精品解析：河南荥阳市高级中学2025-2026学年下学期期末考试高一数学试题

荥阳高中2025—2026学年下学期期末考试 高一数学试题 时间：120分钟 一、单项选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）. 1. 数据6，8，4，1，12，15的第80百分位数为（ ） A. 8 B. 12 C. 10 D. 15 【答案】B 【解析】 【详解】将这组数据从小到大排列为1，4，6，8，12，15， 因为，所以第80百分位数为第5个数，即12． 2. 复数（i为虚数单位）的虚部是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，所以复数的虚部是． 3. 直线，互相平行的一个充分条件是（ ） A. ，都平行于同一平面 B. ，与同一个平面所成的角相等 C. ，都垂直于同一平面 D. 平行于所在的平面 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，若，都平行于同一个平面，则直线，可能相交，比如正方体上底面的棱平行于下底面，但相邻的棱相交，故A错误； 对于B，若，与同一个平面所成的角相等，则直线，可能相交，比如圆锥的母线和底面所成角都相等，但圆锥的母线都相交，故B错误； 对于C，若，都垂直于同一个平面，则直线，平行，这是线面垂直的性质定理，符合充分条件，故C正确； 对于D，与不仅可以平行还可能异面，比如正方体上底面的棱与下底面的棱可能平行也可能异面，故D错误. 4. 内角，，的对边分别为，，，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】由正弦定理得，即，∴. 又，∴， 所以，∴. 5. 已知点在所在平面内，且满足，则点是的（ ） A. 外心 B. 重心 C. 内心 D. 垂心 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以， 所以，所以，所以， 同理可得，，因此是三角形的垂心． 6. 已知正四棱锥的底面边长为2，体积为，为棱的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出图形，利用异面直线夹角的几何求法找到夹角，利用直角三角形中锐角三角函数的定义求解即可. 【详解】 如图，设正四棱锥的高为，则，，所以. 设正四棱锥的底面中心为，连接，，则， 所以直线与所成的角为，且连接， 由题可得，，，所以， 所以，故A正确. 故选：A 7. 为弘扬中华优秀传统文化，进一步推进成语文化更好地传承，郑州市各中小学持续推进“成语文化进校园”活动，甲、乙两人组成“星队”参加此项活动．活动规则如下：每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由独立事件的乘法公式以及互斥事件的概率加法公式代入计算即可得到结果． 【详解】设表示事件“甲两轮猜对个成语”，表示事件“乙两轮猜对个成语”，其中． 根据独立性，得，，， ，， 设事件表示“两轮活动中星队共猜对2个成语”， 则，且互斥，与，与，与相互独立， 所以 ， 因此，“星队”在两轮活动中共猜对2个成语的概率为. 8. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足，，则的最大值为（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先利用正弦定理转化条件，得到，再由勾股定理得到，最后利用基本不等式即可求得的最大值． 【详解】将代入，得， 又由正弦定理得，即， 故，又，故， 故，即，又，故， 因此由勾股定理得， 所以，当时等号成立， 因此的最大值为． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，是平面内的两个单位向量，且它们的夹角为，若，，，且，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【详解】因为，，且， 由平行条件得，故A正确； 所以，所以，故B正确； ，所以C错误； 在上的投影向量为，其中，， 故投影向量为，所以D正确． 10. 一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次向下的数字之和为偶数”，则下列结论正确的是（ ） A. B. 事件A与事件B互斥 C. 事件A与事件B相互独立 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式，分别求出相关事件的概率，利用互斥事件、独立事件的定义与和事件的概率公式逐一判断即可． 【详解】对于A，事件A为“第一次向下的数字为2或3”，所以第一次抛满足事件A的结果有2种，，故A正确； 对于B，互斥事件是指在某一试验中不可能同时发生的事件， 若第一次向下数字为2，第二次向下数字为4，则既满足事件A，也满足事件B， 所以两事件可以同时发生，故不是互斥事件，故B错误； 对于C，抛掷正四面体木块两次，总的事件数为种， 若事件A,B同时发生，第一次向下的数为2或3，且两次之和为偶数， ，，， 因为，所以事件A与事件B相互独立，故C正确； 对于D，根据概率加法公式得，故D正确． 11. 已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点，，若线段的最小值为，则（ ） A. 正方体的外接球的表面积为 B. 正方体的内切球的体积为 C. 正方体的棱长为2 D. 线段的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】设正方体的棱长为，由线段MN的最小值为求出，按照球的性质逐一判断每个选项即可． 【详解】设正方体的棱长为，则其外接球的半径为，内切球的半径为， 正方体的外接球与内切球上各有一个动点M，N，由于两球球心相同， 可得MN的最小值为，解得，故C正确； 所以外接球的半径为，表面积为，故A正确； 内切球的半径为1，体积为，故B正确； MN的最大值为，故D错误． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知按斜二测画法得到（如图所示），其中，，则的周长为__________. 【答案】## 【解析】 【详解】根据斜二测画法的规则作出原图如图： 由于直观图中，， 可得中，，， 因为，则， 又底边，所以的周长为. 13. 已知是关于的方程的一个根，则__________． 【答案】16 【解析】 【详解】方法1：将代入方程， 化简得：， 因此，解得，因此． 方法2：因为是关于的方程的一个根， 故方程的另一根是， 故由韦达定理得， 解得，因此． 14. 在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】将两条中线转化为向量，利用基底向量表示并计算其点积与模长，再代入夹角公式求出余弦值，推导中注意重心与中点向量的同向关系． 【详解】如图，即向量与的夹角， 在中，，由为的中点，得， 所以 . 由是的中点，得， ， 所以的余弦值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，求与垂直的单位向量的坐标； （2）已知复数，，若，求的取值范围． 【答案】（1）或；（2） 【解析】 【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示列出方程即可求解； （2）根据复数相等的充要条件得到方程组，消去参数，得到关于的函数，再根据二次函数及正弦函数的性质即可求解． 【详解】（1）设单位向量，则由且可得：， 将代入第二个方程得，解得，对应， 故所求单位向量坐标为或． （2）由于，故， 故，消去得， 故， 而， 因此当时，；当时，， 所以的取值范围为． 16. 某校为了提高学生对数学学习的兴趣，举办了一场数学趣味知识答题比赛活动．为了解本次比赛的成绩，从中抽取100名学生的得分（得分均为整数，满分为100分）进行统计．所有学生的得分都不低于60分，将这100名学生的得分进行分组，第一组，第二组，第三组，第四组（单位：分），得到如图的频率分布直方图． （1）求图中的值，并估计此次答题活动学生得分的中位数和平均数； （2）若采用按比例分配分层抽样的方法从得分在、的两组中抽取7人，再从7人中随机抽取2人进行交流，求抽取的2人得分分别在和内各1人的概率． 【答案】（1），中位数82.5，平均数82 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，结合中位数和平均数的定义即可求解； （2）根据分层抽样原则可求得每组抽取的人数，采用列举法即可求解． 【小问1详解】 由，得. 因为前两组的频率和为，前三组的频率和为， 所以得分的中位数在第三组内， 由，解得， 学生得分的平均数． 【小问2详解】 因为评分在和内的频率分别是0.3，0.4， 所以在中抽取3人，标号为1，2，3；在中抽取4人，标号为A，B，C，D， 从7人中随机抽取2人，则有：12，13，1A，1B，1C，1D，23，2A，2B，2C，2D，3A，3B，3C，3D，AB，AC，AD，BC，BD，CD共21个基本事件， 设“抽取的2人得分分别在和内各1人”为事件M， 则满足事件M的有：1A，1B，1C，1D，2A，2B，2C, 2D, 3A，3B，3C，3D共12个基本事件， 因此所求概率． 17. 已知中角，，的对边分别为，，，，，. （1）求； （2）设，两点满足：在的延长线上，，.若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知两边及夹角，先用余弦定理求第三边，再用余弦定理求； （2）建立坐标系，设出点坐标，由平行关系得点的坐标，利用垂直条件求参数，由长度解出，再计算. 【小问1详解】 在中，， 所以，， 因为，由余弦定理可知， 故. 再由余弦定理得. 【小问2详解】 以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系如图： 则，，由，得. 在延长线上，设，则，，， 设，则. 由，得，故. 于是. 已知，则，则. 代入得，而， 故． 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是中点. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：在正方形中，, 又侧面底面，侧面底面,平面， 所以平面，又平面，所以， 因为是正三角形，是的中点，则， 又平面， 所以平面; （2）． （3）． 【解析】 【分析】（1）先由面面垂直性质证明平面 ，得；再由正三角形中线性质得，从而 平面； （2）利用等体积法求出点 到平面 的距离，该距离与长度的比值即为线面角的正弦值； （3）构造辅助面，证明 平面 ，从而将二面角转化为平面角，在直角三角形中通过边长比求其余弦值． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 取的中点分别为，连接， 在正中，，因为平面平面， 平面平面，所以平面， 所以， ， 所以为等腰直角三角形，， 设到平面的距离为， ， 所以，即到平面的距离为， 过点作平面，垂足为，连接， 所以即为与平面所成角，，， 在中，． 【小问3详解】 取的中点分别为，连接， 则，所以，在正中，, 因为平面, 则平面, 在正方形中,，故平面， 所以是侧面与平面所成二面角的平面角， 由平面， 则平面，又平面.所以， 正方形的边长，则 ， 所以，则， 故侧面与平面所成二面角的余弦值为. 19. 如图，设，是平面内相交成的两条射线，，分别是与，同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系．在仿射坐标系中，若，则记． （1）若，，求； （2）若，，且，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，，分别在轴、轴正半轴上，，为中点，为中点，，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值； （2）计算出、、，利用平面向量的夹角公式可得出关于的方程，解之即可； （3）利用平面向量的线性运算得出、关于、的关系式，再利用正弦定理和余弦定理进行边角转化得到与C有关的函数，最后根据三角恒等变换以及正弦函数的有界性即可求得最大值． 【小问1详解】 因为，所以， 又，故， 因此， 故. 【小问2详解】 由题可得：， 故，同理可得． 又， 所以， 因此，故. 【小问3详解】 由于， ， 故 ①， 在中，，故由正弦定理得， 故，②， 又由余弦定理得， 故，即③， ②③代入①得： ， 所以当，时，的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荥阳高中2025—2026学年下学期期末考试 高一数学试题 时间：120分钟 一、单项选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）. 1. 数据6，8，4，1，12，15的第80百分位数为（ ） A. 8 B. 12 C. 10 D. 15 2. 复数（i为虚数单位）的虚部是（ ） A. 2 B. C. D. 3. 直线，互相平行的一个充分条件是（ ） A. ，都平行于同一平面 B. ，与同一个平面所成的角相等 C. ，都垂直于同一平面 D. 平行于所在的平面 4. 内角，，的对边分别为，，，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 或 5. 已知点在所在平面内，且满足，则点是的（ ） A. 外心 B. 重心 C. 内心 D. 垂心 6. 已知正四棱锥的底面边长为2，体积为，为棱的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 为弘扬中华优秀传统文化，进一步推进成语文化更好地传承，郑州市各中小学持续推进“成语文化进校园”活动，甲、乙两人组成“星队”参加此项活动．活动规则如下：每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足，，则的最大值为（ ） A. B. C. 3 D. 2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，是平面内的两个单位向量，且它们的夹角为，若，，，且，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 10. 一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次向下的数字之和为偶数”，则下列结论正确的是（ ） A. B. 事件A与事件B互斥 C. 事件A与事件B相互独立 D. 11. 已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点，，若线段的最小值为，则（ ） A. 正方体的外接球的表面积为 B. 正方体的内切球的体积为 C. 正方体的棱长为2 D. 线段的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知按斜二测画法得到（如图所示），其中，，则的周长为__________. 13. 已知是关于的方程的一个根，则__________． 14. 在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，求与垂直的单位向量的坐标； （2）已知复数，，若，求的取值范围． 16. 某校为了提高学生对数学学习的兴趣，举办了一场数学趣味知识答题比赛活动．为了解本次比赛的成绩，从中抽取100名学生的得分（得分均为整数，满分为100分）进行统计．所有学生的得分都不低于60分，将这100名学生的得分进行分组，第一组，第二组，第三组，第四组（单位：分），得到如图的频率分布直方图． （1）求图中的值，并估计此次答题活动学生得分的中位数和平均数； （2）若采用按比例分配分层抽样的方法从得分在、的两组中抽取7人，再从7人中随机抽取2人进行交流，求抽取的2人得分分别在和内各1人的概率． 17. 已知中角，，的对边分别为，，，，，. （1）求； （2）设，两点满足：在的延长线上，，.若，求. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是中点. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）求二面角的余弦值. 19. 如图，设，是平面内相交成的两条射线，，分别是与，同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系．在仿射坐标系中，若，则记． （1）若，，求； （2）若，，且，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，，分别在轴、轴正半轴上，，为中点，为中点，，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $