精品解析：河南荥阳市高级中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

荥阳高中2025—2026学年下学期期中考试 高一数学试题 时间：120分钟 一、单项选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）． 1. 复数（其中为虚数单位）的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 在△ABC中，若，，，则角B的大小为（ ） A. B. C. D. 或 4. 某中学数学兴趣小组为了测量校园旗杆的高度，如图所示，在操场上选择了C、D两点，在C、D处测得旗杆的仰角分别为，在水平面上测得，且C，D的距离为米，则旗杆的高度为（ ） A. 9米 B. 12米 C. 米 D. 15米 5. 已知正四棱锥的底面边长为2，体积为，为棱的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知棱长为2的正方体的一个面在一半球底面上，且四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知中，，，，为所在平面内一点，且满足，则的值为（ ）. A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 棱柱的侧面一定是矩形 B. 三个平面至多将空间分为个部分 C. 圆台可由直角梯形以高所在直线为旋转轴旋转一周形成 D. 任意五棱锥都可以分成个三棱锥 10. 已知向量，，是与同向的单位向量，则下列结论错误的是（ ） A. B. 与可以作为一组基底 C. D. 向量在向量上的投影向量为 11. 在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫，于1996年被收入世界文化遗产名录．现测量一个的屋顶，得到圆锥（其中为顶点，为底面圆心），母线的长为10m，底面半径长为6m．下面说法正确的是（    ） A. 圆锥SO的高为8m B. 圆锥SO的侧面积为 C. 圆锥SO的体积为 D. 圆锥SO外接球的表面积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量，若，则__________. 13. 如图，是平面四边形的直观图，若是边长为2的正方形，则四边形OABC的周长为______． 14. 在希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长为，，，其面积，这里．已知在中，，，则面积的最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，15题13分，16-17题每题15分，18-19题每题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数. （1）若z为纯虚数，求m的值； （2）若复数的实部与虚部之和为14，求m的值. 16. 已知向量，满足，，且与不共线. （1）若向量与为共线，求实数的值； （2）若向量与的夹角为，求与的夹角. 17. 已知正方体中的棱长为2，是中点． （1）求证：平面平面； （2）设的中点为，过､､作一截面，交于点，求截面的面积． 18. 已知三内角A，B，C所对边分别是a，b，c．若，且． （1）求角； （2）求的最大值． 19. 已知向量， （1）设函数，求的单调递增区间； （2）设函数，若的最小值是，求实数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荥阳高中2025—2026学年下学期期中考试 高一数学试题 时间：120分钟 一、单项选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）． 1. 复数（其中为虚数单位）的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简即可． 【详解】，所以复数的共轭复数为. 故选：A. 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 2. 已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合向量共线的坐标运算可得，代入运算求解即可. 【详解】因为，， 若，则，即， 所以. 故选：A. 3. 在△ABC中，若，，，则角B的大小为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理，结合特殊角的三角函数值、以及大边对大角进行求解即可. 【详解】由正弦定理，得， 则， 因为BC > AC，所以A >B，而A = 60°， 所以B =45°． 故选：B. 4. 某中学数学兴趣小组为了测量校园旗杆的高度，如图所示，在操场上选择了C、D两点，在C、D处测得旗杆的仰角分别为，在水平面上测得，且C，D的距离为米，则旗杆的高度为（ ） A. 9米 B. 12米 C. 米 D. 15米 【答案】B 【解析】 【分析】先假设旗杆的高度为,利用在C、D处测得旗杆的仰角分别为把用表示出来，在中解三角形即可. 【详解】设旗杆的高度为，那么由在C、D处测得旗杆的仰角分别为可知，， 在中，由于，故为等腰直角三角形，那么； 在中，由于，那么； 在中，由，，可知 即 解得 ，或（舍去）， 所以，旗杆的高度为米. 5. 已知正四棱锥的底面边长为2，体积为，为棱的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出图形，利用异面直线夹角的几何求法找到夹角，利用直角三角形中锐角三角函数的定义求解即可. 【详解】 如图，设正四棱锥的高为，则，，所以. 设正四棱锥的底面中心为，连接，，则， 所以直线与所成的角为，且连接， 由题可得，，，所以， 所以，故A正确. 故选：A 6. 已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接由且与不共线结合向量的坐标运算求解即可. 【详解】由与的夹角为锐角知且与不共线，即且，即且. 故选：D. 7. 已知棱长为2的正方体的一个面在一半球底面上，且四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题可知球心O为正方形中心，设半球的半径为R，在中，由求解. 【详解】如图所示： 球心O为正方形中心，设半球的半径为R，则， 在中，， ，解得， 所以此半球的体积为． 故选：A． 8. 已知中，，，，为所在平面内一点，且满足，则的值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量线性运算得到，再使用平面向量数量积运算法则进行计算. 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 棱柱的侧面一定是矩形 B. 三个平面至多将空间分为个部分 C. 圆台可由直角梯形以高所在直线为旋转轴旋转一周形成 D. 任意五棱锥都可以分成个三棱锥 【答案】CD 【解析】 【分析】利用斜棱柱的侧面可判断A选项；取三个两两相互垂直的平面可判断B选项；利用圆台的形成可判断C选项；利用五棱锥的结构特征可判断D选项. 【详解】对于A选项，斜棱柱的侧面不一定是矩形，A错； 对于B选项，若三个平面两两垂直，则这三个平面可将空间分为个部分，B错； 对于C选项，圆台可由直角梯形以高所在直线为旋转轴旋转一周形成，C对； 对于D选项，一个五边形可分为三个三角形，所以，任意五棱锥都可以分成个三棱锥，D对. 故选：CD. 10. 已知向量，，是与同向的单位向量，则下列结论错误的是（ ） A. B. 与可以作为一组基底 C. D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量模长运算、基底的定义、与某一向量同向的单位向量、投影向量的求法依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，是不共线的一组非零向量，可以作为一组基底，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，向量在向量上的投影向量为，D错误. 故选：ACD. 11. 在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫，于1996年被收入世界文化遗产名录．现测量一个的屋顶，得到圆锥（其中为顶点，为底面圆心），母线的长为10m，底面半径长为6m．下面说法正确的是（    ） A. 圆锥SO的高为8m B. 圆锥SO的侧面积为 C. 圆锥SO的体积为 D. 圆锥SO外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先求圆锥的高，再代入圆锥的侧面积，体积公式，即可判断ABD，利用圆锥与外接球的几何关系，构造关于的方程，即可求解外接球的表面积，判断D. 【详解】对A，母线的长为10m，底面半径OA长为6m，圆锥SO的高为，A选项正确； 对B，圆锥SO的侧面积，B选项正确； 对C,圆锥的体积,C选项错误， 对D，设圆锥SO的外接球半径为，则，解得， 所以圆锥SO外接球的表面积为，D选项正确. 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量，若，则__________. 【答案】0 【解析】 【分析】首先求出的坐标，依题意可得，根据向量数量积的坐标表示得到方程，解得即可； 【详解】解：因为，所以， 又，所以，解得； 故答案为： 13. 如图，是平面四边形的直观图，若是边长为2的正方形，则四边形OABC的周长为______． 【答案】16 【解析】 【分析】根据直观图与原图的关系，原图转化为直观图时，平行关系保持不变，平行于轴的长度不变，平行于轴长度变成原来的一半，轴与轴成，即可解决. 【详解】把直观图转化为原图四边形，如图所示 由作图可知四边形为平行四边形，，高为，, 故周长为. 14. 在希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长为，，，其面积，这里．已知在中，，，则面积的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据海伦公式，结合题意，用边长表示的面积，根据的取值范围，求面积的最大值. 【详解】由题意可知 ，且 则 ， 当且仅当 即时， ，且，符合题意. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，15题13分，16-17题每题15分，18-19题每题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数. （1）若z为纯虚数，求m的值； （2）若复数的实部与虚部之和为14，求m的值. 【答案】（1）5 （2）1 【解析】 【分析】（1）先将复数进整理，得出其实部和虚部，由条件可得实部为零，虚部不为零得出答案. (2)先化简复数，得出实部与虚部，从而求出答案. 【小问1详解】 由z为纯虚数，则，解得（舍去） 【小问2详解】 所以，解得 16. 已知向量，满足，，且与不共线. （1）若向量与为共线，求实数的值； （2）若向量与的夹角为，求与的夹角. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由平面向量的共线定理列方程组求解；（2）计算，，，再由计算模长的方法计算和，求解出与的数量积，再利用向量夹角的计算公式代入求解. 【小问1详解】 ∵向量与共线， ∴存在实数，使，且，不共线， ∴，解得或，或； 【小问2详解】 ∵，，， ∴， ， 设与的夹角为， ∴， ∴. 17. 已知正方体中的棱长为2，是中点． （1）求证：平面平面； （2）设的中点为，过､､作一截面，交于点，求截面的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）连接，，若，连接，由平行四边形的性质及线面平行的判定易得平面、平面，根据面面平行的判定即可证平面平面； （2）连接，，设平面与平面交于，根据面面平行的性质可得四边形为平行四边形，结合正方体的性质易知四边形为菱形，再求出对角线、，即可求截面的面积. 【详解】 （1）如图，连接，，若，连接， 由，，可得四边形为平行四边形， ∴，又， ∴四边形为平行四边形，即，而平面，平面， 平面， 同理，是平行四边形，即，而平面，平面， ∴平面，而， ∴平面平面. （2）连接，，平面与平面交于， 由平面平面，且平面平面，平面平面， ，同理有，即四边形为平行四边形， 在与中，易知，即四边形为菱形，故为的中点． ∵正方体的棱长为2， ，． ∴截面面积． 18. 已知三内角A，B，C所对边分别是a，b，c．若，且． （1）求角； （2）求的最大值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）通过正弦定理角化边，再用余弦定理求出角； （2）通过正弦定理边化角，把转化为三角形内角的三角函数，通过三角函数求出最大值. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 由余弦定理，又，故， 【小问2详解】 由正弦定理知：，则，， 所以，而， 则 且， 又，当时，的最大值为． 19. 已知向量， （1）设函数，求的单调递增区间； （2）设函数，若的最小值是，求实数的值． 【答案】（1）的单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用两个向量的数量积公式、三角恒等变换，求得，可得的单调递增区间. （2）利用余弦函数的定义域和值域求得的范围，再利用二次函数的性质，依据题意，分类讨论，求得正实数的值. 【小问1详解】 ， 由得：， 所以，的单调递增区间为； 【小问2详解】 因为， 所以，， 所以，， 令，则， 则，． 当时，在区间上单调递增， 由； 当时，， 解得 当时，在区间上单调递减， 由 得：，舍去； 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $