广东汕尾市城区2025-2026学年高二第二学期期末教学质量监测数学试题

2025一2026学年度高二年级第二学期教学质量监测 高中二年级数学答案及评分标准（参考） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 > 8 答案 D B D C A D B A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 题号 9 10 11 答案 BC ACD BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.35 13.3 14.8-2万 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)(1)设等比数列{4n}的公比为g,… (1分) 则S3=山1+a19+a19=14,… (3分) 即g2+g-6=0, (5分) 解得q=2或q=-3(舍).… (6分) 所以an=2X2-1=2,… (7分) 故数列{an}的通项公式为an=2”,n∈N.… (8分) 【另解】若等比数列{an的公比q=1,则an=2,S3=6≠14，不符合题意，…（1分) 所以等比数列{山n}的公比q≠1，… (2分) 则s,=1-9）21=）-14. 1-9 …(4分）》 1-g 即92+q-6=0, (5分) 解得q=2或q=-3(舍)，… (6分) 所以an=2×2"-1=2" (7分) 故数列{an/的通项公式为an=2”,n∈N (8分) (2)由(1)知bn=l0g22n=n,… (9分) 1 11 所以.n(n+方n+T (10分) =(片)+（分-）+(34)+…+() (11分) 高二·数学答案及评分标准（参考）第1页（共6页） 即Tn=1-1 =-n …（12分） n+1n+1 所以数列{，}的前n项和T,=” bnbn+i」 n+1,n∈N. (13分) 16.(15分)(1)若只有一个人去，则方案数为C6=6, …(1分）》 若去的人数大于1，则先选出去的人，再从这些人中选2人参加活动，则方案数为 C6C+C6C+C4C+CC+CC6=15+60+90+60+15=240 … (4分：列式1分，加法1分，结果1分)（或C6·2=240)》 所以总方案数为6+240=246.…(6分：分类相加1分，最终结果1分) (2)若甲乙都不去 当只有一个人去时，则方案数为C4=4; …(7分)》 当去的人数大于1时，则先选出去的人，再从这些人中选2人参加活动且有明确分工， 则方案数为 CA号+CA号+C4A=12+24+12=48,…(10分：列式1分，加法1分，结果1分) 若甲乙都去， 当只去2人时，方案数为：CA好=2，…(11分) 当去的人数大于2时，除甲乙外，再从剩余的4人选，则方案数为 C4A3+CA+CA?+C4A6=24+72+80+30=206, …（14分：列式1分，加法1分，结果1分) 所以总方案数为4+48+2+206=260.… …(15分) 17.(15分)(1)如图，连接C,E,在平面AB,C,D1内过点E作直线l垂直于C,E(或作直线 lLCE),1即为所求直线.…(2分：有描述到直线1LCE即给分) 证明：在长方体ABCD-AB,C,D,中，CC1⊥ 平面ABC1D, 因为lC平面ABC,D,所以11CC…(3分) 因为l⊥CE,且C,E∩CC1=C1,C1EC平面CCE, CC,C平面CC,E, …(4分)》 所以lL平面CCE,…(5分) 又因为CEC平面CC,E,所以l⊥CE.…(6分) (2)记水面所在的平面为平面. 因为E是A,C,上的点，且A,卫=3EC,所以直线I即为△B,C,D,的中位线所在的直线， …（7分） 因为点M在AD上，且3AM=MD,令3A=N店，则有MN∥L,故平面MNC,即为平面a, …(8分）》 法一：延长MWN交CB延长线于点P,连接PC,PC,∩BB,=G, 故直线NG即为平面&与侧面ABBA1的交线m,…(9分) 由AB=BC=4,AA,=7, 高二·数学答案及评分标准（参考）第2页（共6页） 可得3AM=MD=3,3AN=NB=3, 由△AWM∽△BNP,△C,B,G△PBG,可得BG=3,GB1=4, 如图所示，以D为原点，以DA方向为x轴，DC方向为y轴，DD,方向为z轴，建立空 间直角坐标系.M(3,0,0),N(4,1,0),G(4,4,3),D(0,0,7)…(10分) 设平面MNG的法向量为n=(x,y,z), N=(-1,-1,0),N℃=(0,3,3)， …(11分) 所以y0令x=,则y=-1,=1,即n=(1,-1,1D,…(12分) 3y+3z=0, 又因为WD=(-4,-1,7), 设点D,到平面G的距离为山，则d=⑦·n_I-4+1+7列45 n ,…3分 NM.NG -3 又因为s<成，花>=：NC2×32-2 1 所以∠MNG=120°， 所以SANNG=之|i·1Gsin120°=3g5 2 …（14分) 故三棱锥D-G的体积=行5。·d=背×3x4=2 3 2 3 …(15分)》 法二：：BD1∥L∥MN,B,D4平面MNG,MNC平面MNG, ∴.BD1∥平面MNG.… (10分) .点D到平面MNG的距离等于点B,到平面MNG的距离.…(11分) :-m=-c=G=5ao·M=写×7×B,G×BN×M=方×分×4X3X 1=2 …(15分：等积转换1分，体积公式1分，面积公式1分，答案1分) 18.(17分)(1)设P(x,y),A(0,1),B(0,-1),依题意有kpm=-2, …(1分)》 即义二1、y+1=-)(x≠0)，@ …（2分) xx 即号+)y2三1(x0),……(4分：其中1分是x0 (2)法一：设Q(m,n)(m>0,n>0),直线AQ与BQ的倾斜角分别为a,B, 则Q-B=T-∠AQB,…(5分) 所t以ian∠AQB=-ian(元-∠AQB)=-tam(a-B)=anB-tang=-kn …(6分) 1 +tan atan B 1 +kaokno 叉因为如”分如 m …（7分) n+1n-1 所以tan LAQB=m，m 2m. 1+n-1.n+1m2+n2-1 =3①， …(8分) mm 高二·数学答案及评分标准（参考）第3页（共6页） 因为%+2=1，代人①中，得m子m-2）=0,故m=号或m=0(舍)，…(9分) 因为=-受√一8=分，所以点Q的坐标为，》 …(10分) 法二：设Q(m,n)(m>0,n>0),则Q=(-m,1-n),QB=(-m,-1-n), …(5分） 所以cos∠AQB= i.正 m2+n2-1 0.o√m2+(1-m)Vm2+(1+n ②，…（7分) 由m∠40B=3,得∠A0Be0,,m∠A0B=3. …(8分)》 因为号+i-1国，将③，④代入②冲，+-1-受 [m2+(1-n)2]·[m2+(1+n)2]=m4+m2(2+2n2)+(1-n2)2 =m+m2(2+2-m)+(2) (m =4m2+m 4 m 2 4m2+ =10,即9m-16m2=0, 4 m>0,m2≠0，即9m2-16=0, 解得m=手或m=-手（合） 4 …(9分) 因为m=√一受-、√-行：所以点Q的坐标为，》 (10分) (3)(注：题目暗示了斜率存在，可不讨论：因为若AQ斜率不存在，则x。=0,代入椭圆 方程，得y0=±1，即Q与A重合，与∠AQB有定义矛盾，故AQ斜率存在.) 法一：直线AQ,BT的斜率均存在且不为0，设直线AQ的斜率为k,则直线BT的斜率为 左，直线40，BM的方程分别为y=征+1，y=之-1， …(11分)》 [y=kx +1, 由{x2, 2+y2=1, 整理得（行+2+2=0， 解得益或=0（对应点0， …（12分)》 -4k 1-2k2 得Q+2R1+2到 (13分) 2-2 同理得T 2+k2’2+k2 (14分) 高二·数学 答案及评分标准（参考）第4页（共6页） 则直线QT的斜率为o,=1 3k …………（15分) 所以直线0m的是y-器-+经家)y品-子 …(16分) 令x=0,则y=-子，即直线0r过定点(0，-3》 …(17分) 法二：k0=2kr,k0·k0=-2 1 2knkw=-子，即k如·kw=-子 …(11分) 直线QT的斜率明显存在，设直线QT的方程为y=x+m. [y hx +m 由{ 3+1 得(1+2k2)x2+4hmx+2m2-2=0. -4m 设Q(x,),T(x,2).则x,+6=1+2,西 2m2-2 1+221 …(12分) 01,=子，即(+m+1)(+m+1）=子 X12 即(+}k6+(m+1)(x+)+(m+102=0.…(13分) 即(4k2+1)(m2-1)+2k(m+1)(-4hm)+2(m+1)2(1+2k2)=0. 整理，得3m2+4m+1=0. …(14分） 解得m=了或m=-1(舍去) …(15分) 直线Qr的方程：y=低-子 经检验，此时△>0.…(16分) 直线Qr过定点(0，-号) …（17分)》 19.(17分)(1)由题意，得f(x)= x+设切点(o,),…(2分：求导1分，设点1分) [y0=x0, 由=1n(+,解得a=1.…(4分：求导1分，设点1分) 1=1, xo +a (2)令h(x)=(x+2)n(x+1)-2x(x>0), …(5分) 则h'(）=h（x+1）++-1，…(6分） 令1=+1,1>1，则0)=h1+1则p0=片>0，…7分) 所以p(t)在(1，+oo)上单调递增，又因为p(1)=0,所以o(t)>0,…(8分) 即h'(x)>0在x>0上成立，所以h(x)在(0，+oo)上单调递增，…(9分) 高二·数学答案及评分标准（参考）第5页（共6页） 又因为h(0)=0, …(10分) 故h(x)=(x+2)n(x+1)-2x>0在(0，+o)上成立， 即x>0时，(x+2)f(x)>2x,得证. …（11分) (3)由题意知p=10 A8_100x99×…×81_99×98×.×81 10020 1009 …(12分） 由9×81<9=0，，9×91<9 1=902, …(13分） 所以99×98×…×81<(902)9×90=909， 放p=9×98Xx81909 10019 …(14分) 由(2)知，当x>0时，有(x+2)f(x)>2x,即ln(x+1)> 2x x+2 令5骑哈 …(15分） 9+2 即hg>后即h品< 9 2 e 19 <In- …(16分） …(17分） 【另解证（品”点 9 两边取对数，则只需证191血0<-2，…(15分）) 10、2 即只需证n)>9 …（们6分） 由(2)知，当x>0时，(x+2)f(x)>2x,即ln(x+1)> 2x x+2? 1 2×9_2 6即G9石2 …(17分) 故p<(”< 高二·数学答案及评分标准（参考）第6页（共6页）★开封前注意保密 2025一2026学年度高二年级第二学期教学质量监测 高中二年级数学 本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处。 2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。 3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改 液、修正带、刮纸刀。考试结束后，请将本试题及答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的， 1.已知一组样本数据：8,9,7,9,6，该组数据的众数是() A.6 B.7 C.8 D.9 2.已知集合A={1,4,a2},B={1,a+6},若AUB=A,则实数a的值为() A.-2 B.3 C.-2或3 D.2 .1)6 3.(2x+ 展开式中的常数项是() A.30 B.45 C.50 D.60 4.方程mx2+y2=1中的m和n分别从{1,2,3,4,5}中取，若每次抽取等可能，则该方 程表示椭圆方程的概率为() A. B分 C. D.5 5.曲线y=e“在点(0,1)处的切线与直线x-2y+3=0垂直，则实数a的值为() A.-2 B-方 c为 D.2 6.已知复数1=m+(2-m2)i(m∈R),2=2c0s0+（入+2sin0)i(入，0∈R).若a1=z2,则 实数入的取值范围为() A.[-2,4] B.[-1,3] c.[-4,4 n.[-4利 高二·数学第1页（共4页） 7.某隧道断面呈抛物线形，路面净宽16m,拱顶中心距路面垂直高度为7m,采用双向双车 道设计，单侧单车道宽度为3.75，车道外两侧路肩为人行道，车辆不得占用.现右侧 车道临时封闭，拟利用原左侧车道及同侧人行道区域，临时布设双向行车道.根据现行国 家强制性标准，货车最大车宽限值为2.55m(冷藏货车可放宽至2.6m),最大车高限值为 4.0m;两车相邻行驶时，车身水平安全间隙不小于0.5m;车顶与隧道内壁的垂直安全 距离不小于0.4.若后视镜等外伸部件不计，计算限高值时，限高值结果保留两位小数 且只舍不入，该刻临时通行方案是否需要限高？若需限高，则最大安全限高值约为( A.无需限高 B.需限高，限高约3.04m i7m C.需限高，限高约3.15m D.需限高，限高约3.25m 人行道车道车道人行道 16m 8.已知函数fx)=sim2x+罗）， 设g(x)=ff八x)),则g(x)在[0，π]上的零点个数为() A.2 B.3 C.4 D.5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.复数z=2+i,则下列说法正确的是( A.+z=3 B.÷=1-2i C.z·z=5 D.=3 10.已知随机变量X的分布列，下列说法正确的是( X 1 2 3 4 0.2 0.3 0.4 0.1 A.E(X)=2.4 B.E(X2)=4.8 C.D(X)=0.84 D.σ(2X+7)=/3.36 11.数列a,中，有a,=2,且从第二项起满足a,=nn,D.数列a,前n项和为S,当 2 ≥2时，记人，=S-4,7,=++1+…+,以下说法正确的是() aa,a: a A.Kn=C+1-1(n≥2) B.675K20=676K226 cr=号月 D.(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+…+(1+x)"(n≥3)展开式中x2项的系数为K 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 2已知双曲线。-1(@>0)的焦距为6，则此双曲线的离心率为 13.已知x)=2+(3-p)x-3pnx在x=1处取得最小值，则fp)= 14.函数f(x)=x+是在x∈[1,2]上的最大值与最小值之和为7，则实数a= 高二·数学第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,S3=14. (1)求数列{an}的通项公式 (2)设么=be4,求数列6的前n顶和 16.(15分)某宿舍6名同学受邀参加校园展演活动，活动设有双人搭档展示环节：若参与人 数超过1人，需从参与者中选出2人组成搭档完成双人展示。 (1)如果必须有人去，去几个人自行决定，有多少种不同的安排方案？ (2)如果甲和乙要么都去，要么都不去，其余规则不变，且两名搭档有明确分工，有多 少种不同的安排方案？ 17.(15分)如图，一个密封长方体形状的容器中盛有水，E为容器上底面AB,CD,内任意 一点，在平面AB,CD1内过点E画一条直线l,使得l与CE保持垂直. (1)为使得1⊥CE,请简要写出作图步骤，并证明所作直线1⊥CE. (2)已知AB=BC=4,A4=7.若点E在A,C,上，且AE=3EC,点M在AD上，且 3AM=M元.现将容器倾斜，此时容器内水面恰好同时经过点C和M,且水面与直线1 平行.设水面与平面ABB,A的交线为m,交线m与长方形ABB,A,的边界交于N,G两 点.求三棱锥D1-MNG的体积. E● D 高二·数学第3页（共4页） 18.(17分)在平面直角坐标系x0Oy中，已知点A(0,1),B(0,-1),点P满足直线AP, B即的斜率之积为-2，记点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程 (2)若Q是曲线C上第一象限上的点，且tan∠AQB=3,求点Q的坐标. (3)设Q,T是曲线C上的两点，若直线AQ的斜率是直线BT的斜率的2倍，证明：直 线QT过定点，并求出定点的坐标 19.(17分)已知直线y=x是函数f(x)=ln(x+a)的切线. (1)求实数a的值， (2)证明：当x>0时，(x+2)f(x)>2x (3)某线上商城设置了一个虚拟抽奖箱，箱内有编号为0到99的100个虚拟奖项标识. 顾客每次抽奖时，系统从这100个标识中随机发放给顾客，抽奖结束后该标识自动放回 抽奖箱，可被再次抽取.某顾客连续参与20次抽奖，设他抽到的20个奖项标识编号互 不相同的微率为证明：P<(品)”< 高二·数学第4页（共4页）