精品解析：广东省肇庆市2024-2025学年高二下学期期末统一考试数学试题

肇庆市2024-2025学年第二学期高二年级期末统一考试 数学 本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处. 2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 2. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.6 B. 0.2 C. 0.1 D. 0.4 3. 已知正项等比数列中，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 已知离散型随机变量分布列如下表： 0 1 2 0.3 若离散型随机变量，则的方差（ ） A. 0.6 B. 5.4 C. 1 D. 3.4 5. 某同学参加招聘考试，笔试部分有三个题目，根据经验他答对每一题的概率均为，至少答对两题才能进入面试，则该同学能进入面试的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 从7名工程师中选出4人去3个不同的工地执行任务，其中甲、乙两名工程师要么都去，要么都不去，每个工地要求至少有一名工程师，则不同分配方法的种数为（ ） A. 540 B. 180 C. 360 D. 1080 7. 记等差数列的前项和为，且，，记为的前项和，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数，下列说法正确的是（ ） A. 的单调递减区间是 B. 是的极小值点 C. 没有最大值也没有最小值 D. 若函数在区间上有两个零点，则的取值范围为 10. 记随机事件的对立事件分别为，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B 若，则事件相互独立 C. D. 若，，，则 11. 自然界中存在很多美到极致的螺旋，如田螺的螺旋、星系的螺旋，我们把这些螺旋称为“斐波那契螺旋”.它按如图所示的规律形成连续不断的弧线，借助正方形的边长形成数列“1，1，2，3，5，8，……”，即从数列第三项开始，每项都等于前面两项之和.设该数列为，则（），记是数列的前项和，是数列的前项和，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则该函数图象在点处的切线方程为_____. 13. 展开式中的常数项为___________. 14. 若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某地区农户在推动农业机械化升级后，记录了某作物在接下来（）年的增长数据（万吨），如下表所示： 1 2 3 4 5 26 37 50 64 93 （1）经探究与之间具有相关关系，求关于的经验回归方程； （2）为了检验，两款机械设备的投放对某农作物的增收情况，在，两地区分别选取了两块相同面积的试验田来记录某年的增收情况，得到的数据如下表： 地区 用M设备 用设备 A 30 20 B 15 35 根据小概率值的独立性检验，能否认为增收情况与使用，两种不同设备有关? 参考公式：①，； ②（其中为样本容量）. 参考数据： 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10828 16. 已知是正项递增等比数列的前项和，，，记是正项递增数列的前项和，且. （1）求和的通项公式； （2）设的前项和为，若实数恒成立，求的取值范围. 17. 某商场举行回馈客户抽奖活动，已知有三个盒子，每个盒子都装有大小、形状相同的球，其中第一个盒子中有3个红球，3个黄球，2个蓝球；第二个盒子中有5个红球，3个黄球，2个蓝球；第三个盒子中有3个红球，4个黄球，3个蓝球. （1）如果一顾客从第一个盒子中随机取出两球，求取到的球一个是红球，一个是蓝球的概率； （2）已知顾客随机从三个盒子中的某一个盒子中取出的一个球为红球，求该红球来自第一个盒子的概率； （3）顾客随机从三个盒子中取出一个球，抽奖活动规则是取到红球奖励240元代金券，取到黄球奖励480元代金券，取到蓝球奖励720元代金券，设顾客获得代金券的金额为元，求的分布列以及均值. 18. 已知函数，. （1）若，求的极小值； （2）讨论的单调性； （3）当时，证明：. 19. 为了增进亲子间的情感交流，促进社区居民的身心健康，营造和谐积极的社区氛围，某区街道办事处联合一小学举办了亲子跳绳户外嘉年华活动.小华和父母于参赛前制定了30天跳绳训练规则.规则如下：小华第1天开始跳绳，若第天跳绳，则他第天跳绳的概率为，第天跳绳的概率为，设他第天跳绳的概率为. （1）求； （2）证明为等比数列； （3）若，都是离散型随机变量，则，.记小华前天跳绳天数为，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 肇庆市2024-2025学年第二学期高二年级期末统一考试 数学 本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处. 2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据排列数和组合数的计算公式，列出方程，求出结果即可. 【详解】由题意得，，解得. 故选：C. 2. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.6 B. 0.2 C. 0.1 D. 0.4 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布的性质求解即可， 【详解】由题意得，，所以.故C正确. 故选：C. 3. 已知正项等比数列中，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质和题目条件得到，利用对数运算法则和等比数列性质进行求解 【详解】由题意，所以，. 所以. 故选：B 4. 已知离散型随机变量的分布列如下表： 0 1 2 0.3 若离散型随机变量，则的方差（ ） A. 0.6 B. 5.4 C. 1 D. 3.4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先求出，再求出，再利用方差的性质即可求解. 【详解】由题意得，，， 所以， 所以. 所以.故B正确. 故选：B 5. 某同学参加招聘考试，笔试部分有三个题目，根据经验他答对每一题的概率均为，至少答对两题才能进入面试，则该同学能进入面试的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可知，，再利用二项分布求概率即可. 【详解】设答对的题目数量为，则， . 故选：A. 6. 从7名工程师中选出4人去3个不同的工地执行任务，其中甲、乙两名工程师要么都去，要么都不去，每个工地要求至少有一名工程师，则不同分配方法的种数为（ ） A. 540 B. 180 C. 360 D. 1080 【答案】A 【解析】 【分析】根据分组分配原理，先确定甲乙的去留情况，再计算符合条件得分配方式，，结合组合数和排列数进行分步计算. 【详解】由题意得，先选人，甲乙都去有种选择，甲乙都不去有种选择， 又每个工地要求至少有一名工程师，所以分配方案为2,2,1， 根据分组分配部分均分问题有种方案， 所以不同分配方法的种数为. 故选：A. 7. 记等差数列的前项和为，且，，记为的前项和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，解出，最后利用裂项相消法即可求解. 【详解】设，则解得，所以， 所以. . 故选：B. 8. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，求出其为奇函数，的图象通过平移可得到的图象，从而的图象关于点中心对称，故，求导结合基本不等式，得到，故为增函数，得到不等式，求出解集. 【详解】设，则，为奇函数， 其图象关于点对称. ， 图象向右平移一个单位长度，再向上平移三个单位长度得到的图象， 的图象关于点中心对称.. ， 当且仅当，即时，等号成立， 为增函数，，. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数，下列说法正确的是（ ） A. 的单调递减区间是 B. 是的极小值点 C. 没有最大值也没有最小值 D. 若函数在区间上有两个零点，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性可判断；根据极值定义可判断；根据函数单调性及零点定义可判断. 【详解】， 当当时，， 当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 对于：的单调递减区间是，故正确； 对于：由单调性可知极大值点，故错误； 对于：当时，，当时，， 结合的单调性可知，既没有最大值也没有最小值，故正确； 对于：在上单调递减，在上单调递增， 所以，又因为，， 函数在区间上有两个零点， 则的取值范围为.故正确. 故选：. 10. 记随机事件的对立事件分别为，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则事件相互独立 C. D. 若，，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据条件概率公式可验证；对于B，利用条件概率公式及独立性检验即可判断；对于C，利用条件概率公式可证即可判断；对于D，由条件概率即全概率公式即可求解. 【详解】，，， A正确； ，，，B正确； ，C错误； ，，又，， .D正确. 故选：ABD. 11. 自然界中存在很多美到极致的螺旋，如田螺的螺旋、星系的螺旋，我们把这些螺旋称为“斐波那契螺旋”.它按如图所示的规律形成连续不断的弧线，借助正方形的边长形成数列“1，1，2，3，5，8，……”，即从数列第三项开始，每项都等于前面两项之和.设该数列为，则（），记是数列的前项和，是数列的前项和，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意（）从而可得，即，，可求得即可对A判断；由，依次两两结合相加可得可对B判断；由，，依次两两结合相加可得可对C判断；由题意可得，再将的各项依次展开，即可对D判断. 【详解】A：， ， ，A错误. B：，B正确. C： ，C正确. D：，， 即 ，，，D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则该函数图象在点处的切线方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数几何意义，求出在函数上一点的切线方程即可. 【详解】，， 则切线的方程为， 切线方程为（或）. 故答案为： 13. 的展开式中的常数项为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由二项展开式的通项求解即可. 【详解】的展开式的通项为 ，，，，，. 令，则， ∴的展开式中的常数项为. 故答案为：. 14. 若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先求导得，令，，只需在有解即可. 【详解】， 令，即，只需在有解， ，，即存在，使， ，，当时，， 当时，只需，即. 综上所述，. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某地区农户在推动农业机械化升级后，记录了某作物在接下来（）年的增长数据（万吨），如下表所示： 1 2 3 4 5 26 37 50 64 93 （1）经探究与之间具有相关关系，求关于的经验回归方程； （2）为了检验，两款机械设备的投放对某农作物的增收情况，在，两地区分别选取了两块相同面积的试验田来记录某年的增收情况，得到的数据如下表： 地区 用M设备 用设备 A 30 20 B 15 35 根据小概率值的独立性检验，能否认为增收情况与使用，两种不同设备有关? 参考公式：①，； ②（其中为样本容量）. 参考数据： 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2）认为增收情况与使用，两种不同设备有关 【解析】 【分析】（1）由题意分别求出，，，，从而可求解； （2）设出零假设，再利用独立性检验即可求解. 【小问1详解】 由题意得，，， ，， . ， 故经验回归方程为. 【小问2详解】 零假设为：增收情况与设备相互独立，即增收情况与使用不同设备无关联. 则. 根据小概率值的独立性检验，不成立， 所以认为增收情况与使用，两种不同设备有关. 16. 已知是正项递增等比数列的前项和，，，记是正项递增数列的前项和，且. （1）求和通项公式； （2）设的前项和为，若实数恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意列出方程组即可解得；由，可得，从而得当时，，即，从而可求解. （2）设，再利用错位相减法求出，从而得，即可求解. 【小问1详解】 由题意，得公比，解得故. ，， 故当时，， ，，， 当时，，解得（负值已舍去）， 是以为首项，公差为1的等差数列， . 【小问2详解】 令， ， ， 得，，. ，. ，当且仅当时，等号成立，故. 所以的取值范围为. 17. 某商场举行回馈客户抽奖活动，已知有三个盒子，每个盒子都装有大小、形状相同的球，其中第一个盒子中有3个红球，3个黄球，2个蓝球；第二个盒子中有5个红球，3个黄球，2个蓝球；第三个盒子中有3个红球，4个黄球，3个蓝球. （1）如果一顾客从第一个盒子中随机取出两球，求取到的球一个是红球，一个是蓝球的概率； （2）已知顾客随机从三个盒子中的某一个盒子中取出的一个球为红球，求该红球来自第一个盒子的概率； （3）顾客随机从三个盒子中取出一个球，抽奖活动规则是取到红球奖励240元代金券，取到黄球奖励480元代金券，取到蓝球奖励720元代金券，设顾客获得代金券的金额为元，求的分布列以及均值. 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析，均值为446 【解析】 【分析】（1）由条件求出顾客从第一个盒子中随机取出两球的取法数，再求事件所包含的取法数，根据古典概型概率公式求结论， （2）设随机取一个球是来自第个盒子为事件，根据全概率公式求出事件取到红球的概率，再结合条件概率公式求结论； （3）确定随机变量的可能取值，再求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求的均值. 【小问1详解】 设顾客从第一个盒子中随机取出两球，取到的球一个是红球，一个是蓝球为事件， 则. 【小问2详解】 设随机取一个球是来自第个盒子为事件，则， 随机取一个球为红球为事件. 则 所以. 【小问3详解】 由题意，的可能取值为240，480，720. 由（2）知， 同理，， ， 则的分布列为 240 480 720 . 所以的均值为. 18. 已知函数，. （1）若，求的极小值； （2）讨论的单调性； （3）当时，证明：. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据函数极值和函数导数之间的关系，求出函数导数，求出单调区间，判断极值点，求出极值； （2）根据函数单调性和函数导数之间的关系，求出函数导数，讨论参数的范围，求出单调区间即可； （3）本题有两种方法，方法一：可根据函数导数证明恒成立的方法，构造函数，根据构造函数单调性，判断构造函数最小值，证明不等式恒成立；方法二：可以根据放缩法，使用作为中间项，证明，即可说明题干不等式恒成立. 【小问1详解】 由题意得，，的定义域为， ，令，即，解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增； 当时，取得极小值，极小值. 【小问2详解】 由题意得，的定义域为， ， ，只需判断的符号. ①当时，，则在和上单调递减； ②当时，令，解得， 当或时，，在和上单调递减； 当时，，在上单调递增； ③当时，同理可求在和上单调递减，在上单调递增. 综上所述， 当时，在及上单调递减； 当时，在和上单调递减，在上单调递增； 当时，在和上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 方法一： 由题意需证，设，则的定义域为. ，，在上单调递增， ，在上有零点，且， 易知当时，，当时，， 所以当时，取得最小值. 由得，， 故， ， 方法二： 由题意需证，设， 则的定义域为. 设，则， 在上单调递增，在上单调递减， ， 即. ， 令，则， 且在上单调递减，在上单调递增， ，， 因为等号不能同时成立，，，. 19. 为了增进亲子间的情感交流，促进社区居民的身心健康，营造和谐积极的社区氛围，某区街道办事处联合一小学举办了亲子跳绳户外嘉年华活动.小华和父母于参赛前制定了30天跳绳训练规则.规则如下：小华第1天开始跳绳，若第天跳绳，则他第天跳绳的概率为，第天跳绳的概率为，设他第天跳绳的概率为. （1）求； （2）证明为等比数列； （3）若，都是离散型随机变量，则，.记小华前天跳绳天数为，求. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，分析第三条跳绳受前两天影响，根据第一天情况，计算第三条跳绳的概率； （2）根据连续三天跳绳概率之间的关系，写出概率关系式，根据递推公式，构造数列，根据等比数列定义证明是等比数列即可； （3）根据前两天跳绳概率，结合等比数列通项公式，求出第天跳绳概率的通项公式，跳绳天数服从两点分布，根据分组求和法求出结果即可. 【小问1详解】 由题意，，第3天跳绳有两种情况： 第1天跳，第3天跳，其概率为； 第1天跳，第2天及第3天都跳，其概率为. . 【小问2详解】 由题意得，小华第天跳绳后，再在第天跳绳的概率为， 小华第天跳绳后，再在第天跳绳的概率为， ， 即，. ，， 是以为首项，为公比的等比数列. 【小问3详解】 ，，， ，，，， ， ， . 记他前天中，第天跳绳的天数为. 由题意得，服从两点分布，且， 因为， 所以 ， ， ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$