1.2 反比例函数的性质《知识解读·题型专练》2026-2027学年九年级数学上册（苏科版）

本讲义聚焦初中数学反比例函数性质核心知识点，系统梳理其基本性质（k的符号与图像位置、增减性）、比例系数k的几何意义（矩形及三角形面积）、与一次函数的交点及不等式求解，构建递进式学习支架。 资料通过7大题型（如比较坐标、图形面积、存在性问题等）设计，例题与变式题结合，培养抽象能力（k几何意义应用）、推理意识（动点问题分析）和模型意识（函数交点不等式求解）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

1.2 反比例函数的性质（知识解读） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型1 比较坐标大小（知横坐标比纵坐标）】 3 【题型2 比较坐标大小（知纵坐标比横坐标）】 4 【题型3 求反比例函数中参数的取值范围】 6 【题型4 求反比例函数中的图形面积】 8 【题型5 由图形面积求反比例函数的比例系数】 11 【题型6 反比例函数中的存在性问题】 15 【题型7 反比例函数中的动点问题】 22 【随堂检测】 28 知识点1 反比例函数的性质 反比例函数 x，y的取值范围 0，0（与坐标轴无交点） k的符号 k＞0 k＜0 图像 图像的位置 两支曲线分别位于第一、三象限 两支曲线分别位于第二、四象限 性质 在每一象限内，y的值随x值的增大而减小 在每一象限内，y的值随x值的增大而增大 知识点2 比例系数k的几何意义 1. 过图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于. 2. 连接图象上任意一点与原点，并从该点向x轴，y轴作垂线，可得两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于. 3. 若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到的值，进而确定函数表达式. 知识点3 反比例函数与一次函数图象的交点问题 1. 反比例函数与正比例函数图象的交点： 当时，两函数图象有两个关于原点对称的交点；当时，两函数图象无交点． 2. 反比例函数与一次函数图象的交点： 联立两函数的表达式，转化为一个一元二次方程．判别式两函数图象有2个交点；两函数图象有1个交点；两函数图象没有交点． 3. 观察反比例函数与一次函数的图象解不等式或： （1）联立两函数表达式，解一元二次方程求得交点横坐标，； （2）观察图象，图象在上面的函数值大；图象在下面的函数值小，对应x的取值范围即为相应不等式的解集． 如图所示，当，时，的解集为或，的解集为或． 【题型1 比较坐标大小（知横坐标比纵坐标）】 【例1】已知反比例函数的图像上有两点、，如果，那么_____________（填“>”、“=”或“<”）． 【答案】 【分析】本题先根据反比例函数解析式确定比例系数的符号，再利用反比例函数的性质判断时随的变化规律，结合已知条件比较和的大小． 【详解】解：反比例函数中，比例系数， 根据反比例函数的性质，当时，函数图像的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小 ， 点、点都位于第三象限的函数分支上， ． 【变式1-1】若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据，图象在一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小，据此作答即可． 【详解】解：∵， ∴图象在一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小． ∵ ∴． 故答案为：． 【变式1-2】如果反比例函数（k是常数）的图像经过点，，那么和的大小关系是：______．填“>”、“=”或“<”） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握和运用反比例函数的性质是解决本题的关键． 根据反比例函数的性质即可判定． 【详解】解：在反比例函数中， 随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 【变式1-3】已知是的反比例函数，其部分对应值如表： … 1 2 … … … 若，则_____________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，观察表格并得到条件是解题的关键．根据反比例函数的性质判断即可． 【详解】解：∵，， ∴每个象限内，随的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 【题型2 比较坐标大小（知纵坐标比横坐标）】 【例2】若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三个点的纵坐标代入反比例函数解析式，分别求出，，的值，再比较大小即可得到结果. 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴分别将三点纵坐标代入解析式： 代入点得 ，解得 ， 代入点得 ，解得 ， 代入点得 ，解得 ， ∵， ∴. 【变式2-1】若点A(x1，2)、B(x2，-1)、C(x3，4)都在反比例函数 的图象上，则x1、x2、x3的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三个点的纵坐标代入反比例函数解析式，求出，，的值，再比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵ 点，，都在反比例函数的图象上， ∴ 分别将三点纵坐标代入解析式： 代入点得，解得， 代入点得，解得， 代入点得，解得， ∵ ， ∴ ． 【变式2-2】若点都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了，反比例函数所在象限，反比例函数的增减性，解题的关键是：熟练掌握反比例函数的增减性．反比例函数经过一、三象限，由三点纵坐标的符号，得到，，，由反比例函数在第一象限，随的增大而减小，得到，即可求解． 【详解】解：∵点、、都在反比例函数的图像上， ∴反比例函数经过一、三象限， ∵，，， ∴，，， ∵反比例函数在第一象限，随的增大而减小，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2-3】已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出，，的值，比较后即可得出结论，利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出，，的值是解题的关键． 【详解】解：当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：； ∴． 故选：B． 【题型3 求反比例函数中参数的取值范围】 【例3】，为反比例函数的图像上两点，当时，有，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，由已知条件可得出反比例函数的图象位于一、三象限，进而可得出，解不等式即可求出． 【详解】解：∵当时，有， ∴反比例函数的图象位于一、三象限， ∴， 解得：， 故选：C． 【变式3-1】若反比例函数，当时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数上中，当时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随的增大而增大是解答此题的关键． 根据当时，y随x的增大而增大得出k的取值范围即可． 【详解】解∶反比例函数中， 当时，y随x的增大而增大， ， 故选∶A． 【变式3-2】反比例函数的图像经过第二、四象限，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数：当时，图象位于第一、三象限；当时，图象位于第二、四象限．据此得到，解不等式即可． 【详解】解：由题意得到， 解得． 故选：D． 【变式3-3】已知点与点在同一条反比例函数的图象上，若，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先根据点的坐标求出反比例函数的值，得到反比例函数解析式，再利用反比例函数的增减性，结合的取值范围，得到的取值范围． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数解析式为， ， 反比例函数在第一象限内，随的增大而减小， 点在该反比例函数图象上，且， 当时，， ． 【题型4 求反比例函数中的图形面积】 【例4】如图，点A，B分别为反比例函数与图象上的点，轴，点P在x轴上，连接、，则的面积为______． 【答案】 【分析】连接，，设与轴交于点，将面积转化为的面积，然后结合反比例函数系数的几何意义求解． 【详解】解：如图，连接，，设与轴交于点， 轴， ，轴， 点A，B分别为反比例函数与图象上的点， ，， ． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，过点P作轴于点A，点B是的中点，连结，则的面积为（    ） A．6 B．12 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，根据反比例函数k值的几何意义，先求出的面积，再利用中线均分面积即可得到结果． 【详解】解：∵点P在反比例函数的图象上，轴于点A， ∴， ∵点B是的中点， ∴． 故选：C． 【变式4-2】如图，直线轴于点P，且与反比例函数及的图象分别交于点A，B，连接，，已知的值为8，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的几何意义，熟练利用反比例函数的几何意义计算三角形面积是解题的关键． 根据反比例函数的几何意义得出的面积为，再根据即可得出． 【详解】解：根据反比例函数的几何意义可知：的面积为，的面积为， 的面积为， ， 的面积为， 故选：C． 【变式4-3】如图，是双曲线上关于原点对称的任意两点， 轴， 轴，则四边形的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数中比例系数的几何意义，难易程度适中，过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的三角形面积，结合图象解答是解题的关键． 根据过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积可知，，再根据反比例函数的对称性可知，为中点，则，，进而求出四边形的面积． 【详解】解：连接， 是双曲线上关于原点对称的任意两点， 经过原点， 轴，轴， ， 假设点坐标为， 则点坐标为， 则， ，， 四边形面积， 故选：B ． 【题型5 由图像面积求反比例函数的比例系数】 【例5】如图，为等腰三角形，，反比例函数过点B，若，则k为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合、等腰三角形的性质，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键． 作轴于点，利用三线合一性质得到，进而得出，再利用反比例函数系数的几何意义得到，解出，再结合反比例函数经过第二、四象限，即可确定的值． 【详解】解：如图，作轴于点， ∵，轴， ∴，， ∴， ∵反比例函数过点B， ∴， ∴， 解得， ∵反比例函数经过第二、四象限， ∴， ∴． 故选：A． 【变式5-1】双曲线和在第二象限内的图象如图所示，过上任意一点作轴的平行线交于点．若，则（   ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的综合，理解几何图形面积的计算与反比例系数的关系是关键． 设，则点到的距离为，点的横坐标为，则纵坐标为，则，由，即可求解． 【详解】解：过上任意一点作轴的平行线交于点， 设，则点到的距离为， ∴点的横坐标为，则纵坐标为， ∴， ∴， 解得，， 故选：D ． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，轴于点B，函数的图象与线段AB交于点C，且．若的面积为9．则k的值为（    ） A．4 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】连结，如图，根据三角形面积公式，由得到，可计算出，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值． 【详解】解：连接，如图， ∵轴于点B，，则：， ∴， ∴， ∴， 而， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值，掌握反比例函数比例系数k的几何意义是解题的关键． 【变式5-3】如图，已知双曲线与矩形的对角线相交于点D，若，矩形的面积为，则k等于（　　） A．6 B．12 C．24 D．36 【答案】B 【分析】设D的坐标是，则B的坐标是，根据矩形的面积即可求得的值，把D的坐标代入函数解析式即可求得k的值． 【详解】解：设D的坐标是，则B的坐标是． ∵矩形的面积为， ∴， ∴． 把D的坐标代入函数解析式得：， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，理解矩形的面积与反比例函数的解析式之间的关系是解决本题的关键． 【题型6 反比例函数中的存在性问题】 【例6】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数的图象上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【分析】（1）将点，坐标代入反比例函数解析式中，即可求出，，再利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）根据图像结合，，即可作答； （3）先求出，，设，根据，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：将，代入中得， ，，， 则点，坐标为，，将其代入得, ， 解得， 则一次函数解析式为； （2）解：观察函数图像可知，当时，或； （3）解：对于，当时，，当时，， 则，， 设， 则，， ， ， ， 则点的坐标为． 【点睛】本题是反比例函数综合问题，考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，函数与不等式的关系，三角形面积的求法，能够构建方程解决问题是解题的关键． 【变式6-1】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点两点． (1)求一次函数的表达式； (2)观察反比例函数图象，当时，请直接写出自变量的取值范围； (3)在轴上是否存在一点，使得面积等于5，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或 【分析】（1）根据反比例函数的解析式，确定，再利用待定系数法求一次函数的表达式； （2）根据图象的性质，确定第三象限内的函数值满足，第一象限内的函数值在时，符合题意； （3）根据题意，确定，再根据距离的意义，求解即可． 【详解】（1）解：把两点代入，得， ， 把代入一次函数表达式，得， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解：根据题意，得或； （3）解：存在， 设直线与轴相交于点， 当时，， ， ， ， ， 或． 【变式6-2】如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于第一象限内的点和，与x轴交于点C． (1)分别求出这两个函数的表达式； (2)在轴右侧坐标平面内，是否存在点P，使得以O，A，C，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为 (2)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，求一次函数的解析式，求反比例函数的解析式，平行四边形的判定与性质，利用中点坐标公式列方程是关键． （1）把代入求解，得到反比例函数的解析式，再把代入求解，得到，最后把和代入即可； （2）设，分为对角线、为对角线、为对角线三种情况讨论，根据平行四边形的对角线互相平分，利用中点公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ， 反比例函数的解析式为； 把代入，得， ， 把和代入，得， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：存在点P，使得以O，A，C，P为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标为或． 理由如下： 对于， 令，则， ， ， 设， 对于O，A，C，P为顶点的四边形是平行四边形，有三种情况： ①以为对角线时，， 解得， ； ②以为对角线时，， 解得， ； ③以为对角线时，， 解得， ， 点P在轴右侧坐标平面内， 不合题意，舍去； 综上所述，存在点P，使得以O，A，C，P为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标为或． 【变式6-3】直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． (1)求k，b的值； (2)如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； (3)双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在；E点的坐标为或或 【分析】（1）把点A的坐标分别代入一次函数与反比例函数解析式中，即可求解； （2）设，由可得，由点D在反比例函数的图象上，把其坐标代入解析式中即可求解； （3）设；分两种情况：当点C为直角顶点时；当点O为直角顶点时，利用全等三角形的判定与性质即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， 解得， 将代入，得，即， （2）解：：， ， 设， ， ， ∴， ， ∵点D在双曲线上， ， 解得，（舍去）， ； （3）解：存在． 设， ①当C为直角顶点时，过点C作x轴的垂线，垂足为N，过点E作，垂足为M，则， ， ， ， ， ， 又∵等腰直角三角形中，， ， ，， ； ②当O为直角顶点时，过点C作轴，垂足为N，过点E作轴，垂足为M，同理可得， ，， ， ，解得，， 此时，， 综上所述：满足条件的E点的坐标为或或． 【题型7 反比例函数中的动点问题】 【例7】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴相交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集；； (3)若点P为x轴上的一动点，连接，当的面积为6时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了反比例函数几何综合题，求反比例函数解析式，根据一次函数与反比例函数的图象交点求不等式解集． （1）利用一次函数求出，问题随之得解； （2）先求出点B的坐标，反比例函数值大于等于一次函数值时自变量的取值范围即是不等式的解集，数形结合作答即可； （3）设点P坐标为，先求出，表示出，根据列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：函数的图象经过， ， 解得：， ， ， 反比例函数表达式为：； （2）函数的图象经过， ， ， 由图可得，不等式的解集是：或， 故答案为：或； （3）设点P坐标为，在中，令，则， ， ， ， 整理得：， 解得：或6． 或． 【变式7-1】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)动点P在x轴上，当的面积等于9时，请求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据点坐标求出，得到反比例函数解析式，据此求出点坐标，再将，代入求出一次函数解析式； （2）设点的坐标为，求出直线与轴交点，再结合的面积为9得到关于的方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ，则， 反比例函数的解析式为， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴， ∵一次函数的图象过点，， ∴，解得：， ∴一次函数解析式为； （2）解：如图， ∵点P在x轴上， ∴设点的坐标为， 对于直线，令，则，解得， 直线与轴交于点， ∴， ∵， ∴ 解得：或， 或． 【变式7-2】如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数的关系式与一次函数的关系式； (2)若动点在轴上，求的最小值． 【答案】(1)， (2)10 【分析】本题考查了求反比例函数和一次函数的解析式，勾股定理，轴对称的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，把代入，得，再求出点的坐标为，故把，分别代入进行列式计算，得，即可作答． （2）先整理得出则的最小值等于的长，故，所以，，运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：点反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为， 把点代入，得， 点的坐标为， 直线过点，， ， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解：如图，作点关于轴的对称点，过作轴，过作轴垂线交于，连接交轴于点，则的最小值等于的长， 点， ， 点， ， ，， ， 的最小值为10． 【变式7-3】如图，反比例函数的图象上有，两点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求反比例函数与直线的表达式； (2)点M为轴上一个动点，若，求点M的坐标． 【答案】(1)； (2)M点坐标为或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合． （1）设反比例函数的表达式为：，把代入即可求出，将代入求出，设直线的表达式是：，把分别代入求出，即可求出； （2）设直线交轴于N，连接、，求出，设根据割补法列方程计算即可． 【详解】（1）设反比例函数的表达式为：，把代入得： ∴ 又∵在图象上    ∴ ∴ 设直线的表达式是：，把分别代入，得： 解得： ∴； （2）设直线交轴于N，如图，连接、， 在中，令，则 ∴ 设，则： ∴ ∴或9 ∴M点坐标为或 随堂检测 【随堂检测】 1．若点在反比例函数的图象上，下列哪个点也在反比例函数图象上（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知点坐标求出反比例函数的比例系数，再根据反比例函数的性质，图象上任意点的横纵坐标乘积等于，验证各选项即可得到结果． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 即反比例函数图象上的点满足横纵坐标乘积为， 依次验证选项： 选项A ，不在该图象上； 选项B ，在该图象上； 选项C ，不在该图象上； 选项D ，不在该图象上． 2．若两点在函数的图象上，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比较反比例函数值或自变量的大小，通过将点A和点B的x坐标代入函数解析式，分别求出和的值，然后比较大小，即可作答． 【详解】解：∵两点在函数的图象上， ∴，， ∵， ∴， 故选：C． 3．对于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质，由于比例系数，图象位于第一、三象限，且在每一象限内，y 随 x 的增大而减小，解答即可。 本题考查了反比例函数的性质，图象的分布，熟练掌握图象的分布和性质是解题的关键。 【详解】解：∵ 当时，， ∴ A错误； ∵ ， ∴ 图象位于第一、三象限，不在第二、四象限， ∴ B错误； ∵ 当 时，函数处于第三象限，且， ∴ y 随x的增大而减小， ∴ C正确； ∵ 当时，函数处于第一象限，且， ∴ y 随 x 的增大而减小，不是增大， ∴ D错误。 故答案为：C。 4．已知点关于y轴的对称点在反比例函数的图象上，则实数k的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，根据对称的性质求出的坐标是解题关键．根据对称性求出点的坐标，将点的坐标代入反比例函数解析式中即可求出结论． 【详解】解：∵与关于y轴对称， ∴， ∵在反比例函数的图象上， ∴， 故选：B． 5.已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A,B两点，如果点的坐标是，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合．根据正比例函数与反比例函数图像的中心对称性，可得关于原点中心对称，进而即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于两点， ∴关于原点中心对称， ∵点的坐标是， ∴点的坐标是． 故选：A． 6．如图，在平面直角坐标系中，的直角边与反比例函数的图象交于点，若点为的中点，的面积为4，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据反比函数k的几何意义求k值，三角形面积的计算，解题的关键是根据中线的性质求得的面积． 根据线段中点定义得，再由可得，根据反比例函数系数k的几何意义得，以此即可求解． 【详解】解：∵C为的中点， ∴， ∴， ∴，即， ∵反比例函数图象在第一象限， ∴． 故选：A． 7．某函数符合如下条件：①图像经过；②当时，随的增大而减小．请写出一个满足条件的函数表达式：____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据给定条件，满足要求的函数可以为反比例函数，可设反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可，确定函数类型再求解是解题关键． 【详解】解：选择反比例函数进行求解，设函数表达式为， 函数图象经过点， 将代入得， 满足条件的函数表达式可以为 8．若反比例函数的图象有一支在第三象限，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的图象与性质，图象有一支在第三象限，可得比例系数为正数，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象有一支在第三象限， ∴， 解得． 9．如图，如果与成反比例关系，那么表格中“？”处应填_____． 10 ？ 2 5 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数（k为常数，）的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即，据此求解即可． 【详解】解：∵与成反比例关系， ∴， ∴． 故答案为：4． 10．如图，直线与轴平行且与反比例函数与的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，且的面积为，则的值为____________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 设交轴于点，连接，得出，进而得到，从而得到，得到，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得到答案． 【详解】解：如图，设交轴于点，连接， ， 点在反比例函数图象上， ， ， ， ∵反比例函数图象在第二象限， 故答案为： ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 反比例函数的性质（知识解读） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型1 比较坐标大小（知横坐标比纵坐标）】 3 【题型2 比较坐标大小（知纵坐标比横坐标）】 3 【题型3 求反比例函数中参数的取值范围】 4 【题型4 求反比例函数中的图形面积】 4 【题型5 由图像面积求反比例函数的比例系数】 5 【题型6 反比例函数中的存在性问题】 6 【题型7 反比例函数中的动点问题】 9 【随堂检测】 11 知识点1 反比例函数的性质 反比例函数 x，y的取值范围 0，0（与坐标轴无交点） k的符号 k＞0 k＜0 图像 图像的位置 两支曲线分别位于第一、三象限 两支曲线分别位于第二、四象限 性质 在每一象限内，y的值随x值的增大而减小 在每一象限内，y的值随x值的增大而增大 知识点2 比例系数k的几何意义 1. 过图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于. 2. 连接图象上任意一点与原点，并从该点向x轴，y轴作垂线，可得两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于. 3. 若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到的值，进而确定函数表达式. 知识点3 反比例函数与一次函数图象的交点问题 1. 反比例函数与正比例函数图象的交点： 当时，两函数图象有两个关于原点对称的交点；当时，两函数图象无交点． 2. 反比例函数与一次函数图象的交点： 联立两函数的表达式，转化为一个一元二次方程．判别式两函数图象有2个交点；两函数图象有1个交点；两函数图象没有交点． 3. 观察反比例函数与一次函数的图象解不等式或： （1）联立两函数表达式，解一元二次方程求得交点横坐标，； （2）观察图象，图象在上面的函数值大；图象在下面的函数值小，对应x的取值范围即为相应不等式的解集． 如图所示，当，时，的解集为或，的解集为或． 【题型1 比较坐标大小（知横坐标比纵坐标）】 【例1】已知反比例函数的图像上有两点、，如果，那么_____________（填“>”、“=”或“<”）． 【变式1-1】若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是______． 【变式1-2】如果反比例函数（k是常数）的图像经过点，，那么和的大小关系是：______．填“>”、“=”或“<”） 【变式1-3】已知是的反比例函数，其部分对应值如表： … 1 2 … … … 若，则_____________．（填“”“”或“”） 【题型2 比较坐标大小（知纵坐标比横坐标）】 【例2】若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】若点A(x1，2)、B(x2，-1)、C(x3，4)都在反比例函数 的图象上，则x1、x2、x3的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】若点都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【题型3 求反比例函数中参数的取值范围】 【例3】，为反比例函数的图像上两点，当时，有，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】若反比例函数，当时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（　） A． B． C． D． 【变式3-2】反比例函数的图像经过第二、四象限，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知点与点在同一条反比例函数的图象上，若，则的取值范围是________． 【题型4 求反比例函数中的图形面积】 【例4】如图，点A，B分别为反比例函数与图象上的点，轴，点P在x轴上，连接、，则的面积为______． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，过点P作轴于点A，点B是的中点，连结，则的面积为（    ） A．6 B．12 C．3 D．4 【变式4-2】如图，直线轴于点P，且与反比例函数及的图象分别交于点A，B，连接，，已知的值为8，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【变式4-3】如图，是双曲线上关于原点对称的任意两点， 轴， 轴，则四边形的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型5 由图像面积求反比例函数的比例系数】 【例5】如图，为等腰三角形，，反比例函数过点B，若，则k为（    ） A． B．4 C． D． 【变式5-1】双曲线和在第二象限内的图象如图所示，过上任意一点作轴的平行线交于点．若，则（   ） A．4 B． C．6 D． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，轴于点B，函数的图象与线段AB交于点C，且．若的面积为9．则k的值为（    ） A．4 B．6 C．9 D．12 【变式5-3】如图，已知双曲线与矩形的对角线相交于点D，若，矩形的面积为，则k等于（　　） A．6 B．12 C．24 D．36 【题型6 反比例函数中的存在性问题】 【例6】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数的图象上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式6-1】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点两点． (1)求一次函数的表达式； (2)观察反比例函数图象，当时，请直接写出自变量的取值范围； (3)在轴上是否存在一点，使得面积等于5，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式6-2】如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于第一象限内的点和，与x轴交于点C． (1)分别求出这两个函数的表达式； (2)在轴右侧坐标平面内，是否存在点P，使得以O，A，C，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式6-3】直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． (1)求k，b的值； (2)如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； (3)双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型7 反比例函数中的动点问题】 【例7】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴相交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集；； (3)若点P为x轴上的一动点，连接，当的面积为6时，求点P的坐标． 【变式7-1】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)动点P在x轴上，当的面积等于9时，请求点P的坐标． 【变式7-2】如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数的关系式与一次函数的关系式； (2)若动点在轴上，求的最小值． 【变式7-3】如图，反比例函数的图象上有，两点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求反比例函数与直线的表达式； (2)点M为轴上一个动点，若，求点M的坐标． 随堂检测 【随堂检测】 1．若点在反比例函数的图象上，下列哪个点也在反比例函数图象上（     ） A． B． C． D． 2．若两点在函数的图象上，则（　　） A． B． C． D． 3．对于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而增大 4．已知点关于y轴的对称点在反比例函数的图象上，则实数k的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 5.已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A,B两点，如果点的坐标是，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，的直角边与反比例函数的图象交于点，若点为的中点，的面积为4，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．某函数符合如下条件：①图像经过；②当时，随的增大而减小．请写出一个满足条件的函数表达式：____________． 8．若反比例函数的图象有一支在第三象限，则的取值范围是________． 9．如图，如果与成反比例关系，那么表格中“？”处应填_____． 10 ？ 2 5 10．如图，直线与轴平行且与反比例函数与的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，且的面积为，则的值为____________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $