可证明全等； （）由全等得到，再根据互余关系得到，则，则． 解：（1）解：∵平分， ∴， 又，， ∴． （2）解：由（）知， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ， ∴． 【题型 5】全等的性质与“SAS”综合求值证明 【例题5】（25-26七年级下·上海·期末）如图，已知： ，，，求证：． 证明：∵ ， ∴（__________________________________） ∵， ∴． 在 与中， ∵， ∴（______） 【答案】两直线平行，内错角相等，，． 【分析】根据平行线性质，应用证明三角形全等即可． 解：证明：∵ ， ∴（两直线平行，内错角相等） ∵， ∴． 在 与中， ∵ ∴（） 【变式1】（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，证明，推出，根据网格特点，可知，即可得出结果． 解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 由图可知，， ∴. 【变式2】（25-26七年级下·辽宁丹东·期中）如图，点B， C， D三点在同一直线上，且，，．若，则的度数为_____． 【答案】 【分析】先证明，得出，，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得出结果． 解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·上海虹口·期末）如图，已知为线段上一点，在中，，在中，且，连接、，分别交、于点、，交于点． （1）求证：； （2）如果，求的度数． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2） 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理证明； （2）根据全等三角形的性质和三角形的外角计算即可． 解：（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型 6】尺规作图——边角边 【例题6】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）这是小明同学作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：． 求作：，使得． 作法：如图． ①分别以点A，B为圆心，线段长为半径画弧，两弧相交于点D； ②连接线段，则即为所求作的三角形． 请你根据以上材料完成下列问题： （1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）： 证明：由作图可知，在和中， ∴（ ）． （2）小甜看到小明的作图有一个特别的想法，若连接，交于点E，已知与的线段长能否求出的面积呢？假设，请你尝试求出. 【答案】（1），，；（2）6 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由作图可得，即可由求证； （2）先证明，则，再由三角形面积公式求解． 解：（1）证明：由作图可知，在和中， ∴； （2）解：∵ ∴， ∴在和中 ∴， ∴ ∵ ∴ 【变式1】（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图，是的中线，以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点．连接，下列结论不一定成立的是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明，然后利用全等三角形的性质和平行线的判定即可解答． 解：∵是的中线， ∴, ∵, ∴，故A一定成立，不符合题意； ∵， ∴不一定说明，故B不一定成立，符合题意； ∵， ∴，故C一定成立，不符合题意； ∵， ∴，故D一定成立，不符合题意． 故选B． 【点拨】本题主要考查了平行线的判定、全等三角形的判定与性质等知识点，证得是解答本题的关键． 【变式2】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在中，，点是边上一点，连接，先以点为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，已知． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，则可得，然后利用定理即可得证； （2）先根据等腰三角形的性质可得，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的外角性质求解即可得． 解：（1）证明：由题意得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）已证：，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式3】（23-24七年级上·山东泰安·期中）如图，在中，，为的角平分线．以点A圆心，长为半径画弧，与分别交于点E，F，连接. （1）请说明：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）由角平分线定义得出．由作图知：．然后由可证明；根据作图得到是解题的关键; （2）由作图知：．结合等腰三角形的性质可得，由角平分线的性质可得，再结合等腰三角形的性质求出、，最后根据角的和差即可解答．掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 解：（1）证明：∵为的角平分线， ∴． 由作图知：． 在和中， ， ∴． （2）解：∵为的角平分线， ∴． 由作图知：． ∴， ∴， ∵，为的角平分线， ∴，即． ∴． 【知识点三】全等三角形的判定（3） 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”） 【题型 7】利用“ASA或AAS”证明三角形全等 【例题7】（25-26七年级下·山西太原·阶段检测）如图，点、、、在同一条直线上，，，且，，求证：． 【答案】证明：，， ． ， ． ， ，即． 在和中， ， ． 【分析】由题意可得，再由线段的和差得出，再利用证明即可． 解：略 【变式1】（25-26八年级上·四川宜宾·期中）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他只要带第③块碎片去商店，就可以配出一块与原来完全一样的三角形模具，这样做利用全等三角形的判定依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：他带第③块碎片去是因为第③块保留了该三角形的两个角及其夹边，所以他利用了全等三角形的判定依据是． 【变式2】（25-26七年级下·全国·周测）如图，幼儿园的滑梯中有两个长度相等的梯子（），左边滑梯的高度等于右边滑梯水平方向的长度，且，则与长度____________（填“相等”或“不相等”）． 【答案】相等 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 通过证明，由全等三角形的性质即可得结论． 解：由题意，得，， ． 在和中， ， ． 故答案为：相等． 【变式3】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，已知，点、、在同一条直线上，，且． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）根据平行线的性质结合即可证明； （2）根据全等三角形的对应边相等即可求解． 解：（1）证明：∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴； （2）解：∵ ∴，， ∴ ∴． 【题型 8】全等的性质与“ASA或AAS”综合求值证明 【例题8】（25-26九年级下·江苏无锡·期中）如图，的两条高交于点． （1）求证：； （2）若，求的面积． 【答案】（1）详见分析；（2） 【分析】（1）首先利用三角形的高线的性质证明 ，然后利用即可证明 ； （2）利用全等三角形的性质可以得到 、 的长度，然后利用三角形的面积公式即可求解． 解：（1）证明： 的两条高 ， 交于点 ， ， 即 ， 在 与 中， ； （2）解： ， ， ， ，， ， ， ． 【变式1】（2026·重庆·模拟预测）如图，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证出，根据证明，得出，，从而可求出． 解：∵ ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（23-24八年级上·上海·期中）如图，，，D为中点，，，垂足为点E，则________． 【答案】 【分析】证明，得到，然后结合D为中点求解即可． 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，D为中点， ∴， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，点E在的边上，且． （1）求证：； （2）若的平分线交于点F，交于点D，求证：； （3）在（2）的条件下，若，，则的长为________． 【答案】（1）证明：∵，且， ∴， ∴； （2）证明：∵的平分线交于点F， ∴， ∵交于点D， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （3）2 【分析】（1）根据和，即可求证； （2）易证和，即可证明； （3）根据全等的性质可得，即可解题； 解：（1）略 （2）略 （3）解：∵ ∴， ∴． 【题型 9】尺规作图——角边角或角角边 【例题9】（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）如图，，，以点B为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点E，连接，过C点作，垂足为F．不添加辅助线找出图中与相等的线段，然后再加以证明． （1）结论：______． （2）证明过程： 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识； （1）根据题意结合图形得； （2）根据垂直的定义和平行线的性质，可得，，即可证得，据此即可证明． 解：（1）解：根据题意得， 故答案为：； （2）解：∵以点B为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点E， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式1】（2025·河北邯郸·二模）如图，在三角形纸片中，，将折叠，使得边落在射线上，折痕为，将纸片展开．再将折叠，使得边落在射线上，折痕为，点的对应点为．若以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，折叠的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据题意，逐项分析，即可解答． 解：如解图，连接，由题意，分别为，的平分线， ， ， ， ， ， 选项A正确，不符合题意； ， ， ， ， ∴， ， ， ， 选项B正确，不符合题意， ， ， ， ∴点与点重合，即， D选项正确，不符合题意． 无法判断与长度关系，故C选项错误． 【变式2】（24-25八年级上·吉林·期末）如图，在等边中，，点在边上，；点是边上一点，连接．以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接．若，则的长是______． 【答案】5 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角的定义以及性质．连接，证明是等边三角形，由等边三角形的性质可得出，，利用外角的定义以及性质得出，证明，由全等三角形的性质可得出，进而根据线段的和差关系即可得出答案． 解：连接， ∵， ∴是等边三角形， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：5． 【变式3】（24-25八年级上·江苏连云港·期中）小明同学用圆规和直尺按下面方法作的平分线： 作法：①如图，以O为圆心，以任意长为半径画弧与交于点； ②再以任意长为半径画弧与交于点； ③连接交于点P，连接，则平分． 老师说：小明同学这种作角平分线的方法是正确的，并且小明已证出，从而得到了，下面请你帮助小明同学完成后面平分的证明． 【答案】见分析 【分析】由作法得，则可判断，得到，通过“” 可判断，得到，通过“”得到，即可取证． 解：证明：小明同学这种作角平分线的方法是正确的． 理由如下：由作法得 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴平分． 【点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质． 二.题型精析（综合培优） 【题型 10】三角形全等——两次证明三角形全等 【例题10】（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，，点在上，且，是上一点．求证：． 【答案】见分析 【分析】先证明，得到，再证明，即可证明． 解：证明：在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，在中，，垂足为D，E为外一点，连接，且，平分．若，则的面积为_____ ． 【答案】3 【分析】如图，过作交的延长线于，证明，再证明，利用分割法和三角形的面积公式进行求解即可. 解：如图，过作交的延长线于，   、 ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，，，平分，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于点．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先证明，得到，再证明，得到，从而得出． 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·上海·阶段检测）如图，在中，，点，分别在边和上，连接，，交点为，且，． 求证：． 【分析】根据结合、得到，通过证明，得到，再说明，结合得到，再根据全等三角形的性质即可证明结论． 证明∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 【题型 11】全等三角形与折叠问题 【例题11】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）在如图所示的三角形纸片中，，，按如下步骤可以把这个直角三角形纸片分成三个全等的小直角三角形（图中虚线表示折痕）：折叠三角形纸片，使直角边落在斜边上，点落在斜边点处；将折叠后的纸片再沿折叠． （1）由步骤可以得到哪些等量关系？ （2）请证明； （3）按照这种方法能否将任意一个直角三角形分成三个全等的小三角形？直接写出你的结论． 【答案】（1），，，，；（2）证明见分析；（3）按照这种方法不能将任意一个直角三角形分成三个全等的小三角形 【分析】此题重点考查翻折变换的性质、直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的判定与性质等知识． （1）由折叠得，，，，； （2）由，，求得，则，所以，而，，即可根据证明； （3）当时，则，而，所以，则与不全等，即可得出结论． 解：（1）解：折叠三角形纸片，使直角边落在斜边上，点落在斜边点处， ，，，，； （2）证明：，， ， ， ， 点在上，且， ， 在和中， ， ； （3）解：按照这种方法不能将任意一个直角三角形分成三个全等的小三角形， 理由：当时，则， ， ， 与不全等， 按照这种方法不能将任意一个直角三角形分成三个全等的小三角形． 【变式1】（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，将矩形纸片沿对角线折叠一次，则图中全等三角形有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理可得，根据折叠的性质可得，，，，从而得出，再结合得出，即可得解． 解：由题意可得：，，，， ∴， 由折叠的性质可得：，，，， ∴， ∵， ∴， 综上所述，图中全等三角形有4对， 故选：C． 【变式2】（23-24八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，点D的对应点为点F，与交于点E，若长方形的周长为16，则的周长为_________． 【答案】8 【分析】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定及性质，根据折叠的性质是解题的关键． 根据折叠的性质可知，证明，则，所以的周长＝，据此解答即可． 解：根据折叠的性质可得，，， ∵在长方形中，，， ∴，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴的周长＝， ∵长方形的周长为16， ∴， 即的周长为8． 故答案为：8． 【变式3】（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图，在直角三角形纸片中，，折叠纸片使落在上，展开得到折痕．继续折叠，使点与点重合，展开得到折痕，设与交于点，连接，． （1）猜想和的数量关系，并说明理由． （2）若，求的度数． 【答案】（1），理由见分析；（2） 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质及三角形内角和定理，解题的关键是掌握折叠的性质． （1）先通过折叠的性质得出，，，，进而推导出，证明推出，又由得出结论； （2）根据已知条件得出，再由折叠可得，，，推出，得到，进而得到，最后利用三角形内角和定理即可求解． 解：（1）解：，理由如下： 由折叠可得，，，， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ； （2）解：，， ， 由折叠可得，，， ， ， ， ， ． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图，若，，则可得．其判定依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，利用证明三角形全等即可． 解：在和中， ，，， ， 故选：A． 2．（25-26七年级下·全国·周测）如图，丙工程队先过点，作直线，然后在直线上方确定一点，连接，在段确定一点，连接；再以为边在下方作，并在上截取，最后以为边作，交于点．若，，则，间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键． 通过证明，由全等三角形的性质得到，然后根据等式的性质得到，最后根据线段的和差关系求出，间的距离． 解：， ，即， 在和中， ， ， ，即， ， 则，间的距离为， 故选：B． 3．（2026·广西南宁·三模）如图，，点在射线上，以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点．若分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，，则由作图可得，，证明，再根据全等三角形性质求解． 解：如图，连接，，， 由作图可得，，， ∵， ∴， ∴． 4．（25-26七年级下·全国·周测）如图，甲工程队在湖旁边的开阔地取一点，连接，，以为边在左侧作，在射线上截取，连接．欲知，间的距离，需要测量的线段是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 通过证明，由全等三角形的性质即可得结论． 解：在和中， ， ， ∴欲知，间的距离，需要测量的线段是， 故选：A． 5．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，与相交于点，且，再添加一个条件后仍然不能直接证明的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定对各选项进行判断即可． 解：已知，， 选项A：若，根据即可证明，不符合题意； 选项B：若，根据即可证明，不符合题意； 选项C：若，其相关关系为，不可证明，符合题意； 选项D：若，根据即可证明，不符合题意． 6．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形、全等三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形、全等三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解． 根据和都是等腰直角三角形，得，，从而通过推导证明，得；再结合三角形内角和的性质，通过计算即可得到答案． 解：和都是等腰直角三角形， ，， ∵ ， 故选：C． 7．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）根据下列条件，画出的不唯一的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法逐项判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 解：、，，，符合全等三角形判定方法，画出的唯一，该选项不合题意； 、，，，符合全等三角形判定方法，画出的唯一，该选项不合题意； 、，，，符合全等三角形判定方法，画出的唯一，该选项不合题意； 、，，，两边及一边的对角相等，不能判定三角形全等，画出的不唯一，该选项符合题意； 故选：． 8．（25-26七年级下·山西太原·阶段检测）如图，，，于点，于点．若，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意易得，然后可得，则有，进而可得，则问题可求解． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，在中，，，，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动（     ）时，． A．2 B．6 C．2或6 D．2或5 【答案】D 【分析】设点E运动时间为，则，分两种情况求解：①当点从点B出发，向点左侧移动时；②当点从点B出发，向点右侧移动时，利用全等三角形的性质分别求出的长，即可得解． 解：设点E运动时间为，则， ①如图，当点从点B出发，向点左侧移动时， 为边上的高， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，解得：； ②如图，当点从点B出发，向点右侧移动时， 同理可证，， ， ， ，解得：, 综上可知，当点E运动或时，． 10．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，点D为内一点，点P为外一点，连接，，，，且，平分，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用证明 ，得出，再根据角平分线的定义求出的度数即可． 解：平分，， ， 在和中 ， ． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·河南郑州·阶段检测）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，过角尺顶点作射线由该做法得到的依据是__________． 【答案】/边边边 【分析】由作图过程可得，，再加上公共边，可利用定理判定． 解：在和中 ， ∴． 12．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，点B、C、E三点在同一直线上，且，若，则的度数为____． 【答案】 【分析】根据条件，通过证明，得到，，之间的关系，再利用已知角度关系求解即可． 解：在和中， ∴， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴． 13．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，点D在边上，点E在边上，且，，若，，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造，然后得到，，再根据等角对等边得到是解题的关键． 解：延长到点F，使得，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（25-26七年级下·上海虹口·期末）如图，已知在的方格中，点、、、、均在格点上，那么____________度． 【答案】90 【分析】取格点F，连接，，得到，得到，进而求解即可． 解：取格点F，连接，， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 15．（25-26八年级上·新疆和田·期末）如图，已知，要根据，判定，则需要补充的一个条件为____________． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定的依据添加合适的条件即可． 解：补充的一个条件为， ∵，，， ∴， 故答案为： 16．（25-26八年级上·广东·阶段检测）如图，，，，，垂足分别为D、E，若，，则______cm． 【答案】2 【分析】求出，证明，利用全等三角形的性质解答即可． 解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴． 17．（25-26八年级上·浙江金华·期末）小数同学在探究三角形全等的条件时，设计了一个如图所示的数学实验，把两根木条的一端用螺栓固定点位置，然后固定木条，摆出．把木条转动一定角度后，点刚好落在直线上的处．此实验得到的结论是：_____的两个三角形不一定全等． 【答案】有两边和其中一边的对角分别相等 【分析】本题考查了全等三角形的判定，在和中，为公共边，，，锐角三角形与钝角不全等，从而说明有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不能确定全等． 解：在和中，为公共边，，， 而与不全等， 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 故答案为：有两边和其中一边的对角分别相等． 18．（2023·浙江·模拟预测）一位同学拿了两块的三角尺做了一个探究活动：将的直角顶点放在的斜边的中点处，设．    猜想此时重叠部分四边形的面积为___________； 简述证明主要思路___________ 【答案】 连接，根据等腰直角三角形的性质，证，根据全等三角形的性质可得，再根据四边形的面积 【分析】连接，根据等腰直角三角形的性质，证，根据全等三角形的性质可得，再根据四边形的面积即可求解． 解：连接，如图所示：    在等腰直角中，，， 是的中点， ，，， 在等腰直角中，， ， 在和中， ， ， ∴， ∴四边形的面积． 故答案为：． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·浙江丽水·期末）某校数学兴趣小组制作了如图所示的“角平分线仪”，点E，F分别固定在的两边上，且，点D在手柄上可自由滑动，且．试问：角平分线仪的手柄是否始终平分？请说明理由． 【答案】角平分线仪的手柄始终平分，理由见分析 【分析】根据“”证明得到，即可解答． 解：角平分线仪的手柄始终平分， 理由：在和中， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∴角平分线仪的手柄始终平分． 20．（本小题满分8分）（2026·云南昭通·模拟预测）如图，已知于B，于E，，，求证：． 【答案】证明：于B，于E， ． ∵在和中， ， ． 【分析】通过“”证明即可得出结论． 解：略 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，，，，是依次排列在一条直线上的四点，，，且． （1）求证； （2）若，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）4 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，全等三角形的判定与性质． （1）先由平行得到，再由即可证明； （2）可得，由得到，即可求解． 解：（1）证明：如图，延长交于点， ∵，， ∴，， ∴ ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 22．（本小题满分10分）（2026·陕西西安·模拟预测）如图所示的类似帆船的图形由与拼成，寓意着广大考生考试过程“一帆风顺”，已知，，且，求证：． 【答案】证明：∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【分析】根据题意可证明，再根据平行线的性质可得，最后运用即可证明，可得． 解：略 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·福建宁德·期中）如图，在中，点是边上的一点，点在边的延长线上，且． （1）①尺规作图：在上方作，使得． （要求：不写作法，保留作图痕迹）． ②尺规作图中，判定的依据是__________________． （填：）． （2）在（1）的条件下，连接与全等吗？请说明理由． 【答案】（1）①见分析；②；（2）全等，理由见分析 【分析】（1）①分别以E为圆心，为半径，以C为圆心，为半径画弧，两弧交于点F即可； ②根据作图可知判定的依据是； （2）根据全等三角形的性质得到，，根据平行线的性质得到，即可证明． 解：（1）解：①如图，即为所求； ②由作图可知，，， ∵， ∴； （2）解：全等，理由如下： 如图， ， 在和中 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·辽宁大连·期末）折纸是有趣的数学活动，通过折纸可以发现数学结论，折纸的过程蕴含着丰富的数学知识． 【特例感受】 如图1，在折叠等腰三角形纸片的过程中，小明发现：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等． 【操作探究】 问题1：如图2，中，，，直线与线段相交于点D，将沿直线翻折至处，点B的对应点为，求与之间的数量关系． 【拓展延伸】 问题2：如图3，若，，直线与线段相交于点D，将边沿直线翻折，得到，射线交于点E，连接．探究并证明，与之间的数量关系． 【答案】问题1：，理由见分析；问题2：，理由见分析 【分析】问题1：根据等腰三角形的性质可得，再结合折叠的性质可得，，然后根据三角形外角的性质即可解答； （2）证明，可得，，设，可得，从而得到，进而得到，在上取点F，使，连接，则和都是等边三角形，证明，可得，即可解答． 解：问题1：∵，， ∴， ∴， ∵将沿直线翻折至处， ∴，， ∵，，，， ∴ 即； 问题2：∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵将边沿直线翻折，得到， ∴，， ∴，， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 在上取点F，使，连接，则和都是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，解题关键在于熟练掌握各个知识点和根据题意构造辅助线． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.5 三角形全等的判定（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与题型精析（基础夯实） 1 【知识点一】全等三角形的判定（1） 1 【题型 1】利用“SSS”证明三角形全等 2 【题型 2】全等的性质与“SSS”综合求值证明 3 【题型 3】尺规作图——边边边 4 【知识点二】全等三角形的判定（2） 5 【题型 4】利用“SAS”证明三角形全等 5 【题型 5】全等的性质与“SAS”综合求值证明 6 【题型 6】尺规作图——边角边 7 【知识点三】全等三角形的判定（3） 9 【题型 7】利用“ASA或AAS”证明三角形全等 9 【题型 8】全等的性质与“ASA或AAS”综合求值证明 10 【题型 9】尺规作图——角边角或角角边 11 二.题型精析（综合培优） 13 【题型 10】三角形全等——两次证明三角形全等 13 【题型 11】全等三角形与折叠问题 14 三.同步检测 15 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 15 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 17 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19 一.知识梳理与题型精析（基础夯实） 【知识点一】全等三角形的判定（1） 1、 一般地，我们有如下基本事实:三边分别相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”） 2、 尺规作图——作一个角等于已知角 作图步骤 示图 （1）以点圆心,适当长为半径作弧,分别交、于点、； （2）作一条射线，以点为圆心,长为半径作弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径作弧,交弧于点; （4）过点,作射线 就是所求作的角。 连结，。由作法可知， . 【题型 1】利用“SSS”证明三角形全等 【例题1】（2026·云南保山·二模）如图，是线段的中点，，．求证：． 【变式1】（25-26八年级上·四川乐山·期末）如图，，，则可判定，判定的依据是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，点E是边上一点，且，点D在上，连接，，若，，，则的度数为_______． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，，，．求证：． 证明：∵（________）， ∴________________（________）， 即________________． 在和中，， ∴（________）． 【题型 2】全等的性质与“SSS”综合求值证明 【例题2】（25-26七年级上·山东烟台·期中）点A，D，B，E共线，，，．若，，求． 【变式1】（25-26八年级上·河南商丘·期末）如图，在和中，点在线段上，若，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·上海·期中）如图，在与中，在边上，，若，则的度数为_____． 【变式3】（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，已知点和点在线段上，且，，，则与的位置关系如何？为什么？ 【题型 3】尺规作图——边边边 【例题3】（23-24八年级上·广东江门·期中）如图，以的顶点A为圆心，任意长为半径画弧，与交于点E，与交于点F，分别以E，F为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点D，连结，和． （1）上述画图过程可以得到哪些相等的线段？ （2）证明：平分． 【变式1】（24-25八年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点C，D；②画一条射线，以点为圆心，为半径画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步所画的弧交于点；④过点画射线，则有．其依据是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·福建莆田·阶段检测）如图，已知，以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交，于点E，F，再以点E为圆心，以长为半径画弧，交弧①于点D，画射线．若，则的度数为____________．    【变式3】（23-24八年级上·吉林四平·阶段检测）如图，在中，以点C为圆心，以长为半径画圆弧，交的延长线于点D．分别以点C、D为圆心，以线段为半径画弧，两弧交于点E，连接．根据以上作图过程，求证：． 【知识点二】全等三角形的判定（2） 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）。 【题型 4】利用“SAS”证明三角形全等 【例题4】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，点，，，在同一直线上，，，．试说明． 【变式1】（25-26七年级下·内蒙古包头·期中）如图1是某博物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图2所示，为了测量其底部内径的长，考古学家将两根细木条的中点O固定在一起，则有，因此量出的A，B两点之间的距离即为的长，其中判定三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·山西太原·阶段检测）如图，在与中，，若利用“边角边”来判定，还需添加的一个直接条件为________． 【变式3】（25-26七年级上·山东泰安·期末）如图所示，在中，，于点，，平分交于点，的延长线交于点．试说明： （1）； （2）． 【题型 5】全等的性质与“SAS”综合求值证明 【例题5】（25-26七年级下·上海·期末）如图，已知： ，，，求证：． 证明：∵ ， ∴（__________________________________） ∵， ∴． 在 与中， ∵， ∴（______） 【变式1】（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·辽宁丹东·期中）如图，点B， C， D三点在同一直线上，且，，．若，则的度数为_____． 【变式3】（25-26七年级下·上海虹口·期末）如图，已知为线段上一点，在中，，在中，且，连接、，分别交、于点、，交于点． （1）求证：； （2）如果，求的度数． 【题型 6】尺规作图——边角边 【例题6】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）这是小明同学作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：． 求作：，使得． 作法：如图． ①分别以点A，B为圆心，线段长为半径画弧，两弧相交于点D； ②连接线段，则即为所求作的三角形． 请你根据以上材料完成下列问题： （1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）： 证明：由作图可知，在和中， ∴（ ）． （2）小甜看到小明的作图有一个特别的想法，若连接，交于点E，已知与的线段长能否求出的面积呢？假设，请你尝试求出. 【变式1】（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图，是的中线，以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点．连接，下列结论不一定成立的是（    ）．    A． B． C． D． 【变式2】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在中，，点是边上一点，连接，先以点为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，已知． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【变式3】（23-24七年级上·山东泰安·期中）如图，在中，，为的角平分线．以点A圆心，长为半径画弧，与分别交于点E，F，连接. （1）请说明：； （2）若，求的度数． 【知识点三】全等三角形的判定（3） 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”） 【题型 7】利用“ASA或AAS”证明三角形全等 【例题7】（25-26七年级下·山西太原·阶段检测）如图，点、、、在同一条直线上，，，且，，求证：． 【变式1】（25-26八年级上·四川宜宾·期中）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他只要带第③块碎片去商店，就可以配出一块与原来完全一样的三角形模具，这样做利用全等三角形的判定依据是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·全国·周测）如图，幼儿园的滑梯中有两个长度相等的梯子（），左边滑梯的高度等于右边滑梯水平方向的长度，且，则与长度____________（填“相等”或“不相等”）． 【变式3】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，已知，点、、在同一条直线上，，且． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 【题型 8】全等的性质与“ASA或AAS”综合求值证明 【例题8】（25-26九年级下·江苏无锡·期中）如图，的两条高交于点． （1）求证：； （2）若，求的面积． 【变式1】（2026·重庆·模拟预测）如图，，则等于（     ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·上海·期中）如图，，，D为中点，，，垂足为点E，则________． 【变式3】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，点E在的边上，且． （1）求证：； （2）若的平分线交于点F，交于点D，求证：； （3）在（2）的条件下，若，，则的长为________． 【题型 9】尺规作图——角边角或角角边 【例题9】（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）如图，，，以点B为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点E，连接，过C点作，垂足为F．不添加辅助线找出图中与相等的线段，然后再加以证明． （1）结论：______． （2）证明过程： 【变式1】（2025·河北邯郸·二模）如图，在三角形纸片中，，将折叠，使得边落在射线上，折痕为，将纸片展开．再将折叠，使得边落在射线上，折痕为，点的对应点为．若以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·吉林·期末）如图，在等边中，，点在边上，；点是边上一点，连接．以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接．若，则的长是______． 【变式3】（24-25八年级上·江苏连云港·期中）小明同学用圆规和直尺按下面方法作的平分线： 作法：①如图，以O为圆心，以任意长为半径画弧与交于点； ②再以任意长为半径画弧与交于点； ③连接交于点P，连接，则平分． 老师说：小明同学这种作角平分线的方法是正确的，并且小明已证出，从而得到了，下面请你帮助小明同学完成后面平分的证明． 二.题型精析（综合培优） 【题型 10】三角形全等——两次证明三角形全等 【例题10】（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，，点在上，且，是上一点．求证：． 【变式1】（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，在中，，垂足为D，E为外一点，连接，且，平分．若，则的面积为_____ ． 【变式2】（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，，，平分，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于点．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26七年级下·上海·阶段检测）如图，在中，，点，分别在边和上，连接，，交点为，且，． 求证：． 【题型 11】全等三角形与折叠问题 【例题11】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）在如图所示的三角形纸片中，，，按如下步骤可以把这个直角三角形纸片分成三个全等的小直角三角形（图中虚线表示折痕）：折叠三角形纸片，使直角边落在斜边上，点落在斜边点处；将折叠后的纸片再沿折叠． （1）由步骤可以得到哪些等量关系？ （2）请证明； （3）按照这种方法能否将任意一个直角三角形分成三个全等的小三角形？直接写出你的结论． 【变式1】（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，将矩形纸片沿对角线折叠一次，则图中全等三角形有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【变式2】（23-24八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，点D的对应点为点F，与交于点E，若长方形的周长为16，则的周长为_________． 【变式3】（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图，在直角三角形纸片中，，折叠纸片使落在上，展开得到折痕．继续折叠，使点与点重合，展开得到折痕，设与交于点，连接，． （1）猜想和的数量关系，并说明理由． （2）若，求的度数． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图，若，，则可得．其判定依据是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·周测）如图，丙工程队先过点，作直线，然后在直线上方确定一点，连接，在段确定一点，连接；再以为边在下方作，并在上截取，最后以为边作，交于点．若，，则，间的距离为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·广西南宁·三模）如图，，点在射线上，以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点．若分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，则的大小是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·全国·周测）如图，甲工程队在湖旁边的开阔地取一点，连接，，以为边在左侧作，在射线上截取，连接．欲知，间的距离，需要测量的线段是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，与相交于点，且，再添加一个条件后仍然不能直接证明的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）根据下列条件，画出的不唯一的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 8．（25-26七年级下·山西太原·阶段检测）如图，，，于点，于点．若，，则的长是（     ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，在中，，，，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动（     ）时，． A．2 B．6 C．2或6 D．2或5 10．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，点D为内一点，点P为外一点，连接，，，，且，平分，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·河南郑州·阶段检测）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，过角尺顶点作射线由该做法得到的依据是__________． 12．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，点B、C、E三点在同一直线上，且，若，则的度数为____． 13．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，点D在边上，点E在边上，且，，若，，则的长为________． 14．（25-26七年级下·上海虹口·期末）如图，已知在的方格中，点、、、、均在格点上，那么____________度． 15．（25-26八年级上·新疆和田·期末）如图，已知，要根据，判定，则需要补充的一个条件为____________． 16．（25-26八年级上·广东·阶段检测）如图，，，，，垂足分别为D、E，若，，则______cm． 17．（25-26八年级上·浙江金华·期末）小数同学在探究三角形全等的条件时，设计了一个如图所示的数学实验，把两根木条的一端用螺栓固定点位置，然后固定木条，摆出．把木条转动一定角度后，点刚好落在直线上的处．此实验得到的结论是：_____的两个三角形不一定全等． 18．（2023·浙江·模拟预测）一位同学拿了两块的三角尺做了一个探究活动：将的直角顶点放在的斜边的中点处，设．    猜想此时重叠部分四边形的面积为___________； 简述证明主要思路___________ （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·浙江丽水·期末）某校数学兴趣小组制作了如图所示的“角平分线仪”，点E，F分别固定在的两边上，且，点D在手柄上可自由滑动，且．试问：角平分线仪的手柄是否始终平分？请说明理由． 20．（本小题满分8分）（2026·云南昭通·模拟预测）如图，已知于B，于E，，，求证：． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，，，，是依次排列在一条直线上的四点，，，且． （1）求证； （2）若，求的长． 22．（本小题满分10分）（2026·陕西西安·模拟预测）如图所示的类似帆船的图形由与拼成，寓意着广大考生考试过程“一帆风顺”，已知，，且，求证：． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·福建宁德·期中）如图，在中，点是边上的一点，点在边的延长线上，且． （1）①尺规作图：在上方作，使得． （要求：不写作法，保留作图痕迹）． ②尺规作图中，判定的依据是__________________． （填：）． （2）在（1）的条件下，连接与全等吗？请说明理由． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·辽宁大连·期末）折纸是有趣的数学活动，通过折纸可以发现数学结论，折纸的过程蕴含着丰富的数学知识． 【特例感受】 如图1，在折叠等腰三角形纸片的过程中，小明发现：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等． 【操作探究】 问题1：如图2，中，，，直线与线段相交于点D，将沿直线翻折至处，点B的对应点为，求与之间的数量关系． 【拓展延伸】 问题2：如图3，若，，直线与线段相交于点D，将边沿直线翻折，得到，射线交于点E，连接．探究并证明，与之间的数量关系． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $