精品解析：天津市部分区2025-2026学年高一下学期7月期末练习数学试题

天津市部分区2025-2026学年高一下学期7月期末练习数学试题 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分钟．祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共10小题，每小题4分，共40分． 参考公式： ·如果事件，互斥，那么． ·如果事件，相互独立，那么． ·柱体的体积公式；锥体的体积公式． ·一组数据，，，的平均数为，它的方差为． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 是虚数单位，复数（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，.若，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 3. 一个袋子中有大小和质地相同的5个球，其中有2个白球，3个黑球，从袋中任取2个球，则与事件“所取的2个球都是白球”互斥而不对立的事件是（ ） A. 所取的2个球颜色相同 B. 所取的2个球颜色不相同 C. 所取的2个球至多有一个是红球 D. 所取的2个球至少有一个是红球 4. 已知一组数据为6，7，11，11，13，15，19，23，则这组数据的众数与第60百分位数之和为（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 25 5. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 7. 如图，以直角梯形的下底所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体．若，，，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 9. 柜子里有双不同的鞋，分别用，，，，，表示只鞋．如果从中有放回地随机取只，则取出的鞋不成双的概率为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方体中，为棱的中点，为线段上的动点，则下列说法中正确的个数是（ ） ①； ②平面截正方体所得的截面图形是菱形； ③平面； ④三棱锥的体积为定值． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共10小题，共80分． 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分． 11. 已知，，且，互斥，则________． 12. 一组数据为27，28，30，32，33，则这组数据的方差为___． 13. 已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线，则实数________． 14. 如图，在三棱锥中，，，，是棱的中点，则直线与所成角的余弦值为________；若点在底面上的投影是，则点到平面的距离为________． 15. 在平行四边形中，，，，，，记，，用，表示________；若是线段上的一个动点，则的最小值为________． 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 已知是虚数单位，复数，． （1）当时，求； （2）若是纯虚数，求的值； （3）若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 17. 为庆祝中国共产党成立105周年，某中学举办“薪火相传·筑梦前行”有奖问答活动，每轮活动由甲和乙各回答一个问题，已知甲每轮回答正确的概率是，乙每轮回答正确的概率是．在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）求在首轮活动中，甲、乙两人都答对的概率； （2）求在首轮活动中，甲、乙两人中恰有一人答对的概率； （3）求在两轮活动中，甲、乙两人答对3个问题的概率． 18. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，． （1）求的值； （2）求的面积． 19. “绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心．为增强居民的环境保护意识，特向全区征召100名宣传志愿者，成立环境保护宣传小组，并将这100人按年龄分成5组：，，，，，整理得到如下频率分布直方图． （1）估计这组数据的中位数； （2）求这100名志愿者中，年龄在内的人数； （3）若按年龄进行分层，用分层随机抽样的方法从这100名志愿者中抽取20名参加某社区宣传活动，再从参加该活动且年龄在内的志愿者中依次选取2名做环保知识宣讲，写出此试验的样本空间，并求这2名志愿者中至少有1名年龄在内的概率． 20. 如图，在斜三棱柱中，与交于点，四边形是矩形，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若，，，求直线与平面所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市部分区2025-2026学年高一下学期7月期末练习数学试题 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分钟．祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共10小题，每小题4分，共40分． 参考公式： ·如果事件，互斥，那么． ·如果事件，相互独立，那么． ·柱体的体积公式；锥体的体积公式． ·一组数据，，，的平均数为，它的方差为． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 是虚数单位，复数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】. 2. 已知向量，.若，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由向量平行的坐标表示求解即可. 【详解】，，解得 故选：D 【点睛】本题主要考查了由向量平行求参数的值，属于基础题. 3. 一个袋子中有大小和质地相同的5个球，其中有2个白球，3个黑球，从袋中任取2个球，则与事件“所取的2个球都是白球”互斥而不对立的事件是（ ） A. 所取的2个球颜色相同 B. 所取的2个球颜色不相同 C. 所取的2个球至多有一个是红球 D. 所取的2个球至少有一个是红球 【答案】B 【解析】 【详解】选项A：“所取的2个球颜色相同”与“所取的2个球都是白球”存在交集“2个球都是白球”，两个事件可以同时发生，不满足互斥条件，故选项A错误； 选项B：“所取的2个球颜色不相同”只可能是1个白球，1个黑球，与事件“所取的2个球都是白球”不可能同时发生，两个事件为互斥事件， 取出两个球有三种可能性，分别为1个白球和1个黑球，2个白球，2个黑球，因此当取到2个黑球时，“所取的2个球颜色不相同”和“所取的2个球都是白球”这两个事件都不发生，不是对立事件，故选项B正确； 选项C：袋子中没有红球，“所取的2个球至多有一个是红球”为必然事件，与事件“所取的2个球都是白球”存在交集，不满足互斥条件，故选项C错误； 选项D：袋子中没有红球，所以“所取的2个球至少有一个是红球”为不可能事件，不符合提议，故选项D错误. 4. 已知一组数据为6，7，11，11，13，15，19，23，则这组数据的众数与第60百分位数之和为（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 25 【答案】C 【解析】 【详解】一组数据为6，7，11，11，13，15，19，23，则这组数据的众数为， 因为，所以第60百分位数为, 则这组数据的众数与第60百分位数之和为 5. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由正弦定理得. 6. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用线线，线面，面面的位置关系可判断. 【详解】对于A， 若，，则或者，故A错误； 对于B，若，，，，则或者相交，故B错误； 对于C，若，，则或者为异面直线，故C错误； 对于D，若，，则，又因为，则，故D正确. 7. 如图，以直角梯形的下底所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体．若，，，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】该几何体是以为底面半径，高为的圆柱体加上一个以为底面半径，高为的圆锥， 则其体积为 8. 已知，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以，即， 因为，， 所以代入可得， 因此向量在向量上的投影向量为. 9. 柜子里有双不同的鞋，分别用，，，，，表示只鞋．如果从中有放回地随机取只，则取出的鞋不成双的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设取出的鞋不成双为事件A，则事件为取出的鞋成双， 因为每次均是有放回地随机取，则， 所以取出的鞋不成双的概率. 10. 如图，在正方体中，为棱的中点，为线段上的动点，则下列说法中正确的个数是（ ） ①； ②平面截正方体所得的截面图形是菱形； ③平面； ④三棱锥的体积为定值． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】对于①，连接，可证平面，利用线面垂直的性质即可判断；对于②，取的中点，连接，取的中点，连接，，可证平面截正方体所得的截面图形为平行四边形，利用边长关系可得平行四边形是菱形即可判断；对于③；连接，分别证明平面，平面，从而得到平面平面，利用面面平行的性质即可判断；对于④，由平面，可得即可判断. 【详解】对于①，连接，则 因为在正方体中平面，且平面， 所以，因为，平面， 所以平面，因为平面，所以，故①正确； 对于②，取的中点，连接，取的中点，连接，， 因为，，所以四边形为平行四边形，所以，, 因为，，所以四边形为平行四边形，所以，， 所以，,故四边形为平行四边形， 所以平面截正方体所得的截面图形为平行四边形， 不妨设正方体的边长为，所以， 所以平行四边形为菱形，所以平面截正方体所得的截面图形是菱形，故②正确， 对于③；连接 因为，所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 同理可得平面， 因为，平面， 所以平面平面， 因为平面，， 所以平面，故③正确； 对于④，由③可得平面， 因为为线段上的动点，所以， 由于三棱锥的体积为定值，所以三棱锥的体积为定值．故④正确. 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共10小题，共80分． 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分． 11. 已知，，且，互斥，则________． 【答案】0.3## 【解析】 【分析】由，互斥，得到，再由即可求解. 【详解】因为，互斥，所以，因为， 又因为，，所以. 12. 一组数据为27，28，30，32，33，则这组数据的方差为___． 【答案】 【解析】 【详解】平均数， 方差． 13. 已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线，则实数________． 【答案】 【解析】 【详解】，已知，， 所以， 已知三点共线，则与共线， ，且，不共线，所以存在一个实数，使得：， 即，则，故. 14. 如图，在三棱锥中，，，，是棱的中点，则直线与所成角的余弦值为________；若点在底面上的投影是，则点到平面的距离为________． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【详解】 如图，取中点为,连接,，，所以 ,因为，所以,, ,,所以,所以 因为平面,所以平面， 所以在底面投影是的中点， 取中点为,连接,则，所以直线与所成的角是直线与所成的角, , ,在中，由余弦定理得 所以直线与所成角的余弦值是； 底面面积：是中点，； 三棱锥体积 中，所以 ， 设到平面距离为，则 所以，所以 则点到平面的距离是. 15. 在平行四边形中，，，，，，记，，用，表示________；若是线段上的一个动点，则的最小值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空直接由向量的线性运算可得；第二空直接建立平面直角坐标系，用向量的坐标运算可得数量积的一个二次函数，通过配方可得最小值. 【详解】由向量的加法得 . 如图：以点为坐标原点，以所在直线为轴，以过点且垂直的直线为轴， 则，因为，，所以. 因为，所以是的三等分点， ， 因为，所以是的中点，所以 因为是线段上的一个动点，设， 则， 所以， 由向量的数量积公式 ， 因为，所以，有最小值为. 因此，有最小值为. 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 已知是虚数单位，复数，． （1）当时，求； （2）若是纯虚数，求的值； （3）若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 【答案】（1）5 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用共轭复数定义及复数模公式即可. （2）利用纯虚数充要条件即可. （3）利用复平面象限坐标符号特征解不等式组即可. 【小问1详解】 当时，，所以， 所以． 【小问2详解】 ， 因为复数是纯虚数，所以， 解得， 所以． 【小问3详解】 因为复数在复平面内对应的点位于第二象限， 所以，即， 所以，实数m的取值范围是． 17. 为庆祝中国共产党成立105周年，某中学举办“薪火相传·筑梦前行”有奖问答活动，每轮活动由甲和乙各回答一个问题，已知甲每轮回答正确的概率是，乙每轮回答正确的概率是．在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）求在首轮活动中，甲、乙两人都答对的概率； （2）求在首轮活动中，甲、乙两人中恰有一人答对的概率； （3）求在两轮活动中，甲、乙两人答对3个问题的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）确定甲答对、乙答对为相互独立事件，根据独立事件概率乘法公式计算两人都答对的概率. （2）明确“恰有一人答对”包含甲对乙错、甲错乙对两个互斥情况，先分别计算两种情况的概率，再根据互斥事件概率加法公式求和. （3）先拆分“两轮共答对个问题”的互斥情形：甲答对个且乙答对个、甲答对个且乙答对2个；因为各轮答题独立，所以分别用二项分布概率公式计算甲答对个、乙答对个的概率，再结合独立事件乘法公式计算每类情形的概率，最后求和得到总概率. 【小问1详解】 设“首轮中甲答对”，“首轮中乙答对”，则 由已知可得，，． “两人都答对”，由事件的独立性定义，得． 所以在首轮活动中，甲、乙两人都答对的概率为. 【小问2详解】 设“首轮中甲答对”，“首轮中乙答对”，则 “首轮中甲没有答对”，“首轮中乙没有答对”．由于两人答对与否相互独立，所以与相互独立，与，与，与都相互独立． 由已知可得，，，，． “首轮中恰好有一人答对”，且与互斥， 根据概率的加法公式和事件的独立性定义，得 所以甲、乙两人中恰好有一人答对的概率为． 【小问3详解】 设，分别表示甲在两轮中答对1个，2个的事件； 设，分别表示乙在两轮中答对1个，2个的事件． 根据独立性假定，得，， ，． 设“在两轮活动中，甲、乙两人答对3个问题”，则 ． 所以在两轮活动中，甲、乙两人答对3个问题的概率为． 18. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，． （1）求的值； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接由条件并结合正弦定理可得，再用余弦定理可得； （2）由（1）可得，再由同角三角函数关系式及三角形面积公式可得. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得，，. 又因为，， 所以由余弦定理可得，即， ，解得． 【小问2详解】 由于，所以是锐角，所以. 由（1）可知，， 则． 19. “绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心．为增强居民的环境保护意识，特向全区征召100名宣传志愿者，成立环境保护宣传小组，并将这100人按年龄分成5组：，，，，，整理得到如下频率分布直方图． （1）估计这组数据的中位数； （2）求这100名志愿者中，年龄在内的人数； （3）若按年龄进行分层，用分层随机抽样的方法从这100名志愿者中抽取20名参加某社区宣传活动，再从参加该活动且年龄在内的志愿者中依次选取2名做环保知识宣讲，写出此试验的样本空间，并求这2名志愿者中至少有1名年龄在内的概率． 【答案】（1） （2） 30 （3）， 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图以及中位数的概念求解即可. （2）根据频率以及总人数求解即可. （3）先根据抽样比求得所抽取的志愿者在各小组的分配人数，分别用字母表示每位被抽取的志愿者，写出样本空间和所求事件包含的样本点数，利用古典概型概率公式计算即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图，年龄低于30岁的频率为， 年龄低于35岁的频率为， 假设中位数为t，则t在中，，解得，即中位数约为． 【小问2详解】 年龄在的频率为， 所以年龄在内的人数为人. 【小问3详解】 由题意可知，年龄在内的人数为人； 年龄在内的人数为人， 分层随机抽样的抽样比为， 所以年龄在内抽人，记为a，b，c，d． 年龄在内抽人，记为e，f． 从这6人中选2人的样本空间为 ，共包含30个样本点． 设事件为“至少有1名年龄在内”， 则 ，包含18个样本点， 所以， 即2名环保知识宣讲志愿者中至少有1名年龄在内的概率为. 20. 如图，在斜三棱柱中，与交于点，四边形是矩形，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若，，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 连接， 在斜三棱柱中，与交于点，所以为的中点， 又D是的中点，所以， 又平面，平面，所以平面 （2）因为四边形是矩形， 所以， 因为，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面 （3） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形对角线中点与三角形中位线得到线线平行，结合线面平行判定定理完成证明； （2）由矩形得，结合证出垂直侧面，再用面面垂直判定定理证两面垂直； （3）借助等边三角形得，结合面面垂直性质推出平面，找到线面角后通过直角三角形边长计算正弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 连结， 因为，，所以为正三角形， 所以， 由（2）可知平面， 平面平面， 因为， 所以平面， 所以是在平面上的投影， 所以是直线与平面所成的角， 在正中，，所以， 在中，所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $