专题1.4 反比例函数章节复习【导图+知识卡片+知识梳理+19个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共53题】-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

本讲义聚焦反比例函数核心知识点，系统梳理概念（三种形式）、图象性质（象限分布、增减性、对称性）、表达式确定（待定系数法）、系数k的几何意义（面积关系）、与一次函数综合（交点及图象判断）及三个模型，构建从基础到综合应用的学习支架。 该资料以思维导图整合知识脉络，19个题型讲练（如典例精讲与变式训练）培养推理能力和运算能力，中考真题与难度分层练（基础夯实、培优拔高）提升应用意识。课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺，发展数学思维与实践能力。

专题1.4 反比例函数（章节复习）『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+19个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共53题） 【苏科版数学新教材•九年级上册】 同学你好，本套讲义针对2026年苏科版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲义包含精编思维导图，知识梳理精讲，重点难点题型讲练，中考真题实战演练，精选真题难度分层练等五大部分！题目新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 思维导图 2 知识梳理 3 知识点一 反比例函数的概念 3 知识点二 反比例函数的图象与性质 3 知识点三 反比例函数表达式的确定 3 知识点四 系数k的几何意义 4 知识点五 反比例函数与一次函数 4 知识点六 反比例函数中的三个模型 5 题型讲练 5 题型一 根据反比例函数的定义求参数 5 题型二 求反比例函数值 6 题型三 由反比例函数值求自变量 6 题型四 已知反比例函数的图象，判断其解析式 7 题型五 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 8 题型六 已知双曲线分布的象限，求参数范围 10 题型七 判断反比例函数的增减性 11 题型八 判断反比例函数图象所在象限 12 题型九 已知反比例函数的增减性求参数 13 题型十 比较反比例函数值或自变量的大小 14 题型十一 已知比例系数求特殊图形的面积 15 题型十二 求反比例函数解析式 16 题型十三 反比例函数与几何综合 18 题型十四 根据图形面积求比例系数(解析式) 21 题型十五 一次函数与反比例函数图象综合判断 23 题型十六 一次函数与反比例函数的交点问题 25 题型十七 一次函数与反比例函数的实际应用 27 题型十八 一次函数与反比例函数的其他综合应用 31 题型十九 实际问题与反比例函数 35 中考真题演练 36 难度分层训练 45 【基础夯实】 45 【培优拔高】 50 知识点一 反比例函数的概念 （1）定义：形如的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数． （2）形式：反比例函数有以下三种基本形式 ①； ②； ③. 知识点二 反比例函数的图象与性质 y＝ （k为常数，） 图　象[来源:Zxxk.Com] [来 所在象限[来 源:学*科*网Z*X*X*K] 一、三（x，y同号）[ 二、四（x，y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 1.图象是中心对称图形，对称中心为原点； 2.图象是轴对称图形，两条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限的角平分线和二、四象限的角平分线． 知识点三 反比例函数表达式的确定 待定系数法： （1）设：设函数表达式为； （2）代：将已知点的坐标代入函数表达式； （3）解：求出k的值，得到函数表达式． 知识点四 系数k的几何意义 （1）意义：从的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为. 如图①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|； 同理可得S△OPA＝S△OPB＝|xy|＝|k|. （2）常见的面积类型： 易错警示：已知相关面积求反比例函数的表达式时，若函数图象在第二、四象限，则k＜0. （3）越大，双曲线离原点越远. （4）求k的常用方法 ①由面积关系求k值：用含k的代数式表示已知图形的面积； ②设点法列方程求k值：化斜为直，把相似转化为坐标关系. 知识点五 反比例函数与一次函数 （1）确定交点坐标 ①正比例函数与反比例函数图象相交，若其中一个交点坐标为，根据中心对称性，可得另一个交点坐标为. ②一次函数与反比例函数图象相交，可联立两个函数解析式，利用方程思想求解. （2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解. （3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法， 分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可，也可逐一选项判断、排除. （4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 知识点六 反比例函数中的三个模型 题型一 根据反比例函数的定义求参数 【典例精讲】（25-26九年级下·云南曲靖·期中）若点在反比例函数 y =的图像上，则______． 【答案】5 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，点在函数图象上则点的坐标满足函数解析式，将点的坐标代入解析式即可求解． 【详解】解：因为点在反比例函数的图象上， 将，代入解析式得：， 等式两边同乘得：， 解得． 【变式训练】（2026·陕西榆林·二模）已知点和点都是反比例函数（k为常数，且）的图象上的点，则的值为______． 【答案】0 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式，分别得到与、与的关系，整理即可求出的值． 【详解】解：将代入得：，即 ， 将代入得：，即 ， 因此可得 ，整理得 ，即 ． 题型二 求反比例函数值 【典例精讲】（2026·重庆·二模）下列各点中，不在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：反比例函数为，可得． A选项：点，，满足等式，点在图象上，不符合题意； B选项：点，，满足等式，点在图象上，不符合题意； C选项：点，，不满足等式，点不在图象上，符合题意； D选项：点，，满足等式，点在图象上，不符合题意． 【变式训练】如图，已知点在反比例函数的图像上，观察图像可知，当时，的取值范围是___________． 【答案】 【分析】直接根据函数图像以及P点坐标即可解答． 【详解】解：由P点坐标以及函数图像可知，当时，y的取值范围是． 题型三 由反比例函数值求自变量 【典例精讲】（2025·北京·三模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为_____． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式是解决问题的关键．将点和代入之中得，，由此可得的值． 【详解】解：函数的图象经过点和， ，， ，， ． 故答案为：． 【变式训练】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的是一面墙（可利用的最大长度为），现打算沿墙围一个面积为的矩形花圃．设花圃的长为，宽为，则关于的函数表达式是_________，自变量的取值范围是_________． 【答案】， 【分析】此题考查根据实际问题列函数关系式，理解题意掌握长方形的面积公式是解题的关键．根据长方形的面积长宽，可得，进而得出y关于x的函数表达式，再根据围墙可利用的最大长度为求得x的取值范围． 【详解】解：解：由题意得，即． ∵围墙可利用的最大长度为， ∴， 故答案为：，． 题型四 已知反比例函数的图象，判断其解析式 【典例精讲】（2025·陕西渭南·一模）在同一平面直角坐标系中，若反比例函数（a为常数，）与正比例函数（b为常数，）的图象有公共点，则下列关于a、b之间的关系一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与正比例函数的图象与性质，根据两函数的图象与性质即可作出判断． 【详解】解：当a，b同为正数时，两函数图象分别在第一、三象限，则两函数图象必有公共点； 当a，b同为负数时，两函数图象分别在第二、四象限，则两函数图象也必有公共点； 综上，当时，两函数图象必有公共点； 故选：D． 【变式训练】（2024·河北·模拟预测）如图，点在反比例函数上，点在反比例函数和的图象之间，轴，写出一个符合条件的点的坐标为______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查反比例函数图象及性质，点坐标特点等．根据题意利用反比例函数点坐标分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵轴， ∴点的横坐标等于点的横坐标等于，点的纵坐标大于点的纵坐标， ∵点在反比例函数和的图象之间，点在反比例函数上， ∴点的纵坐标小于时，的值，即点的纵坐标小于， ∴符合条件的点的横坐标为2，纵坐标大于1小于即可， 故答案为：（答案不唯一）． 题型五 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【典例精讲】（25-26九年级上·山东滨州·期末）关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．图象必经过点 B．两个分支分布在第二、四象限 C．两个分支关于x轴成轴对称 D．当时，y的值随x的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是关键．本题利用反比例函数的图象与性质，逐一验证各选项即可． 【详解】解：对于A，将代入，得，所以A选项错误，不符合题意； 对于B，因为，所以函数图象的两个分支分布在第一、三象限，所以选项B错误，不符合题意； 对于C，反比例函数的两个分支关于原点中心对称，不关于x轴对称，所以选项C错误，不符合题意； 对于D，由于，当时，图象位于第三象限，y随x的增大而减小，所以选项D正确，符合题意． 故选：D． 【变式训练】（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图所示，由反比例函数的对称性可知，点P关于原点的对称点Q也在图象上．作轴于点A，交延长线于点C，则的面积为 ________ ．（用含k的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，设点P的坐标为，可得出，由点P和点Q关于原点对称可得出，再结合已知条件可得出，再得出，，再根据三角形面积公式得出，最后根据反比例函数的图象得出即可得出答案． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵点P在反比例函数上， ∴， ∵点P和点Q关于原点对称， ∴， ∵轴，， ∴， ∴，， ∴， ∵反比例函数在第二和第四象限， ∴， ∴， 故答案为：． 题型六 已知双曲线分布的象限，求参数范围 【典例精讲】（2026·安徽宿州·二模）已知反比例函数的图象在第二、四象限，则一次函数的图象不经过第______象限． 【答案】一 【分析】先根据反比例函数图象所在象限判断出的符号，进而得到的取值范围，再根据一次函数的图象与性质判断一次函数不经过的象限. 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， 解得 ， ∴， 一次函数中，，，因此其图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限. 【变式训练】（2026·重庆大足·一模）已知反比例函数的图象位于第二、四象限，且关于x的不等式组至少有3个整数解，则符合条件的整数m的值之积为_____． 【答案】0 【分析】根据反比例函数图象的性质得到，解关于x的不等式组得，根据不等式组至少有3个整数解求出的取值范围，得到符合条件的整数m的值，相乘即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∴， 解关于x的不等式组得， ∴ ∵不等式组至少有3个整数解， ∴0， 解得， 由上可得，m的取值范围是， ∴整数m是，0，1共3个， ∴符合条件的整数m的值之积为． 题型七 判断反比例函数的增减性 【典例精讲】（2026·江苏盐城·一模）小明根据学习函数的经验，对函数的图像与性质作出推测，其中结论正确的是（    ） ①图象与坐标轴相交；②图象位于第一、二象限； ③图象关于y轴对称；④图象总是呈现下降趋势． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据函数的定义域、函数值符号、对称性、增减性逐项判断即可． 【详解】解：对于函数， ①分母不能为0， ，即，图像不与y轴相交； 又 ， ，恒不为0，图像不与x轴相交，即①错误； ② 时，，对应点在第一象限；时，，对应点在第二象限． 图像位于第一、二象限，②正确． ③对任意，都有，即若点在图像上，则点也在图像上， 图像关于y轴对称，③正确． ④当时，增大，增大，减小，y随x增大而减小； 当时，增大，减小，增大，y随x增大而增大． 因此图像不是总呈现下降趋势，④错误． 综上，正确结论为②③，即选项C符合题意． 【变式训练】（2026·四川成都·二模）已知点在反比例函数的图象上，如果，那么的值可能为_____（请写出一个符合条件的值）． 【答案】3（答案不唯一，满足即可） 【分析】根据点 的横坐标大小关系和的大小关系，判断反比例函数的增减性，进而得到比例系数的取值范围，即可写出符合条件的的值． 【详解】解：点 在反比例函数的图象上， 又，且， 在第一象限内，随的增大而减小， 反比例函数图象经过第一、三象限， 比例系数大于，即， 解得， （答案不唯一）． 题型八 判断反比例函数图象所在象限 【典例精讲】（25-26九年级下·重庆南川·期中）已知反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．其图象经过点 B．其图象位于第一、第三象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时， 【答案】D 【分析】根据反比例函数的解析式和性质，依次判断每个选项即可得到正确结论． 【详解】解：A、把代入，得，故图象不经过点，A错误； B、反比例函数中，，故图象位于第二、四象限，B错误； C、反比例函数中，，故当时，随的增大而增大，不是减小，C错误； D、当时，图象位于第二象限，即，，即，D正确． 【变式训练】（2026·河北石家庄·一模）如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，，b（其中靠近b），那么反比例函数的图象在第______象限． 【答案】一、三 【分析】根据数轴上点的位置关系，判断出和的符号，进而确定的符号． 【详解】解：根据数轴上点的位置可知，， ， ， ， 靠近，意味着点到点的距离小于点到点的距离， 点到点的距离为， 点到点的距离为， ， ， 故函数的图象在第一、三象限． 题型九 已知反比例函数的增减性求参数 【典例精讲】（25-26八年级下·黑龙江佳木斯·期中）若点、、都在反比例函数（为常数，）的图象上，且，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据正半轴上两点的纵坐标关系判断函数增减性，再结合点的位置验证的符号即可得到答案． 【详解】解： 点、都在反比例函数（为常数，）的图象上，且，， 当时，随的增大而增大， ， 当时，点在第二象限，，点、在第四象限，，此时满足， 的取值范围是． 【变式训练】（2026·陕西西安·三模）若反比例函数的图象经过，两点，若，分别位于双曲线的两个分支，且，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据，两点位于反比例函数两个分支，可得两点横坐标异号，结合横坐标大小得到关于的不等式，再结合判断反比例函数比例系数的符号，联立求解得到的取值范围． 【详解】解：点，分别位于双曲线的两个分支， 两点横坐标异号． 又， ，， 解得． ，点，分别位于双曲线的两个分支， ∴． ∴反比例函数的图象经过一、三象限． ，即． 综上所述，． 题型十 比较反比例函数值或自变量的大小 【典例精讲】（2026·浙江杭州·一模）已知点，均在反比例函数的图象上，若，则下列判断一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由反比例函数的图象和性质得反比例函数图象分布在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，由可知，即可判断，，据此解答即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴反比例函数的图象在第一、三象限， ∵点，均在反比例函数的图象上，且， ∴， ∴点在第三象限，在第一象限， ∴，， ∴一定成立，的符号无法确定， 【变式训练】（2026·浙江丽水·二模）已知反比例函数，当时，的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质．根据反比例函数的系数确定出增减性，然后结合的范围即可求解的取值范围． 【详解】解：将代入，得 ． ， 反比例函数的图象位于第二，四象限，在每个象限内随的增大而增大． 当时，函数图象位于第二象限，此时， 的取值范围是． 题型十一 已知比例系数求特殊图形的面积 【典例精讲】（2026·浙江温州·二模）如图，点，是反比例函数上的两点，过点作轴于点，作轴于点．若点的坐标为，则矩形的面积为_______． 【答案】3 【分析】将点代入反比例函数解析式即可求出值，即可求解． 【详解】解：将点代入反比例函数解析式， 得：， 解得：， 则反比例函数的解析式为：， ∴ 设点， ∴，， ∴矩形的面积为：． 【变式训练】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，点在反比例函数图象上，点在反比例函数图象上，且线段轴于点．若，则的值为______． 【答案】6 【分析】连接、，根据反比例函数的几何意义得出，根据可得，根据反比例函数的几何意义结合图象所在象限即可得答案． 【详解】解：如图，连接、， ∵点在反比例函数图象上，轴于点， ∴， ∵，点在反比例函数图象上， ∴， ∴， 解得：或， ∵的图象在第一象限， ∴． 题型十二 求反比例函数解析式 【典例精讲】（2026·重庆·二模）点在反比例函数的图象上，则下列各点中，在此函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴，即， 选项，，该点在函数图象上； 选项，，该点不在函数图象上； 选项，，该点不在函数图象上； 选项，，该点不在函数图象上： 【变式训练】（2026·河南南阳·二模）如图，点在反比例函数的图象上，点在轴负半轴上，，平行四边形的面积为6，点的纵坐标为1，则＝____． 【答案】 【分析】利用平行四边形对边平行且相等的坐标平移规律，结合平行四边形面积公式求出点坐标，再代入反比例函数解析式求． 【详解】解：点在轴负半轴，， ， 点纵坐标为，四边形是平行四边形， ，， 竖直方向：纵坐标、纵坐标，竖直距离； 设，由平行四边形坐标平移：向右平移个单位、向下平移3个单位到点，则纵坐标：， 平行四边形面积底水平宽： 以为竖直参考，，得， 由图象得，在第二象限， ， 即， 把代入： ． 题型十三 反比例函数与几何综合 【典例精讲】（2026·山东淄博·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）与反比例函数（，）的图象相交于点，两点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)当时，请直接写出关于的不等式的解集； (3)在平面直角坐标系中，是否存在点（点在直线的右上方）和点，使得四边形为正方形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2) (3)存在，点的坐标为 【分析】（1）将代入中，求出，得到反比例函数的表达式，再求出点的坐标为，利用待定系数法即可求出一次函数的表达式； （2）观察图象即可求解； （3）根据正方形的性质得到，；在直线的右上方作为斜边的等腰直角三角形，过点作轴，分别过点，作于点，于点，设点的坐标为，通过证明得到，，进而列出关于的方程组，解方程组即可得出答案． 【详解】（1）解：将代入中，得， ∴反比例函数的表达式为， 将代入中，得， ∴点的坐标为， 将，代入中， 得， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：由图象得，当时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， ∴关于的不等式的解集为； （3）解：存在，理由如下： ∵四边形为正方形， ∴，， ∴是等腰直角三角形； 如图，在直线的右上方作为斜边的等腰直角三角形，过点作轴，分别过点，作于点，于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点的坐标为， ∵，， ∴，，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 【变式训练】（2026·山西长治·二模）如图，直线与轴、轴分别相交于点、，四边形是正方形，曲线在第一象限经过点，则____________． 【答案】12 【分析】先求出点，可得，作轴，垂足为E，连接，证明，可得，，从而得到点D的坐标为，即可求解． 【详解】解：∵直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点， 当时，，当时， 解得， ∴点， ∴， 如图，作轴，垂足为E， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点D的坐标为， ∵曲线在第一象限经过点D， ∴． 题型十四 根据图形面积求比例系数(解析式) 【典例精讲】（2026·福建三明·模拟预测）如图，点，分别在反比例函数（），（）的图象上，点为轴正半轴上一点，若平行四边形的面积是6，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质求出，根据反比例函数k的几何意义求出，进而求出，然后根据求解即可． 【详解】解：如图，延长交x轴于点D，连接， ∵平行四边形的面积是6， ∴．， ∴， ∴． ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴． ∵点A在反比例函数的图象上， ∴． ∴． ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴． 【变式训练】（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A是反比例函数（k为常数，）图像上的点，轴于点B，点D在x轴正半轴上，坐标原点O为的中点，若的面积为8，则k的值是_________． 【答案】 【分析】设点A的坐标为，根据点A所在的象限确定x，y的符号，利用线段中点的性质表示出的长，结合三角形面积公式建立关于的等式，最后根据反比例函数k的几何意义求解. 【详解】解：设点A的坐标为， ∵点A在第二象限 ， ∴， ∵轴 ， ∴， ∵点O为的中点， ∴， ∵， ∴，解得：， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴ 题型十五 一次函数与反比例函数图象综合判断 【典例精讲】（2026·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，点，均在直线上，若，则反比例函数的图象经过的点的坐标不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据正比例函数的增减性判断的符号，再结合反比例函数的性质，反比例函数图象上任意点横纵坐标的乘积等于，根据乘积的符号即可判断哪个点不可能在反比例函数图象上． 【详解】解：∵点，都在直线上，且时， ∴随的增大而增大， ∴， ∵点的横纵坐标异号，， 所以点不可能在的图象上． 【变式训练】（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，已知反比例函数与直线交于点，，点是轴上的一点，连接． (1)求反比例函数表达式； (2)若，求点的坐标； (3)直接写出的解集． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)或 【分析】（1）将点代入，求出点，代入即可得到反比例函数表达式； （2）求出点B的坐标，设交轴于点，先求出，设点的坐标为得到，根据，即可求解； （3）直接根据图象可得答案． 【详解】（1）解：把点代入得：， ∴点， 把点代入得：， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：把点代入，得：， ∴， ∴， 设交轴于点，如图： 当时，， ∴， ∴， 设点的坐标为， ∴， ∵， ∴，即， 解得：或6， ∴点的坐标为或； （3）解：∵点， ∴由图象可得，的解集为或． 题型十六 一次函数与反比例函数的交点问题 【典例精讲】（2026·江苏南京·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（k为常数，）与反比例函数（a为常数，）的图象交于A，B两点．若点A的纵坐标为4，点B的横坐标为，则a的值为________． 【答案】 【分析】设出点和点的坐标，利用点在反比例函数图象上满足解析式表示出坐标，再代入一次函数解析式建立关于和的方程组，消去求解的值，最后根据图象所在象限确定的符号． 【详解】解：设点的坐标为，点的坐标为， 点在反比例函数的图象上 ， ， ， 点在一次函数的图象上， ， 由得，即 ， 将代入得， 整理得 ， 解得 ， 反比例函数图象位于第一、三象限， ． 【变式训练】（2026·江苏苏州·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，延长交反比例函数图象于点C． (1)求一次函数的表达式与反比例函数的表达式； (2)当时，直接写出自变量x的取值范围为______； (3)点M是x轴上一点，当时，请求出点M的坐标． 【答案】(1)一次函数的表达式为；反比例函数的表达式为 (2)或 (3)或 【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）根据图象，直接写出不等式解集即可； （3）设直线交x轴于点D，先求出，，再根据，继而求出点M坐标即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象相交于，， ， ∴反比例函数的表达式为， 把，代入一次函数， 则， 解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）解：由图象可知，当时，自变量的取值范围为或． （3）解：如图，设直线交x轴于点D， ∵一次函数，当时，， 解得，则， ， ， ， ∵交反比例函数图象于点C， ∴点关于点O对称， ， ， ， 或 题型十七 一次函数与反比例函数的实际应用 【典例精讲】（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，一次函数（）的图像与反比例函数（）的图像交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集； (3)已知点在轴上，点在反比例函数图像上．若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为：；一次函数的表达式为：； (2)或； (3)点的坐标为：或或时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形 【分析】本题考查函数与几何的综合，解题的关键是掌握一次函数的图像和性质，反比例函数的图像和性质，一次函数与反比例函数的交点问题，平行四边形存在性问题，进行解答，即可． （1）根据点，在一次函数和反比例函数的图像上，利用待定系数法，即可； （2）由函数图像，当一次函数的图像在反比例函数的图像上时，，即可； （3）根据平行四边形的性质，分类讨论：①当，是对角线；②当，是对角线时；③当，是对角线时，根据中点坐标，进行解答，即可． 【详解】（1）解：∵，在反比例函数图像上， ∴， 解得：， ∴反比例函数的表达式为：； ∴， ∴， ∴点， ∵点，在一次函数， ∴， 解得：， ∴， ∴一次函数的表达式为：． （2）解：由（1）得，， 当一次函数的图像在反比例函数的图像上时，， ∴当或时，． （3）解：∵点在轴上，点在反比例函数图像， ∴设点，， ∵四边形是平行四边形， ∴①当，是对角线， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； ②当，是对角线时， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； ③当，是对角线时， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为：或或时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【变式训练】（24-25九年级上·湖南长沙·期末）为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为12mg．据以上信息解答下列问题： (1)求药物燃烧时y与x的函数关系式； (2)求药物燃烧后y与x的函数关系式； (3)当每立方米空气中含药量不低于5mg时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？ 【答案】(1) (2) (3)对病毒有作用的时间长为分钟 【分析】本题考查反比例函数的实际问题，掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求正比例函数解析式即可； （2）利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （3）根据题意列不等式组，求出不等式组的解集即可解题． 【详解】（1） 解：设药物燃烧时的函数解析式为， 由题意得：，解得：， 燃烧时的函数关系式为； （2） 解：设燃烧后函数解析式为， 由题意得：，解得：， 燃烧后的函数关系式为； （3） 解：由题意得： 解得：， （分钟）， 答：对病毒有作用的时间长为分钟． 题型十八 一次函数与反比例函数的其他综合应用 【典例精讲】（2026·河北·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)将直线向下平移a个单位长度后与x轴、y轴分别交于E，F两点，当时，求a的值； (3)若点P在y轴上，当的周长最小时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)点P的坐标为 【分析】（1）根据已知条件列方程求得，得到反比例函数的表达式为，求得，解方程组即可得到结论； （2）将直线向下平移个单位长度后得直线的解析式为，得到，根据勾股定理即可得到结论． （3）如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，则此时，的周长最小，根据轴对称的性质得到，得到直线的解析式为，当时，，于是得到点的坐标为； 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点，， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∴， ∴， ∴， 将，代入一次函数，得， 解得， ∴一次函数的解析式为． （2）解：∵将直线向下平移a个单位长度后与x轴、y轴分别交于E，F两点， ∴直线的解析式为， ∴，． 如图（1），过点A向x轴作垂线，过点B向y轴作垂线，两垂线交于点Q． ∵点，， ∴，， ∴． ∵， ∴， 解得：或． （3）解：如图（2），作点A关于y轴的对称点G，连接交y轴于点P，此时，的周长最小． ∵点， ∴． 设直线的解析式为 ， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． 当时，， ∴点P的坐标为． 【变式训练】（2026·河南·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求点坐标和的值； (2)点为轴上一个动点， ①连接，，若面积为，求的值； ②若过点作垂直于轴的直线，分别交反比例函数及一次函数的图象于，两点，当点位于点右侧时，请直接写出的取值范围________． 【答案】(1)，； (2)①或；②或． 【分析】（1）把，代入，，再进一步求解即可； （2）①如图，连接，记与轴的交点为，求解，利用，再建立方程求解即可；②如图，当在轴上方时，当过时，，如图，当在轴下方时，当过时，，进一步可得答案． 【详解】（1）解： 一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ，，， 解得：，，， 反比例函数解析式为：，． （2）解：①如图，连接，记与轴的交点为， ∵一次函数， 当时，， ∴， 由（1）得：，，而， ∴， ∴ ， ∵面积为， ∴， 解得：或． ②如图，当在轴上方时， 当过时，， ∴此时过点作垂直于轴的直线，分别交反比例函数及一次函数的图象于，两点，当点位于点右侧时，； 如图，当在轴下方时， 当过时，， ∴此时过点作垂直于轴的直线，分别交反比例函数及一次函数的图象于，两点，当点位于点右侧时，； 综上：或． 题型十九 实际问题与反比例函数 【典例精讲】（2026·广西南宁·三模）已知某物体的质量与其体积成反比例关系，即，当体积是时，质量为．则与的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，当时，， ∴， 解得， ∴与的函数关系式为． 【变式训练】（2026·广东广州·二模）为打造便民宜居的公共空间，某社区启动了口袋公园提质改造项目，现对一块面积为的休闲广场铺装地砖． (1)若每块地砖的面积为（单位：），所需地砖总块数为，请直接写出关于的函数表达式； (2)结合景观设计方案，施工方采用白色、灰色两种同规格的正方形防滑地砖进行交错铺装，每块地砖的边长均为．已知白色地砖的数量比灰色地砖数量的倍少块．求白色和灰色地砖各用了多少块． 【答案】(1) (2)白色地砖块，灰色地砖块 【分析】（1）利用反比例关系得到关于的函数表达式即可； （2）先根据正方形面积公式算出单块地砖面积，进而得到总地砖数量，再结合两种地砖的数量关系，列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，广场总面积为，故， 整理得，其中． （2）解：已知地砖是边长为的正方形，因此单块地砖面积为：， 所需地砖的总块数为：（块）， 设灰色地砖数量为块，则白色地砖数量为块， 根据题意列方程得：， ， 解得， 故白色地砖数量为：（块）， 故白色地砖用了块，灰色地砖用了块． 【真题演练1】（2025·山东威海·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，C分别在轴和轴上，点，点，反比例函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，正方形的判定与性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 过B作轴于E，轴于F，证明，从而得到，，从而可以得出四边形是正方形，设正方形的边长为m，则，，然后根据即可求解． 【详解】解：过B作轴于E，轴于F， ， 四边形是正方形， ，，， 四边形是矩形， ，则， ， ， ，， 四边形是正方形， ∵点，点， ∴，， 设正方形的边长为m，则，， ， 解得， 点的坐标为，又反比例函数的图象经过点， ， ， 故选：D． 【真题演练2】（2025·江苏连云港·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C．点D为反比例函数图象上一点且在点A的右侧，点，四边形是平行四边形，连接．若，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质，解题的关键是作出正确的辅助线． 过点作轴于点，过点作轴于点，则为等腰直角三角形，证明，则可求得的坐标，由待定系数法求得直线的解析式，设点，结合平行四边形的性质求得点，代入反比例函数即可求得，即可知点． 【详解】解：把代入， 可得， 解得， ， 把代入， 可得， ∴反比例函数的解析式为， 把代入，则， ， 过点作交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，如图， 则， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 点， ，， 点， 设直线的解析式为， 把，代入可得 则， 解得， ， 设点， 四边形是平行四边形， ， 则， 为反比例函数图象上的一点， ， 解得或， 的横坐标大于1， ， ， 故点． 故选：D 【真题演练3】（2025·江西上饶·中考真题）在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，轴于点，点在轴上，若的面积为6，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义、三角形面积计算以及坐标与图形性质的综合应用．利用反比例函数上点的坐标满足的性质，结合的面积公式，求出的值，从而得到的值． 【详解】解：设点的坐标为，其中，． 因为轴，所以的长度为，中边上的高为． ． 可得： ，． 又因为点在反比例函数上，所以． 因此，． 故答案为：． 【真题演练4】（2025·安徽滁州·中考真题）如图，点在反比例函数的图象上，连接． （1）如图1，若点的横坐标分别为1，3，且，则___________． （2）如图2，若点的坐标为，将绕点顺时针旋转，得到，点恰好落在这个反比例函数的图象上，则点的坐标为___________． 【答案】 6 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握反比例函数的图象和性质并添加合适的辅助线是关键． （1）分别过点作轴于点轴于点，根据题意，可得点根据即可得到答案； （2）点作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为．设点，则得到，即可求出答案． 【详解】解：（1）如图1，分别过点作轴于点轴于点， 则． ． 根据题意，可得点 （2）如图2，过点作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为． 根据旋转的性质得到 ∵点， 设点，则 ， 点 ∵点在反比例函数的图象上， ， 解得（舍去）， 点． 【真题演练5】（2025·山东济南·中考真题）如图，反比例函数的图象与一次函数相交于点和点，直线与轴，轴分别交于点，． (1)求的值及点坐标； (2)直接写出不等式的解集； (3)点在函数的图象上，点在轴上，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点坐标． 【答案】(1)，， (2)或； (3)点的坐标为． 【分析】（1）把代入，求得：，把代入，求得，由，解得：，然后将代入，求得； （2）根据反比例函数与一次函数的交点坐标，结合图象可得出不等式的解集； （3）分、为对角线，、为对角线，、为对角线，三种情况讨论，根据对角线的中点为同一点，列出关于a的方程求解即可求得M点的坐标． 【详解】（1）解：把代入， 得：， 把代入， 得， 解得：， 由， 解得：，， 经检验，都是分式方程的解， 将代入， 得， ∴； （2）解：∵反比例函数的图象与一次函数相交于，， ∴不等式的解集为或； （3）解：由（1）得， ∴一次函数的解析式为， 取，得， ∴， 由（1）得， ∴反比例函数的解析式为， ∵点M在反比例函数的图象上， ∴设， ∵点N在x轴上， ∴设， 以C、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形， ， 当、为对角线时，， 解得：， ∴， ∴此时； 当、为对角线时，， 解得：， 经检验是分式方程的根， ∴， ∴此时； 当、为对角线时，， 解得：， ∴， ∴， 将代入， 得左边等于3，右边等于， ∴在直线上， ∴B，C，M，N四点在同一直线上， 此时不存在这样的平行四边形， 故不符合，舍去， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 【基础夯实】 1．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可根据点在反比例函数图象上的性质，将各点横坐标代入解析式求出对应的值，再比较大小得到结果，用到初中反比例函数的基本性质． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴将各点横坐标分别代入解析式计算： 当时，； 当时，； 当时，； ∵， ∴． 2．（2026·福建厦门·模拟预测）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，平行于x轴，连接，若，则的面积可以是（     ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】设，，将 的面积表示出来，建立面积与的函数关系，结合的取值范围即可求解． 【详解】解：∵ 点在反比例函数的图象上， 点在反比例函数的图象上， ∴设， ∵平行轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 ，只有符合题意． 3．（2026·河南三门峡·二模）如图，在中，点A，B分别在反比例函数和的图象上，轴，点C在y轴上，，则_______． 【答案】 【分析】根据，得出；再分别过点，作轴的垂线，垂足分别为E，F，则，继而可求得的值．解题时要注意：反比例函数的图象在第二象限，这是易错点． 【详解】解：， ． 如图，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为E，F， 则， ， ， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ． 4．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知点，是反比例函数图象上的两点，且满足，则k的值为_________． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，表示出与，代入已知等式化简计算，即可求出的值． 【详解】解：点，是反比例函数图象上的点， ，， 变形得，， 将上述结果代入得， ， ， 解得， 经检验符合题意． 5．（2026·山东菏泽·二模）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点在轴上．且满足．求点的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为或 【分析】（1）根据点得坐标，求出反比例函数的表达式，再将点的坐标代入到反比例函数的表达式中，求出点的坐标，再用待定系数法求一次函数的表达式； （2）设直线交轴于点，设，则，结合，列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点代入中，得 ， ∴反比例函数的表达式为． 将点代入中，得 ， ∴． 将点，代入中，得 ，解得， ∴一次函数的表达式为． （2）解：设直线交轴于点， ， 当时，，时，， ，， ． 设， ． ， ， ， 或， 点的坐标为或． 【培优拔高】 1．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，过原点的直线和反比例函数相交于A、B，延长至C，使得点A是中点，过C作轴于D，交反比例函数第一象限图象于E，连接，若的面积为32，则k的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象性质、中点坐标公式、三角形面积公式，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 设，则，根据中点坐标公式求出点C的坐标，进而求出点E的坐标，通过表示出的底边的长和对应的高，利用面积公式建立方程求解的值． 【详解】解：设，则， 点A是中点， ， 过C作轴于D，交反比例函数第一象限图象于E， 点的横坐标为、， ， ， 的面积为32、点B到的距离为， ， 解得：． 2．（2026·山东淄博·二模）如图，点，，，…，在反比例函数的图象上，点，，，…，在轴上，且，直线与双曲线交于点，且，，，则（为正整数）的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出点的坐标，再结合等腰直角三角形的性质求出的坐标，接着依次求出的坐标，通过归纳推理得出的坐标规律． 【详解】解：直线与双曲线交于点， 联立方程， ， ， ， ， ． 过点作轴于， ∵． ∴， ∴是等腰直角三角形，，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． ∵， ∴， ∵直线：， ∴设直线为， ∵过， ∴， ∴， ∴直线为， 联立， ， （）， ， ， ∴， ∵，， 是等腰直角三角形， ， ， ． 同理可得， 归纳可得． 3．（2026·江苏无锡·二模）如图，在平面直角坐标系中，的两条边分别与坐标轴平行，过原点O，已知点A，B在反比例函数的图象上，过点C作直线，与该反比例函数的图象相交于点E，F．若，，则的长为______． 【答案】 【分析】设点的坐标为，则，，结合点A，B在反比例函数的图象上，且过原点O，求出，则，，待定系数法求出反比例函数为，设直线的解析式为，联立，计算即可得出结果． 【详解】解：设点的坐标为， ∵的两条边分别与坐标轴平行，，， ∴，， ∵点A，B在反比例函数的图象上，且过原点O， ∴， 解得：， ∴，， 将代入反比例函数可得，即， ∴反比例函数为， 设直线的解析式为， 将代入可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， 将代入可得， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，可得， 解得：或， 设，，且，则， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点B，则和的面积之差是_______． 【答案】 【分析】设，，借助等腰直角三角形的几何性质，用含a，b的式子表示出点B的坐标，从而得到与b的关系，再整体代入即可求解． 【详解】解：设，， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（2026·重庆武隆·二模）如图，在中，于点．为边上一点，为射线上的点，且满足，连接．用表示线段的长度，的面积为的面积与的面积之比为． (1)请直接写出分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图像，并分别写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时的值(近似值保留小数点后一位，误差不超过)． 【答案】(1)， (2)见详解 (3) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及勾股定理得到，，根据当和时，分情况讨论，通过计算三角形的面积得到关于的表达式，过作于点，根据等面积法得到，进而通过计算的面积得到关于的表达式． （2）根据函数表达式绘制函数图象，并根据函数图象得到函数的性质． （3）当时，根据当和时，分情况讨论，解得此时的值即为答案． 【详解】（1）解：∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点到点的距离为， ∴， ∵点不与点重合， ∴，且， ∴， 如图，过作于点， 则，即，解得：， ∴， ∵点不与点重合， ∴， ∴； （2）解：根据函数表达式，，画出函数图像如图所示， 根据函数图象可得， 的性质：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（答案不唯一）； 的性质：当时，随的增大而减小（答案不唯一）； （3）解：当时， 当时，即， 整理得：， ∵判别式， ∴无实根， 当时，， 整理得：，解得：， ∵， ∴取， ∴当时，． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 反比例函数（章节复习）『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+19个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共53题） 【苏科版数学新教材•九年级上册】 同学你好，本套讲义针对2026年苏科版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲义包含精编思维导图，知识梳理精讲，重点难点题型讲练，中考真题实战演练，精选真题难度分层练等五大部分！题目新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 思维导图 2 知识梳理 3 知识点一 反比例函数的概念 3 知识点二 反比例函数的图象与性质 3 知识点三 反比例函数表达式的确定 3 知识点四 系数k的几何意义 4 知识点五 反比例函数与一次函数 4 知识点六 反比例函数中的三个模型 5 题型讲练 5 题型一 根据反比例函数的定义求参数 5 题型二 求反比例函数值 5 题型三 由反比例函数值求自变量 5 题型四 已知反比例函数的图象，判断其解析式 6 题型五 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 6 题型六 已知双曲线分布的象限，求参数范围 7 题型七 判断反比例函数的增减性 7 题型八 判断反比例函数图象所在象限 7 题型九 已知反比例函数的增减性求参数 8 题型十 比较反比例函数值或自变量的大小 8 题型十一 已知比例系数求特殊图形的面积 8 题型十二 求反比例函数解析式 9 题型十三 反比例函数与几何综合 9 题型十四 根据图形面积求比例系数(解析式) 10 题型十五 一次函数与反比例函数图象综合判断 11 题型十六 一次函数与反比例函数的交点问题 12 题型十七 一次函数与反比例函数的实际应用 13 题型十八 一次函数与反比例函数的其他综合应用 14 题型十九 实际问题与反比例函数 15 中考真题演练 15 难度分层训练 17 【基础夯实】 17 【培优拔高】 19 知识点一 反比例函数的概念 （1）定义：形如的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数． （2）形式：反比例函数有以下三种基本形式 ①； ②； ③. 知识点二 反比例函数的图象与性质 y＝ （k为常数，） 图　象[来源:Zxxk.Com] [来 所在象限[来 源:学*科*网Z*X*X*K] 一、三（x，y同号）[ 二、四（x，y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 1.图象是中心对称图形，对称中心为原点； 2.图象是轴对称图形，两条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限的角平分线和二、四象限的角平分线． 知识点三 反比例函数表达式的确定 待定系数法： （1）设：设函数表达式为； （2）代：将已知点的坐标代入函数表达式； （3）解：求出k的值，得到函数表达式． 知识点四 系数k的几何意义 （1）意义：从的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为. 如图①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|； 同理可得S△OPA＝S△OPB＝|xy|＝|k|. （2）常见的面积类型： 易错警示：已知相关面积求反比例函数的表达式时，若函数图象在第二、四象限，则k＜0. （3）越大，双曲线离原点越远. （4）求k的常用方法 ①由面积关系求k值：用含k的代数式表示已知图形的面积； ②设点法列方程求k值：化斜为直，把相似转化为坐标关系. 知识点五 反比例函数与一次函数 （1）确定交点坐标 ①正比例函数与反比例函数图象相交，若其中一个交点坐标为，根据中心对称性，可得另一个交点坐标为. ②一次函数与反比例函数图象相交，可联立两个函数解析式，利用方程思想求解. （2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解. （3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法， 分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可，也可逐一选项判断、排除. （4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 知识点六 反比例函数中的三个模型 题型一 根据反比例函数的定义求参数 【典例精讲】（25-26九年级下·云南曲靖·期中）若点在反比例函数 y =的图像上，则______． 【变式训练】（2026·陕西榆林·二模）已知点和点都是反比例函数（k为常数，且）的图象上的点，则的值为______． 题型二 求反比例函数值 【典例精讲】（2026·重庆·二模）下列各点中，不在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】如图，已知点在反比例函数的图像上，观察图像可知，当时，的取值范围是___________． 题型三 由反比例函数值求自变量 【典例精讲】（2025·北京·三模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为_____． 【变式训练】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的是一面墙（可利用的最大长度为），现打算沿墙围一个面积为的矩形花圃．设花圃的长为，宽为，则关于的函数表达式是_________，自变量的取值范围是_________． 题型四 已知反比例函数的图象，判断其解析式 【典例精讲】（2025·陕西渭南·一模）在同一平面直角坐标系中，若反比例函数（a为常数，）与正比例函数（b为常数，）的图象有公共点，则下列关于a、b之间的关系一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（2024·河北·模拟预测）如图，点在反比例函数上，点在反比例函数和的图象之间，轴，写出一个符合条件的点的坐标为______． 题型五 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【典例精讲】（25-26九年级上·山东滨州·期末）关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．图象必经过点 B．两个分支分布在第二、四象限 C．两个分支关于x轴成轴对称 D．当时，y的值随x的增大而减小 【变式训练】（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图所示，由反比例函数的对称性可知，点P关于原点的对称点Q也在图象上．作轴于点A，交延长线于点C，则的面积为 ________ ．（用含k的式子表示） 题型六 已知双曲线分布的象限，求参数范围 【典例精讲】（2026·安徽宿州·二模）已知反比例函数的图象在第二、四象限，则一次函数的图象不经过第______象限． 【变式训练】（2026·重庆大足·一模）已知反比例函数的图象位于第二、四象限，且关于x的不等式组至少有3个整数解，则符合条件的整数m的值之积为_____． 题型七 判断反比例函数的增减性 【典例精讲】（2026·江苏盐城·一模）小明根据学习函数的经验，对函数的图像与性质作出推测，其中结论正确的是（    ） ①图象与坐标轴相交；②图象位于第一、二象限； ③图象关于y轴对称；④图象总是呈现下降趋势． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【变式训练】（2026·四川成都·二模）已知点在反比例函数的图象上，如果，那么的值可能为_____（请写出一个符合条件的值）． 题型八 判断反比例函数图象所在象限 【典例精讲】（25-26九年级下·重庆南川·期中）已知反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．其图象经过点 B．其图象位于第一、第三象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时， 【变式训练】（2026·河北石家庄·一模）如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，，b（其中靠近b），那么反比例函数的图象在第______象限． 题型九 已知反比例函数的增减性求参数 【典例精讲】（25-26八年级下·黑龙江佳木斯·期中）若点、、都在反比例函数（为常数，）的图象上，且，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（2026·陕西西安·三模）若反比例函数的图象经过，两点，若，分别位于双曲线的两个分支，且，则的取值范围是_____． 题型十 比较反比例函数值或自变量的大小 【典例精讲】（2026·浙江杭州·一模）已知点，均在反比例函数的图象上，若，则下列判断一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（2026·浙江丽水·二模）已知反比例函数，当时，的取值范围是_______． 题型十一 已知比例系数求特殊图形的面积 【典例精讲】（2026·浙江温州·二模）如图，点，是反比例函数上的两点，过点作轴于点，作轴于点．若点的坐标为，则矩形的面积为_______． 【变式训练】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，点在反比例函数图象上，点在反比例函数图象上，且线段轴于点．若，则的值为______． 题型十二 求反比例函数解析式 【典例精讲】（2026·重庆·二模）点在反比例函数的图象上，则下列各点中，在此函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练】（2026·河南南阳·二模）如图，点在反比例函数的图象上，点在轴负半轴上，，平行四边形的面积为6，点的纵坐标为1，则＝____． 题型十三 反比例函数与几何综合 【典例精讲】（2026·山东淄博·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）与反比例函数（，）的图象相交于点，两点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)当时，请直接写出关于的不等式的解集； (3)在平面直角坐标系中，是否存在点（点在直线的右上方）和点，使得四边形为正方形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练】（2026·山西长治·二模）如图，直线与轴、轴分别相交于点、，四边形是正方形，曲线在第一象限经过点，则____________． 题型十四 根据图形面积求比例系数(解析式) 【典例精讲】（2026·福建三明·模拟预测）如图，点，分别在反比例函数（），（）的图象上，点为轴正半轴上一点，若平行四边形的面积是6，则的值为_______． 【变式训练】（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A是反比例函数（k为常数，）图像上的点，轴于点B，点D在x轴正半轴上，坐标原点O为的中点，若的面积为8，则k的值是_________． 题型十五 一次函数与反比例函数图象综合判断 【典例精讲】（2026·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，点，均在直线上，若，则反比例函数的图象经过的点的坐标不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，已知反比例函数与直线交于点，，点是轴上的一点，连接． (1)求反比例函数表达式； (2)若，求点的坐标； (3)直接写出的解集． 题型十六 一次函数与反比例函数的交点问题 【典例精讲】（2026·江苏南京·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（k为常数，）与反比例函数（a为常数，）的图象交于A，B两点．若点A的纵坐标为4，点B的横坐标为，则a的值为________． 【变式训练】（2026·江苏苏州·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，延长交反比例函数图象于点C． (1)求一次函数的表达式与反比例函数的表达式； (2)当时，直接写出自变量x的取值范围为______； (3)点M是x轴上一点，当时，请求出点M的坐标． 题型十七 一次函数与反比例函数的实际应用 【典例精讲】（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，一次函数（）的图像与反比例函数（）的图像交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集； (3)已知点在轴上，点在反比例函数图像上．若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标． 【变式训练】（24-25九年级上·湖南长沙·期末）为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为12mg．据以上信息解答下列问题： (1)求药物燃烧时y与x的函数关系式； (2)求药物燃烧后y与x的函数关系式； (3)当每立方米空气中含药量不低于5mg时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？ 题型十八 一次函数与反比例函数的其他综合应用 【典例精讲】（2026·河北·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)将直线向下平移a个单位长度后与x轴、y轴分别交于E，F两点，当时，求a的值； (3)若点P在y轴上，当的周长最小时，求点P的坐标． 【变式训练】（2026·河南·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求点坐标和的值； (2)点为轴上一个动点， ①连接，，若面积为，求的值； ②若过点作垂直于轴的直线，分别交反比例函数及一次函数的图象于，两点，当点位于点右侧时，请直接写出的取值范围________． 题型十九 实际问题与反比例函数 【典例精讲】（2026·广西南宁·三模）已知某物体的质量与其体积成反比例关系，即，当体积是时，质量为．则与的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【变式训练】（2026·广东广州·二模）为打造便民宜居的公共空间，某社区启动了口袋公园提质改造项目，现对一块面积为的休闲广场铺装地砖． (1)若每块地砖的面积为（单位：），所需地砖总块数为，请直接写出关于的函数表达式； (2)结合景观设计方案，施工方采用白色、灰色两种同规格的正方形防滑地砖进行交错铺装，每块地砖的边长均为．已知白色地砖的数量比灰色地砖数量的倍少块．求白色和灰色地砖各用了多少块． 【真题演练1】（2025·山东威海·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，C分别在轴和轴上，点，点，反比例函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【真题演练2】（2025·江苏连云港·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C．点D为反比例函数图象上一点且在点A的右侧，点，四边形是平行四边形，连接．若，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【真题演练3】（2025·江西上饶·中考真题）在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，轴于点，点在轴上，若的面积为6，则的值为________． 【真题演练4】（2025·安徽滁州·中考真题）如图，点在反比例函数的图象上，连接． （1）如图1，若点的横坐标分别为1，3，且，则___________． （2）如图2，若点的坐标为，将绕点顺时针旋转，得到，点恰好落在这个反比例函数的图象上，则点的坐标为___________． 【真题演练5】（2025·山东济南·中考真题）如图，反比例函数的图象与一次函数相交于点和点，直线与轴，轴分别交于点，． (1)求的值及点坐标； (2)直接写出不等式的解集； (3)点在函数的图象上，点在轴上，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点坐标． 【基础夯实】 1．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·福建厦门·模拟预测）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，平行于x轴，连接，若，则的面积可以是（     ） A． B．4 C． D．5 3．（2026·河南三门峡·二模）如图，在中，点A，B分别在反比例函数和的图象上，轴，点C在y轴上，，则_______． 4．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知点，是反比例函数图象上的两点，且满足，则k的值为_________． 5．（2026·山东菏泽·二模）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点在轴上．且满足．求点的坐标． 【培优拔高】 1．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，过原点的直线和反比例函数相交于A、B，延长至C，使得点A是中点，过C作轴于D，交反比例函数第一象限图象于E，连接，若的面积为32，则k的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 2．（2026·山东淄博·二模）如图，点，，，…，在反比例函数的图象上，点，，，…，在轴上，且，直线与双曲线交于点，且，，，则（为正整数）的坐标是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏无锡·二模）如图，在平面直角坐标系中，的两条边分别与坐标轴平行，过原点O，已知点A，B在反比例函数的图象上，过点C作直线，与该反比例函数的图象相交于点E，F．若，，则的长为______． 4．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点B，则和的面积之差是_______． 5．（2026·重庆武隆·二模）如图，在中，于点．为边上一点，为射线上的点，且满足，连接．用表示线段的长度，的面积为的面积与的面积之比为． (1)请直接写出分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图像，并分别写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时的值(近似值保留小数点后一位，误差不超过)． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull