1.2 反比例函数的图象与性质（题型专练，4基础3提升题型+拓展培优）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 分层设计清晰，从基础概念到综合应用梯度递进，强化反比例函数图象与性质的理解及几何、函数综合应用能力，培养几何直观、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|反比例函数图象绘制、解析式求解、象限判断|直接考查概念，如“画函数图象”“由点求解析式”，夯实基础技能| |能力应用|图象对称性、增减性、与面积结合|结合图象分析性质，如“由对称性求交点坐标”“用增减性比较函数值”，发展推理能力| |综合拓展|与一次函数、几何图形综合|多知识点融合，如“一次函数与反比例函数交点及面积计算”“矩形平移与函数图象综合”，提升模型应用能力|

1.2 反比例函数的图象与性质 题型一 画反比例函数的图象 1．画出下列函数的图象： (1)； (2)． 2．已知反比例函数 的图象的一支如图所示，它经过点． (1)求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支； (2)求当，且时自变量的取值范围． 3．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点、的坐标分别为、，反比例函数的图象经过正方形的中心． (1)求反比例函数表达式： (2)画出函数的图象，若图象与的延长线交于点，与交于点，连接，，求的面积． 4．已知是的反比例函数，且当时，． (1)求该反比例函数的表达式； (2)补全表格并描点，画出该反比例函数的图象； (3)当时，利用函数图象直接写出函数的最大值为______． 题型二 通过反比例函数图象求解析式 1．如图，该图像对应的函数表达式可能是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B．1 C．2 D．6 3．反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A．6 B．10 C． D． 4．反比例函数（，）的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则的值可能为（     ） A． B． C． D． 题型三 由反比例函数图象对称性求点的坐标 1．如图，双曲线与直线相交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，点是反比例函数上一点，点是点关于直线的对称点，则的面积为__________． 4．如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于两点，则的值为______． 题型四 反比例函数的增减性 1．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．已知反比例函数，下列说法错误的是（   ） A．当，y的值随x值的增大而增大 B．图象必经过点， C．图象是轴对称图形，也是中心对称图形 D．图象分别位于第二、四象限内 3．反比例函数，当时，y随x的增大而_______．（填“增大”或“减小”） 4．已知点在反比例函数的图象上，若，写出一个满足条件的的值____． 题型五 判断反比例函数图象所在象限 1．关于反比例函数，下列说法中错误的是（     ） A．当时，随的增大而减小 B．图象位于第一、三象限 C．点在函数图象上 D．当时， 2．反比例函数的图像可能是（   ） A． B． C． D． 3．反比例函数的图象分别位于（     ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 4．点在反比例函数 的图象上，则该函数图象所在象限为（     ） A．一、三象限 B．二、四象限 C．一、二象限 D．三、四象限 题型五 求反比例函数解析式 1．如果反比例函数的图象经过点，则的值是（     ） A． B． C． D． 2．在反比例函数中，当时，函数的最大值和最小值之差为，则（     ） A． B． C． D． 3．如图：直线与轴交于点，与双曲线交于点，过点作轴于点，且，则的值为（   ） A． B．3 C． D．4 4．由下列条件求反比例函数的表达式： (1)当时，； (2)图象经过点． 题型一 根据面积求解析式 1．如图，已知反比例函数（，）的图像与线段有公共点，其中点B在y轴上，轴，点A是x轴上一点，连接、，若的面积为3，则k的值可能为（     ） A．8 B．7 C．6.5 D．5 2．如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，为坐标原点，顶点在反比例函数（为常数，且，）的图象上，边交轴于点，且，若的面积为，则的值为________． 4．如图，点，在反比例函数的图象上，轴，垂足为，，垂足为．若四边形的面积为8，，则的值为________． 题型二 反比例函数与一次函数问题 1．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和两点． (1)求一次函数的表达式； (2)根据函数图象，请直接写出不等式的解集． 2．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于A，B两点，点A，B的横坐标分别为2，，直线交y轴于点C． (1)求k，a的值； (2)过点A作轴于点D，连接，求的面积． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像交于、两点，一次函数的图像与轴交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)分别联结、，点是轴上一点，且的面积等于面积的2倍，求点的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A、点B的横坐标分别是和3． (1)当时，自变量x的取值范围为______； (2)求出一次函数和反比例函数的表达式； (3)将直线向上平移后，与反比例函数图象交于C，D两点，与两坐标轴分别相交于E，F两点．若，求直线的函数表达式． 题型三 反比例函数与几何综合 1．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点、，过点作轴，垂足为，为的中点，连接．若的面积为，则的值为________． 2．小军用四根硬纸条和钉子制作了一个矩形，按如图方式摆放在平面直角坐标系中，矩形的边落在轴上，边落在轴上，点的坐标为．若将矩形向右平移1个单位长度，则点恰好落在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)若固定矩形边，向右“推”矩形，得到如图所示平行四边形，当时，边交反比例函数图象于点，求点坐标． 3．如图，矩形的顶点与坐标原点重合，点的坐标为，点，分别在坐标轴上，反比例函数的图象与，分别交于点，，且． (1)求反比例函数的解析式． (2)连接，将沿翻折，点的对应点落在轴上，求点的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴的正半轴、轴的正半轴上，顶点的坐标为，对角线，交于点，反比例函数的图象经过的中点． (1)求反比例函数的表达式． (2)将反比例函数的图象向下平移个单位长度后，恰好经过点，且平移后的图象与线段交于点，求的长． 1．如图，已知直线与函数的图象交于第一象限内点A，与轴负半轴交于点B，过点A作轴于点C，点D为中点，线段交轴于点E，连接．若的面积为6，则的值为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过点A作x轴的平行线l，将直线向上平移个单位长度后、分别与x轴，反比例函数，直线l交于点B，C，D．当时，b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知点在矩形的对角线上，，垂足为，，垂足为，点和点都在反比例函数（）的图象上，连接，若四边形与的面积之差为，则____． 4．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，一次函数 与反比例函数 的图象交于两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)y轴上有一点 P，当以点O、P、A、B为顶点的四边形的面积为5时，求点 P 的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1.2反比例函数的图象与性质 题型一画反比例函数的图象 题型二通过反比例函数图象求解析式 题型三由反比例函数图象对称性求点的坐标 基础达标题 题型四反比例函数的增减性 题型五判断反比例函数图象所在象限 反比例函数的图象与性质 题型一根据面积求解析式 题型二反比例函数与一次函数问题 能力提升题 题型三反比例函数与几何综合 拓展培优题 基础达标题 题型一画反比例函数的图象 1 -5-4-3-219 .34567 2. (1y=-景，图见解析；(2x≤-号或x>0. 3. (1y=受；(2)图见解析，△AEF的面积为12 4. (1y=-是；(2填表、画图见解析；(3)6 1/3 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型二通过反比例函数图象求解析式 1.A 2.D 3.A 4.B 题型三由反比例函数图象对称性求点的坐标 1.A 2.D 3.9 4.4 题型四反比例函数的增减性 1.B 2.B 3.增大 4.2(答案不唯一) 题型五判断反比例函数图象所在象限 1.D 2.A 3.D 4.B 题型五求反比例函数解析式 1.A 2.B 3.D 4. (1y=景；(2y=-是 2/3 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 能力提升题 题型一根据面积求解析式 1.D 2.B 3.-4 4.兽 题型二反比例函数与一次函数问题 1.(1y=x+3;(2)-4<x<0或x>1 2.(1)k=6,a=专；(29 3.(1y=-3x+3;(2)P(6,0)或(-6,0） 4.(1)-4<x<0或x>3:(2一次函数的表达式为：y=x+1,反比例函数的表达式为y=景；B)直线 CD的表达式为y=x+5 题型三反比例函数与几何综合 1.25 2.(1y=是；(2)D(2,2 3. (1y=是；(23,0) 4. (1y=(>0):(2CE=等 拓展培优题 1.D 2.B 3. 25 4.(1y2=京，y1=-x+4;2点P的坐标为(0,2)或(0，-号) 3/3品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.2反比例函数的图象与性质 题型一画反比例函数的图象 题型二通过反比例函数图象求解析式 基础达标题 题型三由反比例函数图象对称性求点的坐标 题型四反比例函数的增减性 题型五判断反比例函数图象所在象限 反比例函数的图象与性质 题型一根据面积求解析式 题型二反比例函数与一次函数问题 能力提升题 题型三反比例函数与几何综合 拓展培优题 A 基础达标题 题型一画反比例函数的图象 1.画出下列函数的图象： (1y=2 yw=-9 【答案】(1)解：列表： … -2 -1 2 1-2 y 2 … 1 1 2 -1 -2 2 2 … 描点、连线画出函数y=的图象如图所示： y个 6 1234567 1/33 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)解：列表： -5 4 -2 2 A 5 y -5 5 -2 描点、连线画出函数y=一 ”的图象如图所示： 6 3 -6-5-4-3-2-10L12345671 2 3 4 5 h 2.己知反比例函数y=(k≠0)的图象的一支如图所示，它经过点(3，-2). yA -61 5 --7- 4 ---31 65432,0.23.4.6x 2 32 3 ---1-1-5 -6 (1)求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支； (2)求当y≤5，且y≠0时自变量x的取值范围. 【答案】(1y=-,图见解析； 2x≤-或x>0. 【详解】(1)把点(3，-2)代入y=(k≠0)，即-2=， 2/33 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解得：k=-6, “反比例函数的表达式为y=一 补充其函数图象如下： 列表格： x(x<0) -1 -2 -3 -6 6 y=- 6 3 2 1 yA 61 5 3 65432 01.23436x 3 4 (2)由图象得： 当x>0时，y<0, y<5, 当y=5时，-6=5， 解得x=一 则0<y≤5时，x≤-？ 当y≤5，且y≠0时，x≤-或x>0. 3.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B的坐标分别为(0,1)、(4,1)，反比例函数y=(k>0) 的图象经过正方形ABCD的中心， 3/33 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6 C 4 B 1234567x (1)求反比例函数表达式： (2)画出函数y=《(k>0)的图象，若图象与AB的延长线交于点E,与CD交于点F,连接AP,EF,求△AEF的 面积. 【答案】(1y= (2)图见解析，△AEF的面积为12 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，正方形的性质，画反比例函数的图象，熟练掌握相关知识是 关键 (1)根据正方形的性质求出点C的坐标和点D的坐标，进而求出正方形ABCD的中心的坐标，代入反比例函 数的表达式，计算出k的值； (2)使用描点法画出反比例函数的图象，根据反比例函数的表达式求出点E的坐标，进而求出△AEF的面 积. 【详解】(1)解：A(0,1),B(4,1), ∴AB=4, 四边形ABCD是正方形， ..AB=BC=CD=AD=4, ∴点C的坐标为(4,5)，点D的坐标为(0,5)， 正方形ABCD的中心的坐标为(2,3)， 将点(2,3)代入y=k>0),得， 3= 解得k=6, 反比例函数表达式为y= (2)解：反比例函数的图象如图所示， 4/33 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6 D 4 3 -2 A B 10 1234567x 将y=1代入y=,得， 1= 解得x=6, …点E的坐标为(6,1)， AE=6, SAAEF=2AE·AD=3×6×4=12. 4. 已知y是x的反比例函数，且当x=时，y=-4. (1)求该反比例函数的表达式； (2)补全表格并描点，画出该反比例函数的图象： -6 -3 -2 -1 1 2 3 6 2 … 珠 6 + 4 +- -6-5-4-3-2-10 123456 -2 -4 5 -6 (3)当-4≤x≤-1时，利用函数图象直接写出函数y的最大值为 【答案】y=- 5/33 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)填表、画图见解析； (3)6. 【分析】(1)利用待定系数法可求得反比例函数的解析式； (2)先完成表格，再描点、连线； (3)结合图象即可得到y的最大值 【详解】(1)解：y是x的反比例函数， 设y=(k≠0)， 当x=时，y=-4, -4=3,解得：k=-6, 该反比例函数的表达式为y=一 (2)解：列表： -6 -3 -2 -1 2 3 6 y 6 6 -3 描点： 连线： 画图象如下， 6 -2 6-5-4-3-2-10123456x -or (3)解：根据函数图象可知函数y的最大值为：当x=-1时，y=-台=6， 故答案为：6. 题型二通过反比例函数图象求解析式 1.如图，该图像对应的函数表达式可能是() 6/33 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.y=- B.y=-4x c.y= D.y=- 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图像，根据函数图像的形状和所处的位置判断即可. 【详解】解：函数的图像为双曲线，所以为反比例函数的图像， 图像位于第二、四象限， 对应的函数的解析式可能是y=一 故选：A 2.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=(k≠0)的图象如图所示，则k的值可能是() •A(3,3) B 2,-2) A.-2 B.1 C.2 D.6 【答案】D 【详解】解：由题意可得：k的取值应该满足：(-2)×(-2)<k<3×3,即4<k<9, 所以k的值可能是6； 故选：D. 3,反比例函数y=(k≠0)的图象如图所示，则k的值可能是（) 7/33 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B A.6 B.10 c.-5 D.-1 【答案】A 【详解】解：根据反比例函数的图象性质可知2×2=4，一3×(-3)=9， 结合图象得4<k<9, 只有A选项在此范围内， 4.反比例函数y=(k≠0，x>0)的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则k的值可能为() 3 A,3 B.4 C.6 D.8 【答案】B 【详解】解：由题图可知，当x=1时，y=>3,即k>3, 当x=3时，y=<2,即k<6, 3<k<6. 选项中只有4在此范围内， k的值可能为4. 题型三由反比例函数图象对称性求点的坐标 1.如图，双曲线y=与直线y=mx相交于A,B两点，若点A的坐标为(1,2)，则点B的坐标为〈) 8/33 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.（-1,-2) B.(1,2) C.(-1,2) D.(1,-2) 【答案】A 【详解】解：~双曲线y=k与直线y=mx相交于A,B两点， ·点A、B关于原点对称， 点A的坐标为(1,2)， 点B的坐标为(-1，一2) 故选：A 2.如图，若直线y=x与双曲线y=的一个交点坐标为(1，-3)，则其另一个交点坐标是() A.(1,3) B.(3,1) C.(-1,-3) D.(-1,3) 【答案】D 【详解】解：由题意知， ~反比例函数与一次函数的图象都关于坐标原点成中心对称， 两个函数图象的交点关于坐标原点成中心对称， 直线y=mx与双曲线y=的一个交点坐标为(1，-3)， 另一个交点的坐标为(-1,3)， 故选：D. 3.如图所示，点A(1,m)是反比例函数y=上一点，点B是点A关于直线y=x的对称点，则△A0B的面积为 9/33 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】号 【详解】解：“点A(1,m)在反比例函数y=的图象上， m==4, ∴点A的坐标为(1,4) 如图，过点A作AM⊥y轴，过点B作BN⊥x轴，设直线y=x与AB交于点C. M 直线y=x平分Lx0y, :.∠MOC=∠NOC. ~点B是点A关于直线y=x的对称点， :.OC是AB的垂直平分线， A0=B0,∠AOC=∠BOC, ∴LAOM=∠BON, 又∠AM0=∠BN0=90°， ∴.△AOM≌△BON(AAS), ∴AM=BN=1,0M=0N=4, B(4,1). 延长MA,NB交于点D,则D(4,4), 10/33 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 S△40B=16-2×1×4×2-2×3×3=5 1 4.如图，过原点的直线与反比例函数y=(k>0)的图象交于A(m,n),B(m一2，n一8)两点，则k的值为 【答案】4 【详解】解：~过原点的直线与反比例函数y=(k>0)的图象交于A(m,n),B(m一2，n-8)两点， ∴点A与点B关于原点O对称， 点A和点B的横纵坐标互为相反数， .m+(m-2)=0,n+(n-8)=0, 解得m=1,n=4, A(1,4), 把A(1,4)代入y=冬得4= 解得k=4. 题型四反比例函数的增减性 1,若点A(x1-4),B(x2,2),C(x3,5)都在反比例函数y=的图象上，则x1,x2,x3的大小关系是() A.X3<X1<X2 B.x1<X3<x2 C.x1<X2<X3 D.X2<X3<x1 【答案】B 【详解】解：y=中，2>0， ∴图象在一、三象限，在各象限，y随x的增大而减小， -4<0,0<2<5, x1<0,0<x3<x2 X1<X3<X2. 2.已知反比例函数y=一，下列说法错误的是() 11/33 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.当x<0,y的值随x值的增大而增大 B.图象必经过点(1,2) C.图象是轴对称图形，也是中心对称图形 D,图象分别位于第二、四象限内 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数图象和性质是解题的关键，根据反比 例函数的图象和性质，可对各个选项进行分析，判断对错即可. 【详解】解：A、一2<0，每个象限内y随着x的增大而增大，故本选项正确，不符合题意； B、当x=1时，y=-2,所以图象必经过点(1，-2)，故本选项错误，符合题意； C、反比例函数y=一图象是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确，不符合题意； D、一2<0，“图象分别位于第二、四象限内，故本选项正确，不符合题意； 故选：B, 3.反比例函数y=-,当x>0时，y随x的增大而 (填“增大”或减小”) 【答案】增大 【详解】解：反比例函数y=--4<0, 双曲线过二，四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大； 故当x>0时，y随x的增大而增大， 4,已知点A(1y1,B(m,y2)在反比例函数y=3的图象上，若y1>y2,写出一个满足条件的m的值 【答案】2（答案不唯一） 【详解】解：由反比例函数y=可得k=3>0, ∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小， 将x=1代入y=,得y1=三=3， 当m<0时，点B(m,y2)在第三象限，此时y2<0<3=y1,满足y1>y2, 当m>0时，点B(m,y2)在第一象限，由y1>y2结合反比例函数增减性可得m>1, m满足m<0或m>1即可， 取符合条件的值m=2. 题型五判断反比例函数图象所在象限 12/33 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.关于反比例函数y=,下列说法中错误的是() A.当x<0时，y随x的增大而减小 B,图象位于第一、三象限 C.点(-4，-0.5)在函数图象上 D.当x<-1时，y<-2 【答案】D 【详解】解：~反比例函数y=中，k=2>0, ·函数图象位于第一、三象限，选项B正确； 且在每个象限内，y随x的增大而减小， x<0对应第三象限， .当x<0时，y随x的增大而减小，选项A正确； 将x=-4代入解析式，得y=二=-05，与点的纵坐标一致， 点(-4，-0.5)在函数图象上，选项C正确； 当x=-1时，y=子=-2。 x<0时，y随x的增大而减小， .当x<-1时，y>-2, 因此D错误选项， 2.反比例函数y=3的图像可能是() 【答案】A 【详解】解：~反比例函数y=3中，k=3>0, .该函数的图像位于第一、三象限，即选项A符合题意， 13/33 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.反比例函数y=-202的图象分别位于（) A.第一、第三象限 B,第一、第四象限 C.第二、第三象限 D.第二、第四象限 【答案】D 【详解】解：y=-202中，k=-2026<0, “反比例函数y=-的图象位于第二、第四象限。 4.点P(2,-5)在反比例函数y=的图象上，则该函数图象所在象限为() A.一、三象限 B.二、四象限 C.一、二象限 D.三、四象限 【答案】B 【详解】解：将点P(2,-5)代入反比例函数y=←，得k=-10, k=-10<0, ∴反比例函数的图象在第二、四象限. 题型五求反比例函数解析式 1.如果反比例函数y=2的图象经过点(-1，-2)，则k的值是（) A.0 B.4 C.-3 D.-4 【答案】A 【详解】解：：反比例函数y=2,的图象经过点(-1，-2)， ×-2=2-k 1 解得k=0. 2.在反比例函数y=(k<0)中，当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为2，则k=() A.-6 B.-3 C.-2 D.-1 【答案】B 【详解】解：反比例函数y=中k<0, ∴反比例函数图象在第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大， 14/33 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1≤x≤3， 当x=1时，y取最小值 当x=3时，y取最大值 y的最大值和最小值之差为2， 增-=2， 解得：k=-3. 3.如图：直线y=-x+1与x轴交于点A,与双曲线y=-(x<0)交于点P,过点P作PC1x轴于点C,且 PC=2,则k的值为() A A.-3 B.3 C.-4 D.4 【答案】D 【详解】解：PC⊥x轴于点C,且PC=2,点P在第二象限， 点P的纵坐标为2， “点P在直线y=一+1上， 2=-+1, 解得：x=-2, P(-2,2), 把P(-2,2)代入y=-(x<0), 得：k=-xy=-(-2×2)=4, 4,由下列条件求反比例函数的表达式： )当x=时，y= (2)图象经过点(-3,2). 【答案】(y=呈 15/33 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2y=-9 【详解】(1)解：设反比例函数解析式为y= 当x=时，y= 嗜骨 k 解得k=2, :反比例函数的表达式为y=是 (2)解：设反比例函数解析式为y= 图象经过点(-3,2). 2=奇 解得k=-6, 反比例函数解析式为y=一 B 能力提升题 题型一根据面积求解析式 1.如图，已知反比例函数y=《(k>0,x>0)的图像与线段BC有公共点，其中点B在y轴上，BC‖x轴， 点A是x轴上一点，连接AB、AC,若△ABC的面积为3，则k的值可能为() B A.8 B.7 c.6.5 D.5 【答案】D 【详解】解：设C(a,b)(a>0,b>0), BCIx轴， 则点B(0,b), 16/33 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 则线段BC长度为a, 在△ABC中，SAABC=2ab=3,整理得：ab=6, 设反比例函数y=与线段BC交于点(x,b), 则0≤x≤a,k=xb, x最大是a,所以k最大是ab=6,也就是k≤6， ∴四个选项里只有D选项5满足k≤6， k的值可能为5. 2.如图，反比例函数y=(x<0)的图象经过平行四边形ABC0的顶点A,0C在x轴上，若点B(-1,3),S口ABc0 =3,则实数k的值为() VA C A.3 B.-6 C.-3 D.-4 【答案】B 【详解】解：如图，过点A作AD⊥x轴， 点B(-1,3) ∴yA=3,即AD=3, SHABC0=0C×AD=3, ∴0C=1, ∴.AB=1, 六x4=-1-1=-2, ∴A(-2,3), 将点4代入函数得，3=点气 17/33 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解得：k=-6. 故选：B. 3.如图，在平面直角坐标系中，口0ABC的顶点C在x轴正半轴上，0为坐标原点，顶点A在反比例函数y= (k为常数，且k≠0，x<0)的图象上，AB边交y轴于点D,且BD=2AD,若口OABC的面积为12，则k的 值为 【答案】-4 【详解】解：如图，连接OB, ○ X ,▣OABC, ∴OCIAB, .∠AD0=∠D0C=90°， 口0ABC的面积为12， .△0AB的面积为6， BD 2AD AD=AB, SAOAD=3SA0AB=2, 即k=2, k=士4， 反比例函数经过第二象限， k<0, k=-4. 18/33 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.如图，点A,D在反比例函数y=(k<O)的图象上，CD⊥y轴，垂足为C,AB⊥CD,垂足为B.若四边 形OABC的面积为8，BD=2CD,则k的值为 【答案】-9 【详解】解： 设点D(-a,-) 'BC⊥y轴， CD=a,0c=-8 BD=2CD. :BD =2a, :BC=3a, AB⊥BC,BC⊥y轴， ABIy轴， ÷点A(-3a-): AB=-+=- ~四边形OABC的面积为8， ×(-点-)×3a=8, 解得：k=一台。 题型二反比例函数与一次函数问题 1.如图，一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A(-4,m)和B(n,4)两点. 19/33 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求一次函数y=x+b的表达式： (2)根据函数图象，请直接写出不等式x+b>的解集. 【答案】(1y=x+3 (2)-4<x<0或x>1 【详解】(1)解：4(-4，m和B(n,4)两点在反比例函数y=的图象上， m=手4=是 m=-1,n=1, 点A(-4,-1),点B(1,4). 一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A、B两点， 将点A(-4,-1)代入y=x+b中， 得：-1=-4+b, b=3, 则一次函数的表达式为：y=x+3; (2)解：根据函数图象，不等式x+b>的解集为：-4<x<0或x>1. 2.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=(k≠0)与一次函数y=ax+2(a≠0)的图象交于A,B两 点，点A,B的横坐标分别为2，-6，直线AB交y轴于点C. (1)求k,a的值； (2)过点A作AD⊥x轴于点D,连接CD,求△BCD的面积. 20/33 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】k=6,a=月 (2)9 【详解】(1)解：把点A和点B的横坐标代入y=(k≠0)，y=ax+2, =2a+2 得2 -6 =-6a+2 k=6 解得a= 即k=6,a=2 (2)解：当x=2时，y==3,即AD=3. SABCD=SAABD-SAACD=2×3×(2+6)-2×3×2=9. 3.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b与反比例函数y=-的图像交于A(一1，m)、B(n,-3) 两点，一次函数y=kx+b的图像与y轴交于点C. (1)求一次函数的解析式： (2)分别联结OA、OB,点P是x轴上一点，且△BOP的面积等于△AOB面积的2倍，求点P的坐标. 【答案】(1y=-3x+3 (2)P(6,0)或(-6,0) 【详解】(1)解：~反比例函数y=-的图象经过点A(-1,m)、B(n,-3), m=-9=6,-3=-9 解得m=6,n=2. A(-1,6),B(2,-3) 由A(-1,6)、B(2,-3)两点在一次函数y=kx+b的图像上， 21/33 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 得{2k4b”二g, 解得代二 ∴.一次函数的解析式为y=-3x+3. (2)解：如图， 由y=-3x+3,令x=0,得y=3,则C(0,3), SaM0B=SaM0c+S△B0c=2x3×1+2×3X2=号 设P(m,0),可得影lm·3=×2.解得m=±6. ∴P(6,0)或(-6,0). 4,如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+b与反比例函数y=的图象交于A,B两点，其中点A、 点B的横坐标分别是-4和3. E B (1)当x+b>时，自变量x的取值范围为 (2)求出一次函数和反比例函数的表达式： (3)将直线AB向上平移后，与反比例函数图象交于C,D两点，与两坐标轴分别相交于E,F两点，若S△ABC =14,求直线CD的函数表达式. 【答案】(1)-4<x<0或x>3 22/33 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)一次函数的表达式为：y=x+1,反比例函数的表达式为y=号 (3)直线CD的表达式为y=x+5 【详解】(1)解：一次函数y=x+b与反比例函数y=的图象交于A,B两点，且点A、点B的横坐标分 别是-4和3. 由图象可得：当x+b>时，自变量x的取值范围为一4<x<0或x>3; (2)解：点A、点B的横坐标分别是-4和3， 点A(-4,-)B(3,) 将点A(-4,-)、B(3,)代入一次函数y=x+b得： 4+b=,解得：化二。 3+b= 。一次函数的表达式为：y=x+1,反比例函数的表达式为y=号 (3)解：直线AB‖CD, S△ABC=S△ABE=14, 设直线AB与y轴交于点G, 令x=0,则y=1, .G(0,1), 又S△ABE=S△AGE+S△BGE, 2GE(xB-xA）=14, 即2GE×[3-(-4=14, 解得GE=4, 23/33 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .0E=4+1=5, E(0,5) 把E(0,5)代入y=x+b,得b=5, 直线CD的表达式为y=x+5, 题型三反比例函数与几何综合 1,如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△OBA的直角边OB在x轴上，AO、AB分别与反比例函数 y=(k>0,x>O)的图象相交于点C、D,过点C作CE⊥x轴，垂足为E,E为OB的中点，连接DE.若△BDE 的面积为，则k的值为 D B 【答案】25 【详解】解：设c(a,), 由题意得LCE0=∠AB0=90°， E为OB的中点， ∴.OB=2a,BE=a, D(2a,) SABDE=3E×BD=0×会=年=9 k=2W5 2.小军用四根硬纸条和钉子制作了一个矩形，按如图方式摆放在平面直角坐标系中，矩形的边0A落在x轴 上，边0C落在y轴上，点C的坐标为(0,4).若将矩形向右平移1个单位长度，则点C恰好落在反比例函数y= (x>0)的图象上. 24/33 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D C (1)求反比例函数的表达式： (2)若固定矩形边0A,向右“推"矩形，得到如图所示平行四边形0ABC,当∠0AB=30时，边B'C交反比例 函数图象于点D,求D点坐标 【答案】y= (2)D(2,2) 【详解】(1)解：由题意得，点C平移后落在反比例函数图象上的坐标为(1,4)， 4=空k=4. 4 .y=x (2)解：过点B作BE⊥OA于点E,如图所示， B D C' E ~四边形OABC是矩形， AB=0C=4. ..AB'=AB=4, 在Rt△ABE中，∠OAB=30°， BE=AB=×4=2. yn=2,代入y=得x=2. ∴D(2,2). 3.如图，矩形0ABC的顶点0与坐标原点重合，点B的坐标为(4,2)，点A,C分别在坐标轴上，反比例函数y= 的图象与AB,BC分别交于点D,E,且AD:BD=3:5. 25/33 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 --1B E (1)求反比例函数的解析式 (2)连接DE,将△BDE沿DE翻折，点B的对应点F落在x轴上，求点F的坐标. 【答案】(1y= (2(3,0) 【详解】(1)解：~B(4,2),四边形0ABC是矩形， .AB=4,0A=2, .AD:BD=3:5,AD+BD AB=4, AD=4×品3= ÷D2), D在y=上， k=2×2=3, y=是 (2)解：~E在BC上，横坐标为4，E在y=3上， y=是(4，) BE=2-=景BD=4-是= 由折叠得：DF=BD=EF=BE=是 设F(t,0), ×C(4,0), ..FC=4-t. 在Rt△EFC中，EF2=FC2+EC2, 2=4-)2+(目2 26/33 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.4-t=士1， F在C左侧，4-t>0, .4-t=1, t=3, ∴F(3,0). 4,如图，在平面直角坐标系中，矩形0ABC的顶点A,C分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上，顶点B的坐 标为(4,3)，对角线AC,OB交于点D,反比例函数y=(x>0)的图象经过BC的中点P. (1)求反比例函数的表达式. (2)将反比例函数y=(x>0)的图象向下平移(n>0)个单位长度后，恰好经过点D,且平移后的图象与线段 BC交于点E,求CE的长， 【答案】(1y=(x>0) 2CE=青 【详解】(1)解：~四边形0ABC是矩形， BCIx轴， B(4,3),P为BC的中点， ∴P(2,3), 将P2,3)代入y=年得3=会 解得k=6, 反比例函数的表达式为y=(x>0); (2)解：D是矩形0ABC对角线OB,AC的交点，B(4,3), ÷点D的坐标为(2，引， 又P(2,3), 27/33 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点P,D是平移前后的一组对应点， n=3-2=2 33 如图，设点E是由反比例函数y=(x>O)的图象上的点E平移得到的，连接EE', E 则E'= 又yE=3, y6=3+= 将y=代入y=得号=号 ∴x= 4XE=Xg= CE- C 拓展培优题 1.如图，已知直线y=kx+b与函数y=(x>0)的图象交于第一象限内点A,与x轴负半轴交于点B,过点 A作AC⊥x轴于点C,点D为AB中点，线段CD交y轴于点E,连接BE.若△BEC的面积为6，则m的值为 X A B.8 C.10 D.12 28/33 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】D 【详解】解：连接AE,如图， B 0 AC⊥x轴，y轴⊥x轴， ∴AC II y轴， ∴点E到AC的距离等于OC的长， 点D为AB中点， .CD、ED分别是△ABC、△ABE的边AB上的中线， S△ADC=S△BDC,S△ADE=S△BDE, ,S△ADC-S△ADE=S△BDC-S△BDE即S△AEC=SABEC, S△BEC=6, S△AEC=6, SAAEC =AC.OC. AC.0C=6,即AC,0C=12, 设点A的坐标为(x,y),则AC=y,OC=x, ~点A在反比例函数y=的图象上， .m=xy=AC.0C=12. 2.如图，一次函数y=ax(a≠0)与反比例函数y=(k≠0，x>0)的图象交于点A(2,4),过点A作x轴的平 行线1，将直线y=ax向上平移b(b>0)个单位长度后、分别与x轴，反比例函数，直线1交于点B,C, D,当CD≥BD时，b的取值范围为() D BO 29/33 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.0<b≤6 B.b≥6 C.0<b≤4 D.b≥4 【答案】B 【详解】将点A(2,4分别代入一次函数y=ax(a≠0)与反比例函数y=(k≠0，x>0)中， 得4=2a,4=解得a=2,k=8, 一次函数的解析式为y=2x,反比例函数的解析式为y=, 8 将直线y=2x向上平移b个单位长度后得到的新直线的解析式为y=2x+b, AD ll x轴，A(2,4) 点D的纵坐标为4，易得点D的坐标为（色，，4，点B的坐标为(-，0） 当D为BC的中点时，点C的坐标为(4-8)， ~点C在反比例函数y=的图象上， (4-9×8=8,解得b=6, 结合函数图象可得，当CD≥BD时，b的取值范围为b≥6. 3,如图，己知点G在矩形0ABC的对角线OB上，GD⊥AB,垂足为D,GE⊥BC,垂足为E,点D和点E都在 反比例函数y=(x>0)的图象上，连接0D,若四边形0GEC与△DG0的面积之差为V3,则k=· D 6 E O 【答案】23 【详解】解：设原点O(0,0),矩形OABC中B(a,b), 对角线0B的解析式为y=x, 设G点坐标为(m,a), .bm、 GD⊥AB、GE⊥BC, D点坐标为(m,b),E点坐标为(a,0, 30/33 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D、E都在y=上， 代入得k=mb=ag,即bm=k, ~四边形OGEC是直角梯形， 用坐标法求得面积：Socc=bm-m, 2a1 △DG0的面积：S△Dco=bm-b, 2a1 根据题意，面积差为3：S0Gc-SADGO=(bm-贸-hm-贸=空=V3, 代入bm=k,得=V3,即k=2W3. 4.如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=(x>0)的图 象交于A(1,m),B(3,1)两点. B (1)求一次函数y1与反比例函数y2的解析式； (2y轴上有一点P,当以点O、P、A、B为顶点的四边形的面积为5时，求点P的坐标， 【答案】(y2=是h=-x+4 2)点P的坐标为(0,2)或(0，-) 【详解】(1)解：把B(3,1)代入y2=得1=3， .n=3, “反比例函数的解析式为y2=是 把A(1,m)代入y2=得m=是， .m=3, 把A1,3)B(3,.代入n=x+b婚：{+物二子， 31/33 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解得：化=， 一次函数的解析式为y1=一x+4; (2)解：设P(0,a), 由y1=-x+4得，当x=0时，y=4,当y=0时，x=4, ∴M(0,4),N(4,0), 当a>0时，S四边形ABOP=S△MON-S△AMP-S△OBN =×4x4-4-回x1-x4×1 1 1 1 =8+2a-2-2 =4+20, 4+20=5, a=2, 点P的坐标为(0,2) 如下图， 当Q<0时，S四边形ABP10=S△MBP1一S△M0A 1 1 =2×(4-四×3-2×4×1 3 =-2a+4 -0+4=5, a=- “点P的坐标为(0，-) 32/33 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 综上所述：点P的坐标为(0,2)或(0，-) 33/33