专题08勾股定理及逆定理暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年浙教版八年级数学上册

专题08勾股定理及逆定理暑假预习讲义 · 理解勾股定理的推导过程，掌握直角三角形三边数量关系，能准确说出勾股定理文字表述，规范书写几何语言，分清斜边、直角边。 · 区分勾股定理（由直角推边长关系）与勾股定理逆定理（由三边关系判定直角三角形），理清二者互逆逻辑，结合之前逆命题、逆定理知识，判断二者为互逆定理。 · 熟记勾股定理逆定理内容，掌握利用三边长度判断三角形是否为直角三角形的方法，能识别最长边并验证等式。 · 熟记常见基础勾股数，理解勾股数的定义，能简单辨别一组整数是否为勾股数。 · 能完成纯理论类基础计算：已知直角三角形两边，求第三边；已知三角形三边，判断是否为直角三角形，不涉及生活、折叠、最短路径等实际应用题型。 · 梳理本节易混淆知识点：勾股定理与逆定理的因果关系、斜边判定、勾股数要求，标记看不懂的定理推导、分类讨论题型，课堂针对性听讲。 预习必备 知识梳理 1.勾股定理标准定义 2.定理探究原理 3.勾股定理符号表达 4.勾股定理的逆定理 5.勾股数 6.几何与实际应用 常考题型 精讲精练 1.用勾股定理解三角形 2.勾股数问题 3.直角三角形三边的图形面积 4.勾股定理与网格问题 5.勾股定理与折叠问题 6.勾股定理求线段平方和差 7.勾股定理证明线段平方关系 8.勾股定理的证明方法 9.以弦图为背景的计算题 10.勾股定理构造图形解决问题 11.勾股定理与无理数 12.直角三角形三边判定 13..网格中判断直角三角形 14.勾股定理逆定理求解 15.勾股定理逆定理的实际应用 强化题型 解答题11题 知识点01:勾股定理标准定义 文字定义：如果一个三角形是直角三角形，那么两条直角边的平方和等于斜边的平方。 几何定义：在Rt △ABC中，∠ C=90，直角边为a、b，斜边为c，则 a2+b2=c2 名词释义：较短直角边称为勾，较长直角边称为股，斜边称为弦。 知识点02:定理探究原理（面积法） 在直角三角形三边上向外作正方形，通过网格割补法计算面积：两直角边上正方形面积之和 = 斜边上正方形面积。 面积推导逻辑 知识点03:勾股定理符号表达 在 Rt△中，设两条直角边长为 a、b，斜边长为 c a2+b2=c2 常用变形 1.已知斜边、一直角边，求另一直角边： a2c2b2 b2c2a2 2.边长计算式： c=​​；b=​； ✨记忆口诀：直角两边平方和，等于斜边平方值 知识点04:勾股定理的逆定理（判定定理） 1.内容 若三角形三边长a、b、c满足a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形，最长边c所对的角为直角。 2.标准判定步骤 ① 找出三边中最长边； ② 分别计算两条短边平方和、最长边的平方； ③ 比较大小，相等即为直角三角形，反之则不是。 3.勾股定理与逆定理对比 知识点05:三角形形状判定方法 设c为最长边： a2+b2=c2→ 直角三角形 a2+b2>c2→ 锐角三角形 a2+b2<c2 → 钝角三角形 判定步骤：找最长边→计算三边平方→对比大小→下结论。 知识点06:勾股数 定义：满足 a2+b2=c2 的正整数组 (a,b,c) 称为勾股数 常见勾股数 基础组：(3,4,5)、(5,12,13)、(7,24,25)、(8,15,17) 拓展规律：若 (a,b,c) 是勾股数，则其正整数倍 (ka,kb,kc)（k>0 且为整数）也是勾股数，如 (6,8,10)、(9,12,15) 知识点07:基础应用 1. 解直角三角形 已知条件：直角三角形中任意两边（两直角边 / 一直角边 + 斜边）。 求解目标：求第三边长度。 步骤：先确定斜边 → 代入对应公式计算。 2. 网格中的勾股定理 方法：将斜线段放入网格直角三角形中，数格子得到直角边长度，再用勾股定理求斜边。 应用：计算网格中线段长度、不规则图形面积。 3. 两点间距离（坐标推导） 公式：若两点坐标A(x1​,y1​)、B(x2​,y2​)， 则AB=​ 本质：构造水平、竖直直角边，用勾股定理推导斜边（两点距离）。 知识点08:几何与实际应用(拓展) 1. 勾股树（面积规律） 核心结论：以直角三角形三边向外作正方形，斜边上正方形面积 = 两直角边上正方形面积之和。 拓展：若向外作半圆、正三角形，面积关系依然成立。 2. 折叠问题（高频考点） 核心逻辑：折叠前后对应线段相等、对应角相等，构造直角三角形列方程求解。 解题步骤： (1)设未知线段长度为 x； (2)用 x 表示折叠后相关线段； (3)在直角三角形中代入勾股定理列方程并求解。 矩形 ABCD 沿 BD 折叠，点 C 落在 C′ 处，满足： 对应线段相等：BC′=BC，C′D=CD，ED=ED 对应角相等：∠C′=∠C=90∘，∠C′BD=∠CBD 可构造直角三角形（如 △ABE 或 △DEC′），利用勾股定理列方程求解，与文字逻辑完全一致。 知识点09高频易错点（考场避坑专区） 1.乱用定理：在非直角三角形中直接套用勾股定理； 2.概念混淆：分不清直角边与斜边，计算时代入数据错误； 3.忽略分类讨论：已知两边长，未分 “两边均为直角边”“一斜边一直角边” 两种情况； 4.勾股数误区：小数、分数不属于勾股数（勾股数必须是正整数）； 5.折叠题型失误：不会利用折叠的等量关系，无法构造直角三角形列方程； 6.立体图形展开错误：展开方式不对，导致直角三角形边长取值错 题型1.用勾股定理解三角形 【典例】如图，在中，，若，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【跟踪专练1】如图，在中，，，，则的面积为________． 【跟踪专练2】在中，，，，P是上一动点，则的最小值为________． 【跟踪专练3】在《天工开物》这部古代科学技术著作中，描述了多种工具和机械的制作与应用，其中有一种古代工匠们使用的名为“矩尺”的测量工具，如图，这种工具的形状类似于一个直角三角形，若书中所描述的“矩尺”的一条较短的直角边长为尺，斜边比较长的直角边多尺，则“矩尺”的较长的直角边的长为（     ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 题型2.勾股数问题 【典例】若是一组勾股数，则整数的值为___________． 【跟踪专练1】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中是“勾股数”的是（     ） A．1，，2 B．8，9，10 C．0.3，0.4，0.5 D．5，12，13 【跟踪专练2】如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，若，，，，则正方形E的面积为_______． 【跟踪专练3】勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以正方形的一边为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第2026个图形中正方形的个数为（     ） A．2027 B． C． D． 题型3.直角三角形三边的图形面积 【典例】如图，以直角三角形的三边分别向外作A、B、C三个正方形，若正方形B、C的面积分别为144、169，则正方形A的面积为___________． 【跟踪专练1】如图，数字代表所在正方形的面积，则所代表的正方形的边长是（    ） A．100 B．28 C．9 D．10 【跟踪专练2】如图，分别以直角三角形的三条边为一边作正方形，得到正方形，，C．若较小的两个正方形和的面积分别为和，则最大的正方形的面积为_________． 【跟踪专练3】如图，在中，，分别以，为边向外作正方形，面积分别记为，，若，，则的长为（     ） A． B．6 C． D． 题型4.勾股定理与网格问题 【典例】如图，网格中每个小正方形的边长都是1．以点为圆心，长为半径画弧，交网格线于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸中，经过一次平移后得到，点B的对应点的位置如图所示，则平移距离为________． 【跟踪专练2】如图，在每个小正方形的边长为的网格中，的顶点，，均落在格点上，以点为圆心长为半径的圆交于点，则点到的距离是__________． 【跟踪专练3】如图，在的正方形网格中标记了和，则与的度数之和为（     ） A． B． C． D． 题型5.勾股定理与折叠问题 【典例】如图，有一张直角三角形纸片，，，，现将三角形纸片折叠，使得点与边上的点重合，折痕为，则的长为________． 【跟踪专练1】如图，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点A落在直角边延长线上的点D处，折痕为，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练2】如图，将长方形沿着折叠，点C恰好落在边上点F处，若，，则_______． 【跟踪专练3】如图，在长方形纸片中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的面积为（    ） A．12 B．24 C．36 D．48 题型6.勾股定理求线段平方和差 【典例】在直角三角形中，斜边，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练1】如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 【跟踪专练3】如图，点是等腰直角斜边上一点（不与点、重合），，则等于（） A．1 B．2 C．4 D．不能确定 题型7.勾股定理证明线段平方关系 【典例】定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“和美三角形”，若既是直角三角形，又是“和美三角形”，其三边长分别为a、b、c，且，则＝_____． 【跟踪专练1】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 【跟踪专练2】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，，则___________． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，于点，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型8.勾股定理的证明方法 【典例】在一次数学实践活动中，宛宛同学把四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成了一个大正方形，如图所示．设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，大正方形边长为．请你写出之间的关系式是______．（化到最简） 【跟踪专练1】图1所示的图形在数学中占有重要地位，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票（如图2），也用到了这个图形，这个图形之所以被如此重视，是因为它蕴含了一个重要的数学定理，这个定理是    （       ） A．勾股定理 B．平行线的判定定理 C．平行线的性质定理 D．三角形内角和定理 【跟踪专练2】把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状，使点，，在同一条直线上，利用此图的面积表示式可以得到一个关于，，的代数恒等式，则这个恒等式是____________． 【跟踪专练3】如图，在“剪拼正方形”的数学活动中，将两个边长分别为a，b（）的大小不相等的正方形纸片，通过分割、拼接组成一个边长为c的大正方形（无重叠、无空隙）．下列说法错误的是（     ） A．拼接前后图形的总面积保持不变 B．拼接后大正方形的边长为 C．拼接过程中，分割出的所有三角形一定都是全等的直角三角形 D．该剪拼过程可直观验证勾股定理 题型9.以弦图为背景的计算题 【典例】我国古代“赵爽弦图”是勾股定理的重要证明方法，由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．若直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，小正方形边长为1，则 ________． 【跟踪专练1】第14届数学教育大会（ICME-14）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，，，则正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图1，是北京国际数学家大会的会标，由四个全等的直角三角形拼成，取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”．若图1中大正方形的面积为40，小正方形的面积为8．现将这四个直角三角形拼成图2的形状，则图2中大正方形的面积为______． 【跟踪专练3】有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”．则“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 题型10.勾股定理构造图形解决问题 【典例】如图，小聪拿着一根长竹竿进一个宽4米的城门，他先横着拿进不去，又竖起来拿，结果竿比城门高2米，当他把竿斜着时，两端正好顶着城门的对角，该竹竿长度为（    ） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 【跟踪专练1】文物发掘是考古学的重要组成部分，是对过去历史遗迹和遗物的科学探索．如图，考古学家在某地探明一文物位于点正下方的点处，由于点地下有障碍物，无垂直下挖，于是他们从距离点处的点处斜着挖掘，那么要挖到该文物至少要挖__________． 【跟踪专练2】一个门框尺寸如图，一个长宽的薄木板___________穿过此门．（填“能”或填“不能”） 【跟踪专练3】如图所示，圆柱高为4米，在底面周长为米的圆柱上，有一条彩带从柱底A点沿圆柱表面缠绕2圈到达圆柱顶正上方的C点，则彩带长至少为（　　） A．4米 B．4.3米 C．5米 D．6米 题型11.勾股定理与无理数 【典例】如图，点A表示的实数是______． 【跟踪专练1】如图．点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是1，线段与数轴垂直，且．以A为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点D，则点D表示的数是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，为数轴原点，点表示的数为，过点作数轴的垂线，在垂线上取点，使得，以原点为圆心，为半径作弧，弧与数轴正半轴交于点，则点表示的数为________． 【跟踪专练3】如图，数轴上点表示的数是1，点表示的数是，与数轴垂直，且，以点为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的负半轴交于点，则点表示的实数是（     ） A． B． C． D． 题型12.直角三角形三边判定 【典例】若是的三边长，且满足，则下列结论正确的是（     ） A．是直角 B．是直角 C．是直角 D．无法判断 【跟踪专练1】木工用三根木条围框架，长度分别为、、2，这个框架是_____三角形． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，则的面积是___________． 【跟踪专练3】下列由线段，，组成的三角形不是直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型13..网格中判断直角三角形 【典例】如图，在正方形网格中，若小方格边长为1，则的形状是_______． 【跟踪专练1】在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，下面的三角形是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，每个小正方形的边长都为1，A，B，C是小正方形的顶点，则___________． 【跟踪专练3】如图，在正方形网格中，每一小格的边长为1，网格内有，则∠APB的度数是（     ） A． B． C． D． 题型14.勾股定理逆定理求解 【典例】在中，，则的面积为_______． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，点是的中点，则长为（    ） A． B．2 C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，点D是内一点，连接．已知，则图中阴影部分的面积为______． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是（     ） A．9 B．13 C．14 D．18 题型15.勾股定理逆定理的实际应用 【典例】一块三角形沙地三边长分别为，则这块沙地的面积为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩将长绳钉成一个三角形，其中长为5个结间距的边所对的角便是直角．依据是______________________________________． 【跟踪专练2】．如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A，河边有两个入口B，C，通过道路BA，CA可前往观景点A．因景区改造，需要关闭通道，为方便游客观景，分散人流，决定新修道路（点D在上）．经测量：，，．则是否为从A到河边的最近道路______（请从“是”“否”“不确定”中选择一个填空）． 【跟踪专练3】如图是某超市购物车的侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，则点到的距离为（     ）． A． B． C． D． 解答题 1．如图，在中，，，，为上一点，平分，求的长． 2．阅读理解并解答问题 如果、、为正整数，且满足 那么，、、叫做一组勾股数． (1)请你根据勾股数的意思，说明为什么是一组勾股数； (2)如果表示大于1的整数，且，，，请你根据勾股数的意思，说明、、为勾股数． 3．如图，在外，以为边作，若，，，，求阴影部分的面积． 4．在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，每个小方格的顶点叫做格点．以格点为顶点，分别按下列要求在网格中画出图形并回答问题． (1)在图中，以线段为一边画一个正方形，并写出所画正方形的面积； (2)在图中，画一个三边长分别为，，的三角形． 5．如图，点E是长方形边上的一点，将边沿直线折叠，使点D落在边上的F点处，若，，求的长． 6．手工课上，同学们以“赵爽弦图”为原型制作传统风格装饰画．边长为的大正方形画框由四个全等的直角三角形彩纸和中间的小正方形拼接而成，结构如图所示．设直角三角形的两条直角边长分别为，（），斜边长为． (1)若小正方形的边长为，，求大正方形的边长c； (2)若小正方形的面积为，且，求一个直角三角形的面积． 7．如图，有一块四边形草地，其中，，，，求这块草地的面积． 8．如图，，，． (1)数轴上点A表示的数为___________；比较点A表示的数与4的大小：_________． (2)在数轴上找出对应的点．（保留作图痕迹） 9．“每天锻炼一小时，健康生活一辈子”．如图是小华在公园里跑步的路线图，从点到点有两条路线，分别是和．已知，，点在点的正西方处，点在点的正北方处． (1)求证：； (2)当跑步的速度保持不变，小华想尽快到达点，请你通过计算，建议小华走哪条路更快到达？（参考数据：） 10．剑江河发源于斗篷山，谷江、杨柳街河、邦水河、清塘河等九条支流在此汇合，自古得名“九溪归一”．如图，在剑江河笔直的河流一侧有一露营地A，沿河步道设有两个观景打卡点B，C．已知，为方便游客，计划在沿河步道建一处休憩平台D（B，C，D三点在同一直线上），并修建一条观光小路，测得，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求原路线的长． 11．综合与实践． 【项目主题】特殊三角形的再探究 【项目准备】①勾股定理将“形转化为数”，应用的前提是在直角三角形中． 勾股定理的逆定理将“数转化为形”，作用是判断一个三角形是不是直角三角形，需要判断较小两边平方的和是否等于最大边的平方． 勾股定理及其逆定理揭示了“数形转化”思想． ②在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边平方的k倍（k为正整数），那么这个三角形叫做k倍“平方和”三角形，其中k的值称为“方和倍”． 例如：三边长分别为3，4，时，，是5倍平方和三角形，方和倍等于5． 又的正整数倍，的正整数倍，仅仅是5倍平方和三角形． 【项目实施】 (1)已知三角形三边长分别为2，3，，试说明该三角形是1倍平方和三角形； (2)在平方和中，，，的对边分别为a，b，c，，，，求方和倍的值； (3)在4倍平方和中，，设，，的对边分别为a，b，c，且，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08勾股定理及逆定理暑假预习讲义 · 理解勾股定理的推导过程，掌握直角三角形三边数量关系，能准确说出勾股定理文字表述，规范书写几何语言，分清斜边、直角边。 · 区分勾股定理（由直角推边长关系）与勾股定理逆定理（由三边关系判定直角三角形），理清二者互逆逻辑，结合之前逆命题、逆定理知识，判断二者为互逆定理。 · 熟记勾股定理逆定理内容，掌握利用三边长度判断三角形是否为直角三角形的方法，能识别最长边并验证等式。 · 熟记常见基础勾股数，理解勾股数的定义，能简单辨别一组整数是否为勾股数。 · 能完成纯理论类基础计算：已知直角三角形两边，求第三边；已知三角形三边，判断是否为直角三角形，不涉及生活、折叠、最短路径等实际应用题型。 · 梳理本节易混淆知识点：勾股定理与逆定理的因果关系、斜边判定、勾股数要求，标记看不懂的定理推导、分类讨论题型，课堂针对性听讲。 预习必备 知识梳理 1.勾股定理标准定义 2.定理探究原理 3.勾股定理符号表达 4.勾股定理的逆定理 5.勾股数 6.几何与实际应用 常考题型 精讲精练 1.用勾股定理解三角形 2.勾股数问题 3.直角三角形三边的图形面积 4.勾股定理与网格问题 5.勾股定理与折叠问题 6.勾股定理求线段平方和差 7.勾股定理证明线段平方关系 8.勾股定理的证明方法 9.以弦图为背景的计算题 10.勾股定理构造图形解决问题 11.勾股定理与无理数 12.直角三角形三边判定 13..网格中判断直角三角形 14.勾股定理逆定理求解 15.勾股定理逆定理的实际应用 强化题型 解答题11题 知识点01:勾股定理标准定义 文字定义：如果一个三角形是直角三角形，那么两条直角边的平方和等于斜边的平方。 几何定义：在Rt △ABC中，∠ C=90，直角边为a、b，斜边为c，则 a2+b2=c2 名词释义：较短直角边称为勾，较长直角边称为股，斜边称为弦。 知识点02:定理探究原理（面积法） 在直角三角形三边上向外作正方形，通过网格割补法计算面积：两直角边上正方形面积之和 = 斜边上正方形面积。 面积推导逻辑 知识点03:勾股定理符号表达 在 Rt△中，设两条直角边长为 a、b，斜边长为 c a2+b2=c2 常用变形 1.已知斜边、一直角边，求另一直角边： a2c2b2 b2c2a2 2.边长计算式： c=​​；b=​； ✨记忆口诀：直角两边平方和，等于斜边平方值 知识点04:勾股定理的逆定理（判定定理） 1.内容 若三角形三边长a、b、c满足a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形，最长边c所对的角为直角。 2.标准判定步骤 ① 找出三边中最长边； ② 分别计算两条短边平方和、最长边的平方； ③ 比较大小，相等即为直角三角形，反之则不是。 3.勾股定理与逆定理对比 知识点05:三角形形状判定方法 设c为最长边： a2+b2=c2→ 直角三角形 a2+b2>c2→ 锐角三角形 a2+b2<c2 → 钝角三角形 判定步骤：找最长边→计算三边平方→对比大小→下结论。 知识点06:勾股数 定义：满足 a2+b2=c2 的正整数组 (a,b,c) 称为勾股数 常见勾股数 基础组：(3,4,5)、(5,12,13)、(7,24,25)、(8,15,17) 拓展规律：若 (a,b,c) 是勾股数，则其正整数倍 (ka,kb,kc)（k>0 且为整数）也是勾股数，如 (6,8,10)、(9,12,15) 知识点07:基础应用 1. 解直角三角形 已知条件：直角三角形中任意两边（两直角边 / 一直角边 + 斜边）。 求解目标：求第三边长度。 步骤：先确定斜边 → 代入对应公式计算。 2. 网格中的勾股定理 方法：将斜线段放入网格直角三角形中，数格子得到直角边长度，再用勾股定理求斜边。 应用：计算网格中线段长度、不规则图形面积。 3. 两点间距离（坐标推导） 公式：若两点坐标A(x1​,y1​)、B(x2​,y2​)， 则AB=​ 本质：构造水平、竖直直角边，用勾股定理推导斜边（两点距离）。 知识点08:几何与实际应用(拓展) 1. 勾股树（面积规律） 核心结论：以直角三角形三边向外作正方形，斜边上正方形面积 = 两直角边上正方形面积之和。 拓展：若向外作半圆、正三角形，面积关系依然成立。 2. 折叠问题（高频考点） 核心逻辑：折叠前后对应线段相等、对应角相等，构造直角三角形列方程求解。 解题步骤： (1)设未知线段长度为 x； (2)用 x 表示折叠后相关线段； (3)在直角三角形中代入勾股定理列方程并求解。 矩形 ABCD 沿 BD 折叠，点 C 落在 C′ 处，满足： 对应线段相等：BC′=BC，C′D=CD，ED=ED 对应角相等：∠C′=∠C=90∘，∠C′BD=∠CBD 可构造直角三角形（如 △ABE 或 △DEC′），利用勾股定理列方程求解，与文字逻辑完全一致。 知识点09高频易错点（考场避坑专区） 1.乱用定理：在非直角三角形中直接套用勾股定理； 2.概念混淆：分不清直角边与斜边，计算时代入数据错误； 3.忽略分类讨论：已知两边长，未分 “两边均为直角边”“一斜边一直角边” 两种情况； 4.勾股数误区：小数、分数不属于勾股数（勾股数必须是正整数）； 5.折叠题型失误：不会利用折叠的等量关系，无法构造直角三角形列方程； 6.立体图形展开错误：展开方式不对，导致直角三角形边长取值错 题型1.用勾股定理解三角形 【典例】如图，在中，，若，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，则的面积为________． 【答案】1 【分析】根据勾股定理求出，再由三角形的面积公式计算即可． 【详解】解∶∵在中，，，， ∴， ∴． 【跟踪专练2】在中，，，，P是上一动点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】由题意可知，当时，根据“垂线段最短”，此时取得最小值，先求出，根据等面积法求，即可解答． 【详解】解：∵点P是上的动点， ∴当时，根据“垂线段最短”，此时取得最小值，如图 ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得． 【跟踪专练3】在《天工开物》这部古代科学技术著作中，描述了多种工具和机械的制作与应用，其中有一种古代工匠们使用的名为“矩尺”的测量工具，如图，这种工具的形状类似于一个直角三角形，若书中所描述的“矩尺”的一条较短的直角边长为尺，斜边比较长的直角边多尺，则“矩尺”的较长的直角边的长为（     ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】B 【分析】设较长的直角边长为尺，则斜边长为尺，根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：设较长的直角边长为尺，则斜边长为尺， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：， “矩尺”的较长的直角边的长为尺． 题型2.勾股数问题 【典例】若是一组勾股数，则整数的值为___________． 【答案】13 【分析】分两种情况讨论：当a最大时，当最大时，即可求解． 【详解】解：当a最大时，， 当最大时， ，不是正整数， 所以a的值为13． 【跟踪专练1】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中是“勾股数”的是（     ） A．1，，2 B．8，9，10 C．0.3，0.4，0.5 D．5，12，13 【答案】D 【分析】勾股数需同时满足两个条件：三个数均为正整数，且两个较小数的平方和等于最大数的平方，根据定义逐项判断即可． 【详解】解：根据勾股数的定义依次判断： 选项A中不是正整数，选项C中三个数都是小数，不是正整数，因此A、C不符合定义，排除； 选项B中，，，，不满足平方关系，因此B不符合定义，排除； 选项D中，，，都是正整数，且，满足勾股数的定义，故选D． 【跟踪专练2】如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，若，，，，则正方形E的面积为_______． 【答案】9 【详解】解：∵所有的四边形都是正方形， ∴图中所有三角形都为直角三角形， 由勾股定理得：正方形E的面积． 【点睛】 【跟踪专练3】勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以正方形的一边为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第2026个图形中正方形的个数为（     ） A．2027 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题图可知，第1个图形有1个正方形， 第2个图形中共有个正方形， 第3个图形中共有个正方形， 第4个图形中共有个正方形， 第5个图形中共有个正方形， …… 第2026个图形中共有个正方形． 题型3.直角三角形三边的图形面积 【典例】如图，以直角三角形的三边分别向外作A、B、C三个正方形，若正方形B、C的面积分别为144、169，则正方形A的面积为___________． 【答案】25 【分析】直接利用勾股定理结合面积公式求解即可. 【详解】解： ∵中间三角形为直角三角形，根据勾股定理得： 的面积的面积的面积， ∵正方形B、C的面积分别为144、169， ∴的面积． 【跟踪专练1】如图，数字代表所在正方形的面积，则所代表的正方形的边长是（    ） A．100 B．28 C．9 D．10 【答案】D 【详解】解：根据勾股定理得，所代表的正方形的面积为， ∴所代表的正方形的边长是10． 【跟踪专练2】如图，分别以直角三角形的三条边为一边作正方形，得到正方形，，C．若较小的两个正方形和的面积分别为和，则最大的正方形的面积为_________． 【答案】13 【详解】解：设直角三角形较短的直角边长为，较长的直角边长为，斜边长为， 则， ，， ． 【跟踪专练3】如图，在中，，分别以，为边向外作正方形，面积分别记为，，若，，则的长为（     ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知，，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：根据题意可知：，， ∴． 题型4.勾股定理与网格问题 【典例】如图，网格中每个小正方形的边长都是1．以点为圆心，长为半径画弧，交网格线于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，利用勾股定理进行求解即可. 【详解】解：连接，由作图可知，， 。 在中，，， ∴. 【跟踪专练1】如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸中，经过一次平移后得到，点B的对应点的位置如图所示，则平移距离为________． 【答案】 【分析】在网格中以为斜边构建直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，以为斜边构建直角三角形， 平移距离． 【跟踪专练2】如图，在每个小正方形的边长为的网格中，的顶点，，均落在格点上，以点为圆心长为半径的圆交于点，则点到的距离是__________． 【答案】 【分析】设点到的距离是，根据勾股定理求出，然后利用等面积法求解即可． 【详解】设点到的距离是， 由网格得，，，， ， ， ， 解得， 即点到的距离是． 【跟踪专练3】如图，在的正方形网格中标记了和，则与的度数之和为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可以设正方形边长为1，标出对应格点，通过勾股定理逆定理判定出为等腰直角三角形，再由平行性质知，即可求出． 【详解】解：如图，标出和，设正方形边长为1， 由点都在格点上和勾股定理可求得， ，且 是等腰直角三角形，， 由平行线性质知， ． 题型5.勾股定理与折叠问题 【典例】如图，有一张直角三角形纸片，，，，现将三角形纸片折叠，使得点与边上的点重合，折痕为，则的长为________． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，掌握勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求得，设，根据折叠的性质可得，，，则，在中，勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， 设， 依题意，，，， ∴，， 在中， 即， 解得：，即， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点A落在直角边延长线上的点D处，折痕为，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理和折叠问题．勾股定理求出的长，折叠得到，利用即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴， 由翻折的性质得， ∴． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，将长方形沿着折叠，点C恰好落在边上点F处，若，，则_______． 【答案】10 【分析】根据折叠的性质可得，由长方形的性质可得，从而得到，结合已知比例关系用表示出，最后在中利用勾股定理建立方程求解即可 ． 【详解】解：由折叠的性质得，， ∵四边形是长方形 ， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴ ， 在中，由勾股定理得， ∴，解得：（已舍去负值）． 【跟踪专练3】如图，在长方形纸片中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的面积为（    ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】由折叠可知，设，则，利用勾股定理建立方程求出的长，进而计算三角形面积． 【详解】解：由折叠的性质可知， 设，则， ， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 即， ． 题型6.勾股定理求线段平方和差 【典例】在直角三角形中，斜边，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：∵是直角三角形，是斜边，且， ∴． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理可求出，进而求出正方形的面积． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：， ． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 【答案】38 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求出、、、，再说明，最后代入数据即可解答． 【详解】解：∵四边形的对角线交于点O，， ∴在中，； 在中，； 在中，； 在中，； ∴． 故答案为：38． 【跟踪专练3】如图，点是等腰直角斜边上一点（不与点、重合），，则等于（） A．1 B．2 C．4 D．不能确定 【答案】C 【分析】取斜边中点，得，设，则，由勾股定理得代入变形求解即可． 【详解】解：取斜边中点， ∵是等腰直角三角形， 则，且， 设，则， 在中，由勾股定理：， 则， 即：， 故． 题型7.勾股定理证明线段平方关系 【典例】定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“和美三角形”，若既是直角三角形，又是“和美三角形”，其三边长分别为a、b、c，且，则＝_____． 【答案】或 【分析】分两种情况，根据勾股定理、“和美三角形”的定义计算即可． 【详解】解：在Rt中，， ∴， 当时， ∴，， ∵Rt是“和美三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， 当， ∴，， ∵Rt是“和美三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 故或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了勾股定理，“和美三角形”的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【跟踪专练1】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理计算即可得到答案． 【详解】解：，， ∴，， ∴， 故选： D． 【跟踪专练2】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，，则___________． 【答案】 【分析】由题意可得，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：， ∴，，，， ∴ ． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，于点，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ，， ， 只有C选项结论正确 题型8.勾股定理的证明方法 【典例】在一次数学实践活动中，宛宛同学把四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成了一个大正方形，如图所示．设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，大正方形边长为．请你写出之间的关系式是______．（化到最简） 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算与图形面积的计算，掌握整式的混合运算是关键． 根据题意，分别算出大正方形的面积为，4个直角三角形的面积为，小正方形的面积为，由4个直角三角形的面积与小正方形的面积的和为大正方形的面积，列式求解即可． 【详解】解：根据题意及图示可得，大正方形的边长为，即直角三角形斜边长， ∴大正方形的面积为， 三角形的直角边长分别为， ∴4个直角三角形的面积为， 小正方形的边长为， ∴小正方形的面积为， ∵4个直角三角形的面积与小正方形的面积的和为大正方形的面积， ∴，即， 故答案为： ． 【跟踪专练1】图1所示的图形在数学中占有重要地位，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票（如图2），也用到了这个图形，这个图形之所以被如此重视，是因为它蕴含了一个重要的数学定理，这个定理是    （       ） A．勾股定理 B．平行线的判定定理 C．平行线的性质定理 D．三角形内角和定理 【答案】A 【分析】利用大正方形的面积等于另外两个小正方形的面积的和，以及大正方形的面积等于边长的平方可推导出勾股定理． 【详解】解：由图形可知，利用大正方形的面积等于另外两个小正方形的面积的和，以及大正方形的面积等于边长的平方可推导出勾股定理， ∴利用这个图形证明的重要数学定理是勾股定理． 【跟踪专练2】把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状，使点，，在同一条直线上，利用此图的面积表示式可以得到一个关于，，的代数恒等式，则这个恒等式是____________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．先证是等腰直角三角形，由面积和差关系可得结论． 【详解】∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在“剪拼正方形”的数学活动中，将两个边长分别为a，b（）的大小不相等的正方形纸片，通过分割、拼接组成一个边长为c的大正方形（无重叠、无空隙）．下列说法错误的是（     ） A．拼接前后图形的总面积保持不变 B．拼接后大正方形的边长为 C．拼接过程中，分割出的所有三角形一定都是全等的直角三角形 D．该剪拼过程可直观验证勾股定理 【答案】C 【分析】拼接前后图形的总面积不变，则边长为c的正方形面积为，即边长为c的正方形的边长为，则可证明，根据图形可知分割出的所有三角形不一定都是全等的直角三角形，据此可得答案． 【详解】解：A、由题意得，拼接前后图形的总面积保持不变，原说法正确，不符合题意； B、∵拼接后的大正方形面积等于两个正方形纸片的面积， ∴拼接后的大正方形的面积为， ∴拼接后大正方形的边长为，原说法正确，不符合题意； C、拼接过程中，分割出的所有三角形不一定都是全等的直角三角形，原说法错误，符合题意； D、∵拼接后大正方形的边长为，又为c， ∴，即，原说法正确，不符合题意； 题型9.以弦图为背景的计算题 【典例】我国古代“赵爽弦图”是勾股定理的重要证明方法，由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．若直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，小正方形边长为1，则 ________． 【答案】1 【分析】本题考查了赵爽弦图，根据赵爽弦图的几何结构，小正方形的边长等于直角三角形两直角边之差的绝对值，即，结合小正方形边长为1即可求解． 【详解】解：在赵爽弦图中，四个全等的直角三角形围成一个小正方形，小正方形的边长等于两直角边之差的绝对值． ∵小正方形边长为1， ∴， ∴． 故答案为1． 【跟踪专练1】第14届数学教育大会（ICME-14）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，，，则正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意可知：正方形的面积为． 【跟踪专练2】如图1，是北京国际数学家大会的会标，由四个全等的直角三角形拼成，取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”．若图1中大正方形的面积为40，小正方形的面积为8．现将这四个直角三角形拼成图2的形状，则图2中大正方形的面积为______． 【答案】72 【分析】设直角三角形的两条直角边长分别为、（），先根据图1大正方形面积求出直角三角形的斜边长，根据小正方形面积得到两直角边的差值的平方，利用勾股定理得到的值，进而求出的值．分析图2中大正方形的边长与直角三角形两直角边的关系，可知其边长为，所以面积为，展开后代入已得的和的值即可计算． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边长分别为、（）， 图1中大正方形的边长为直角三角形的斜边，因此大正方形面积满足：； 图1中小正方形的边长为，因此小正方形面积满足：， 展开得： ， 将代入上式，得， 解得． 图2中大正方形的边长为， 因此大正方形面积为： ． 【跟踪专练3】有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”．则“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是即可． 【详解】解：设直角三角形的三条边分别是a，b，c．根据勾股定理，得，即． ∴“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积为； ∵，， 所以“生长”了2次后形成的图形中所有正方形的面积和是 ． 同理：“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和是4． 题型10.勾股定理构造图形解决问题 【典例】如图，小聪拿着一根长竹竿进一个宽4米的城门，他先横着拿进不去，又竖起来拿，结果竿比城门高2米，当他把竿斜着时，两端正好顶着城门的对角，该竹竿长度为（    ） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 【答案】C 【分析】设竹竿长度为米，则城门高为米，根据勾股定理列出方程即可求解． 【详解】解：设竹竿长度为米，则城门高为米， 由勾股定理可得，， 解得， ∴竹竿长度为5米． 【跟踪专练1】文物发掘是考古学的重要组成部分，是对过去历史遗迹和遗物的科学探索．如图，考古学家在某地探明一文物位于点正下方的点处，由于点地下有障碍物，无垂直下挖，于是他们从距离点处的点处斜着挖掘，那么要挖到该文物至少要挖__________． 【答案】13 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，由题意得，，，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴， 即要挖到该文物至少要挖， 故答案为：． 【跟踪专练2】一个门框尺寸如图，一个长宽的薄木板___________穿过此门．（填“能”或填“不能”） 【答案】不能 【分析】连接门框的对角线，利用勾股定理求出的长度为，再通过无理数的估算，比较与的大小，进而判断木板能否通过门框． 【详解】解：连接， 在中，，，， 根据勾股定理：， ， ，，且， ， 长宽的薄木板不能穿过此门． 【跟踪专练3】如图所示，圆柱高为4米，在底面周长为米的圆柱上，有一条彩带从柱底A点沿圆柱表面缠绕2圈到达圆柱顶正上方的C点，则彩带长至少为（　　） A．4米 B．4.3米 C．5米 D．6米 【答案】C 【分析】本题考查圆柱侧面展开图与勾股定理，运用化曲为直的转化思想．解题关键是将圆柱侧面展开为矩形，明确彩带路径在展开图中是直角三角形的斜边，需准确计算水平和竖直方向的直角边长度；易错点是忽略“缠绕2圈”对水平长度的影响，导致水平边长计算错误． 首先把圆柱侧面沿高展开成矩形，确定彩带缠绕2圈后，水平方向长度为底面周长的2倍（米），竖直方向长度为圆柱的高（4米）．其次此时彩带的最短路径为展开图中直角三角形的斜边，根据勾股定理计算斜边长度：米．最后对比选项，得出答案为C． 【详解】解：圆柱高米，彩带缠绕2圈，因此展开后竖直方向的总高度为4米； 底面周长为米，缠绕2圈后，水平方向的总长度为米． 将圆柱侧面展开后，彩带的路径可看作直角三角形的斜边，其中： 水平直角边：3米， 竖直直角边：4米， 根据勾股定理，斜边（彩带长度）为： 米． 故选：C． 题型11.勾股定理与无理数 【典例】如图，点A表示的实数是______． 【答案】 【分析】由勾股定理求出，即可得到点表示的实数． 【详解】解：如图， 可知， ∴表示的实数是． 【跟踪专练1】如图．点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是1，线段与数轴垂直，且．以A为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点D，则点D表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用勾股定理求出，然后得到，即可得到点D表示的数． 【详解】解：∵，，， ∴， 由作图得，， ∴， ∴点D表示的数是． 【跟踪专练2】如图，为数轴原点，点表示的数为，过点作数轴的垂线，在垂线上取点，使得，以原点为圆心，为半径作弧，弧与数轴正半轴交于点，则点表示的数为________． 【答案】 【分析】根据数轴上点的坐标确定直角边的长，利用勾股定理求出斜边的长，再根据圆的半径相等确定的长，从而得出点表示的数． 【详解】解：点表示的数为， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 以原点为圆心，为半径作弧， ， 点在数轴的正半轴上， 点表示的数为． 【跟踪专练3】如图，数轴上点表示的数是1，点表示的数是，与数轴垂直，且，以点为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的负半轴交于点，则点表示的实数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由勾股定理求得，由点A表示的数即可得到点D表示的数． 【详解】解：由题意知， ∵与数轴垂直，且， ∴， 设点D表示的数为d，则， ∴， 即点D表示的数为． 题型12.直角三角形三边判定 【典例】若是的三边长，且满足，则下列结论正确的是（     ） A．是直角 B．是直角 C．是直角 D．无法判断 【答案】C 【详解】解：∵，由勾股定理逆定理知为斜边，． 【跟踪专练1】木工用三根木条围框架，长度分别为、、2，这个框架是_____三角形． 【答案】等腰直角 【分析】根据已知三边长，先判断边的相等关系，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，即可得到结论． 【详解】解：由题意可知，三角形三边长分别为，，． 该三角形是等腰三角形． 又，， ． 根据勾股定理的逆定理可知，该三角形是直角三角形． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，则的面积是___________． 【答案】 【分析】根据勾股定理的逆定理判断 为直角三角形，再利用直角三角形面积公式求解即可． 【详解】解：，，， ，， ， 是直角三角形，且 ， ． 【跟踪专练3】下列由线段，，组成的三角形不是直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】解：A．最长边为，， 该三角形是直角三角形，不符合要求； B．最长边为，， 该三角形是直角三角形，不符合要求； C．最长边为，，，，即， 该三角形不是直角三角形，符合要求； D．最长边为，， 该三角形是直角三角形，不符合要求． 题型13..网格中判断直角三角形 【典例】如图，在正方形网格中，若小方格边长为1，则的形状是_______． 【答案】 直角三角形 【分析】根据正方形网格求出三角形的边长，再根据勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】解：， ， ， ， 是直角三角形． 【跟踪专练1】在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，下面的三角形是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 先根据勾股定理求出三角形各边的长，再根据勾股定理的逆定理逐一判断即可． 【详解】解：A、三角形的三边长分别为3，，， ∵， ∴选项A中的三角形不是直角三角形，故不符合题意； B、三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴选项B中的三角形不是直角三角形，故不符合题意； C、三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴选项C中的三角形是直角三角形，故符合题意； D、三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴选项D中的三角形不是直角三角形，故不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】如图，每个小正方形的边长都为1，A，B，C是小正方形的顶点，则___________． 【答案】 【分析】连接，由勾股定理可得，，再结合勾股定理逆定理得出为等腰直角三角形，且，从而即可得出结果． 【详解】解：如图：连接， 由勾股定理可得：，， ∵， ∴为等腰直角三角形，且， ∴． 【跟踪专练3】如图，在正方形网格中，每一小格的边长为1，网格内有，则∠APB的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到格点，连接，根据网格特点并结合勾股定理可求出，，，根据勾股定理的逆定理可得为等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：延长到格点，连接， 由网格特点可得，， ，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 题型14.勾股定理逆定理求解 【典例】在中，，则的面积为_______． 【答案】 【分析】根据已知三边长，利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形，再根据直角三角形面积公式计算面积． 【详解】解：，，， ， 根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，为直角， 则． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，点是的中点，则长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】首先根据勾股定理逆定理判断为直角三角形，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 是直角三角形，且， 点是的中点， 是斜边上的中线， ． 【跟踪专练2】如图，在中，点D是内一点，连接．已知，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】24 【分析】在中，利用勾股定理可得，再利用勾股定理逆定理可得为直角三角形，且，然后根据图中阴影部分的面积为，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴图中阴影部分的面积为． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是（     ） A．9 B．13 C．14 D．18 【答案】A 【分析】连接，先由勾股定理求出，再由勾股定理逆定理证明是直角三角形，，然后根据四边形的面积求解即可． 【详解】解：如图，连接， 在中，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴四边形的面积 ． 题型15.勾股定理逆定理的实际应用 【典例】一块三角形沙地三边长分别为，则这块沙地的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据勾股定理的逆定理判断三角形形状，再利用直角三角形面积公式计算面积即可. 【详解】解：∵， ∴该三角形是直角三角形，两条直角边长分别为和， ∴这块沙地的面积为. 【跟踪专练1】如图，把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩将长绳钉成一个三角形，其中长为5个结间距的边所对的角便是直角．依据是______________________________________． 【答案】如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握若三角形三边长满足，则该三角形是直角三角形是解题的关键． 先以结间距为单位确定三角形的三边长，再计算三边的平方，验证两个较短边的平方和是否等于最长边的平方，从而确定对应的判定依据． 【详解】解：设每个结间距的长度为，则三角形的三边长分别为 、、, ∵， ∴该三角形的三边长满足较短两边的平方和等于最长边的平方， ∴长为个结间距的边所对的角是直角，依据是如果三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形． 故答案为：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形． 【跟踪专练2】．如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A，河边有两个入口B，C，通过道路BA，CA可前往观景点A．因景区改造，需要关闭通道，为方便游客观景，分散人流，决定新修道路（点D在上）．经测量：，，．则是否为从A到河边的最近道路______（请从“是”“否”“不确定”中选择一个填空）． 【答案】是 【分析】可证明，则可得到，再由垂线段最短可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 由垂线段最短可知是从A到河边的最近道路． 【跟踪专练3】如图是某超市购物车的侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，则点到的距离为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据勾股定理的逆定理说明是直角三角形，再设点C到的距离是h，根据可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，且． 设点C到的距离是h， 根据题意，得， 即， 解得， 所以点C到的距离是． 解答题 1．如图，在中，，，，为上一点，平分，求的长． 【答案】 【分析】由勾股定理的逆定理得是直角三角形，过点作于点，过点作于点，则是等腰直角三角形，借助三角形面积求出，再根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形，． 如图，过点作于点，过点作于点， ∵平分，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．阅读理解并解答问题 如果、、为正整数，且满足 那么，、、叫做一组勾股数． (1)请你根据勾股数的意思，说明为什么是一组勾股数； (2)如果表示大于1的整数，且，，，请你根据勾股数的意思，说明、、为勾股数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）直接利用勾股数的定义去验证即可； （2）得到即可得到这是一组勾股数． 【详解】（1）解：∵都是正整数， 且，， ∴， ∴是一组勾股数； （2）解：∵表示大于1的整数， ∴，，都是正整数， ∵，， ∴， ∴、、是一组勾股数． 3．如图，在外，以为边作，若，，，，求阴影部分的面积． 【答案】26 【分析】阴影部分面积等于面积减去面积，借助勾股定理可求． 【详解】解：在 中，， 由勾股定理得： ， 在中， ， ， ， 则 ． 4．在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，每个小方格的顶点叫做格点．以格点为顶点，分别按下列要求在网格中画出图形并回答问题． (1)在图中，以线段为一边画一个正方形，并写出所画正方形的面积； (2)在图中，画一个三边长分别为，，的三角形． 【答案】(1)正方形即为所求，8 (2)即为所求 【分析】（1）观察网格，求出正方形面积，从点、点作垂直边，四点顺次连接即为以为边的格点正方形． （2）将无理数边长拆分为网格直角三角形斜边，是直角边1、3的斜边，是直角边2、3的斜边，3为整数格线段，取公共顶点拼接三边得到目标三角形． 【详解】（1）解：观察网格，点、横向差2格，纵向差2格，由勾股定理，正方形面积， 因此正方形面积为8． 从点向下平移2格、向右平移2格，同理从点作垂直边，四点顺次连接即为以为边的格点正方形． （2）解：，，另为横格线段， 在网格中取格点，距离为3； 另取一点使其满足上述勾股定理， 即得到三边长为、、的三角形． 5．如图，点E是长方形边上的一点，将边沿直线折叠，使点D落在边上的F点处，若，，求的长． 【答案】的长为 【分析】根据长方形以及折叠的性质可得，，，，设，则，，然后对和运用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是长方形，将边沿直线折叠， ，，，， 设，则． ， 在中，， ． 在中，由勾股定理得：，即：， 解得． 的长为． 6．手工课上，同学们以“赵爽弦图”为原型制作传统风格装饰画．边长为的大正方形画框由四个全等的直角三角形彩纸和中间的小正方形拼接而成，结构如图所示．设直角三角形的两条直角边长分别为，（），斜边长为． (1)若小正方形的边长为，，求大正方形的边长c； (2)若小正方形的面积为，且，求一个直角三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据小正方形边长得到，结合联立求出、的值，再利用勾股定理计算斜边； （2）由小正方形面积得，展开得到式子①，将展开得到式子②，两式相减求出，最后根据直角三角形面积公式计算面积。 【详解】（1）解：因为已知小正方形的边长为， 所以小正方形的边长为， 因为， 得， 因为， 所以， 所以． （2）解：因为小正方形的面积为， 所以，即①， 因为，即②， ，得， 所以． 所以直角三角形的面积为：． 7．如图，有一块四边形草地，其中，，，，求这块草地的面积． 【答案】 【分析】连接，根据勾股定理，可求，再求两个直角三角形的面积，相加即可． 【详解】解：连接， 由题可知，和是直角三角形， 根据勾股定理，可得， ，，， ，解得， 则四边形的面积为：（）， 则这块草地的面积为． 8．如图，，，． (1)数轴上点A表示的数为___________；比较点A表示的数与4的大小：_________． (2)在数轴上找出对应的点．（保留作图痕迹） 【答案】(1)； (2)解：如图，点F表示的数为，即为所求． 【分析】（1）根据勾股定理求出，即可得到的长，从而得出点A表示的数．先比较与2的大小，进而得出与4的大小关系； （2）在表示的点D处作垂线，在该垂线上取点E，使得，连接，以O为圆心，的长为半径画弧，交数轴负半轴于点F，则点F为所求． 【详解】（1）解：由图可得，， ∴在中，， ∴， ∴点A表示的数是． ∵， ∴． （2）解：由作图可得，， ∴在中，， ∴， ∴点F表示的数是，即为所求． 9．“每天锻炼一小时，健康生活一辈子”．如图是小华在公园里跑步的路线图，从点到点有两条路线，分别是和．已知，，点在点的正西方处，点在点的正北方处． (1)求证：； (2)当跑步的速度保持不变，小华想尽快到达点，请你通过计算，建议小华走哪条路更快到达？（参考数据：） 【答案】(1)证明：在中，，，， ，， ， ， ； (2)建议小华走这条路能更快到达 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理判定即可； （2）根据勾股定理可求的长度，比较和即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，， 由勾股定理，得， ， ． ， 路线较短， ∴建议小华走这条路能更快到达． 10．剑江河发源于斗篷山，谷江、杨柳街河、邦水河、清塘河等九条支流在此汇合，自古得名“九溪归一”．如图，在剑江河笔直的河流一侧有一露营地A，沿河步道设有两个观景打卡点B，C．已知，为方便游客，计划在沿河步道建一处休憩平台D（B，C，D三点在同一直线上），并修建一条观光小路，测得，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求原路线的长． 【答案】(1)解：为直角三角形，理由如下：            ，，， ，， ，             为直角三角形． (2)原路线的长为 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理求解即可； （2）设，则，再利用勾股定理求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：设，则， 由（1）知为直角三角形， ， 为直角三角形， ， 即， 解得， ， 原路线的长为． 11．综合与实践． 【项目主题】特殊三角形的再探究 【项目准备】①勾股定理将“形转化为数”，应用的前提是在直角三角形中． 勾股定理的逆定理将“数转化为形”，作用是判断一个三角形是不是直角三角形，需要判断较小两边平方的和是否等于最大边的平方． 勾股定理及其逆定理揭示了“数形转化”思想． ②在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边平方的k倍（k为正整数），那么这个三角形叫做k倍“平方和”三角形，其中k的值称为“方和倍”． 例如：三边长分别为3，4，时，，是5倍平方和三角形，方和倍等于5． 又的正整数倍，的正整数倍，仅仅是5倍平方和三角形． 【项目实施】 (1)已知三角形三边长分别为2，3，，试说明该三角形是1倍平方和三角形； (2)在平方和中，，，的对边分别为a，b，c，，，，求方和倍的值； (3)在4倍平方和中，，设，，的对边分别为a，b，c，且，求的值． 【答案】(1)说明见解析 (2)平方和的方和倍的值是1或7 (3) 【分析】（1）根据k倍“平方和”三角形的定义说明即可； （2）先求出，再分情况讨论即可； （3）根据勾股定理可知，进而分当时，当时，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：，，，且， ∴该三角形是1倍平方和三角形； （2）解：根据勾股定理，得，即， ①， 方和倍； ②， 方和倍； ③，不等于60的正整数倍； ∴平方和的方和倍的值是1或7； （3）解：在中，， ； 根据“是4倍平方和三角形”，再分两种情况考虑： ①当时， 将代入，得， ； 又， 不合题意，舍去； ②当时， 将代入，得， ， ， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $