精品解析：黑龙江绥化市第七中学2025-2026学年高一下学期期中测试数学试题

绥化市第七中学2025-2026学年度第二学期期中测试卷 高一数学 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. A. B. C. D. 2. 在中，内角所对的边分别为，已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 某同学为表达对“新冠疫情”抗疫一线医护人员的感激之情，亲手为他们制作了一份礼物，用正方体纸盒包装，并在正方体六个面上分别写了“致敬最美逆行”六个字，该正方体纸盒水平放置的六个面分别用“前面､后面､上面､下面､左面､右面”表示.如图是该正方体的展开图.若图中“行”在正方体的左面，那么在正方体右面的字是（ ） A. 最 B. 美 C. 逆 D. 敬 4. 已知函数，若把的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于点对称，则ω的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 已知为棱长4的正四面体，则该正四面体的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，，则的最小值（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆锥的轴截面是一个面积为的等边三角形，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 为纯虚数 C. D. 在复平面内对应的点位于第一象限 10. 如图，在中，，为边上的中点，，，且，则（ ） A. 外接圆的半径为 B. C. 的最大值为3 D. 的最大值为 11. （多选）下列命题中正确的是（ ） A. 棱柱的侧面一定是平行四边形 B. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C. 棱锥的各侧面一定有一个公共点 D. 棱台各侧棱的延长线交于一点 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数 ______  ． 13. 紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶､石瓢壶､潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台（其他因素忽略不计），如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的侧面积约为__________. 14. 已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，为虚数单位． （1）若，求实数的值； （2）若在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围． 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若，，求b，c的值． 17. 如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走米到，在出测得山顶得仰角为， （1）若，求坡面的坡比．（坡比是坡面的垂直高度与水平宽度的比值） （2）求证:山高. 18. 如图，一块扇形铁皮，半径厘米，圆心角，现剪下一个扇环做圆台形容器的侧面，并从剩余的扇形内剪下一个最大的圆刚好做容器的下底（圆台下底面大于上底面）． （1）应取多少厘米？ （2）制作这样一个没有上底的圆台形容器需要多少平方厘米的铁皮？（不计连接处损耗） 19. 已知，，是同一平面内的三个向量，其中. （1）若，且，求坐标； （2）若为单位向量，且，求与的夹角. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绥化市第七中学2025-2026学年度第二学期期中测试卷 高一数学 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则进行计算即可． 【详解】 ， 故选D. 【点睛】本题主要考查复数的计算，利用好复数乘法的运算法则是解决本题的关键． 2. 在中，内角所对的边分别为，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先应用余弦定理得出，再应用同角三角函数关系计算求解. 【详解】由余弦定理得， ， 故选：B. 3. 某同学为表达对“新冠疫情”抗疫一线医护人员的感激之情，亲手为他们制作了一份礼物，用正方体纸盒包装，并在正方体六个面上分别写了“致敬最美逆行”六个字，该正方体纸盒水平放置的六个面分别用“前面､后面､上面､下面､左面､右面”表示.如图是该正方体的展开图.若图中“行”在正方体的左面，那么在正方体右面的字是（ ） A. 最 B. 美 C. 逆 D. 敬 【答案】A 【解析】 【分析】利用正方体及其表面展开图的特点以及题意，把“行”放到正方体的左面，然后把平面展开图折成正方体，看“行”的相对面，即可判断. 【详解】把正方体的表面展开图再折成正方体，如图，“行”在正方体的左面，那么在正方体右面的字是“最”． 故选：A． 4. 已知函数，若把的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于点对称，则ω的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据平移写出函数解析式，可得，运算得，得解. 【详解】由题意，平移后函数解析式为， 由题意得，， 解得，，且， 当时，. 故选：A. 5. 已知为棱长4的正四面体，则该正四面体的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过补形的方法求得正确答案. 【详解】将正四面体补形成正方体如下图所示， 正四面体的棱长为，所以正方体的边长为， 所以正方体的对角线长为， 所以正方体的外接球，也即正四面体的外接球的半径为， 所以外接球的表面积为. 故选：C 6. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，，则的最小值（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用向量的中线公式及“爪子”定理，得，从而有，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为点是的中点，则，又，则， 又三点共线，则，所以，得到， 由，得到，所以， 又，则， 当且仅当，即时取等号， 所以. 7. 如图，在中，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用平面向量线性运算及共线向量关系即可求解. 【详解】由题意知. 故选：C. 8. 已知圆锥的轴截面是一个面积为的等边三角形，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设该圆锥的底面半径为，则该圆锥的高为，该圆锥母线长为，根据轴截面面积求出，从而求出锥体的表面积. 【详解】设该圆锥的底面半径为，则该圆锥的高为，该圆锥母线长为， 所以，解得或（舍去）， 所以该圆锥的表面积为. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 为纯虚数 C. D. 在复平面内对应的点位于第一象限 【答案】BCD 【解析】 【分析】由复数的四则运算得，由虚部的定义判断A；求得，即可判断B；求得，即可判断C；求得，由复数几何意义判断D. 【详解】因为， 则的虚部为，故A错误； 因为，为纯虚数，故B正确； 因为， 所以，故C正确； 因为， 所以，在复平面内对应的点的坐标为，在第一象限，故D正确． 10. 如图，在中，，为边上的中点，，，且，则（ ） A. 外接圆的半径为 B. C. 的最大值为3 D. 的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于选项A，根据正弦定理可求出三角形外接圆半径；对于选项B，在两个小三角形中，分别运用正弦定理，结合中线的定义进行判断即可；对于选项C，运用余弦定理和基本不等式可验证其正确；对于选项D，结合选项C的结论，然后根据向量的模可求出其最小值为. 【详解】对于选项A：根据正弦定理可得，解得， 所以外接圆的半径为，A错误； 对于选项B：在中，，所以. 在中，，所以. 因为， 所以， B正确； 对于选项C： 根据余弦定理得， 可得， 所以，当且仅当时等号成立，此时的最大值为3，C正确； 对于选项D：因为， 所以 因为，所以， 所以， 当时，，所以，此时取最小值. 所以的最小值为，D错误. 11. （多选）下列命题中正确的是（ ） A. 棱柱的侧面一定是平行四边形 B. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C. 棱锥的各侧面一定有一个公共点 D. 棱台各侧棱的延长线交于一点 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据棱柱的几何特征可判断AB选项；利用棱锥的定义可判断C选项；利用棱台的几何特征可判断D选项. 【详解】对于A选项，由棱柱的定义知，棱柱各侧面一定为平行四边形，故A正确； 对于B选项，如图，平面平面， 但图中的几何体每相邻两个四边形的公共边并不互相平行，故不是棱柱，故B错误； 对于C选项，棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形， 即必须是有一个公共顶点的几何体，故C正确； 对于D选项，棱台是用一个平行于底面的平面去截棱锥而得到的，其各侧棱的延长线必交于一点，故D正确． 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数 ______  ． 【答案】 【解析】 【详解】因为，且，，所以 ． 13. 紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶､石瓢壶､潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台（其他因素忽略不计），如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的侧面积约为__________. 【答案】 【解析】 【分析】把石瓢壶的壶体近似看成一个圆台，可根据条件求出母线长，利用圆台侧面积公式计算即可. 【详解】根据题意，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图为该圆台的轴截面， 上底面半径为下底面半径高 则该圆台的母线长为 故圆台的侧面积 故答案为：. 14. 已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】建立直角坐标系，结合向量数量积求解即可. 【详解】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， 设点，则，，， 所以， 则， 当且仅当，时，取最小值． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，为虚数单位． （1）若，求实数的值； （2）若在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围． 【答案】（1）4； （2）. 【解析】 【分析】（1）由两复数相等，实部和虚部分别相等求解即可； （2）结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解． 【小问1详解】 若， 则， 解得； 【小问2详解】 ， 若在复平面内所对应的点位于第四象限， 则，解得， 故的取值范围为． 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若，，求b，c的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由正弦定理角化边得，由余弦定理边化角即可求解； （2）直接由余弦定理列方程组即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理及，得． 由余弦定理得． 因为，所以． 【小问2详解】 由（1）知，又，， 由余弦定理可得，，即， 解得，． 17. 如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走米到，在出测得山顶得仰角为， （1）若，求坡面的坡比．（坡比是坡面的垂直高度与水平宽度的比值） （2）求证:山高. 【答案】（1） （2） 在中, . 在中,根据正弦定理 ， 所以山高为. 【解析】 【分析】（1）由题意利用坡面的坡比的定义计算可得；（2）求得的的长度和正弦定理可求得山的高度. 【小问1详解】 坡面的坡比为 . 【小问2详解】 略. 18. 如图，一块扇形铁皮，半径厘米，圆心角，现剪下一个扇环做圆台形容器的侧面，并从剩余的扇形内剪下一个最大的圆刚好做容器的下底（圆台下底面大于上底面）． （1）应取多少厘米？ （2）制作这样一个没有上底的圆台形容器需要多少平方厘米的铁皮？（不计连接处损耗） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据的长度等于的周长可计算出的半径，再根据几何关系可计算出的长度； （2）根据条件先计算出上下底面的半径和母线长度，然后计算出下底面面积和侧面积，则结果可知. 【小问1详解】 连接并延长交于点，过点作交于点， 因为，所以的长度为，所以的周长为， 所以，所以， 在中，，所以， 所以， 所以应取厘米. 【小问2详解】 设圆台上、下底面的半径分别为，母线长为， 因为，所以的长度为，所以，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以需要的铁皮为：平方厘米， 故需要平方厘米的铁皮. 19. 已知，，是同一平面内的三个向量，其中. （1）若，且，求坐标； （2）若为单位向量，且，求与的夹角. 【答案】（1）或者 （2） 【解析】 【分析】（1）设，由已知条件，列方程组求未知数； （2）由，求出，可得与的夹角. 【小问1详解】 设，由已知可得， 解得或， 所以或者. 【小问2详解】 由已知，. 由得， 即，即，所以， 所以. 因为，，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $