精品解析：广东肇庆市2025-2026学年第二学期末高二学业水平达标检测数学试题

2025-2026学年第二学期末高二学业水平达标检测 数 学 本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上． 2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效． 3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀．考试结束后，请答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求的． 1. 以下散点图中，两个变量具有正相关关系的是（ ） A. B. C. D. 2. 平面内有，，，，任意三点不共线的5个点，以其中任意两点为端点的线段共有（ ） A. 5条 B. 10条 C. 15条 D. 20条 3. 已知等差数列满足，，则的值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 4. 变量和的成对样本数据如下表： 0 1 2 1 2 3 5 根据最小二乘法，计算可得经验回归方程为，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 一个袋中有8个大小相同的球，其中2个白球、6个黑球，从中有放回地随机摸球10次，记摸出白球的个数为，则的方差为（ ） A. B. C. D. 6. 某题库中有，，三类题目，所占比例分别为，，．小明答对，，三类题目的概率分别为，，．若他从该题库中任选一题作答并且回答正确，则此题来自类题目的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 记为等比数列的前项和，若，，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 9 D. 13 8. 已知函数的定义域为，是的导函数，满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 有两个零点 D. 仅有1个极值点 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某航空公司为优化服务，随机调查了100名乘客的晕机情况，所得数据如下： 性别 晕机 不晕机 合计 男 10 女 40 合计 70 100 附：，其中． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 下列说法正确的是（ ） A. B. C. 根据小概率值的独立性检验，认为晕机与性别有关 D. 根据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断晕机与性别有关 10. “50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项．已知某地区高二女生的“50米跑”测试数据（单位：秒），且．现从该地区高二女生中随机抽取3人，并记这3人的测试数据落在内的个数为，则下列正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数有两个极值点，则（ ） A. 当时，的单调增区间是和 B. 的图象关于点对称 C. 在区间上单调递减，则的取值范围是 D. ，使得有两个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中，常数项为___________.（用数字作答） 13. 一个车间有4台车床，其中型2台，型2台，现从中随机抽取2台，则至少有1台型车床的概率为________． 14. 某市教育局决定举办音乐、体育、美术三项才艺比赛．每所学校都需参加这三项比赛，每位选手只参加一项，且每项至少有1人参加．树人中学决定从甲、乙、丙、丁、戊5人中选出4人参赛，甲不参加美术项目的比赛，则不同的安排方法有________种（用数字作答）． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）求的最小值． 16. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）求证：． 17. 记数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前n项和为，证明：． 18. 已知函数，． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. 下图是一个类似于高尔顿板的实验示意图．将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到障碍物后都等可能地向左或向右落下，最后落入A袋或B袋．小球落入A袋记1分，落入B袋记2分．试验可以重复进行，累计得分的概率记为，各次试验结果相互独立． （1）求出，，的值； （2）求； （3）设为次试验累计得分的数学期望，，求的最值． （参考公式：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期末高二学业水平达标检测 数 学 本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上． 2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效． 3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀．考试结束后，请答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求的． 1. 以下散点图中，两个变量具有正相关关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据散点图中两个变量的变化趋势直接判断即可. 【详解】样本点成直线形带状分布，且从左到右呈上升趋势，则两个变量是正相关关系， 故A正确，BCD错误. 2. 平面内有，，，，任意三点不共线的5个点，以其中任意两点为端点的线段共有（ ） A. 5条 B. 10条 C. 15条 D. 20条 【答案】B 【解析】 【分析】根据组合数的定义以及公式即可求解. 【详解】以平面内中的2个点为端点的线段的条数， 就是从5个不同元素中取出2个元素的组合数，共有条. 3. 已知等差数列满足，，则的值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质求得，进而得，即可求解. 【详解】由题意得：，又，所以，又，所以， 所以，所以. 4. 变量和的成对样本数据如下表： 0 1 2 1 2 3 5 根据最小二乘法，计算可得经验回归方程为，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】借助经验回归方程过样本中心点即可得. 【详解】，， 则，解得. 5. 一个袋中有8个大小相同的球，其中2个白球、6个黑球，从中有放回地随机摸球10次，记摸出白球的个数为，则的方差为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项分布的方差公式即可求解. 【详解】由题意得：每次摸白球的概率为：，所以， 所以. 6. 某题库中有，，三类题目，所占比例分别为，，．小明答对，，三类题目的概率分别为，，．若他从该题库中任选一题作答并且回答正确，则此题来自类题目的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助贝叶斯公式计算即可得. 【详解】设事件、、分别表示“小明从该题库中选中、、类题目”， 事件表示“小明答对了选中的题目”， 则 . 7. 记为等比数列的前项和，若，，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 9 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可知成等比数列，由此列式计算即可. 【详解】由题意得：成等比数列， 所以， 所以，化简整理得：， 所以， 所以或， 又，所以， 所以， 所以. 8. 已知函数的定义域为，是的导函数，满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 有两个零点 D. 仅有1个极值点 【答案】D 【解析】 【分析】整理可得，结合题意可得，即可判断BC；求导可得，即可判断A；利用导数分析的单调性和极值，即可判断D. 【详解】因为，且，则， 即，可得，，即， 又因为，可得， 则，，即，故B错误； 令，解得，所以有且仅有1个零点，故C错误； 因为，可得，故A错误； 令，解得；令，解得； 可知函数在内单调递增，在内单调递减， 所以函数仅有1个极值点，故D正确. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某航空公司为优化服务，随机调查了100名乘客的晕机情况，所得数据如下： 性别 晕机 不晕机 合计 男 10 女 40 合计 70 100 附：，其中． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 下列说法正确的是（ ） A. B. C. 根据小概率值的独立性检验，认为晕机与性别有关 D. 根据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断晕机与性别有关 【答案】BD 【解析】 【详解】由列联表可得：，，，， 则，，所以，故A错误； 因为，故B正确； 根据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断晕机与性别有关，故C错误，D正确. 10. “50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项．已知某地区高二女生的“50米跑”测试数据（单位：秒），且．现从该地区高二女生中随机抽取3人，并记这3人的测试数据落在内的个数为，则下列正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正态分布的性质，二项分布的概念及期望逐一对选项进行分析即可. 【详解】由题意得：，故A正确；由， 所以， 所以，故B正确； 由，所以，故C错误； 又，故D正确. 11. 已知函数有两个极值点，则（ ） A. 当时，的单调增区间是和 B. 的图象关于点对称 C. 在区间上单调递减，则的取值范围是 D. ，使得有两个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可得；对A：将代入，利用导数计算即可得；对B：计算是否恒成立即可得；对C：由题意可得且，解出即可得；对D：假设有两个零点，则的两个极值中必有一个为，可设使得极值为的极值点为，则有且，计算即可得. 【详解】由已知，由函数有两个极值点， 令，则，即； 对A：当时，， 故当时，，当时，， 即的单调增区间是和，故A正确； 对B： ， 故的图象不关于点对称，故B错误； 对C：若在区间上单调递减，则在上恒成立， 故，解得， 即的取值范围是，故C正确； 对D：若有两个零点，则的两个极值中必有一个为， 设使得极值为的极值点为，则， 即有，且有， 即，整理得， 解得或，则（舍去）或， 即时，有两个零点，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中，常数项为___________.（用数字作答） 【答案】24 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式求得常数项. 【详解】二项式的展开式中的常数项为. 故答案为： 13. 一个车间有4台车床，其中型2台，型2台，现从中随机抽取2台，则至少有1台型车床的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】结合组合数性质、利用间接法计算即可得. 【详解】，即至少有1台型车床的概率为. 14. 某市教育局决定举办音乐、体育、美术三项才艺比赛．每所学校都需参加这三项比赛，每位选手只参加一项，且每项至少有1人参加．树人中学决定从甲、乙、丙、丁、戊5人中选出4人参赛，甲不参加美术项目的比赛，则不同的安排方法有________种（用数字作答）． 【答案】 【解析】 【分析】分甲不参赛以及甲参赛进行讨论，当甲参赛时，分参加美术项目的比赛人数为人及参加美术项目的比赛人数为人进行讨论，再结合排列数与组合数定义计算即可得. 【详解】若甲不参赛，则剩余人参赛，不同的安排方法有种； 若甲参赛，则剩余人中选人参赛， 若参加美术项目的比赛人数为人，则不同的安排方法有种； 若参加美术项目的比赛人数为人，则剩余人需分成组，一组人，一组人， 则不同的安排方法有种； 故共有种不同的安排方法. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 方法一：设等差数列的公差为，由，得， ，解得，所以． 方法二：设等差数列通项公式为，易得. 由,即，即. 解得：，，所以． 【小问2详解】 方法一：由题意知，， 当时，取得最小值，为． 方法二：由可得． 当，即，解得. 所以的最小值为，所以的最小值为． 16. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）求证：． 【答案】（1）极大值为，无极小值 （2）因为等价于，即， 且，可得， 令，，则， 令，解得；令，解得； 可知函数在上单调递增，在上单调递减， 则，即对任意恒成立， 所以． 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数分析的单调性和极值； （2）分析可知原不等式等价于，令，，利用导数证明即可. 【小问1详解】 由题意可知：函数的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极大值为，无极小值． 【小问2详解】 略 17. 记数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前n项和为，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用与的关系求解，利用等差数列的定义和通项公式求解； （2）利用裂项相消法求解. 【小问1详解】 当时，， 故，即， 所以， 故是以为首项，2为公差的等差数列， 所以． 【小问2详解】 由（1）得， 所以， 所以 ， 因为，所以． 18. 已知函数，． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）分及进行讨论即可得； （3）法一：由可得，再构造函数，利用导数结合隐零点求出其最小值即可得；法二：由可得，令，则，构造函数，利用导数求出其最小值即可得. 【小问1详解】 当时，，则， ，则切线斜率为， 又，则切点为， 所以，切线方程为； 【小问2详解】 定义域为，， 当时，恒成立，故在上单调递减， 当时，令得，当得， 故在上单调递减，在上单调递增， 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问3详解】 法一：由得， 即，令， ，令， 则在上单调递增，即在上单调递增， 又，， 存在，使，得，即， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 故，所以. 法二：由得， 即，令，， 原不等式可变成，令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以的最小值为，所以． 19. 下图是一个类似于高尔顿板的实验示意图．将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到障碍物后都等可能地向左或向右落下，最后落入A袋或B袋．小球落入A袋记1分，落入B袋记2分．试验可以重复进行，累计得分的概率记为，各次试验结果相互独立． （1）求出，，的值； （2）求； （3）设为次试验累计得分的数学期望，，求的最值． （参考公式：） 【答案】（1），， （2） （3）最小值为，无最大值 【解析】 【分析】（1）计算出小球落入袋、袋的概率，可得出的值，再结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得、的值； （2）由题意得，得为等比数列，进而利用等比数列前项和公式即可求解； （3）先求，进而得，得，分为奇数和偶数两种情况，再研究数列的单调性，进而求解. 【小问1详解】 设每次游戏得分为，则，， 所以， ， ； 【小问2详解】 由题意得， 所以， ， 是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以 ， 所以； 【小问3详解】 由（1）得设每次游戏得分为，则，， ， 由参考公式，得， 由（2）得， ， 当为奇数时，， ， 所以当为奇数时，单调递增，最小值为，无最大值， 当为偶数时，， ， 所以当为偶数时，单调递增，最小值为，无最大值， 综上可得的最小值为，无最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $