精品解析：天津市五区县重点校2025-2026学年第二学期期末联考高一数学试题

2025-2026学年度第二学期期末重点校联考 高一数学 出题学校 蓟州一中 桥北学校 第Ⅰ卷（共32分） 一、选择题（本题共8小题，每题4分，共32分） 1. 已知复数，则在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在中，内角的对边分别为，若，，则（ ） A. B. C. D. 或 3. 边长为2的正方形，为的中点，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 1 D. 4 4. 设m，n表示两条不重合的直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，，则 5. 如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形是（ ） A. 面积为12的矩形 B. 面积为的菱形 C. 面积为24的矩形 D. 面积为的菱形 6. 下列说法错误的是（ ） A. 5人站成一排，“甲站正中间”与“乙站正中间”是互斥事件 B. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，则向上面的点数是3的整数倍的概率为 C. 数据7.0，7.4，7.6，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的25%分位数为7.4 D. 某班级共有学生55人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法抽取10人参加一项活动，如果女生抽了4人，则该班级有33名男生 7. 已知，，是在同一平面内的三个单位向量，且，，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 正方体的棱长为2，E，F，G分别为BC，，的中点，点P为线段上的动点，则以下列结论正确的个数是（ ） ①直线与直线AF垂直 ②直线与平面AEF平行 ③点G与点C到平面AEF的距离相等 ④平面AEF截正方体所得的截面周长为 ⑤三棱锥的体积为定值 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷（非选择题共84分） 二、填空题（本题共6小题，每题4分，共24分） 9. 已知复数，则z的模是______． 10. 某市开展“全民阅读”实施效果的调查研究，按区域划分为核心区、开发区、远郊区，其中核心区与开发区共有2800人，从所有人员中按照各区采用分层抽样的方法抽取45人进行调研．其中已知从远郊区抽取10人，则远郊区的人数为______． 11. 向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为______.（用向量表示） 12. 世园会志愿者招聘正如火如荼进行着，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率为，甲、乙两人都不能被录用的概率为，乙、丙两人都能被录用的概率为，甲、乙、丙三名大学生能否被录用相互独立．则乙能被录用的概率为______，甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率为______． 13. 如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，将沿直线AC折起至处，使得点P在平面ABC上的投影在直线AE上，若三棱锥外接球的体积为，则三棱锥的体积为______． 14. 已知平面四边形满足，且，为的中点，则__________，若、分别为线段、上的动点，且满足，则的最小值为__________. 三、解答题（本题共5小题，共64分） 15. 已知平面向量，，，且，． （1）若，且，求向量的坐标； （2）若与的夹角为锐角，求实数k的取值范围． 16. 在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，． （1）求角的大小； （2）求的面积； （3）求的值． 17. （请用几何法作答此题）如图，在正三棱柱中，，D为棱的中点． （1）证明：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求三棱锥的体积． 18. 2026年5月25日至5月31日是第三届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“分类齐参与，低碳新时尚”．某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值； （2）在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方抽取27名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数． （3）若规定成绩在为“良好”等级，成绩在为“优秀”等级，由（2）知被抽取的27名学生中有6名男生，其中4名成绩为“良好”等级，2名成绩为“优秀”等级，随机选取2人进行访谈，求抽到的2人成绩等级相同的概率． 19. （请用几何法作答此题）如图，四棱锥的底面为菱形，交于点，，为等边三角形，，． （1）求证：平面； （2）求二面角的正切值； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期末重点校联考 高一数学 出题学校 蓟州一中 桥北学校 第Ⅰ卷（共32分） 一、选择题（本题共8小题，每题4分，共32分） 1. 已知复数，则在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的代数运算化简可得复数，确定对应的点所在的象限. 【详解】由题意可得， 故复数在复平面内对应的点为 ，在第二象限. 故选：B. 2. 在中，内角的对边分别为，若，，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】由正弦定理，可得， 因为，则，而，，所以或． 3. 边长为2的正方形，为的中点，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，坐标表示向量，再利用向量数量积的坐标运算公式求解. 【详解】如图，建立平面直角坐标系， 设， ，，， 则为 的中点，所以. 因此，， 所以. 4. 设m，n表示两条不重合的直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】A选项，根据线面平行的判定定理进行判断；B选项，根据面面垂直的性质进行判断；C选项，根据线面垂直的性质进行判断；D选项，根据面面平行的判定定理进行判断． 【详解】A选项，平面外一条直线与平面内一条直线平行可得线面平行，题干中未说明，故A错误； B选项，垂直于同一平面的两个平面可以相交，可以平行，故B错误； C选项，垂直于同一个平面的两条直线平行，故C正确； D选项，根据面面平行的判定定理，一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，题干中未提到与相交，故D错误． 5. 如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形是（ ） A. 面积为12的矩形 B. 面积为的菱形 C. 面积为24的矩形 D. 面积为的菱形 【答案】D 【解析】 【分析】利用直观图与原图之间的关系进行还原，原图平行于坐标轴的直线仍然平行于坐标轴，原图垂直于x轴的直线在直观图中与x轴夹角为或，原图中平行于y轴的直线长度在直观图中变为原来的． 【详解】设直观图中，与轴交于； 在直观图中，，，故； 根据直观图中的图形，可还原为如图所示图形， 图中，；故面积为． 故原图为面积为的菱形． 6. 下列说法错误的是（ ） A. 5人站成一排，“甲站正中间”与“乙站正中间”是互斥事件 B. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，则向上面的点数是3的整数倍的概率为 C. 数据7.0，7.4，7.6，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的25%分位数为7.4 D. 某班级共有学生55人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法抽取10人参加一项活动，如果女生抽了4人，则该班级有33名男生 【答案】C 【解析】 【分析】A选项根据互斥事件的定义进行判断；B选项，根据古典概型的计算公式进行判断；C选项，利用百分位数的求法计算；D选项，根据分层抽样中抽样比计算某一层的总数． 【详解】A选项，根据“甲站正中间”与“乙站正中间”不同时发生可知为互斥事件，故A正确； B选项，根据古典概型可知，抛掷一枚质地均匀的骰子一次共有6种结果，其中向上面的点数是3的整数倍的有3，6两个数，故概率为，故B正确； C选项，一共有8个数，则，故25%分位数为，故C错误； D选项，根据一共抽取10人可知，女生抽了4人，男生抽了6人，抽样比为，故男生人数为人． 7. 已知，，是在同一平面内的三个单位向量，且，，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以，为基底，设出，与的夹角，将表示为与夹角有关的三角函数，再结合，确定夹角的范围，利用三角函数的值域求解模长的取值范围． 【详解】因为，，是在同一平面内的三个单位向量，且， 所以，设，的夹角为，，的夹角为； 因为，，故，； 如图所示，，； 则有； 由 ， 由可知； 则 ； 因为，故，则； 可得； 故． 8. 正方体的棱长为2，E，F，G分别为BC，，的中点，点P为线段上的动点，则以下列结论正确的个数是（ ） ①直线与直线AF垂直 ②直线与平面AEF平行 ③点G与点C到平面AEF的距离相等 ④平面AEF截正方体所得的截面周长为 ⑤三棱锥的体积为定值 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由即为直线与直线所成的角，即可判断①；对于②，连接，由线面平行的判定即可判断②；由平面不过的中点即可判断③；对于⑤，连接、，证明即可得到平面截正方体所得的截面图形为四边形，证明平面结合棱锥的体积公式即可判断；对于④，由选项⑤即可得到截面的图形，进而根据数据直接求解即可； 【详解】对于①，由正方体得，则即为直线与直线所成的角， 连接AC，而平面ABCD，所以，所以在中，则不可能是直角，直线与直线不垂直，故①不正确； 对于②，连接，则，所以平面， 因为平面，平面，所以∥平面，故②正确； 对于③，若点C与点G到平面的距离相等，则平面必过的中点，连接交于，且不是的中点， 则平面不过的中点，即点C与点G到平面的距离不相等，③不正确； 对于⑤，连接、，由正方体几何性质可知且， 所以四边形是平行四边形，故，     又，所以，故与共面且过与的面有且只有一个， 故四边形是平面截正方体所得的截面图形， 连接，则由均为所在边的中点以及正方体性质得，且， 故，又平面，平面， 所以平面，故点到平面的距离即为到平面的距离， 所以为定值，即三棱锥的体积为定值，故⑤正确； 对于④，由⑤可知平面截正方体所得的截面图形为四边形， 又由上以及题意得，，， 所以平面截正方体所得的截面周长为，故④正确； 第Ⅱ卷（非选择题共84分） 二、填空题（本题共6小题，每题4分，共24分） 9. 已知复数，则z的模是______． 【答案】 【解析】 【详解】，所以 10. 某市开展“全民阅读”实施效果的调查研究，按区域划分为核心区、开发区、远郊区，其中核心区与开发区共有2800人，从所有人员中按照各区采用分层抽样的方法抽取45人进行调研．其中已知从远郊区抽取10人，则远郊区的人数为______． 【答案】800 【解析】 【分析】根据分层抽样的人数可得抽样比，利用总人数乘抽样比即可计算远郊区的人数． 【详解】因为一共抽取了45人，其中远郊区抽取10人，则核心区与开发区共抽取35人； 因为核心区与开发区共有2800人，则抽样比为； 故远郊区的人数为人． 11. 向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为______.（用向量表示） 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以， 所以向量在向量上的投影向量为. 12. 世园会志愿者招聘正如火如荼进行着，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率为，甲、乙两人都不能被录用的概率为，乙、丙两人都能被录用的概率为，甲、乙、丙三名大学生能否被录用相互独立．则乙能被录用的概率为______，甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据独立事件的概率计算公式进行计算． 【详解】设事件A为甲能被录用，事件B为乙能被录用，事件C为丙能被录用； 则，，； 因为甲、乙、丙三名大学生能否被录用相互独立， 故， 解得，故； ，解得； 故甲、乙、丙三人至少有两人能被录用包含事件甲乙录用丙不录用，甲丙录用乙不录用，乙丙录用甲不录用，甲乙丙都被录用四种情况， 即， 根据这四个事件两两互斥可得； 故． 13. 如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，将沿直线AC折起至处，使得点P在平面ABC上的投影在直线AE上，若三棱锥外接球的体积为，则三棱锥的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的特点，根据外接球以及球的体积求解正方形的边长，再根据三棱锥的体积公式求解. 【详解】连接，交于点，交于点，连接，， 设正方形的边长为， 因为为正方形，所以沿对角线折叠的过程中， 点（即点）在底面上的射影一直在直线上， 又点在平面上的射影在直线上， 所以点即为点在平面上的射影，即平面， 因为平面，所以， 因为为对角线、的交点，所以， 即，所以为三棱锥外接球的球心， 则三棱锥外接球的半径，则，解得， 因为为的中点，为的中点，所以为的重心， 则， 在中，，即三棱锥的高为， 则三棱锥的体积. 14. 已知平面四边形满足，且，为的中点，则__________，若、分别为线段、上的动点，且满足，则的最小值为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】推导出，，然后以点为坐标原点，直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，利用平面向量的模长公式可求得的值；设点、，其中，，利用平面向量数量积的坐标运算得出，再结合基本不等式求得的最小值. 【详解】因为，可得， 因为，则， 因为，则，且，如下图所示： 以点为坐标原点，直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立如上图所示的平面直角坐标系， 则、、、、， ； 设点、，其中，， ，， 所以，，可得， 因为，则，则，， 所以，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：；. 三、解答题（本题共5小题，共64分） 15. 已知平面向量，，，且，． （1）若，且，求向量的坐标； （2）若与的夹角为锐角，求实数k的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行，坐标满足式子，再根据模长即可计算坐标； （2）向量夹角为锐角可知数量积为正数且不平行，由此列出不等式求参数的取值范围． 【小问1详解】 设，， ，，又， 解得或， 或； 【小问2详解】 因为， 所以，， 因为与的夹角为锐角， 所以且与不共线 即， 解得且， 即k的取值范围是． 16. 在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，． （1）求角的大小； （2）求的面积； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理把比角化边，再由余弦定理求解角B的余弦值，从而得到角B的大小；（2）由三角形的面积公式求解；（3）先利用二倍角公式求解，再由两角差的正弦公式求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 所以，即． 又由余弦定理得， 又，所以． 【小问2详解】 因为，， 由余弦定理得，解得， 所以． 【小问3详解】 由余弦定理得，所以． 所以，． 所以 ． 17. （请用几何法作答此题）如图，在正三棱柱中，，D为棱的中点． （1）证明：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1）法一：证明：连接交于点，连接， 在正三棱柱中，四边形为矩形，所以为中点， 又因为为中点，所以，又， 所以. 法二：证明：取的中点，连接， 由，得四边形为平行四边形，所以. 由， ， 得四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面， 所以平面. 同理可得， 平面. 因为平面， 所以平面平面. 又平面，所以平面； （2）. （3） 【解析】 【分析】（1）法一，连接交于点，连接，利用三角形中位线和线面平行的判定证明可得；法二，取的中点，连接，证明平面平面可得； （2）由法二得到为异面直线与所成的角，再由几何关系可得； （3）由三棱锥的体积公式和体积关系可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）法二知，所以为异面直线与所成的角， ， ， ， 所以，所以. 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. 【小问3详解】 三棱柱为正三棱柱， 所以其体积为 . 三棱锥的体积. 18. 2026年5月25日至5月31日是第三届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“分类齐参与，低碳新时尚”．某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值； （2）在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方抽取27名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数． （3）若规定成绩在为“良好”等级，成绩在为“优秀”等级，由（2）知被抽取的27名学生中有6名男生，其中4名成绩为“良好”等级，2名成绩为“优秀”等级，随机选取2人进行访谈，求抽到的2人成绩等级相同的概率． 【答案】（1） （2）6 （3） 【解析】 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，各组的组距都是各组对应的小长方形面积之和等于总频率，所以 化简得即即即 所以图中 【小问2详解】 成绩在内的频率为 则人数为，成绩在内的频率为 人数为. 所以成绩在内的总人数为 现从这人中采用分层随机抽样的方法抽取人， 则成绩在内被抽取的人数为 所以这名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数为 【小问3详解】 由已知，成绩在记为，成绩在记为， 从中任取2名同学的样本空间为： ，共15个样本点， 设“两人的成绩等级相同”， 则包含7个样本点， 所以抽到的两人成绩相同的概率． 19. （请用几何法作答此题）如图，四棱锥的底面为菱形，交于点，，为等边三角形，，． （1）求证：平面； （2）求二面角的正切值； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：因为底面为菱形，交于点， 所以为,的中点． 因为为等边三角形，所以，所以． 又，所以，， 又平面，所以平面； （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，在平面内根据等边与等腰三角形三线合一找到两条相交直线与垂直，从而证明线面垂直． （2）利用二面角的平面角的作法，通过作角，证角，放在三角形中计算夹角的正切值； （3）过点作平面PCD的垂线，作出线面角，根据直角三角形边角关系计算线面角的正弦值．或者利用等体积法根据三棱锥换底的方法，转化为求三棱锥的高． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面，又平面，所以． 如图，过作于点，连接， 又，则平面． 又因为平面，所以， 所以为二面角的平面角, 因为底面为菱形，所以，且． 又，所以为等边三角形， 所以， 又为等边三角形，为的中点， 所以， 在中，， 所以， 即二面角的正切值为2． 【小问3详解】 法一：取中点，连接，又为的中点， 所以，所以直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角. 由（2）知平面，平面， 所以平面平面，且平面平面， 在平面内，过作，所以平面，连接， 则即为直线与平面所成的角， 在中，，则， 在中，，则， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 法二：设点到平面的距离为， 设直线与平面所成角为，则， 因为平面，，， 所以； 因为，，， ， 由得 ，解得， 因为 所以 所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $