1.1 一元二次方程（知识解读）-2026-2027学年苏科版九年级数学上册《知识解读·题型专练》

本初中数学讲义聚焦一元二次方程核心知识，系统梳理定义（含整式方程、一个未知数、最高次数2三个条件）、一般形式（ax²+bx+c=0，a≠0）及解（根）的概念。通过题型归纳构建从概念理解到参数求解、一般形式转化再到根的应用的学习支架，层层递进。 资料亮点在于分层题型设计，如“根据概念求参数”培养抽象能力，“整体代入求值”发展推理意识，随堂检测强化应用意识。课中辅助教师系统授课，课后通过变式练习与检测，帮助学生查漏补缺，巩固知识。

1.1 一元二次方程（知识解读） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型1 一元二次方程的概念】.....................................................................................................................1 【题型2 根据一元二次方程的概念求参数】.................................................................................................3 【题型3 一元二次方程的一般形式】............................................................................................................4 【题型4 一元二次方程的解】......................................................................................................................6 【题型5 已知一元二次方程的解整体带入求值】.........................................................................................7 【随堂检测】..................................................................................................................................................9 知识点1 一元二次方程的定义 1.定义：如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2. 例如：=2，，，，均不是一元二次方程. 【题型1 一元二次方程的概念】 【例1】下列关于的方程，一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是次，这样的方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、当时，方程为一元一次方程，无法保证一定是一元二次方程，因此A不符合题意； B、是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为，符合一元二次方程的定义，因此B符合题意； C、整理后为，未知数的最高次数为，是一元三次方程，因此C不符合题意； D、分母含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，因此D不符合题意． 故选：B． 【变式1-1】在下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】含有一个未知数，含有未知数的项的次数的最高次数是2，这样的整式方程是一元二次方程，利用概念逐一判断即可． 【详解】解：A．该方程是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意； B．，是一元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意； C．，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D．，是一元二次方程，符合题意． 【变式1-2】下列方程中，是一元二次方程的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次方程需满足四个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断选项即可． 【详解】解：对于选项A：方程中是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，故A错误； 对于选项B：方程中未说明，当时，方程不是二次方程，故B错误； 对于选项C：整理，得，符合一元二次方程的定义，故C正确； 对于选项D：整理，得，未知数的最高次数为1，是一元一次方程，故D错误． 【变式1-3】下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程需满足三个条件：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为2；③整式方程，逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故A错误； 对于选项B：方程含有分式，不是一元二次方程，故B错误； 对于选项C：当时，方程不是一元二次方程，故C错误； 对于选项D：整理，得，符合一元二次方程的定义，故D正确． 【题型2 根据一元二次方程的概念求参数】 【例2】若关于的方程是一元二次方程，则应满足的条件是__________． 【答案】 【分析】一元二次方程的定义，未知数最高次数为，且二次项系数不为，据此列出等式与不等式求解即可． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，且， 解 ，得， 即， 又都满足， 故． 【变式2-1】若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，一元二次方程只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，二次项系数不为0，据此列出关于m的方程，求解即可得到m的值． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴x的最高次数为2，且二次项系数不为0， 可得：， ∴ 即． 【变式2-2】若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（） A． B．1 C．0 D．1或 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义与一般形式，掌握知识点是解题的关键． 根据常数项为0可得，但需确保方程为一元二次方程，即二次项系数，即可解答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的常数项为0， ∴， 解得或 又∵方程为一元二次方程， ∴，即． ∴． 故选：A． 【变式2-3】若关于x的方程是一元二次方程，则______． 【答案】4 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，则 解得n即可． 【详解】解：∵关于 的方程 是一元二次方程， ∴，解得 ． 此时，二次项系数为1，不为0，满足一元二次方程的条件， 故答案为：4． 知识点2 一元二次方程的一般形式 1.一元二次方程的一般形式是()，其中是二次项，是二次项系数;是一次项，是一次项系数；是常数项. 2.（1）是一元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0；（2）任何一个一元二次方程都可以化成一般形式；（3）一元二次方程的各项都包含它前面的符号. 3.一元二次方程的特殊形式. （1)当b=0时，得()； （2)当c=0时，得()； （3)当b=0且c=0时,得(). 【题型3 一元二次方程的一般形式】 【例3】将一元二次方程化成一般形式，可得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了化为一元二次方程的一般式．将方程展开并移项，化为一元二次方程的一般形式，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 即， 故选：C． 【变式3-1】一元二次方程，若二次项系数为1，则一次项系数及常数项分别为（    ） A．2，3 B．，3 C．2， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，直接根据一元二次方程的一般式，找出一次项系数及常数项，即可作答． 【详解】解：∵一元二次方程，且二次项系数为1， ∴一次项系数为，常数项为， 故选：B 【变式3-2】一元二次方程化成一般形式为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程一般形式的转化方法是解题的关键． 将方程左边展开，再通过移项转化为一元二次方程的一般形式（）． 【详解】解：， 去括号得：， 移项得：， 故答案为：． 【变式3-3】一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．3，4，2 B．3，，2 C．3，4， D．3，， 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式， 根据一元二次方程的一般形式求解即可． 【详解】一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项分别为3，，． 故选：D． 知识点3 一元二次方程的解（根） 1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 2.一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根.若，是一元二次方程()的两个实数根，则下列两个等式成立，并可利用这两个等式求解未知参数：()，(). 【题型4 一元二次方程的解】 【例4】已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键．根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵一元二次方程，，，满足，， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是，． 故选：D． 【变式4-1】列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（   ） 0 1 2 3 ... ... A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查列表法求一元二次方程的解，将方程变形为 ，从表格中找出使该式值为6的x值，即为方程的解． 【详解】解：∵ 可化为 ， 由表可知，当 或 时，， ∴ 方程的解为 或 ． 故选：D． 【变式4-2】对于一元二次方程，若，则该方程的一个根是_____． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据当时，有可得答案． 【详解】解：∵当时，，即， ∴是该方程的一个根， 故答案为： 【变式4-3】若是方程的一个解，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把代入一元二次方程得到，然后解一次方程即可． 【详解】解：把代入方程得，， 解得． 故选：B． 【题型5 已知一元二次方程的解整体带入求值】 【例5】已知m是方程的实数根，则的值为______． 【答案】 【分析】利用整体代入法求代数式的值，根据方程根的定义得到满足的等式，变形后整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：是方程的实数根， 将代入方程得 ， 整理得 ， ∴． 【变式4-1】若是方程的一个根，则的值______． 【答案】 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即 ∴ 【变式4-2】已知a是方程的解，则的值是__________． 【答案】2005 【分析】先求出，再代入计算即可． 【详解】解：是方程的解， ， ， ． 【变式4-3】若是关于的一元二次方程的一个实数根，则代数式的值是（   ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 【答案】B 【分析】根据题意是一元二次方程的一个实数根，可得，再将转化为，整体代入求值即可． 【详解】解： 是一元二次方程的一个实数根， ， 即原式． 随堂检测c 1．下列方程属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程是“只含一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程”这一定义，逐一判断各选项即可． 【详解】解：一元二次方程需同时满足三个条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2． ∵选项A中方程含有，不是整式方程，∴A不符合要求． ∵选项B中方程未说明，当时未知数最高次数不是2，∴B不符合要求． ∵选项C中方程满足一元二次方程需同时满足的三个条件，∴C符合要求． ∵选项D中方程含有分式，不是整式方程，∴D不符合要求． 2．把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（     ） A．4，1，3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程一般式的概念，解题思路是将原方程展开，移项合并同类项整理为一般形式，即可对应得到，，的值． 【详解】解：把一元二次方程化成一般式：， 对比一般式，可得，，． 3．已知是的一个根，则m的值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】将代入方程得到关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵是的一个根， ∴，解得：． 4．已知是方程的一个根，则代数式的值是（    ） A．2020 B．2030 C．2034 D．2045 【答案】C 【分析】本题利用一元二次方程根的定义，将根代入原方程得到b和c的关系式，再用整体代入法计算所求代数式的值. 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴ ∴ ∴ 则． 5．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A．2，，9 B．2，0， C．2，， D．2，1， 【答案】C 【分析】先将方程整理为一般形式，再根据一元二次方程的定义确定对应系数即可． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项， ∵原方程为 ， 移项整理得 ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 6．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，将已知根代入方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：将代入方程，得， ， 解得． 故选：A． 7．下表是随着的不同取值，代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（    ） ．．． -1 4 5 6 ．．． ．．． 8 0 0 8 ．．． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的解，方程等价于，从表格中直接找出时对应的值即可． 【详解】解：∵等价于， 从表格中，当时，；当时，， ∴方程的根为，． 故选：C． 8．若，则一元二次方程的一个根为 _____． 【答案】2 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将代入方程，对比已知条件即可得到方程的一个根． 【详解】解：将代入， 得， ， 当时，成立， 根据一元二次方程的解的定义，可知该一元二次方程一定有一个根为2． 9．将一元二次方程化为一般形式为______，其一次项为______． 【答案】 【分析】利用完全平方公式展开左边，再移项，合并同类项得到一般形式，再根据定义确定一次项． 【详解】解：将原方程左边展开，得， 移项，合并同类项，得， 因此原一元二次方程的一般形式为， 其一次项为． 10．新定义：关于的一元二次方程：与（均为常数）称为“同类方程”．如与是“同类方程”．若关于的一元二次方程：与是“同类方程”，那么___________． 【答案】7 【分析】本题考查一元二次方程的解，解三元一次方程组，理解题中定义是解答的关键． 根据“同类方程”的定义和第一个方程，第二个方程应能表示为的形式，通过比较系数，可求解和，进而计算． 【详解】解：根据题意，将第二个方程与展开式比较：，令其等于， 可得方程组：，解得， 故． 故答案为：7． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 一元二次方程（知识解读） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型1 一元二次方程的概念】.....................................................................................................................1 【题型2 根据一元二次方程的概念求参数】..................................................................................................2 【题型3 一元二次方程的一般形式】.............................................................................................................2 【题型4 一元二次方程的解】........................................................................................................................3 【题型5 已知一元二次方程的解整体带入求值】.........................................................................................3 【随堂检测】..................................................................................................................................................4 知识点1 一元二次方程的定义 1.定义：如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2. 例如：=2，，，，均不是一元二次方程. 【题型1 一元二次方程的概念】 【例1】下列关于的方程，一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】在下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】下列方程中，是一元二次方程的是（   ）． A． B． C． D． 【变式1-3】下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【题型2 根据一元二次方程的概念求参数】 【例2】若关于的方程是一元二次方程，则应满足的条件是__________． 【变式2-1】若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为____． 【变式2-2】若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（） A． B．1 C．0 D．1或 【变式2-3】若关于x的方程是一元二次方程，则______． 知识点2 一元二次方程的一般形式 1.一元二次方程的一般形式是()，其中是二次项，是二次项系数;是一次项，是一次项系数；是常数项. 2.（1）是一元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0；（2）任何一个一元二次方程都可以化成一般形式；（3）一元二次方程的各项都包含它前面的符号. 3.一元二次方程的特殊形式. （1)当b=0时，得()； （2)当c=0时，得()； （3)当b=0且c=0时,得(). 【题型3 一元二次方程的一般形式】 【例3】将一元二次方程化成一般形式，可得（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】一元二次方程，若二次项系数为1，则一次项系数及常数项分别为（    ） A．2，3 B．，3 C．2， D．， 【变式3-2】一元二次方程化成一般形式为___________． 【变式3-3】一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．3，4，2 B．3，，2 C．3，4， D．3，， 知识点3 一元二次方程的解（根） 1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 2.一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根.若，是一元二次方程()的两个实数根，则下列两个等式成立，并可利用这两个等式求解未知参数：()，(). 【题型4 一元二次方程的解】 【例4】已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-1】列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（   ） 0 1 2 3 ... ... A． B． C．或 D．或 【变式4-2】对于一元二次方程，若，则该方程的一个根是_____． 【变式4-3】若是方程的一个解，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【题型5 已知一元二次方程的解整体带入求值】 【例5】已知m是方程的实数根，则的值为______． 【变式4-1】若是方程的一个根，则的值______． 【变式4-2】已知a是方程的解，则的值是__________． 【变式4-3】若是关于的一元二次方程的一个实数根，则代数式的值是（   ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 随堂检测c 1．下列方程属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（     ） A．4，1，3 B． C． D． 3．已知是的一个根，则m的值为（   ） A．2 B． C．3 D． 4．已知是方程的一个根，则代数式的值是（    ） A．2020 B．2030 C．2034 D．2045 5．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A．2，，9 B．2，0， C．2，， D．2，1， 6．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（   ）． A． B． C． D． 7．下表是随着的不同取值，代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（    ） ．．． -1 4 5 6 ．．． ．．． 8 0 0 8 ．．． A． B． C． D． 8．若，则一元二次方程的一个根为 _____． 9．将一元二次方程化为一般形式为______，其一次项为______． 10．新定义：关于的一元二次方程：与（均为常数）称为“同类方程”．如与是“同类方程”．若关于的一元二次方程：与是“同类方程”，那么___________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $