专题07逆命题和逆定理及直角三角形暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年浙教版八年级数学上册

专题07逆命题和逆定理及直角三角形暑假预习讲义 · 掌握命题结构，能拆分命题的题设与结论，熟练将命题改写为 “如果…… 那么……” 的标准形式；理解逆命题、逆定理概念，会写出任意命题的逆命题，明白所有命题都有逆命题，但定理不一定存在逆定理，能结合线段垂直平分线、角平分线相关定理判断互逆定理。 · 会区分真命题、假命题，掌握举反例证明假命题的方法，能辨析原命题与逆命题真假无必然关联。 · 认识直角三角形，会用Rt△表示直角三角形，熟记直角三角形核心性质：两锐角互余、斜边中线等于斜边的一半；掌握直角三角形判定方法：有两个角互余的三角形是直角三角形，能利用性质完成线段、角度基础计算。 · 了解直角三角形的对称性，知道等腰直角三角形有 1 条对称轴，普通直角三角形无对称轴。 · 回顾一般三角形全等四种判定（SSS、SAS、ASA、AAS），明确其同样适用于直角三角形；理解并熟记 HL 判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，清楚 HL 仅适用于直角三角形。 · 规范书写利用 HL 证明直角三角形全等的几何步骤，能挖掘直角、公共直角边、公共斜边等隐含条件，灵活选择合适判定方法完成证明。 · 辨析 SSA 与 HL 的区别，理解 SSA 无法判定普通三角形全等，但 HL 可以判定直角三角形全等的原因。 · 搭建完整逻辑体系：互逆命题定理→直角三角形性质与判定→直角三角形全等证明，尝试综合运用三类知识完成简单几何推理。 · 自主梳理易混淆知识点、看不懂的证明步骤与综合题型，课堂针对性听讲、突破难点。 预习必备 知识梳理 1.命题 2.直角三角形基本概念 3.直角三角形的性质 4.直角三角形的核心判定 5.线段垂直平分线 6.角平分线 常考题型 精讲精练 1.写出命题的逆命题 2.判断是否为互逆命题 3.互逆定理 4.线段垂直平分线的判定 5.直角三角形的两个锐角互余 6.斜边中线等于斜边一半 7.锐角互余的三角形是直角三角形 8.用HL正全等 9.全等的性质和HL综合 10.旋转模型 11.垂线模型 12.角平分线的判定定理 强化题型 解答题8题 知识点01:命题 1. 命题的定义 判断一件事情的语句叫做命题（必须是陈述句，有明确的肯定 / 否定判断，不含模糊词语）。 2. 命题的结构 所有命题都由条件（题设）和结论两部分组成，标准形式：“如果……（条件），那么……（结论）”（也可写为 “若……，则……”）。 条件：已知事项（已知） 结论：由条件推出的事项（求证） 3. 命题的分类（按真假） 类型 定义 判断方法 示例 真命题 条件成立时，结论一定成立的命题 严格推理证明 对顶角相等；两直线平行，同位角相等 假命题 条件成立时，结论不一定成立的命题 举反例（一个符合条件但结论不成立的例子） 若a2=b2，则a=b（反例：a=2,b=−2） 4. 逆命题 定义：将一个命题的条件与结论互换，得到的新命题就是原命题的逆命题。 核心结论：每个命题都有逆命题；原命题为真，逆命题不一定为真（反之亦然）。 示例： 原命题：如果两个角是对顶角，那么它们相等（真） 逆命题：如果两个角相等，那么它们是对顶角（假） 知识点02:直角三角形基本概念 定义：有一个角是直角90的三角形叫做直角三角形。 边角名称：夹直角的两条边叫直角边，直角所对的边叫斜边。 表示方法：Rt△ABC， ∠C=90 内角特点：直角三角形只有一个直角，另外两个均为锐角。 知识点03:直角三角形的性质 性质 内容 几何语言 图示 角的性质 直角三角形的两个锐角互余（和为 90°） 在 Rt△ABC 中，若 ∠C=90°，则 ∠A + ∠B = 90° 斜边中线性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 在Rt△ABC中.若∠C=90°，D为AB中点,则CD=AB 30°角性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 在Rt△ABC中，若∠C=90°，∠A=30°，则BC=AB 知识点04:直角三角形的核心判定（高频考点） 判定方法 内容 几何语言 图示 定义判定 有一个角是直角（90°）的三角形是直角三角形 在△ABC中，若∠C=90°，则 △ABC是直角三角形 角的判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 在△ABC中若∠A+∠B= 90，则∠C=90°，△ABC是直角三角形 中线判定 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形 在△ABC中，若D为AB中点，且CD = AB，则∠C=90°，△ABC 是直角三角形 知识点05:线段的垂直平分线 垂直平分线定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。 图形性质：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的一条对称轴 定理 几何语言 图示 性质定理 线上点到线段两端距离相等 ∵ 点 P 在 AB 的垂直平分线上∴ PA = PB 判定定理（逆定理） 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ∵ PA = PB∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上 知识点06:角平分线 1.角平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的平分线。 几何特征：角是轴对称图形，角平分线所在直线是它的对称轴。 几何语言： ∵ 射线 OC 把 ∠AOB 分成两个相等的角，即 ∠1=∠2，∴ 射线 OC 是 ∠AOB 的角平分线。 2. 性质定理+判定定理（重点） 定理 几何语言 图示 性质定理 角平分线上的任意一点，到这个角两边的距离相等 ∵ OC 平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB∴ PD = PE 判定定理 到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上 知识点07：高频易错点汇总 1.使用 HL 时，忘记标注 “Rt△”，书写格式扣分； 2.混淆：斜边中线等于斜边一半，不是直角边中线； 3.认为所有定理都有逆定理，忽略逆命题必须为真才存在逆定理； 4.直接用 SSA 证明普通三角形全等，混淆 HL 适用范围； 5.等腰直角三角形角度记错，误以为锐角是 60°。 题型1.写出命题的逆命题 【典例】已知命题：“全等三角形对应边相等”，则它的逆命题为__________． 【答案】 对应边相等的两个三角形全等 【分析】本题考查逆命题的概念，找出原命题的条件和结论，将条件和结论互换，即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：原命题“全等三角形对应边相等”中，条件为“两个三角形全等”，结论为“两个三角形对应边相等”，将条件和结论互换，得到逆命题为：对应边相等的两个三角形全等. 故答案为对应边相等的两个三角形全等． 【跟踪专练1】下列命题中，逆命题是真命题的是（ ） A．全等三角形的对应角相等 B．三角形的中位线平行于第三条边 C．直角三角形的两锐角互余 D．等边三角形是等腰三角形 【答案】C 【分析】先将各选项原命题的条件和结论互换得到逆命题，再逐一判断逆命题的真假即可得到答案. 【详解】A、原命题：全等三角形的对应角相等， 逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形． ∵对应角相等的三角形不一定全等（可能只是相似），∴逆命题是假命题，不符合题意． B、原命题：三角形的中位线平行于第三条边， 逆命题是平行于三角形第三条边的线段是三角形的中位线． ∵该线段需要同时满足端点平分三角形另两条边才是中位线，∴逆命题是假命题，不符合题意． C、原命题：直角三角形的两锐角互余， 逆命题是两锐角互余的三角形是直角三角形． ∵三角形内角和为，两锐角互余即两锐角和为，则第三个角为， ∴该三角形是直角三角形，逆命题是真命题，符合题意． D、原命题：等边三角形是等腰三角形， 逆命题是等腰三角形是等边三角形． ∵等腰三角形只有两条边相等，不一定是等边三角形，∴逆命题是假命题，不符合题意． 选C． 【跟踪专练2】命题“如果，那么”的逆命题是________命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】先根据逆命题定义得到原命题的逆命题，再通过举反例判断逆命题的真假． 【详解】解 原命题的条件是，结论是， 根据逆命题的定义，将条件和结论互换，得到逆命题为： 如果，那么， 取，，此时，，满足， 但，， 可得， 因此“如果，那么”的逆命题是假命题． 【跟踪专练3】下列各命题的逆命题成立的是（   ） A．等角对等边 B．若，则 C．对顶角相等 D．直角都相等 【答案】A 【分析】本题考查逆命题的改写与真假判断，解题思路为：先交换每个命题的题设与结论得到对应逆命题，再逐一判断逆命题的真假，选出逆命题成立的选项． 【详解】A原命题为“如果两个角相等，那么它们所对的边相等”，逆命题为“如果两条边相等，那么它们所对的角相等”，即等边对等角，该命题为真命题，逆命题成立． B原命题的逆命题为“若，则”，当时，但，逆命题不成立． C原命题的逆命题为“相等的角是对顶角”，相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行的同位角相等，但不是对顶角，逆命题不成立． D原命题的逆命题为“相等的角都是直角”，两个的角相等，但都不是直角，逆命题不成立． 题型2.判断是否为互逆命题 【典例】题设和结论正好相反的两个命题叫做_______．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的_______． 【答案】 互逆命题 逆命题 【解析】略 【跟踪专练1】“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 【答案】A 【分析】根据逆命题，逆定理，公理，假命题的定义，分别对每一项进行分析即可． 【详解】“直角都相等”的条件是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等” “相等的角是直角” 的条件是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角” 条件和结论互换，所以是互为逆命题． 定理：“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”明显这个定理的逆命题是假命题， 所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理． 故选：A． 【点睛】本题考查了互为逆命题的知识，熟记互为逆命题的定义是解题关键． 【跟踪专练2】命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 【答案】C 【分析】交换题设和结论，即可得到答案． 【详解】解：“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是：如果x2＝y2，那么|x|＝|y|， 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握求一个命题的逆命题，就是交换原命题的题设与结论． 题型3.互逆定理 【典例】写出一对互逆定理：__________． 【答案】两直线平行，同位角相等；同位角相等，两直线平行(答案不唯一) 【分析】本题考查了互逆定理的概念：如果一个定理的逆命题能被证明为真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理． 根据互逆定理的定义，找出原命题和逆命题都为真命题的一对定理即可． 【详解】解：举例：原定理为“两直线平行，同位角相等”，其逆命题为“同位角相等，两直线平行”， 该逆命题已被证明为真命题，因此二者是一对互逆定理． 【跟踪专练1】下列定理中，没有逆定理的是（  ） A．全等三角形的对应角相等 B．角平分线上的点到角两边的距离相等 C．等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线互相重合 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【答案】A 【分析】本题考查逆定理的判断，核心是理解逆定理的定义：若一个定理的逆命题为真命题，则该定理存在逆定理；若逆命题为假命题，则该定理没有逆定理．据此逐项分析即可． 【详解】解：选项A：原定理“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”．对应角相等的三角形不一定全等，该逆命题是假命题，故原定理没有逆定理； 选项B：原定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题是“到角两边距离相等的点在这个角的平分线上”，该逆命题是真命题，故原定理有逆定理； 选项C：原定理“等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线互相重合”的逆命题是“若一个三角形一边上的高、中线和该边所对顶角的平分线互相重合，则这个三角形是等腰三角形”，该逆命题是真命题，故原定理有逆定理； 选项D：原定理“线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等”的逆命题是“与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”，该逆命题是真命题，故原定理有逆定理； 故选：A． 【跟踪专练2】“两边相等的三角形是等腰三角形”有逆定理吗？______．（填“有”或“没有”） 【答案】有 【分析】本题考查的是逆定理，原命题是等腰三角形的定义，其逆命题“等腰三角形有两边相等”也成立，因此有逆定理． 【详解】解：原命题“两边相等的三角形是等腰三角形”是等腰三角形的定义，其逆命题为“等腰三角形有两边相等”，该逆命题同样成立，故存在逆定理． 故答案为：有． 【跟踪专练3】下列定理中，不存在逆定理的是（   ） A．等边三角形的三个内角都等于 B．同位角相等，两直线平行 C．一个三角形中相等的边所对的角相等 D．全等三角形的对应角相等 【答案】D 【分析】本题考查逆定理的判断，解题思路是先写出各选项原命题的逆命题，再判断逆命题的真假，若逆命题为真则存在逆定理，若逆命题为假则不存在逆定理． 【详解】解：A 原命题为等边三角形的三个内角都等于，逆命题为三个内角都等于的三角形是等边三角形，逆命题为真命题，存在逆定理； B 原命题为同位角相等，两直线平行，逆命题为两直线平行，同位角相等，逆命题为真命题，存在逆定理； C 原命题为一个三角形中相等的边所对的角相等，逆命题为一个三角形中相等的角所对的边相等，逆命题为真命题，存在逆定理； D 原命题为全等三角形的对应角相等，逆命题为对应角相等的三角形是全等三角形，对应角相等的三角形不一定全等，例如边长不同的两个等边三角形，对应角相等但不全等，逆命题为假命题，不存在逆定理． 题型4.线段垂直平分线的判定 【典例】如图，，，连接，交于点E．若，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定、等边三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据垂直平分线的判定可知是的垂直平分线，则有，再证明是等边三角形，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】下面是小彤设计的“作中边上的高”的尺规作图方法． ①如图，以点B为圆心，的长为半径作弧，以点C为圆心，的长为半径作弧，两弧在下方交于点E； ②连接交于点D． 所以线段是中边上的高． 上述方法通过判定垂直平分线段，得到线段是中边上的高．其中，判定垂直平分线段的依据是（    ） A．等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 B．经过线段中点并且垂直于这条线段的直线是这条线段的垂直平分线 C．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 D．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【答案】D 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，掌握垂直平分线的判定是关键．  根据与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上即可求解．   【详解】解：根据作图可得， 依据与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，得到点B、C在线段的垂直平分线上．   故选：D ． 【跟踪专练2】和按如图方式摆放，其中，，点为上一点，连接交于点，．若，，则的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质及平行线的性质．连接，根据已知条件证明和都是等腰三角形，从而可得是的垂直平分线，得出，再由得到，从而得到，，推出，得到，由，，可推出，最后根据线段间的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，， ，， 和都是等腰三角形， 是的垂直平分线，即， ， 又， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，，，点E在上，连接相交于点F，．若，则的长为（   ） A．9 B．6 C．7 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，中垂线的判定和性质，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．连接交于点，由题意可证垂直平分，,是等边三角形，是等腰三角形，作差计算即可． 【详解】解：连接交于点， ∵，， ∴垂直平分，是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形，是等腰三角形，， ∴， ∴． 故选：D． 题型5.直角三角形的两个锐角互余 【典例】一个直角三角形的一个锐角为度，则另一个锐角的度数是________度． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形的性质，掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键，根据直角三角形两锐角互余计算即可得到答案． 【详解】解：直角三角形的一个锐角为度，直角三角形两锐角互余， 另一个锐角的度数为． 【跟踪专练1】如图，在中，是斜边上的高，，则为________． 【答案】35 【分析】根据直角三角形两锐角互余，结合同角的余角相等可得． 【详解】解：∵在中，是斜边上的高， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，在中，，，是斜边上的高，若，则的长度是______． 【答案】6 【分析】先根据直角三角形的两个锐角互余求得，再利用含30度角的直角三角形的性质求得，，进而可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∵是斜边上的高， ∴，则， ∴， ∴，则． 【跟踪专练3】如图，在的方格纸中，的度数为(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，根据方格特点证明，得到，即可得出． 【详解】解：如图， 由方格可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型6.斜边中线等于斜边一半 【典例】如图，中，，是边上的中线，若，则_____． 【答案】 【分析】根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半即可求解， 【详解】∵在中，， ∴是的斜边， ∵是边上的中线，， ∴． 【跟踪专练1】如图，一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A，B对应的刻度分别为2，8，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质解答． 【详解】解：∵点A，B对应的刻度分别为2，8， ， 在中，，点D为边的中点， ∴． 【跟踪专练2】如图，在中，，于点，，是斜边的中点，则的度数为______________________． 【答案】/50度 【分析】先根据直角三角形斜边中点的性质可得，再由垂直可得的度数，由此可解． 【详解】解：∵在中，，是斜边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵，即， 又∵， ∴， ∴， ∴ ． 【跟踪专练3】如图，中，，，平分交于点，点为的中点，连接，则的周长是（     ） A．11 B．15 C．12 D．14 【答案】A 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得且为中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得的长，结合中点定义求出、的长，进而求得的周长． 【详解】解：∵，平分， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ， ∴的周长为：． 题型7.锐角互余的三角形是直角三角形 【典例】一个三角形中，如果两个角的和为，那么第三个角是___________，这个三角形是___________三角形． 【答案】 直角 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合已知可得第三个角的度数，即可判断三角形的类型． 【详解】解：∵一个三角形中，两个角的和为， ∴第三个角是， ∴这个三角形是直角三角形． 故答案为：，直角． 【跟踪专练1】在中，若，且，则是（  ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查了两个锐角互余的三角形是直角三角形．由且可求各角度数，从而判断三角形形状． 【详解】解：，设， 又， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形． 故选：C． 【跟踪专练2】在下列条件中不能确定是直角三角形的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的判定，掌握三角形内角和是关键；通过三角形内角和为，分别验证各选项是否能推出一个角为；选项A、B、C均能推出直角三角形，选项D计算后无角，故不能确定． 【详解】解：选项A：∵ ，且 ， ∴， ∴，能确定直角三角形； 选项B：设，则， ∴， ∴，能确定直角三角形； 选项C：∵ ， ∴， 又， ∴ ，能确定直角三角形； 选项D：设，则，， ∴， ∴，，不能确定直角三角形； 故选：D． 【跟踪专练3】如图，在等腰中，，，点是的中点，点为内一点，，若已知的面积，则一定可以求出（    ） A．线段的长 B．线段的长 C．的面积 D．的面积 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形性质，直角三角形的判定，作出合适的辅助线构建全等三角形是解题的关键． 过点作，交延长线于点，先由同角的余角相等得，再通过三角形内角和定理，等边对等角，证明，则，即可证，则，根据即可求解． 【详解】解：如图，过点作，交延长线于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴若已知的面积，则一定可以求出线段的长． 故选：B． 题型8.用HL正全等 【典例】如图，四边形中，，连接，请你添加一个条件______（写出一种即可），可以根据“”得到． 【答案】（或） 【分析】斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，根据题意两个直角三角形的斜边为公共边，因此只需要条件一组直角边对应相等即可． 【详解】解：∵， ∴和都是直角三角形， 当时，又∵， ∴， 当时，又∵， ∴． 【跟踪专练1】在数学活动课上，老师用三角尺演示角平分线的作法如图：在的两边上分别取点、，使；再分别过点，作，的垂线，交点为，连接．通过证明得到平分，则证明最直接的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作法可得到，，，再加上公共边，则可利用“”判断． 【详解】解：由作法可得，，， 则， 在和中 ， ∴． 【跟踪专练2】如图，点是内部的一点，点到三边，，，的距离，，则的度数为_______________． 【答案】/130度 【分析】由，根据证明全等得到、分别平分、，先利用三角形内角和求出，再求出，最后再次用三角形内角和算出． 【详解】解：点到三边的距离， 在和中， ， ， ， 平分， 同理，平分， ，， 在中，根据三角形内角和定理：， 即， ， ． 【跟踪专练3】如图，在中，．根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线的尺规作图、过直线外一点作垂线的尺规作图、得出平分且，再结合角平分线的性质以及三角形的全等相关性质逐一判断即可． 【详解】解：根据作图可知：平分且， ∵， ∴，故A正确； ∵， 在与中， ， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故D正确； ∵，但不一定平分， 不一定成立，故C错误，满足题意． 题型9.全等的性质和HL综合 【典例】如图，于点，，，射线于点，点在线段上移动，点在射线上随着点移动，且始终保持，当________时，才能使与全等． 【答案】2或4 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，正确分类、熟练掌握利用证明直角三角形全等的方法是关键． 分当时和当时两种情况解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ①∴当时， ∵，， ∴； ②当时， ∵，， ∴； 故答案为：2或4． 【跟踪专练1】如图，在中，．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，证明，得到，由三角形外角的性质得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在和中，，，若，则__________． 【答案】 【分析】根据已知条件利用定理证明，得出，再利用直角三角形两锐角互余求出，最后利用角的和差关系求解即可． 【详解】解：， 与均为直角三角形， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【跟踪专练3】如图，在中，，，点在上，点在的延长线上，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型10.旋转模型 【典例】如图，五边形中，，则这个五边形的面积等于__________． 【答案】1 【分析】将三角形ABC绕点C顺时针旋转至AB与AE重合，连AC，AD，可得Rt△ABC≌Rt△AEF，△ACD≌△AFD可将五边形ABCDE的面积转化为两个△ADF的面积，进而求出结论． 【详解】解：延长DE至F，使EF=BC，连AC，AD，AF， 由旋转的性质可得Rt△ABC≌Rt△AEF（SAS）， ∴AC=AF，，∠B=∠AEF=90°， ∴∠DEF=∠AED+∠AFE=180°， ∴D、E、F三点共线， 又∵AD=AD， ∴△ACD≌△AFD（SSS）， ∴， ∵AB=CD=AE=BC+DE，， ∴DF=CD=1， ∵， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查全了等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到，点C的对应点为点，的延长线交BC于点D，连接AD．则下列说法错误的是（ ） A． B． C． D．AD平分 【答案】B 【分析】A、根据旋转的性质即可判断；B、由旋转角的任意性可以判断；C、由三角形内角和为且两个角相等即可判断；D、利用角平分线的判定定理即可证明． 【详解】解： A、由旋转的性质可知：，故A正确，不符合题意； B、由绕旋转任意角度得到， 只是特殊情况，故B错误，符合题意； C、，， ，， ，故C正确，不符合题意； D、过分别作的垂线，垂直分别是， ，，； ，， ， 平分，故D正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了，旋转的性质、平行线的判定定理、三角形内角和、角平分线，解题的关键是：掌握相关定理依次进行判断． 【跟踪专练2】如图，在中，，，点和点均在边上，且，若，，则____________． 【答案】 【分析】通过将绕点逆时针旋转得到，利用旋转性质和等腰直角三角形、全等三角形的相关知识，结合勾股定理求解． 【详解】解：∵，， ∴， 将绕点逆时针旋转得到，连接． ∵ 旋转， ∴ ，，，． ∵ ，， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 又∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ，， ∴ ． 在中，，， 由勾股定理得， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，在中，，，是斜边上的两点，且．将绕点顺时针旋转后，得到，连接．有下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论是__________．（请填写序号） 【答案】①③④ 【分析】根据等腰直角三角形求出，根据旋转得出，，，，即可判断①，证，即可判断③，求出，根据勾股定理即可判断④，根据与不一定相等判断②即可． 【详解】解：在中，， ， 将绕点顺时针旋转后，得到， ， ，，， ，， ， ，故①正确； 即， 在和中， ， ， ， 即平分，故③正确． ， 将绕点顺时针旋转后，得到， ，， ， ， 在中，由勾股定理得：， ，， ，故④正确； 与不一定相等， 与不一定全等，不能推出，故②错误． 题型11.垂线模型 【典例】如图，在和中，，，点B、C、E在同一条直线上．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型-垂直模型、等腰三角形的三线合一、勾股定理等知识点，作，证得是解题关键． 【详解】解：作，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，点P是线段上的动点，将点A绕点P顺时针旋转至点D，连接，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短等知识点，截取，连接；过点D作，垂足为E，证可推出为等腰直角三角形；点D在射线上运动，当时，最小，据此即可求解． 【详解】解：如图，截取，连接；过点D作，垂足为E； 可得等腰直角三角形； ∵ ∴ ∵ ∴ 则：， ∴， 即 即为等腰直角三角形 ∴ ∵点F为定点 ∴点D在射线上运动 当时，最小， 在等腰直角中：， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在中，，于点，于点，交于点．若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解答的关键．先根据等腰三角形的性质得到，，再根据等腰三角形的判定和三角形的内角和定理证得，，然后证明得到即可求解． 【详解】解：∵在等腰三角形中，是底边上的高线， ∴，， ∴， ∵， ∴，又， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 题型12.角平分线的判定定理 【典例】在内部，将两个完全一样的含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，连接，则可得到平分，判断依据是__________． 【答案】在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 【详解】 解：两个完全一样的三角尺， 且， 根据角的平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上， 平分． 【跟踪专练1】如图，，点是内一点，于点，于点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的判定定理可得平分，再计算角度． 【详解】解：于点，于点，且， 平分， ， ． 【跟踪专练2】如图，在中，，点是边上一点，连接，于点，，若，则的度数为___________． 【答案】 【分析】由角平分线的判定定理求出的大小，再由直角三角形的两个锐角互余即可得． 【详解】解：，，， 平分， ， ， ． 【跟踪专练3】如图，在中，的平分线与的平分线交于点，连接，如果要求出的度数，只需知道下列哪个角的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质与判定．过点作、、所在直线的垂线，利用角平分线的性质定理可得点到、的距离相等，进而判定平分，建立与的数量关系即可求解． 【详解】解：过点作交的延长线于点，交于点，交的延长线于点． 平分，，， ． 平分，，（、、共线）， ． ． ，， 平分． ． 只要求出的度数，只需知道的度数．故选C． 解答题 1．回答以下问题 (1)如图，点A、B、C、D在一条直线上，填写下列空格： ∵（已知）， ∴ （ ）． ∵（已知）， ∴ （ ）， ∴ （ ）． (2)说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【答案】(1)1；两直线平行，内错角相等；1；等量代换；；；内错角相等，两直线平行 (2)两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】（1）根据平行线的性质，得出，证明，根据平行线的判定，得出答案即可； （2）根据互逆命题的定义，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． （2）解：“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行” 是互逆的真命题． 2．如图，在中，，垂足为，点在边上，且，垂直平分，交于点，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的周长． 【答案】(1)证明：，且， 垂直平分． ， 垂直平分， ， ； (2)13 【分析】（1）根据垂直平分线的判定与性质证明即可； （2）根据的周长以及的长度可得的长度，再根据垂直平分线的性质得到边长相等，由此求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：垂直平分， ， 的周长为，， ， 即的周长为． 3．和的位置如图所示，点B在边上，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长度． 【答案】(1)证明：， ，， ， 在和中， ， ， ； (2) 【分析】（1）首先，由，证得，再由，证得，可得； （2）由（1）知，可得，，再由可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知：， ，， ． 4．已知：如图，分别是的中点．求证：． 【答案】证明：如图：连接， ∵分别是的中点． ∴在中，，在中，， ∴ 又∵N是的中点， ∴． 【分析】如图：连接，利用直角三角形斜边上的中线长度等于斜边长度的一半可得、，即；再利用等腰三角形三线合一的性质即可证明结论． 【详解】证明：略． 5．如图，在中，，点为斜边AB上一点，连接，将沿翻折，使落在点处，点F为直角边上一点，连接，将沿翻折，使点与点重合，求证：是直角三角形． 【答案】证明：在中， ∵， ∴ 由沿翻折得， ∴， 由沿翻折得， ∴ ∴ 即是直角三角形． 【分析】首先，沿翻折得到，可得对应角，其次，沿翻折使点与点重合，可得对应角，再把拆分为和的和，根据上述关系，，在中，，因此，从而证明是直角三角形． 【详解】略 6．如图，已知，其中，的延长线与相交于点，连接． (1)求证：； (2)若， ，求的长． 【答案】(1)证明：， ， ， ， 在和中， ， ； (2)3 【分析】（1）根据，得，即可证明； （2）根据全等三角形的性质及线段的和差即可求得的长． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 7．已知：如图，点A，E，F，C在同一条直线上，，分别作，，垂足分别为E，F，且，连接交于点G．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即：， ∵ ∴ 在和中 ， ∴ ， ∴， ∴． 【分析】通过证明可得，再根据内错角相等，两直线平行即可证明结论． 【详解】略 8．如图，在和中，，，，和交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若平分，判断和的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ． (2)证明：如图，作于，作于． ∵， ∴，， ∴ ， ∴， ∵，， ∴平分． (3)，证明如下： 如图，设与交于点， 设， ∵平分， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∴， ∴， ∴． ∴． 【分析】（1）先证明，再根据证明结论即可； （2）作于，作于，由（1）可得，，然后根据角平分线的性质即可证明； （3）设与交于点，，由角平分线的定义、全等三角形的性质、等边对等角可得，，，由（2）可得，证明，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07逆命题和逆定理及直角三角形暑假预习讲义 · 掌握命题结构，能拆分命题的题设与结论，熟练将命题改写为 “如果…… 那么……” 的标准形式；理解逆命题、逆定理概念，会写出任意命题的逆命题，明白所有命题都有逆命题，但定理不一定存在逆定理，能结合线段垂直平分线、角平分线相关定理判断互逆定理。 · 会区分真命题、假命题，掌握举反例证明假命题的方法，能辨析原命题与逆命题真假无必然关联。 · 认识直角三角形，会用Rt△表示直角三角形，熟记直角三角形核心性质：两锐角互余、斜边中线等于斜边的一半；掌握直角三角形判定方法：有两个角互余的三角形是直角三角形，能利用性质完成线段、角度基础计算。 · 了解直角三角形的对称性，知道等腰直角三角形有 1 条对称轴，普通直角三角形无对称轴。 · 回顾一般三角形全等四种判定（SSS、SAS、ASA、AAS），明确其同样适用于直角三角形；理解并熟记 HL 判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，清楚 HL 仅适用于直角三角形。 · 规范书写利用 HL 证明直角三角形全等的几何步骤，能挖掘直角、公共直角边、公共斜边等隐含条件，灵活选择合适判定方法完成证明。 · 辨析 SSA 与 HL 的区别，理解 SSA 无法判定普通三角形全等，但 HL 可以判定直角三角形全等的原因。 · 搭建完整逻辑体系：互逆命题定理→直角三角形性质与判定→直角三角形全等证明，尝试综合运用三类知识完成简单几何推理。 · 自主梳理易混淆知识点、看不懂的证明步骤与综合题型，课堂针对性听讲、突破难点。 预习必备 知识梳理 1.命题 2.直角三角形基本概念 3.直角三角形的性质 4.直角三角形的核心判定 5.线段垂直平分线 6.角平分线 常考题型 精讲精练 1.写出命题的逆命题 2.判断是否为互逆命题 3.互逆定理 4.线段垂直平分线的判定 5.直角三角形的两个锐角互余 6.斜边中线等于斜边一半 7.锐角互余的三角形是直角三角形 8.用HL正全等 9.全等的性质和HL综合 10.旋转模型 11.垂线模型 12.角平分线的判定定理 强化题型 解答题8题 知识点01:命题 1. 命题的定义 判断一件事情的语句叫做命题（必须是陈述句，有明确的肯定 / 否定判断，不含模糊词语）。 2. 命题的结构 所有命题都由条件（题设）和结论两部分组成，标准形式：“如果……（条件），那么……（结论）”（也可写为 “若……，则……”）。 条件：已知事项（已知） 结论：由条件推出的事项（求证） 3. 命题的分类（按真假） 类型 定义 判断方法 示例 真命题 条件成立时，结论一定成立的命题 严格推理证明 对顶角相等；两直线平行，同位角相等 假命题 条件成立时，结论不一定成立的命题 举反例（一个符合条件但结论不成立的例子） 若a2=b2，则a=b（反例：a=2,b=−2） 4. 逆命题 定义：将一个命题的条件与结论互换，得到的新命题就是原命题的逆命题。 核心结论：每个命题都有逆命题；原命题为真，逆命题不一定为真（反之亦然）。 示例： 原命题：如果两个角是对顶角，那么它们相等（真） 逆命题：如果两个角相等，那么它们是对顶角（假） 知识点02:直角三角形基本概念 定义：有一个角是直角90的三角形叫做直角三角形。 边角名称：夹直角的两条边叫直角边，直角所对的边叫斜边。 表示方法：Rt△ABC， ∠C=90 内角特点：直角三角形只有一个直角，另外两个均为锐角。 知识点03:直角三角形的性质 性质 内容 几何语言 图示 角的性质 直角三角形的两个锐角互余（和为 90°） 在 Rt△ABC 中，若 ∠C=90°，则 ∠A + ∠B = 90° 斜边中线性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 在Rt△ABC中.若∠C=90°，D为AB中点,则CD=AB 30°角性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 在Rt△ABC中，若∠C=90°，∠A=30°，则BC=AB 知识点04:直角三角形的核心判定（高频考点） 判定方法 内容 几何语言 图示 定义判定 有一个角是直角（90°）的三角形是直角三角形 在△ABC中，若∠C=90°，则 △ABC是直角三角形 角的判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 在△ABC中若∠A+∠B= 90，则∠C=90°，△ABC是直角三角形 中线判定 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形 在△ABC中，若D为AB中点，且CD = AB，则∠C=90°，△ABC 是直角三角形 知识点05:线段的垂直平分线 垂直平分线定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。 图形性质：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的一条对称轴 定理 几何语言 图示 性质定理 线上点到线段两端距离相等 ∵ 点 P 在 AB 的垂直平分线上∴ PA = PB 判定定理（逆定理） 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ∵ PA = PB∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上 知识点06:角平分线 1.角平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的平分线。 几何特征：角是轴对称图形，角平分线所在直线是它的对称轴。 几何语言： ∵ 射线 OC 把 ∠AOB 分成两个相等的角，即 ∠1=∠2，∴ 射线 OC 是 ∠AOB 的角平分线。 2. 性质定理+判定定理（重点） 定理 几何语言 图示 性质定理 角平分线上的任意一点，到这个角两边的距离相等 ∵ OC 平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB∴ PD = PE 判定定理 到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上 知识点07：高频易错点汇总 1.使用 HL 时，忘记标注 “Rt△”，书写格式扣分； 2.混淆：斜边中线等于斜边一半，不是直角边中线； 3.认为所有定理都有逆定理，忽略逆命题必须为真才存在逆定理； 4.直接用 SSA 证明普通三角形全等，混淆 HL 适用范围； 5.等腰直角三角形角度记错，误以为锐角是 60°。 题型1.写出命题的逆命题 【典例】已知命题：“全等三角形对应边相等”，则它的逆命题为__________． 【跟踪专练1】下列命题中，逆命题是真命题的是（ ） A．全等三角形的对应角相等 B．三角形的中位线平行于第三条边 C．直角三角形的两锐角互余 D．等边三角形是等腰三角形 【跟踪专练2】命题“如果，那么”的逆命题是________命题．（填“真”或“假”） 【跟踪专练3】下列各命题的逆命题成立的是（   ） A．等角对等边 B．若，则 C．对顶角相等 D．直角都相等 题型2.判断是否为互逆命题 【典例】题设和结论正好相反的两个命题叫做_______．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的_______． 【跟踪专练1】“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 【跟踪专练2】命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 题型3.互逆定理 【典例】写出一对互逆定理：__________． 【跟踪专练1】下列定理中，没有逆定理的是（  ） A．全等三角形的对应角相等 B．角平分线上的点到角两边的距离相等 C．等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线互相重合 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【跟踪专练2】“两边相等的三角形是等腰三角形”有逆定理吗？______．（填“有”或“没有”） 【跟踪专练3】下列定理中，不存在逆定理的是（   ） A．等边三角形的三个内角都等于 B．同位角相等，两直线平行 C．一个三角形中相等的边所对的角相等 D．全等三角形的对应角相等 题型4.线段垂直平分线的判定 【典例】如图，，，连接，交于点E．若，，则________． 【跟踪专练1】下面是小彤设计的“作中边上的高”的尺规作图方法． ①如图，以点B为圆心，的长为半径作弧，以点C为圆心，的长为半径作弧，两弧在下方交于点E； ②连接交于点D． 所以线段是中边上的高． 上述方法通过判定垂直平分线段，得到线段是中边上的高．其中，判定垂直平分线段的依据是（    ） A．等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 B．经过线段中点并且垂直于这条线段的直线是这条线段的垂直平分线 C．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 D．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【跟踪专练2】和按如图方式摆放，其中，，点为上一点，连接交于点，．若，，则的长为_______． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，，，点E在上，连接相交于点F，．若，则的长为（   ） A．9 B．6 C．7 D．10 题型5.直角三角形的两个锐角互余 【典例】一个直角三角形的一个锐角为度，则另一个锐角的度数是________度． 【跟踪专练1】如图，在中，是斜边上的高，，则为________． 【跟踪专练2】如图，在中，，，是斜边上的高，若，则的长度是______． 【跟踪专练3】如图，在的方格纸中，的度数为(     ) A． B． C． D． 题型6.斜边中线等于斜边一半 【典例】如图，中，，是边上的中线，若，则_____． 【跟踪专练1】如图，一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A，B对应的刻度分别为2，8，则的长为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，于点，，是斜边的中点，则的度数为______________________． 【跟踪专练3】如图，中，，，平分交于点，点为的中点，连接，则的周长是（     ） A．11 B．15 C．12 D．14 题型7.锐角互余的三角形是直角三角形 【典例】一个三角形中，如果两个角的和为，那么第三个角是___________，这个三角形是___________三角形． 【跟踪专练1】在中，若，且，则是（  ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【跟踪专练2】在下列条件中不能确定是直角三角形的条件是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，在等腰中，，，点是的中点，点为内一点，，若已知的面积，则一定可以求出（    ） A．线段的长 B．线段的长 C．的面积 D．的面积 题型8.用HL正全等 【典例】如图，四边形中，，连接，请你添加一个条件______（写出一种即可），可以根据“”得到． 【跟踪专练1】在数学活动课上，老师用三角尺演示角平分线的作法如图：在的两边上分别取点、，使；再分别过点，作，的垂线，交点为，连接．通过证明得到平分，则证明最直接的依据是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点是内部的一点，点到三边，，，的距离，，则的度数为_______________． 【跟踪专练3】如图，在中，．根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（　　） A． B． C． D． 题型9.全等的性质和HL综合 【典例】如图，于点，，，射线于点，点在线段上移动，点在射线上随着点移动，且始终保持，当________时，才能使与全等． 【跟踪专练1】如图，在中，．若，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在和中，，，若，则__________． 【跟踪专练3】如图，在中，，，点在上，点在的延长线上，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型10.旋转模型 【典例】如图，五边形中，，则这个五边形的面积等于__________． 【跟踪专练1】如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到，点C的对应点为点，的延长线交BC于点D，连接AD．则下列说法错误的是（ ） A． B． C． D．AD平分 【跟踪专练2】如图，在中，，，点和点均在边上，且，若，，则____________． 【跟踪专练3】如图，在中，，，是斜边上的两点，且．将绕点顺时针旋转后，得到，连接．有下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论是__________．（请填写序号） 题型11.垂线模型 【典例】如图，在和中，，，点B、C、E在同一条直线上．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，点P是线段上的动点，将点A绕点P顺时针旋转至点D，连接，则的最小值是______． 【跟踪专练2】如图，在中，，于点，于点，交于点．若，，则的长为_____． 【跟踪专练3】如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 题型12.角平分线的判定定理 【典例】在内部，将两个完全一样的含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，连接，则可得到平分，判断依据是__________． 【跟踪专练1】如图，，点是内一点，于点，于点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，点是边上一点，连接，于点，，若，则的度数为___________． 【跟踪专练3】如图，在中，的平分线与的平分线交于点，连接，如果要求出的度数，只需知道下列哪个角的度数（   ） A． B． C． D． 解答题 1．回答以下问题 (1)如图，点A、B、C、D在一条直线上，填写下列空格： ∵（已知）， ∴ （ ）． ∵（已知）， ∴ （ ）， ∴ （ ）． (2)说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 2．如图，在中，，垂足为，点在边上，且，垂直平分，交于点，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的周长． 3．和的位置如图所示，点B在边上，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长度． 4．已知：如图，分别是的中点．求证：． 5．如图，在中，，点为斜边AB上一点，连接，将沿翻折，使落在点处，点F为直角边上一点，连接，将沿翻折，使点与点重合，求证：是直角三角形． 6．如图，已知，其中，的延长线与相交于点，连接． (1)求证：； (2)若， ，求的长． 7．已知：如图，点A，E，F，C在同一条直线上，，分别作，，垂足分别为E，F，且，连接交于点G．求证：． 8．如图，在和中，，，，和交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若平分，判断和的数量关系，并证明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $