专题11 直角三角形与直角三角形全等的判定（4知识点+6大题型+4大拓展训练+过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（浙教版2024）

专题11 直角三角形与直角三角形全等的判定 （4知识点+6大题型+4大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练+4大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：直角三角形的概念 有一个角是直角的三角形是直角三角形.直角三角形表示方法：Rt△.如下图，可以记作“Rt△ABC”. 要点：三角形有六个元素，分别是：三个角，三个边，在直角三角形中，有一个元素永远是已知的，就是有一个角是90°.直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30°的直角三角形两种特殊的直角三角形，每种三角形都有其特殊的性质. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江舟山·阶段练习）在下列条件；①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3．如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形． 知识点2：直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 要点：直角三角形的特征是两锐角互余，反过来就是直角三角形的一个判定：两个角互余的三角形是直角三角形. 含有30°的直角三角形中，同样有斜边上的中线等于斜边的一半，并且30°的角所对的直角边同样等于斜边的一半. 【即时训练】 4．（2025八年级下·浙江·专题练习）如图，在中，于点F，于点E，M为的中点，若，，求的周长． 5．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，的延长线于，的延长线于，为的中点，分别连接、、．    (1)若，，求的周长； (2)若，，求的度数． 6．（22-23八年级上·浙江舟山·期末）在中，是边上的高，、分别为、边上的中点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 知识点3：直角三角形判定 两个角互余的三角形是直角三角形. 在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 知识点4：判定直角三角形全等的特殊方法——“HL” 定理：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 【即时训练】 7．如图，在中，，的角平分线交于点，于点．若，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，，，点、、、分别在直线与上，点在上，，，，则 ． 9．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，平分，于点E，于点F，且． (1)求证：． (2)若．求的值． 【题型1 直角三角形的两个锐角互余】 1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，中，边的垂直平分线分别交于点，连接．若，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，点在边上，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处．若，则（   ） A． B． C． D． 4．在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的倍多，则较小锐角的度数为 ． 5．已知中，，为边上的高，平分，分别交于点F、E． (1)试说明； (2)若，试着求出的度数； (3)猜想与的数量关系：______（填“>”、“<”或“=”）． 【题型2 锐角互余的三角形是直角三角形】 6．满足下列条件的不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 7．下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能确定是直角三角形的条件有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 8．在直角三角形中，有一个锐角是另外一个锐角的5倍，则这个锐角的度数为 度． 9．如图，中，的平分线交于点F，平分．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ． 10．如图，已知：，，的平分线交于点，过作于点， 求证： 【题型3 斜边的中线等于斜边的一半】 11．如图，在中，，，为边的中点，连接，过点作的平行线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 12．如图，在四边形中，，点O是对角线的中点，若，则的长为 ． 13．如图，在中，于点F，于点E，M为的中点，若，，求的周长． 14．如图，在中，的延长线于，的延长线于，为的中点，分别连接、、．    (1)若，，求的周长； (2)若，，求的度数． 15．如图，已知中，，E是的中点，垂直平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【题型4 含30度角的直角三角形】 16．小辉为宣传“两会”，设计了形状如图所示的彩旗，已知，，点D在上，且，，则的长为（   ）    A．30cm B．32cm C．34cm D．36cm 17．如图，已知在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 18．如图，和均为直角三角形，且，点从点向点运动．在运动过程中，线段长的最小值为 ． 19．如图，在的两边上有两点和在运动，且点从离点有厘米远的地方出发，以厘米每秒运动，点从点出发以厘米每秒运动，则为直角三角形时，两点的运动时间为 秒． 20．如图，在中，，D是上的一点，过点D作于点E，分别延长和，交于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【题型5 用HL证明全等】 21．如图所示，和中，于点D，于点，且，，求证：． 22．如图，在中，，平分交于点D，过点D作于点E． (1)求证：． (2)若，求的长． 23．如图，已知，，与相交于点，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的值并说明理由． 24．如图，在四边形中，，是上的一点，且，连接，，． (1)求证：； (2)求的度数． 25．如图，平分，于点E，于点F，且． (1)求证：． (2)若．求的值． 【题型6 全等的性质与HL综合】 26．如图，点，分别在的边，上，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，于点．求证：． 27．如图，在中，于点D，E为上一点，且，．    (1)求证：； (2)若，试求△的面积． 28．如图，在中，，是过点的直线，点、在的两侧，于，于点，且． (1)求证：； (2)若，，请求出的长． 29．如图，点为外一点，为的中点，于点，交的延长线于点，连接，，且，． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 30．如图，是的角平分线，，垂足分别是E，F，连接与相交于点G． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若的面积为8，，求的长． 【拓展训练一 斜边的中线定理综合】 31．如图，在中，，点D在上（），过点D作，交的延长线于点E，连接，以为底作等腰（点E，F在直线的异侧），连接． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)用等式表示线段与的数量关系，并证明， 32．如图，已知锐角中，、分别是、边上的高，M、N分别是线段、的中点． (1)证：； (2)若，，连接、，求的度数． 33．阅读材料：从三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，如果顶点与交点之间的线段将这个三角形分割成两个小的等腰三角形；那么我们就把原三角形叫作“可两分三角形”．这条线段叫作这个三角形的“两分线”： (1)在中，，，是中线，则_______（填“是”或“不是”）的两分线； (2)如图，在中，，平分，．求证：是的两分线； (3)图中①、②均是可两分三角形，请利用量角器和直尺画出①、②的两分线，并标出分成的等腰三角形顶角的度数； (4)已知是可两分三角形，且，为钝角，请直接写出所有可能的度数． 34．已知在中，，，是的中点，是边上的一点，连结，作交直线于点． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当是边上任意一点时，与还相等吗？若相等，请给予证明，若不相等，请说明理由； (3)请直接写出，，之间的数量关系． 35．已知线段，以为斜边作和，连接，分别是线段、的中点，连接、． (1)如图1，和在线段的两侧． ①求证：； ②若，；请求出的度数； (2)如图2，和在线段的同侧，若、，则的度数为______（用含、的代数式表示） 【拓展训练二 含30°角的直角三角形综合】 36．已知，如图，为等边三角形，，、相交于点 (1)求证：； (2)求的度数； (3)若于，，，求的长. 37．已知，平分，点B，D分别在，上 (1)如图1，若，请你探索是否成立，并给出证明． (2)如图2，若，则是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由． 38．【课本再现】 （1）课本上通过对两个含角的三角板的摆放，得到“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质．小涵受此启发给出如下不完整的证明过程： 已知：如图，在中，，．求证：． 证明：如图，延长至点，使，连接，，垂直平分，…… 请补充上述证明过程． 【知识应用】 （2）如图1，用两个大小不等的直角三角板作拼图，小三角板的斜边与大三角板的短直角边正好重合，已知：，． ①的长为_____； ②如图2，若将小三角板沿着射线方向平移，设平移的距离为（平移距离指点沿方向所经过的线段长度）．当点平移到大三角板的边上时，直接写出相应的的值． 39．【问题初探】 （1）如图1，在中，，点F是上一点，点E是延长线上的一点，连接，交于点D，若，求证：． 【类比分析】 （2）如图4，在中，点E在线段上，D是的中点，连接，，与相交于点N，若，求证：； 【学以致用】 （3）如图5，在中，，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且，请直接写出线段，和之间的数量关系．          40．【问题提出】 如图1，通过拼摆两个含角的全等的三角尺，发现两个三角尺恰好可以拼成一个等边三角形，从而得出猜想：在直角三角形中，若一个锐角为，则它所对的直角边等于斜边的一半． 通过实验提出猜想后，如何通过几何推理严格证明该性质？ 【思路启迪】 从逻辑推理的角度思考：如何通过添加辅助线将含的直角三角形转化为等边三角形或其他特殊图形，从而将边角关系转化为已知定理？ 已知：如图，中，，，求证：． 请在图中添加辅助线，将含的直角三角形转化为等边三角形或其他特殊图形，要求：用两种不同的方法（后续论证方法不同）在图2、图3添加辅助线，并用简短、专业的数学语言描述如何添加辅助线的． 分类 方法一（图2） 方法二（图3） 画图及描述 【逻辑论证】在上述图形中，选择其中一种方法，完成证明． 【触类旁通】 以上完成了命题“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”的证明．反过来思考：它的逆命题是否成立呢？ （1）请补充完整它的逆命题：“在直角三角形中，如果__________，那么__________．” （2）请判断该逆命题是否成立，并说明你的理由． 【拓展训练三 直角三角形中的动点问题】 41．如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，垂足为E，平分． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若，点P是直线上的动点，求的最大值． 42．综合与探究 问题情境： 如图，在边长为6的等边中，E为边中线上的一动点，连接，在的下方作等边． 初步探究：（1）如图1，当时，__________． 深入探究： （2）如图2，连接． ①猜想与的位置关系，并说明理由． ②当时，求点F到边的距离． （3）如图3，连接，当的周长取得最小值时，直接写出此时的度数． 43．如图，在中，，，，平分，交边于点，点是边的中点．点为边上的一个动点． (1)填空：__________，的度数为__________； (2)当四边形为轴对称图形时，求的长； (3)若是等腰三角形；求的度数； (4)若点在线段上，连接，，直接写出的值最小时的长度． 44．如图，在中，，，．动点P，Q分别从点A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向终点B匀速运动，点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C匀速运动．连接PQ，设点P的运动时间为． (1)求的长度；（用含x的代数式表示） (2)当为直角三角形时，求x的值； (3)若为等边三角形，则x的值为___________； (4)连接PC，直线PQ将的面积分成1：3两部分时，直接写出x的值． 45．如图1，P，Q分别是边长为的等边三角形的边，上的动点，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，都以的速度分别向点B，C运动． (1)连接，相交于点M，则在点P，Q运动的过程中，的大小发生变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． (2)当点P，Q运动的时间为多少时，为直角三角形？ (3)如图2，若点P，Q运动到终点后继续在射线，上运动，直线，相交于点M，则的度数为 ． 【拓展训练四 HL证明全等综合】 46．已知，在等边中，点，分别在，上，且，连接与交于点． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，连接，，当时，求证：是的垂直平分线； (3)如图3，连接，当时，若，求的长． 47．（1）如图1，在四边形中，，，点、分别在边、上，若则线段、、间的数量关系是 ． （2）如图2，在四边形中，，，点、分别在边、上，若，探究、、的之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，在中，，，是线段上一点，，且，过点作交的延长线于，过作交于，连接．若，，求的长． 48．如图1，在和中，，，且，我们把和称为“等腰相伴”三角形，点和点为对应顶点． (1)求证：； (2)如图2，在四边形中，，为对角线，，，．若，求证：和是“等腰相伴”三角形； (3)在中，，，在平面内是否存在点（，两点位于直线同侧），使和是“等腰相伴”三角形，且点和点为对应顶点．若存在，请画出图形，并求的度数；若不存在，请说明理由． 49．如图1，图2，在和中，，，，与所在直线相交于点，于点．    (1)如图1，连接，求证：平分； (2)如图1，若，，则的长为___________； (3)如图2，若，，连接，交于点． ①是否为线段的垂直平分线？并说明理由； ②过点作，交的延长线于点，直接写出与之间的数量关系． 50．如图，在中，，D为边上一点，过点D作的垂线，分别交边，的延长线于点E，F，且． (1)求证：点D在的平分线上； (2)连接，若，，求的值． 1．达芬奇曾发明过一个简易圆规．某数学兴趣学习小组在课后复刻了这一圆规（图1）．其原理为如图2：有两条互相垂直的卡槽，将一根木棒的两端A和B分别卡在卡槽中自由滑动，在木棒的中部P插有一只记号笔，然后移动木棒的一端，另一端也随之移动．记号笔最终画出了一段圆弧．根据你所学知识，分析“木棒作弧”所运用的数学原理是（    ） A．直角三角形的两直角边长度的平方和等于第三条边长度的平方 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半 D．直角三角形的两锐角互余 2．如图，在中，，，分别在边上，将沿着折叠，得到，与交于．当时，的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，一根长5米的梯子斜靠在与地面垂直的墙上，P为的中点，当梯子的一端A沿墙面向下移动，另一端B沿向右移动时，的长（    ） A．先增大，后减小 B．逐渐减小 C．逐渐增大 D．不变 4．如图，用三角尺按如下方法画角平分线：在、上分别取点M、N，使，再分别过点M，N作、的垂线，交点为P，画射线，则平分，其作图原理是：，这样就有，则这两个三角形全等的依据是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在等边三角形中，，点D是的中点，过点D作于点F，过点F作于点E，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．如图，在中，，，，点是直角边上的一个动点，连接，以为边向外作等边，连接，在点运动的过程中，线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，是边上的中线，且，则的长为 ． 8．钱塘轮滑中心为杭州第19届亚运会轮滑、滑板比赛场馆，由亚运轮滑馆和亚运滑板公园两部分组成．如图，一名轮滑学生在轮滑训练馆沿着倾斜角为的斜坡，从A滑行至B，若米，则这名轮滑学生的高度下降了 米． 9．如图，已知：的平分线与的垂直平分线相交于点，，垂足分别为，，则 ．    10．如图，已知平分，于点，于点，且，若，，则的长为 ． 11．如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点的运动时间为．过点作于点．在点的运动过程中，当为 时，能使？ 连 12．如图，中，D是的中点，交于，则 ． 13．如图，垂直于点． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若垂直于点，求的度数． 14．如图，在中，，平分，，，求： (1)的度数； (2)的度数． 15．如图，已知等腰中，，，是的高，是的角平分线，与交于点．当的大小变化时，的形状也随之改变． (1)当时，求的度数； (2)设，当为多少度时，是等腰三角形？ 16．如图，在中，为延长线上一点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 17．如图，在中，，点为中点，点在边上，连接． (1)如图1，若于点，求证：； (2)如图2，已知．若点在边上，，求的长． 18．为了测量某池塘的宽度，两个数学研究小组设计了不同的方案，他们在池塘西边点A处插一根标杆，测得另一根标杆B恰好在正东方向，测量方案如表： 调题 测量池塘宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 组到 第一小组 第二小组 测量方案 在地面选择点，使，，且点，，和点，，都在一条直线上． 从点出发，沿着南偏西方向笔直前进至，并在方向沿途插下四根标杆，，，． 示意图 (1)第一小组认为要知道池塘宽度，只需测量______的长度，并说明理由． (2)第二小组的方案需要选择一根标杆点与连结，并测量出相关线段即可求出的长． 选择标杆______（填写，，，），测量图上线段______ ，还需测量哪些线段或者角度（测量长度精确到，角度精度到．） 已知的实际长度为，请根据前面测量数据计算出池塘宽度的长． 19．在中，，点在上，过点作于，过点作于，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作的垂线交于，连接，若，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中四个与全等的三角形（除外）． 20．如图，在中，，，，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动．设点的运动时间为． (1)　　． (2)求斜边上的高线长． (3)①当在上时，的长为 　　，的取值范围是 　　．(用含的代数式表示) ②若点在的角平分线上，则的值为 　　． (4)在整个运动过程中，直接写出是以为一腰的等腰三角形时的值． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 直角三角形与直角三角形全等的判定 （4知识点+6大题型+4大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练+4大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：直角三角形的概念 有一个角是直角的三角形是直角三角形.直角三角形表示方法：Rt△.如下图，可以记作“Rt△ABC”. 要点：三角形有六个元素，分别是：三个角，三个边，在直角三角形中，有一个元素永远是已知的，就是有一个角是90°.直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30°的直角三角形两种特殊的直角三角形，每种三角形都有其特殊的性质. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江舟山·阶段练习）在下列条件；①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的定义，利用三角形的内角和定理求出角的度数，即可分别进行判断． 【详解】解：①由得到，即，是直角三角形； ②由题可得，是直角三角形； ③由得到2，解得，，不是直角三角形； ④由得到，解得，，，是直角三角形； ⑤由得到，解得，不是直角三角形； 故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案． 本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故本小题符合题意； ②∵，， ∴最大角为， ∴是直角三角形， 故本小题符合题意； ③∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是锐角三角形， 故本小题不符合题意； ④∵，， ∴最大角为， ∴是直角三角形， 故本小题符合题意； ⑤∵，， ∴最大角为， ∴是直角三角形， 故本小题符合题意． 综上所述，是直角三角形的是①②④⑤共4个． 故选：B． 3．如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定；由是边上的高，得；再由，即可得结论成立． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是直角三角形． 知识点2：直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 要点：直角三角形的特征是两锐角互余，反过来就是直角三角形的一个判定：两个角互余的三角形是直角三角形. 含有30°的直角三角形中，同样有斜边上的中线等于斜边的一半，并且30°的角所对的直角边同样等于斜边的一半. 【即时训练】 4．（2025八年级下·浙江·专题练习）如图，在中，于点F，于点E，M为的中点，若，，求的周长． 【答案】14 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据三角形的周长的定义解答． 【详解】解：∵，M为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴的周长． 5．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，的延长线于，的延长线于，为的中点，分别连接、、．    (1)若，，求的周长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)10 (2) 【分析】（1）根据，，为的中点，得，结合，求的周长即可． （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解答即可． 本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，为的中点，， ∴， ∵， ∴的周长为． （2）解：，为的中点， ， ， ， ，为的中点， ， ， ， ， 的度数为． 6．（22-23八年级上·浙江舟山·期末）在中，是边上的高，、分别为、边上的中点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线 （1）连接，根据垂直定义可得，再利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答； （2）先利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用等腰三角形的性质可得，从而利用平角定义可得，再利用等腰三角形的三线合一性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）证明：连接， ， ， 是的中线， ， ， ， 点是的中点， ； （2）解：，， ， ， ， ， ，点是的中点， ， 的度数为． 知识点3：直角三角形判定 两个角互余的三角形是直角三角形. 在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 知识点4：判定直角三角形全等的特殊方法——“HL” 定理：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 【即时训练】 7．如图，在中，，的角平分线交于点，于点．若，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，解题关键是掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等．由角平分线的性质得，证明得，进而可求出的周长． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为， 故选：B． 8．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，，，点、、、分别在直线与上，点在上，，，，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质以及平行线的性质．先判定，从而得出，则． 【详解】解：，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 9．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，平分，于点E，于点F，且． (1)求证：． (2)若．求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定定理与性质、角平分线的性质等知识点，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题关键． （1）先根据角平分线的性质可得，再根据直角三角形全等的判定定理即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，再根据直角三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据线段的和差即可得． 【详解】（1）证明：平分，，， ． 在和中， ∵ ． （2）解：由（1），得， ． ，， ． 在和中， ∵ ， ， ， ． 【题型1 直角三角形的两个锐角互余】 1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形，根据直角三角形两锐角互余的性质，已知一个锐角为，另一个锐角的度数即为减去已知锐角的度数． 【详解】解：∵在直角三角形中，两个锐角的和为， ∴． 故选：D． 2．如图，中，边的垂直平分线分别交于点，连接．若，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等，由线段垂直平分线的性质得，即得，由直角三角形两锐角互余得，进而由三角形外角性质可得，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 3．如图，在中，，点在边上，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质、直角三角形的性质、三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据折叠的性质可得，，结合得到，再利用三角形外角的性质得到，即可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质得，，， 又， ， ， ， ． 故选：C． 4．在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的倍多，则较小锐角的度数为 ． 【答案】/15度 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，关键步骤是正确设定变量并准确列方程，最终求出较小的锐角度数．本题设定未知数，根据直角三角形两锐角互余的性质，建立方程求解较小的锐角度数． 【详解】解：设较小的锐角为，则较大的锐角为，   根据直角三角形两锐角之和为，得：   ， 解得：， 所以较小锐角的度数为． 故答案为：． 5．已知中，，为边上的高，平分，分别交于点F、E． (1)试说明； (2)若，试着求出的度数； (3)猜想与的数量关系：______（填“>”、“<”或“=”）． 【答案】(1)见解析 (2) (3)= 【分析】（１），为边上的高，得 ，，即得； （２）根据， ，∵平分，可得； （３）根据. . ，，即得． 【详解】（1）解：∵中，， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴. ∵， ∴. ∵平分， ∴， ∴. ∵， ∴， 即． 故答案为：=． 【点睛】本题考查了三角形内角和．熟练掌握直角三角形两锐角性质，角平分线定义，余角性质，三角形外角性质，是解题的关键． 【题型2 锐角互余的三角形是直角三角形】 6．满足下列条件的不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的识别，根据三角形内角和定理以及直角三角形的判定逐项判断，即可得到结论． 【详解】解：A，，是直角三角形，不合题意； B，时，最大的角，不是直角三角形，符合题意； C，，则，是直角三角形，不合题意； D，，则，是直角三角形，不合题意； 故选B． 7．下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能确定是直角三角形的条件有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和是和有两个角互余的三角形是直角三角形是解题的关键；根据直角三角形的判定，三角形的内角和定理逐项计算判定即可。 【详解】解：①，， ， ， 是直角三角形， 故本选项符合题意； ②， ， 是直角三角形， 故本选项符合题意； ③， ， 是直角三角形， 故本选项符合题意； ④，， ， 不是直角三角形， 故本选项不符合题意； ⑤， 设，则， ， ， 解得：， ， 不是直角三角形， 故本选项不符合题意； 能确定是直角三角形的条件有①②③，共有个， 故选：． 8．在直角三角形中，有一个锐角是另外一个锐角的5倍，则这个锐角的度数为 度． 【答案】/15度 【分析】设较小的锐角是x度，则另一角是度．再根据直角三角形的两个角互余列方程求解即可． 【详解】解：设较小的锐角是x度，则另一角是度． 则，解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、一元一次方程的应用等知识点，掌握直角三角形的两锐角互余是解答本题的关键． 9．如图，中，的平分线交于点F，平分．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ． 【答案】①③④ 【分析】根据可以判断①；无法判定②；根据，得到，设与的交点为O，得到，结合可以判定③，活用等腰三角形三线合一性质，可以判定结论④． 【详解】因为， 所以， 所以①正确； 无法判定②； 因为， 所以， 设与的交点为O， 因为平分，平分， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以结论③正确， 因为平分，， 所以直线是线段的垂直平分线，直线是线段的垂直平分线， 所以， 所以， 所以， 所以结论④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的三线合一性质，角的平分线，余角的性质，平行线的判定，熟练掌握直角三角形的性质，余角的性质，平行线的判定是解题的关键． 10．如图，已知：，，的平分线交于点，过作于点， 求证： 【答案】见解析 【分析】延长，根据已知条件可知，进而得到，最后根据已知条件可知，从而得到结论． 【详解】解：∵的平分线交于点， ∴， ∵过作于点， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∵，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和，余角的性质等相关知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【题型3 斜边的中线等于斜边的一半】 11．如图，在中，，，为边的中点，连接，过点作的平行线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半、等边三角形的性质与判定，平行线的性质，熟练掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．先证明是等边三角形，得出，根据，可得，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵在中，，，为边的中点， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 12．如图，在四边形中，，点O是对角线的中点，若，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 在和，由斜边上中线等于斜边的一半得到，即可求解． 【详解】解：∵，点O是对角线的中点， ∴， 故答案为：3． 13．如图，在中，于点F，于点E，M为的中点，若，，求的周长． 【答案】14 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据三角形的周长的定义解答． 【详解】解：∵，M为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴的周长． 14．如图，在中，的延长线于，的延长线于，为的中点，分别连接、、．    (1)若，，求的周长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)10 (2) 【分析】（1）根据，，为的中点，得，结合，求的周长即可． （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解答即可． 本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，为的中点，， ∴， ∵， ∴的周长为． （2）解：，为的中点， ， ， ， ，为的中点， ， ， ， ， 的度数为． 15．如图，已知中，，E是的中点，垂直平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查斜边上的中线，中垂线的性质，熟练掌握相关性质，是解题的关键： （1）根据斜边上的中线得到，中垂线的性质，得到，即可得证； （2）根据等边对等角，结合三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型4 含30度角的直角三角形】 16．小辉为宣传“两会”，设计了形状如图所示的彩旗，已知，，点D在上，且，，则的长为（   ）    A．30cm B．32cm C．34cm D．36cm 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，含直角三角形的性质， 根据等腰三角形的性质得出，再根据三角形外角的性质得，然后根据直角三角形的性质求出，则答案可得． 【详解】解：∵， ∴． ∵是的外角， ∴． 在中，， ∴， ∴． 故选：B． 17．如图，已知在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质等知识，根据线段垂直平分线的性质，得出，根据等边对等角得出，根据三角形外角的性质求出，然后根据含角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：连接， ∵是垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 故选：A． 18．如图，和均为直角三角形，且，点从点向点运动．在运动过程中，线段长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了含的直角三角形的性质、垂线段最短，熟练掌握直角三角形的相关性质是解题关键． 由和均为直角三角形和可知，当时，的值最小，根据30度角的性质即可求解． 【详解】解：和均为直角三角形， ， ， ， ， ， 当时，的值最小， 此时，． 故答案为：3． 19．如图，在的两边上有两点和在运动，且点从离点有厘米远的地方出发，以厘米每秒运动，点从点出发以厘米每秒运动，则为直角三角形时，两点的运动时间为 秒． 【答案】 【分析】本题考查了含30度的直角三角形的性质，分两种情况：当时，当时，分别结合含30度的直角三角形的性质列方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可得：，； 当时， ∵， ∴，则， 即：，解得：； 当时， ∵， ∴，则， 即：，此时无解； 综上，当时，为直角三角形， 故答案为：． 20．如图，在中，，D是上的一点，过点D作于点E，分别延长和，交于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)11 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定以及余角的性质和含角的直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质以及含角的直角三角形的性质是解决本题的关键． （1）根据得到，结合垂直以及等角的余角相等即可证明； （2）结合方程思想以及含角的直角三角形的性质，然后根据已知条件计算即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ，， ， ∵， ∴， ，即是等腰三角形； （2）在中，， ， 设，则， ， ， ，即． 【题型5 用HL证明全等】 21．如图所示，和中，于点D，于点，且，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握定理是解题的关键． 直接用定理得出结论即可． 【详解】证明：∵，， ∴和为直角三角形． 和中， ∵ ∴． 22．如图，在中，，平分交于点D，过点D作于点E． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定，角平分线的定义，熟知勾股定理和全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）由角平分线的性质可得，再利用即可证明； （2）直接利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴， ∵，， ∴； （2）解：在中，， ∴． 23．如图，已知，，与相交于点，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的值并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)6；理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，所对直角边是斜边的一半，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用证明，即可作答． （2）先得，因为是的外角，故，则，所以． 【详解】（1）证明：∵， ∴与都是直角三角形， 在和中， ， ； （2）解：∵， ∴， ∵是的外角， ∴ ∴， ∵， ∴． 24．如图，在四边形中，，是上的一点，且，连接，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理． （1）根据证明直角三角形全等的“”定理，证明即可． （2）根据全等三角形的性质，对应角相等求值即可． 【详解】（1）， 和均为直角三角形． 在和中， ， ． （2）， ，， ， ， ， ， 在中，， ． 25．如图，平分，于点E，于点F，且． (1)求证：． (2)若．求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定定理与性质、角平分线的性质等知识点，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题关键． （1）先根据角平分线的性质可得，再根据直角三角形全等的判定定理即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，再根据直角三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据线段的和差即可得． 【详解】（1）证明：平分，，， ． 在和中， ∵ ． （2）解：由（1），得， ． ，， ． 在和中， ∵ ， ， ， ． 【题型6 全等的性质与HL综合】 26．如图，点，分别在的边，上，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，连接，，由线段垂直平分线的性质得到，由角平分线的性质得到，据此可证明，则可证明． 【详解】证明：如图所示，连接，， 垂直平分， ， ，，平分， ，， ， ． 27．如图，在中，于点D，E为上一点，且，．    (1)求证：； (2)若，试求△的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握直角三角形的判定方法， （1）利用即可证明； （2）根据，可得，进而求出，，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明： 在和中 （2）解：∵ ∴， ∵，，， ∴，， ∴． 28．如图，在中，，是过点的直线，点、在的两侧，于，于点，且． (1)求证：； (2)若，，请求出的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据题意得出，再由全等三角形的判定得出，结合其性质及等量代换确定，即可证明； （2）根据全等三角形的性质结合图形即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ． ，， ， ，即， ． （2）解：由（1）得，， ， ． 而，，， ， 答：的长为3． 29．如图，点为外一点，为的中点，于点，交的延长线于点，连接，，且，． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，中垂线的性质以及角平分线的判定，熟练掌握是解答本题的关键． （1）先根据中垂线的性质得到，可证，从而得到，再利用到角两边距离相等的点在角平分线上即可证明； （2）易证，得到，再根据线段之间的关系即可求出的长． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ，为的中点， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 平分； （2）解：在和中， ， ， ， ，，， ， 即， 解得． 30．如图，是的角平分线，，垂足分别是E，F，连接与相交于点G． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若的面积为8，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【分析】（1）由角平分线的性质得到，再证， 得，然后由等腰三角形的性质即可得出结论； （2）由列式计算即可． 本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵是的角平分线， ∴是的垂直平分线； （2）∵， ∴， ∴ ∴， 解得：， 即的长为5． 【拓展训练一 斜边的中线定理综合】 31．如图，在中，，点D在上（），过点D作，交的延长线于点E，连接，以为底作等腰（点E，F在直线的异侧），连接． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)用等式表示线段与的数量关系，并证明， 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)．理由见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键， （1）根据题意补全图形即可； （2）证明即可得到结论； （3）延长到点G，使，连接．证明．得到．证明．得到，根据直角三角形的性质即可得到结论， 【详解】（1）解：补全图形如图． （2）证明：在中，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． （3）．证明如下： 如图，延长到点G，使，连接． ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴ ∴． 在和中， ∴． ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴ 在中，，F为的中点， ∴． ∴． 32．如图，已知锐角中，、分别是、边上的高，M、N分别是线段、的中点． (1)证：； (2)若，，连接、，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． （1）连接、，根据直角三角形斜边中线的性质得到，，则，然后根据等腰三角形的性质得出结论； （2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，结合平角的定义求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接、， ∵、分别是、边上的高，M是的中点， ∴， ∴都是直角三角形， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形， 又∵N为中点， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∴． 33．阅读材料：从三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，如果顶点与交点之间的线段将这个三角形分割成两个小的等腰三角形；那么我们就把原三角形叫作“可两分三角形”．这条线段叫作这个三角形的“两分线”： (1)在中，，，是中线，则_______（填“是”或“不是”）的两分线； (2)如图，在中，，平分，．求证：是的两分线； (3)图中①、②均是可两分三角形，请利用量角器和直尺画出①、②的两分线，并标出分成的等腰三角形顶角的度数； (4)已知是可两分三角形，且，为钝角，请直接写出所有可能的度数． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3)见解析 (4)符合条件的的度数为或或． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，直角三角形斜边中线的性质． （1）根据直角三角形斜边中线的性质即可得解； （2）根据等腰三角形的性质作图求出各角度即可证明； （3）根据“两分线”的定义画出图形即可； （4）根据题意分情况讨论作图即可求解． 【详解】（1）解：∵中，，，是中线， ∴， ∴与都是等腰三角形， ∴是的两分线； 故答案为：是； （2）证明：∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴与都是等腰三角形， ∴是的两分线； （3）解：“两分线”如图所示， （4）解：如图中，当是“两分线”时，如果， 则； 如果，， 则； 如果，， 则（不合题意舍去）；    如图中，当是“两分线”时，，，则，   符合条件的的度数为或或． 34．已知在中，，，是的中点，是边上的一点，连结，作交直线于点． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当是边上任意一点时，与还相等吗？若相等，请给予证明，若不相等，请说明理由； (3)请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，熟练掌握相关知识点是解题关键． （1）由题意得，进而得到，，得到，即可得到结论； （2）为的中点，连接，根据题意可证明是等边三角形，进而证明，即可得到结论； （3）分两种情况讨论：①若点N在线段上，由（2）可知，得出，进而得出，即可得到．②点N在的延长线上，同①思路求解即可． 【详解】（1）证明：，，是的中点， ，即平分， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ； （2）解：，证明如下， 如图2，为的中点，连接， ∵，，是的中点， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ； （3）解：分两种情况讨论： ①如图，若点N在线段上， 由（2）可知 ， ， ， ． ②如图，点N在的延长线上， 由（2）可知是等边三角形，， ∵， ∴，即， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 综上所述，． 35．已知线段，以为斜边作和，连接，分别是线段、的中点，连接、． (1)如图1，和在线段的两侧． ①求证：； ②若，；请求出的度数； (2)如图2，和在线段的同侧，若、，则的度数为______（用含、的代数式表示） 【答案】(1)①见解析；②； (2)． 【分析】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． （1）①根据直角三角形的性质得到，，根据等腰三角形的三线合一证明即可；②根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案． （2）根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案． 【详解】（1）①证明：连接， ∵，是的中点， ∴，， ∴， 又∵是的中点， ∴； ②解：∵，是的中点， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：连接， ∵，是的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵，是的中点， ∴． 【拓展训练二 含30°角的直角三角形综合】 36．已知，如图，为等边三角形，，、相交于点 (1)求证：； (2)求的度数； (3)若于，，，求的长. 【答案】(1)见解析； (2) (3) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以，含角直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形性质和全等三角形判定与性质是解题的关键． （1）要证明，根据等边三角形性质可知，，又已知，利用全等三角形判定定理（SAS）来证明． （2）利用（1）中全等三角形的性质，得到，再结合三角形外角性质，将转化为与等边三角形内角相关的角来求解． （3）先由（1）知，再根据（2）中以及，得出，利用含直角三角形的性质求出，进而求出（即）的长． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， 又， ． （2）解：， ， 是的外角， ， ， 是等边三角形，， ． （3）解：，， ， 在中，， ， ， ， ， ， 由（1）知， ． 37．已知，平分，点B，D分别在，上 (1)如图1，若，请你探索是否成立，并给出证明． (2)如图2，若，则是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由． 【答案】(1)成立，见解析 (2)仍成立，证明见解析 【分析】（1）根据直角三角形中30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可证得，，从而证明； （2）在上截取，连接，证明，则，然后证明为等边三角形，则． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴ ∵ ∴在中，，中， ， ∴， ∴ ∴． （2）解：（1）中的结论成立， 理由如下：如图2，在上截取，连接 ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴ ∴ ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和判定，含角直角三角形的性质，证明选段相等的问题，基本的思路是转化成三角形全等．正确作出辅助线是解题的关键． 38．【课本再现】 （1）课本上通过对两个含角的三角板的摆放，得到“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质．小涵受此启发给出如下不完整的证明过程： 已知：如图，在中，，．求证：． 证明：如图，延长至点，使，连接，，垂直平分，…… 请补充上述证明过程． 【知识应用】 （2）如图1，用两个大小不等的直角三角板作拼图，小三角板的斜边与大三角板的短直角边正好重合，已知：，． ①的长为_____； ②如图2，若将小三角板沿着射线方向平移，设平移的距离为（平移距离指点沿方向所经过的线段长度）．当点平移到大三角板的边上时，直接写出相应的的值． 【答案】（1）见解析；（2）①8；②2或6 【分析】（1）根据题干思路，根据，，得出，即可得是等边三角形．得出，即． （2）①在中，根据，，得出，在中，根据，，得出． ②如图，作交于点，交于点．证明是等边三角形，得出，根据，得出，即可得，，当点平移到三角板的边上时，的值为，当点平移到三角板的边上时，的值为． 【详解】解：（1）如图，延长至点，使，连接， ， 垂直平分， ， ，， ， 是等边三角形． ， 即． （2）①在中， ，， ， 在中， ，， ． ②如图，作交于点，交于点． ， 是等边三角形， ， ∵， ， ， ， ， ， 当点平移到三角板的边上时，的值为， 当点平移到三角板的边上时，的值为， 当点平移到三角板的边上时，相应的的值为2或6． 【点睛】该题考查了等边三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质和判定，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，平移的性质，平行线的性质，含角的直角三角形等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 39．【问题初探】 （1）如图1，在中，，点F是上一点，点E是延长线上的一点，连接，交于点D，若，求证：． 【类比分析】 （2）如图4，在中，点E在线段上，D是的中点，连接，，与相交于点N，若，求证：； 【学以致用】 （3）如图5，在中，，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且，请直接写出线段，和之间的数量关系．          【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）①证明，得出，，证明，得出，证明，得出，即可证明结论； ②证明，得出，根据等腰三角形的判定证明，即可证明结论； （2）延长，取，连接，证明，得出，，根据等腰三角形判定得出，即可证明结论； （3）延长，使，连接，证明，得出，，证明，得出，根据直角三角形性质得出，根据，即可证明结论． 【详解】（1）证明：如图所示，在线段上截取，使，连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）延长，取，连接，如图所示： ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）延长，使，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等的三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法． 40．【问题提出】 如图1，通过拼摆两个含角的全等的三角尺，发现两个三角尺恰好可以拼成一个等边三角形，从而得出猜想：在直角三角形中，若一个锐角为，则它所对的直角边等于斜边的一半． 通过实验提出猜想后，如何通过几何推理严格证明该性质？ 【思路启迪】 从逻辑推理的角度思考：如何通过添加辅助线将含的直角三角形转化为等边三角形或其他特殊图形，从而将边角关系转化为已知定理？ 已知：如图，中，，，求证：． 请在图中添加辅助线，将含的直角三角形转化为等边三角形或其他特殊图形，要求：用两种不同的方法（后续论证方法不同）在图2、图3添加辅助线，并用简短、专业的数学语言描述如何添加辅助线的． 分类 方法一（图2） 方法二（图3） 画图及描述 【逻辑论证】在上述图形中，选择其中一种方法，完成证明． 【触类旁通】 以上完成了命题“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”的证明．反过来思考：它的逆命题是否成立呢？ （1）请补充完整它的逆命题：“在直角三角形中，如果__________，那么__________．” （2）请判断该逆命题是否成立，并说明你的理由． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了三角形，矩形的综合，掌握全等三角形的性质，等边三角形的性质，矩形的性质是解题的关键． 添加辅助线将含的直角三角形转化为等边三角形即可证明． 【详解】逻辑论证：证明：方法一：延长至点，使得，连接， 中，，，， ， 在中与中， 有， ， ，， ， 是等边三角形，， ， ，即在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 方法二：如图所示，分别过点，作，，交点为，连接，交于点， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ，， ，是等腰三角形，则， 且， 是等边三角形，即， ， ，即在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 触类旁通：（1）在直角三角形中，如果锐角所对的直角边等于斜边的一半，那么这个锐角等于． （2）该命题成立．理由如下： 设直角三角形，，． 延长至点，使得，连接， 垂直平分， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， 在直角三角形中，如果锐角所对的直角边等于斜边的一半，那么这个锐角等于． 【拓展训练三 直角三角形中的动点问题】 41．如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，垂足为E，平分． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若，点P是直线上的动点，求的最大值． 【答案】(1)30° (2)见解析 (3)2 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，进而得到．由角平分线的概念得到，进而利用三角形内角和定理求解即可； （2）根据含角直角三角形的性质得到，进而求解即可； （3）作C点关于直线的对称点，根据角平分线的定义可判断在直线上，连接的直线就是，则当P点和A点重合时，最大，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明∶ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解∶ 作C点关于直线的对称点， ∵平分． ∴在直线上， ∴连接的直线就是， ∴当P点和A点重合时，最大， 此时的最大值为， ∵， ∴的最大值为2． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质和含角直角三角形的性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 42．综合与探究 问题情境： 如图，在边长为6的等边中，E为边中线上的一动点，连接，在的下方作等边． 初步探究：（1）如图1，当时，__________． 深入探究： （2）如图2，连接． ①猜想与的位置关系，并说明理由． ②当时，求点F到边的距离． （3）如图3，连接，当的周长取得最小值时，直接写出此时的度数． 【答案】（1）；（2）①，见解析；②1；（3）． 【分析】（1）利用等边三角形的性质求得，证明是等腰直角三角形，即可求解； （2）①证明，推出，即可证明； ②过点作于点，得到，，据此求解即可； （3）连接，作点关于对称的点，得到，当三点共线时，的最小值为，的周长最小，据此求解即可． 【详解】解：（1）∵等边的边长为6，是边的中线， ∴，，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①．理由如下， 理由：∵是等边三角形，是边上的中线， ∴，， ∵，是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，过点作于点． 由①，知， ∴，， ∴， ∴点到边的距离为1； （3）如图，连接，作点关于对称的点，连接， 则， 当三点共线时，的最小值为，的周长最小． 由（2）知，，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，轴对称的性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 43．如图，在中，，，，平分，交边于点，点是边的中点．点为边上的一个动点． (1)填空：__________，的度数为__________； (2)当四边形为轴对称图形时，求的长； (3)若是等腰三角形；求的度数； (4)若点在线段上，连接，，直接写出的值最小时的长度． 【答案】(1)， (2)4 (3)度或度或度 (4) 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而根据线段中点的性质即可得出，根据角平分线的定义得出的度数； （2）根据轴对称图形的性质即可解答． （3）根据题意可得，分三种情况：当时；当时；当时．再依次根据三角形内角和定理即可求解． （4）过点M作，作点P关于的对称点，根据题意可得，，可证明，则，因此，以此得出当点E、M、三点共线时，的值最小，此时，最后根据解含度角的直角三角形即可得到结果． 【详解】（1）解：在中，，， ∴，， ∵点是边的中点 ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：，． （2）解：∵四边形为轴对称图形，平分， ∴对称轴为直线 ∴； （3）解：∵平分， ∴， 当时， ， ∴； 当时， 当时， ； 综上，的度数度或度或度． （4）解：如图，点在上，且，作点关于的对称点， ∵， ∴ ∵平分， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴当点、、三点共线时，的值最小， 又∵根据垂线段最短， ∴当时，有最小值， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查轴对称﹣最短路线问题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含度角的直角三角形、角平分线的性质，本题综合性较强，作出辅助线，得出当点E、M、三点共线时，的值最小是解题关键． 44．如图，在中，，，．动点P，Q分别从点A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向终点B匀速运动，点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C匀速运动．连接PQ，设点P的运动时间为． (1)求的长度；（用含x的代数式表示） (2)当为直角三角形时，求x的值； (3)若为等边三角形，则x的值为___________； (4)连接PC，直线PQ将的面积分成1：3两部分时，直接写出x的值． 【答案】(1) (2)1或 (3) (4)或 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质、解一元一次方程，解题的关键在于能够熟练掌握含30度角的直角三角形的性质． （1）根据路程=速度时间求出，可得出的长度； （2）讨论或时，利用与之间的关系，建立方程求解即可． （3）由等边三角形的性质得到，即，解方程即可； （4）分和两种情况讨论求解即可得到结论 【详解】（1）解：点P以2cm/s的速度沿AB向终点B匀速运动，运动时间为， 所以，， 又， 所以，； （2）解：∵， ∴， ∴当为直角三角形时，只能是或， 当时，如图， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得； 当时，如图， ∴， ∴， ∴， 解得， 综上所述，当或时，为直角三角形． （3）解：∵， ∴当时，是等边三角形，如图， 由题意得，， ∴， 解得， ∴当时，为等边三角形； 故答案为：． （4）解：当时，如图， ∵直线PQ将的面积分成1：3两部分， ∴，即 ∴； 当时，如图， 则，即 ∴； 综上，的长为或 45．如图1，P，Q分别是边长为的等边三角形的边，上的动点，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，都以的速度分别向点B，C运动． (1)连接，相交于点M，则在点P，Q运动的过程中，的大小发生变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． (2)当点P，Q运动的时间为多少时，为直角三角形？ (3)如图2，若点P，Q运动到终点后继续在射线，上运动，直线，相交于点M，则的度数为 ． 【答案】(1)在点P，Q 运动的过程中，的大小不变，它的度数为 (2)当点P，Q运动的时间为或 时，为直角三角形 (3) 【分析】(1)由“”可证，可得，由外角的性质可求； (2)分两种情况讨论，由直角三角形的性质列出等式可求解； (3))由“”可证，可得，由三角形内角和定理可求解． 【详解】（1）解：不变，理由如下， 点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为， ， 是边长为的等边三角形， ，， 在与中， ， ， ， ， 故的大小不变，它的度数是； （2）解：设时间为秒，则(厘米)，(厘米)， 当时， ， ∴， ，得4， ， 当时， ， ∴， ，得， ， 当第秒或第秒时，为直角三角形； （3）解：在等边三角形中，， ， ，， ， 在与中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，等边三角形的性质，三角形内角和，解一元一次方程等知识，证明三角形全等是解题的关键． 【拓展训练四 HL证明全等综合】 46．已知，在等边中，点，分别在，上，且，连接与交于点． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，连接，，当时，求证：是的垂直平分线； (3)如图3，连接，当时，若，求的长． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）由等边三角形的性质得，，进而证明，得，根据三角形的外角性质即可得解； （2）由，得，进而证明，，最后证明点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂直平分线上，即可得证； （3）如图，过点作于点，由（）得，，，进而得，，证明，得，再证明得，从而即可得解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴（）， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， 由（）得，， ∴，点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴，， ∵，， ∴点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴（）， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线； （3）解∶如图，过点作于点， 由（）得，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定及性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，三角形的外角性质，熟练掌握等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定及性质是解题的关键． 47．（1）如图1，在四边形中，，，点、分别在边、上，若则线段、、间的数量关系是 ． （2）如图2，在四边形中，，，点、分别在边、上，若，探究、、的之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，在中，，，是线段上一点，，且，过点作交的延长线于，过作交于，连接．若，，求的长． 【答案】（1） （2）．理由见解析 （3）6 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形和等腰直角三角形的性质．本题的关键是在四边形中通过辅助线构造全等三角形． （1）通过延长构造，进而推出和，再由“”证得，即可得到，从而得出结论． （2）通过延长构造得出、，然后证得，再由即可得出结论． （3）在上取点，使．根据“”证得，得到、，推出，再由“”证得得出，最后由线段和差关系求出的长． 【详解】解：（1）如图，在延长线上取点，使，连接． 在和中，，， ∴． ，， ， ． 在和中，，，， ． ． 故答案为：． （2）结论：． 理由：在延长线上取点，使，连接 ． ． 在和中，，，， ． ，． 在和中，，，， ． ， ． （3）在上取点，使． 根据题意和都是直角三角形． ，， ． ，， 又， ， ． 在和中，，，， ， ． 48．如图1，在和中，，，且，我们把和称为“等腰相伴”三角形，点和点为对应顶点． (1)求证：； (2)如图2，在四边形中，，为对角线，，，．若，求证：和是“等腰相伴”三角形； (3)在中，，，在平面内是否存在点（，两点位于直线同侧），使和是“等腰相伴”三角形，且点和点为对应顶点．若存在，请画出图形，并求的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)存在，的度数为或 【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可解答； （2）作交的延长线于Q，作于点M，证明得，从而，求出即可； （3）分点C和点D在的同侧、点C和点D在的异侧两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：作交的延长线于Q，作于点M，则． ∵，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴和是“等腰相伴”三角形； （3）解：当点C和点D在的同侧时，如图，，，， 把沿翻折得，D的对应点为，延长交于H， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，． ∵， ∴垂直平分， ∴； 当点C和点D在的异侧时，如图，，，， 把沿翻折得，D的对应点为，延长交于H， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，． ∵， ∴垂直平分， ∴ ∴． 综上可知，的度数为或． 【点睛】本题考查了新定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理和折叠的性质，等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定、全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，理解新定义是解答本题的关键． 49．如图1，图2，在和中，，，，与所在直线相交于点，于点．    (1)如图1，连接，求证：平分； (2)如图1，若，，则的长为___________； (3)如图2，若，，连接，交于点． ①是否为线段的垂直平分线？并说明理由； ②过点作，交的延长线于点，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)①是线段的垂直平分线，理由见解析；② 【分析】（1）作，证明和，可以推出，就可得到平分； （2）证明，推出，利用三角形面积公式即可求解； （3）①利用等腰三角形三线合一的性质即可得证； ②由是线段的垂直平分线，推出，，得到，再证明，等量代换即可得解． 【详解】（1）证明：如图，过点C作，垂足为N，    在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解①：是线段的垂直平分线，理由如下： 由（1）可得，平分， ∵， ∴，， ∴是线段的垂直平分线； ②， ∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴． ∴， 【点睛】本题是一道与三角形相关的综合性题目，考查的知识点有：全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，线段垂直平分线的判定和性质，本题熟练掌握三角形全等的性质和判定是关键． 50．如图，在中，，D为边上一点，过点D作的垂线，分别交边，的延长线于点E，F，且． (1)求证：点D在的平分线上； (2)连接，若，，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，由垂线的性质可得，由可得，则，于是可得，利用可证得，于是可得，再根据角平分线的判定定理即可得出结论； （2）由（1）可得，，，然后利用三角形的面积公式可得，于是得解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又，， 点D在的平分线上； （2）解：由（1）可得：，，， ， 的值为． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握角平分线的判定定理及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 1．达芬奇曾发明过一个简易圆规．某数学兴趣学习小组在课后复刻了这一圆规（图1）．其原理为如图2：有两条互相垂直的卡槽，将一根木棒的两端A和B分别卡在卡槽中自由滑动，在木棒的中部P插有一只记号笔，然后移动木棒的一端，另一端也随之移动．记号笔最终画出了一段圆弧．根据你所学知识，分析“木棒作弧”所运用的数学原理是（    ） A．直角三角形的两直角边长度的平方和等于第三条边长度的平方 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半 D．直角三角形的两锐角互余 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟记“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是解题关键．根据有两条互相垂直的卡槽，将一根木棒的两端A和B分别卡在卡槽中自由滑动，则记号笔最终画出了一段圆弧．故运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进行作答即可． 【详解】解：∵“木棒作弧”过程中弧上的点到两条相互垂直的卡槽交点距离相等，且木棒作为三角形的斜边，记号笔在木棒的中点， ∴运用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 故选：B． 2．如图，在中，，，分别在边上，将沿着折叠，得到，与交于．当时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，掌握折叠的性质，三角形外角的性质是关键． 根据直角三角形两锐角互余得到，根据三角形外角的性质得到，由此即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B ． 3．如图，一根长5米的梯子斜靠在与地面垂直的墙上，P为的中点，当梯子的一端A沿墙面向下移动，另一端B沿向右移动时，的长（    ） A．先增大，后减小 B．逐渐减小 C．逐渐增大 D．不变 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，从而得出答案． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴，是斜边的中线， ∴米， ∴在滑动的过程中的长度不变． 故选D． 4．如图，用三角尺按如下方法画角平分线：在、上分别取点M、N，使，再分别过点M，N作、的垂线，交点为P，画射线，则平分，其作图原理是：，这样就有，则这两个三角形全等的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，解题的关键是根据题意找到三角形全等的条件．由题意知，，，即可得到答案. 【详解】解：由题意知，，， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：D． 5．如图，在等边三角形中，，点D是的中点，过点D作于点F，过点F作于点E，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形，由等边三角形性质得到，，根据含角的直角三角形求出，求出，再根据含角的直角三角形求出，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6．如图，在中，，，，点是直角边上的一个动点，连接，以为边向外作等边，连接，在点运动的过程中，线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到点，使得，连接，，由，，，可得：，，证明是等边三角形，得到，结合是等边三角形，可证明，得到，推出，得到点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则，得到，由可得，即可求解． 【详解】解：延长到点，使得，连接，， ，，， ，， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则， ， ， ， 的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，线段最短问题，解题的关键是掌握相关知识，并正确作出辅助线． 7．如图，在中，，是边上的中线，且，则的长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，掌握直角三角形的性质是解题的关键，根据直角三角形的性质可知，再根据已知条件即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴是直角三角形， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的长为， 故答案为：． 8．钱塘轮滑中心为杭州第19届亚运会轮滑、滑板比赛场馆，由亚运轮滑馆和亚运滑板公园两部分组成．如图，一名轮滑学生在轮滑训练馆沿着倾斜角为的斜坡，从A滑行至B，若米，则这名轮滑学生的高度下降了 米． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，利用含30度角的直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半即可解答． 【详解】解：根据题意是直角三角形， 米， ∴米， 则这名轮滑学生的高度下降了2米， 故答案为：． 9．如图，已知：的平分线与的垂直平分线相交于点，，垂足分别为，，则 ．    【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质．连接，角平分线的性质，得到，证明，得到，线段垂直平分线的性质，得到，证明，得到，根据以及线段之间的等量关系，进行转化后计算即可． 【详解】解：∵平分，， ∴，， ∴， ∴， 连接，    ∵垂直平分， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵， ∵，， ∴． 故答案为：． 10．如图，已知平分，于点，于点，且，若，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质及勾股定理是解题的关键． 由平分，，可得，进而可证得，，于是可得，，由线段的和差关系可求出的长，然后根据勾股定理即可求出的长，设，根据勾股定理可列出方程，解方程即可求出的长． 【详解】解：∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 设， 则在中，， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 11．如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点的运动时间为．过点作于点．在点的运动过程中，当为 时，能使？ 【答案】3或9 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用；运用勾股定理构建方程是解题的关键． ①当点P在点C左侧时，如图，，可证．得，可求；中，运用勾股定理构建方程，解得；②当点P在点C右侧时，如图，连接，同理，可得，，同法构建方程，解得． 【详解】解：①当点P在点C左侧时，如图，， ∵，， ∴． ∴． 中，，，． 中，， ∴，解得； ②当点P在点C右侧时，如图， 连 连接，同理，可得， 中，，， ∴，解得 综上，或时，． 故答案为：3或9． 12．如图，中，D是的中点，交于，则 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据全等三角形对应边相等进行求解．解题时注意：角平分线上的点到角两边的距离相等；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．先连接，，过作于，根据角平分线的性质以及中垂线的性质，得出，，进而判定，即可得到，据此列出方程，求得的值，即可得到长． 【详解】解：连接，，过作于，   是的中点，， 垂直平分， ， ，， ， 又，， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， 设， 则，， ， 解得， ． 故答案为：10． 13．如图，垂直于点． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若垂直于点，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）根据同旁内角互补，两直线平行解答即可； （2）根据直角三角形的两个锐角互余计算即可． 本题考查了平行线的判定，直角三角形的性质，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 【详解】（1）解：． 理由如下：∵， ∴， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． （2）解：∵， ∴， ∴． 14．如图，在中，，平分，，，求： (1)的度数； (2)的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余． （）利用三角形内角和定理先求得的度数，再根据角平分线的定义即可求解； （）根据，得出，由直角三角形的两锐角互余，求得的度数，再由角度和差即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．如图，已知等腰中，，，是的高，是的角平分线，与交于点．当的大小变化时，的形状也随之改变． (1)当时，求的度数； (2)设，当为多少度时，是等腰三角形？ 【答案】(1) (2)当x为36度时，是等腰三角形 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和及直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质及三角形内角和是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后问题可求解； （2）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴当x为36度时，是等腰三角形． 16．如图，在中，为延长线上一点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）运用“”定理直接证明，即可得解； （2）求出，证出，即可得解． 【详解】（1）证明：， 与为直角三角形， 在与中， ， ； （2）解：， ， ，， ， ． 17．如图，在中，，点为中点，点在边上，连接． (1)如图1，若于点，求证：； (2)如图2，已知．若点在边上，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1或 【分析】（1）由等腰三角形的性质得，再证明，即可得出结论； （2）连接，过点O作于点G，于点H，由等腰直角三角形的性质得，平分，，则，，，得，，再分两种情况，①点F在线段上时，证明，得，则；②点F在线段上时，同理可证，得，则；即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点O为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图2，连接，过点O作于点G，于点H， 则， ∵，点O为中点， ∴，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 分两种情况： ①点F在线段上时， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②点F在线段上时， 同理可证：， ∴， ∴； 综上所述，的长为1或3． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 18．为了测量某池塘的宽度，两个数学研究小组设计了不同的方案，他们在池塘西边点A处插一根标杆，测得另一根标杆B恰好在正东方向，测量方案如表： 调题 测量池塘宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 组到 第一小组 第二小组 测量方案 在地面选择点，使，，且点，，和点，，都在一条直线上． 从点出发，沿着南偏西方向笔直前进至，并在方向沿途插下四根标杆，，，． 示意图 (1)第一小组认为要知道池塘宽度，只需测量______的长度，并说明理由． (2)第二小组的方案需要选择一根标杆点与连结，并测量出相关线段即可求出的长． 选择标杆______（填写，，，），测量图上线段______ ，还需测量哪些线段或者角度（测量长度精确到，角度精度到．） 已知的实际长度为，请根据前面测量数据计算出池塘宽度的长． 【答案】(1)； (2)，；． 【分析】（）证，即可得解； （）选取，，使得，，量取，，证明，可得，量取，，可得的长； 利用即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是构造全等三角形解决实际问题． 【详解】（1）解：要知道池塘宽度，只需测量，理由如下， 在和中， ， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：选取，，使得，，量取，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ， 池塘宽度的长约为， 故答案为：，；． 19．在中，，点在上，过点作于，过点作于，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作的垂线交于，连接，若，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中四个与全等的三角形（除外）． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】（1）先证明，得，，再通过四边形内角和以及角之间的转换求出． （2）由（）得，，，，根据，得是等边三角形，是等边三角形，进而利用三角形全等的判定方法即可得解． 【详解】（1）证明：，，， ，． ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：由（1）得，，，， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 综上可得，与全等的三角形有，，，． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、四边形内角和、直角三角形的两锐角互余、全等三角形的判定（、等），熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定条件以及等边三角形的判定及性质，并能灵活运用这些知识进行角度和边的等量代换是解题的关键． 20．如图，在中，，，，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动．设点的运动时间为． (1)　　． (2)求斜边上的高线长． (3)①当在上时，的长为 　　，的取值范围是 　　．(用含的代数式表示) ②若点在的角平分线上，则的值为 　　． (4)在整个运动过程中，直接写出是以为一腰的等腰三角形时的值． 【答案】(1)12 (2) (3)①；② (4)或 【分析】（1）利用勾股定理求解； （2）过点作于点，利用面积法求解； （3）①根据点的运动路径及速度可解；②过点作于，利用角平分线的性质可知，再证，推出，最后利用勾股定理解即可； （4）分和两种情况，利用等腰三角形的性质、勾股定理分别求解即可． 【详解】（1）解：（1）在△中，，， ； 故答案为：12； （2）如图1所示，过点作于点， ， ， 斜边上的高线长为； （3）①点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动， ， ，即， ； 故答案为：，； ②点在的角平分线上时，过点作于， 平分，， ， 又， ， ，则， 由（2）知， ， ， 在△中，，即， 解得， 点在的角平分线上时，； 故答案为：； （4）是以为一腰的等腰三角形时，有两种情况： 当时， 则， ； 当时，过点作于点， 由（2）知， ， ，， ， ， ， 故是以为一腰的等腰三角形时的值为或． 【点睛】本题是勾股定理在动点问题中的应用，考查了勾股定理，等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握上述定理、性质，灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$