黑龙江牡丹江市第一高级中学2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

正面 ▆ ▆ 2025级高一学年下学期期末考试 15 续 17 (15分） 数学答题卡 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ! A A A A A A A A A A A ! B B B B B B B B B B B ! C C C C C C C C C C C 16 (15分） ! D D D D D D D D D D D 请在各题目的答案区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效！ 12 13 。 14 15 (13分) ▆ ▆ 姓 名： ， 考 号： ， 反面 ▆ 18 (17分） 18 续 19 续 19 (17分） ▆ ▆ $ 2025级高一学年下学期期末考试 数学试题 考试时间：120分钟 分值：150分 命题人：翟艳丽 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.数据2、3、3、5、6、6、6、8的众数为（ ） A.3 B.5 C.6 D.8 2.某校为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取90人进行调查，已知该校高一年级学生有400人，高二年级学生有500人，高三年级学生有600人，则抽取的学生中，高一年级有（ ） A.40人 B.36人 C.30人 D.24人 3.在空间直角坐标系中，若，，三点共线，其中，则（ ） A.11 B.9 C.7 D.5 4.如图，在四面体中，，，.点在上，且，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 5.如图，在正方体中，是的中点，则与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 6.如图，已知电路中4个开关每个断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ） A. B. C. D. 7.如图，在三棱锥中，，，，，二面角的大小为，则（ ） A. B. C. D. 8.已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，满足，，，，则（ ） A.A，B相互独立 B.A，B互斥 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.在以下命题中，正确的有（ ） A.是，共线的充要条件 B.若，则存在唯一的实数，使 C.对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 D.若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 10.下列说法正确的是（ ） A.数据2，3，4，5，6，7，8，9的中位数为5 B.若一组样本数据3，，7，5，4，8的极差为5，则实数的取值范围为 C.，，，和，，，的方差分别为和，若，则 D.在对高一某班学生数学成绩调查中，抽取男生10人，其平均数为105，方差为24，抽取女生5人，其平均数为102，方差为21，则这15名学生数学成绩的方差为25 11.如图，已知正方体，为的中点，为的中点，点在线段（含端点）上运动，则以下结论正确的是（ ） A.无论点在何处，总有 B.存在点，使得截面恰好过点 C.点从到运动时，点到平面的距离越来越小 D.点从到运动时，平面与平面所成的锐二面角越来越大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在棱长为2的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为______ 13.在一个试验中，某种豚鼠被感染病毒的概率为，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数： 192 907 966 925 271 932 812 458 569 683 257 393 127 556 488 730 113 537 989 431 据此估计三只豚鼠中恰有两只被感染的概率为______. 14.在矩形纸片中，，，，，，分别是四边的中点.现将它通过翻折后围成一个正四面体（围成的正四面体的表面中，纸片无任何重叠）.若一个小球可以在正四面体内任意滚动，且小球与正四面体所有接触点形成的轨迹的图形面积为，则该小球半径的值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）在中，角，，所对的边分别为，，，满足. （1）求角A的大小； （2）若，，求的周长. 16.（15分）现有一红一绿两颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，在抛掷骰子的试验中： （1）若只抛掷红色的骰子，记下骰子落地时朝上的面的点数，写出该试验的样本空间；设C=“骰子朝上的点数大于3”，求事件C的概率； （2）若同时抛掷两枚骰子，记下骰子朝上的面的点数.若用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用表示一次实验的结果.设A=“两个点数之和等于8”，B=“至少有一颗骰子的点数为5”，分别求出事件A，B的概率. 17.（15分）如图，在四棱锥中，四边形为梯形，，，是面积为的等边三角形. （1）已知是的中点，证明：平面. （2）若，平面，求平面与平面夹角的余弦值. 18.（17分）高一年级举行了一次“数学建模能力竞赛”，为了解本次测试竞赛情况，年级从中抽取了部分学生的成绩进行统计.将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组频数是第2组频数的一半，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）若根据这次成绩，年级择优选取的同学晋级下一轮竞赛，请问晋级分数线定为多少合理？并且估计本次竞赛的平均分； （2）年级以各学习小组的平均分和方差为团体奖励依据.若某学习小组10位学生测试分数的平均数，标准差，若该小组得分分别为95分和85分的A、B两位学生宣布退赛，求该小组余下8位学生分数的平均数与方差； （3）在下一轮比赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关模型检验的问题.已知甲回答正确的概率是，甲、乙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人至少一人回答正确的概率是.每人回答正确与否相互独立.求甲、乙、丙三人中至少两人回答正确的概率. 19.（17分）如图，长方形中，，，若为线段的中点，将沿翻折至. （1）若， ①证明：平面平面； ②求与平面所成角的正弦值； （2）求与平面所成角的正弦值的范围. 2025级高一学年下学期期末考试 数学答案 一、选择题（每题5分，共计40分） 1、C 2、D 3、A 4、B 5、A 6、B 7、C 8、D 二、选择题（每题6分，共18分） 9、 CD 10、 BCD 11、ACD 三、填空题（每题5分，共计15分） 12、 13、 14、 14【详解】折痕如图1中虚线段，折叠后点A，B，C，D重合为一点如图2 小球可以在正四面体内任意滚动，小球与正四面体每个面的所有接触点形成的轨迹为一正三角形， 该正三角形可视为小球球心在正四面体对应面上的投影， 因此小球任意滚动时，小球球心形成的轨迹为一个小正四面体， 该小正四面体的面与正四面体的对应面平行，距离为半径，设其棱长为， 则小球球心在正四面体对应面上的投影总面积为，， 如图3，取中点，连接，， 设小球与顶点的正四面体的3个面都相切时的球心为，点在平面上的投影为，那么为的中心，则在线段上，且， 令在平面上的投影为，则在线段上， 设与平面平行的小正四面体的面交于点，设小球半径为， 如图4，连接，那么，， 由，可得，， 则，即.所以，该小球半径为. 四、解答题 15．（13分） 【详解】（1）已知， 由正弦边角关系得，化简得， 应用辅助角公式可得，而，所以. （2）由余弦定理，得，解得， 所以，故的周长为. 16.（15分） [解析]（1）样本空间为，设C=“骰子朝上的点数大于3”，则， 所以事件C的概率为； （2）由题意，设A=“两个点数之和等于8”，B=“至少有一颗骰子的点数为5” 则， ， 所以，， 所以，. 17．（15分） 【详解】（1）等边面积，得， 由，，得，且， 在中，，取中点，连接，， 因为是中点，故且，结合且， 得且，即四边形是平行四边形，因此， 又平面，平面，由线面平行判定定理得：平面 （2） 以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 各点坐标为：，，，，平面为平面，其一个法向量为，设平面的法向量为，，， 由，得：，令，得，即， 设平面与平面夹角为则， 即平面与平面夹角的余弦值是. 18．（17分） 【详解】（1）由题意知，第1组的小长方形的高是第2组的小长方形的高的一半， 所以， 又，解得， 所以，， 择优选取的同学晋级下一轮竞赛，即确定第60百分位数， 成绩落在内的频率为：，落在内的频率为：， 设第60百分位数为，则，解得，所以晋级分数线划为73分合理； 估计本次竞赛平均分为分 （2）设该小组10位学生的分数分别为，，…，，因为， 所以，所以， 所以，剔除其中的95和85两个分数，设剩余8个数为，，，…，， 平均数与标准差分别为，，则剩余8个分数的平均数：， 方差：； （3）记“甲、乙、丙回答正确这道题”分别为事件，，， 则，，解得，由乙、丙两人至少一人回答正确的概率是， 则，即，． 所以乙、丙两人各自回答正确这道题的概率为和． 有0人回答正确的概率， 有1人回答正确的概率为 所以不少于2人回答正确这道题的概率. 19．（17分） 【详解】（1）①由题意得，，， 在中，因为，所以，同理，，， 在中，因为，所以， 因为，，平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. ②以为原点，以，所在直线分别为，轴，以过垂直于平面的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系： 则，，，，则，，， 设平面的法向量为，则，即，取，则， 设与平面所成角为， 所以，所以与平面所成角的正弦值； （2）设，因为，，所以，， 所以，，且，所以，则，，， 设平面的法向量为，则，即， 取，所以，设与平面所成角为， 所以， 设，，所以， 令，所以 ，单调递增，所以 所以与平面所成角的正弦值的范围是 学科网（北京）股份有限公司 $