专题03 实数计算及应用（题型专练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 以“定义-运算-应用”为逻辑主线，通过原理提炼+典例示范+变式迁移构建实数计算专项训练体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |利用定义解方程|典例1+5变式|平方根/立方根定义法解方程|从定义到方程求解，构建代数推理基础| |二次根式乘除|典例2-3+10变式|乘除法则及逆用（积/商的算术平方根）|法则推导→符号运算→易错点辨析| |二次根式加减|典例4+7变式|最简根式化简→同类根式合并|概念（最简/同类）→运算（加减混合）| |二次根式应用|典例5+6变式|实际问题建模与根式计算转化|运算技能→实际问题解决，培养应用意识|

专题03 实数的计算及应用 （题型突破·举一反三） 题型01 利用定义解方程 题型02 二次根式的加减 题型03 二次根式的乘除 题型04 二次根式计算的应用 ▌题型01 利用定义解方程 目前我们学习过一元一次方程的解法，但是对于高次方程，还没有涉及。目前我们学习了平方根和立方根的知识，可以利用其定义求解简单的二次方程和三次方程。 原理：①若，则；②若，则 【典例1】求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-1】解方程： (1) (2) 【变式1-2】解方程．． 【变式1-3】解方程∶ ； 【变式1-4】解方程： (1)； (2)． 【变式1-5】解方程： （1）；               （2）． ▌题型02 二次根式的乘除 1.二次根式乘法法则 二次根式的乘法法则: 【注意】 ①要注意a≥0，b≥0这个条件，只有a，b都是非负数时法则成立； ②同样成立； ③乘法交换律在二次根式中仍然适用。 法则变形（积的算术平方根）：=（a≥0，b≥0） 2.二次根式除法法则 二次根式的除法法则：（a≥0，b＞0） 【注意】 ①要注意a≥0，b＞0这个条件，因为b=0时，分母为0，没有意义。 ②在实际解题时，若不考虑a、b的正负性，直接得是错误的。 二次根式的除法法则变形（商的算术平方根）： （a≥0，b＞0） 【典例2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【典例3】计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【变式2-1】计算： (1)； (2)． 【变式2-2】计算： (1)； (2)． 【变式2-3】计算 (1). (2). (3). (4). 【变式2-4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-5】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-6】计算：； 【变式2-7】计算： (1)； (2)． 【变式2-8】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式2-9】下面是小明和大刚分别计算：，的做法． 小明的做法： 解： ． 大刚的做法： 解： ． 两人的做法是否都正确?并选一个你认为合适的方法，计算下面的题目： (1)； (2)． 【变式2-10】请阅读下面材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证：小聪：，，所以． 小明：， 这就说明和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以． 任务： (1)猜想：当，时，和之间存在怎样的关系？并仿照小聪或小明的方法举出一个例子进行说明； (2)运用以上结论，计算： ①； ②； (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积． ▌题型03 二次根式的加减 1.最简二次根式 ①被开方数不含分母，例：、； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，例：。 2.同类二次根式 同类二次根式是指至少两个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同则称为同类二次根式。 判断时需先将所有根式化简为最简形式，再比较被开方数是否一致。同类二次根式与同类项均具有合并特性，合并法则均为保持根式（或字母）不变、系数相加减。但两者判断依据不同：前者仅取决于化简后被开方数的同一性，而后者需字母及其指数均对应相同。 3.二次根式的加减 二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。 4.二次根式的混合运算 二次根式混合运算顺序：先计算括号内，再乘方（开方），再乘除，再加减。 注意：运算结果是根式的，一般应表示为最简二次根式。 【典例4】计算：． 【变式3-1】 【变式3-2】（1）用“”“”或“”填空： ， ． （2）由（1）可知： ① ， ② ． （3）计算：． 【变式3-3】计算：． 【变式3-4】若，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【变式3-5】已知，，求的值． 【变式3-6】已知，求下列各式的值 (1)； (2)． 【变式3-7】（1）已知，求的值． （2）已知，，求的值． ▌题型04 二次根式计算的应用 二次根式的计算在实际中有非常广泛的运用，以化简、加减乘除运算为基础，结合题目中给出的公式，进行阅读理解，巩固根式化简、分母有理化等核心计算技巧，理清实际问题与根式算式的转化方法，熟练用二次根式解决生活与几何计算题，提升运算准确率与数学建模能力。 【典例5】全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：，其中d表示苔藓的直径，单位是厘米，t代表冰川消失的时间（单位：年） (1)计算冰川消失21年后苔藓的直径为多少厘米？ (2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 【变式4-1】我们把形如（，为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则属于无理数的类型为（    ）． A．型 B．型 C．型 D．型 【变式4-2】物体自由下落时，如果不考虑空气的阻力，那么物体从开始下落到刚好落地的距离与时间可用公式来估计． (1)把这个公式变形成用s表示t的公式； (2)有一只野兔从山崖边不慎跌入深的峡谷，则它落到峡谷底经过了多长时间？ 【变式4-3】定义：若两个二次根式，满足，且为有理数，则称与是关于的共轭二次根式． (1)与是关于______的共轭二次根式； (2)若与是关于2的共轭二次根式，则______； (3)若与是关于12的共轭二次根式，求的值． 【变式4-4】文化我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，则其中三角形的面积．此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦——秦九韶公式．    (1)如图，若的三边长依次为，，． 请利用以上两个公式，分别求该三角形的面积S； (2)除了利用以上公式，你还可以用什么办法求出该三角形的面积？请写出求解过程； 【变式4-5】阅读以下材料：如果两个正数，即，由完全平方式的非负数性质可得： （当即时，取等号）， （当且仅当时取等号） 结论：对任意两个正数，都有；上述不等式当且仅当时等号成立．当这两个正数的积为定值（常数）时，可以利用这个结论求两数的和的最小值． 例如：当为正数时，两数和均为正数，且（常数），则有当且仅当即时取等号 当时，有最小值，最小值为4. 利用以上结论完成下列问题： (1)已知为正数，即，则当 时，取到最小值，最小值为 ； (2)当均为正数，即时，求函数的最小值； (3)如图，四边形的对角线相交于点的面积分别是4和9，求四边形面积的最小值． 【变式4-6】“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法． 【已有认识】 （1）既可以从算术平方根的角度理解，也能将其看成是面积为 的正方形的边长； （2）图1、图2是由同一个五边形通过不同的分割法所形成，图1、图2都含有3块全等的直角三角形，已知直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c． ①图1的面积为 ，②图2的面积为 ． ③由此我们可以得到等式： ； 【类比学习】 探究的近似值（精确到0.001） 凯凯：我们已经知道是介于1.4与1.5之间的一个无理数，设．图3是边长为的正方形，观察图3后写下如下过程：，即，由于x较小，可忽略不计，得：，故 仿照凯凯的方法，探究的近似值（精确到0.001），设计出图形并直接写出结果． （数据参考：） ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 实数的计算及应用 （题型突破·举一反三） ▌题型01 利用定义解方程 【典例1】 【答案】(1) (2)或 (3) (4)或 【分析】本题考查了平方根解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先系数化1，再开平方根，即可作答． （2）开平方根，然后再移项运算，即可作答． （3）先系数化1，再开平方根，即可作答． （4）先系数化1，再开平方根，移项运算，即可作答． 【详解】（1）解： 解得 （2）解： 解得或； （3）解： 解得 （4）解： 解得或． 【变式1-1】 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）方程两边直接开平方，得到两个一元一次方程，解一元一次方程即可； （2）将方程变形为，然后利用立方根的定义即可求解． 【详解】（1）解： 开平方得，， 即或， 解得或； （2）解： 移项得，， 方程两边同除以3，得， ∴， 解得． 【变式1-2】 【答案】或． 【分析】本题考查实数的运算及平方根，熟练掌握相关定义及运算法则是解题的关键，利用平方根的定义解方程即可． 【详解】解：， 开方得：， 解得：或． 【变式1-3】 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，算术平方根的定义，立方根的定义，根据立方根的定义求解即可． 【详解】解： 则 解得：； 【变式1-4】 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、幂的运算、平方根、立方根的应用等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）先根据平方根求出，进而完成解答； （2）先根据平方根求出，进而完成解答． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ． 【变式1-5】 【答案】 （1），（2） 【分析】（1）式子整理后，利用平方根的定义求解即可； （2）式子整理后，利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1） ， ， ， ； （2）， ， ， ， ． ▌题型02 二次根式的乘除 【典例2】 【答案】(1)12 (2)6 000 (3)10 (4) 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． （1）直接运用二次根式的乘法运算，然后化为最简二次根式即可； （2）直接运用二次根式的乘法运算，然后化为最简二次根式即可； （3）直接运用二次根式的乘法运算，然后化为最简二次根式即可； （4）直接运用二次根式的乘法运算，然后化为最简二次根式即可； 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 【典例3】 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （2）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （3）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （4）根据二次根式的除法运算法则计算即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式2-1】 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算： （1）根据二次根式乘法计算法则求解即可； （2）根据二次根式乘法计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2-2】 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算． （1）按照二次根式的乘法运算法则计算即可． （2）利用平方差公式进行运算即可． 【详解】（1）解： （2） 【变式2-3】 【答案】(1)；(2)2；(3)；(4) 【分析】（1）根据公式 计算即可. （2）根据公式 计算即可. （3）根据公式 计算即可. （4）根据公式 计算即可. 【详解】（1） (2). (3) (4). 【变式2-4】 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次乘法法则计算即可； （2）根据二次除法法则计算即可； （3）根据二次乘法法则计算即可； （4）根据二次除法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式2-5】 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算 （1）根据二次根式乘除法法则计算即可； （2）根据二次根式乘除法法则计算即可； （3）根据二次根式乘除法法则计算即可； （4）根据二次根式乘除法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）原式 ； （3）原式； （4）原式． 【变式2-6】 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的乘除法，根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可 【详解】解：∵ ∴， ∴ 【变式2-7】 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． （1）根据二次根式乘除混合运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式性质和乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： 【变式2-8】 【答案】(1)20 (2) (3)10 (4) (5) (6) 【分析】本题考查二次根式的乘法、除法、乘除混合运算，以及二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式相关运算法则是解题的关键． （1）直接利用二次根式的性质化简计算得出答案； （2）直接化简二次根式进而计算得出答案； （3）直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案； （4）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案； （5）直接利用二次根式的化简计算得出答案； （6）直接利用二次根式的乘除混合运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 【变式2-9】 【答案】(1)两人的做法都正确； (2) 【分析】（1）（2）先判断正确性，再对照已知做法计算即可． 【详解】（1）解：两人的做法都正确， ； （2） 【变式2-10】 【答案】(1)；举例见解析 (2)①24；②77 (3)18 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的化简与运算是解题的关键． （1）由题意可得：； （2）①根据，即可求解； ②根据，即可求解； （3）由长方形的面积可求，再化简求值即可． 【详解】（1）解：； 例如：，， ∴． （2）解：①； ②． （3）解：∵长方形的长为，宽为， ∴， 答：这个长方形的面积为18． ▌题型03 二次根式的加减 【典例4】 【答案】 【分析】本题二次根式的加减，先利用二次根式的性质化简各数，再加减运算即可． 【详解】解： ． 【变式3-1】 【答案】 【分析】直接合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式               【变式3-2】 【答案】（1），（2）①；②（3） 【分析】本题考查了无理数的大小比较，绝对值的意义，以及二次根式的加减运算，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． （1）比较被开方数的大小即可； （2）根据绝对值的意义化简即可； （3）先化简绝对值，再合并同类二次根式； 【详解】解：（1）∵， ∴<，<； 故答案为：，； （2）∵<，<， ∴， ， ∴①； ②； 故答案为：；②； （3） ． 【变式3-3】 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式加减混合运算法则． 先根据二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式加减混合运算法则进行计算即可． 【详解】 ． 【变式3-4】 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值． （1）直接代入求解即可； （2）求得和的值，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴；， ∴． 【变式3-5】 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先求出，，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 【变式3-6】 【答案】(1)20 (2) 【分析】本题考查了因式分解，二次根式的化简求值； （1）先求出的值，再分解因式，并整体代入即可； （2）先求出的值，再分解因式，并整体代入即可． 【详解】（1）解：由已知得：， ； （2）解：， ． 【变式3-7】 【答案】（1）4（2） 【分析】此题考查了二次根式的化简求值，涉及的知识有：分母有理化，平方差根式，完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键． （1）把代数式化为的形式，再把的值代入进行计算即可； （2）将已知与分母有理化后，求出与的值，将所求式子配方后，把 与的值代入计算，即可求出值． 【详解】解：（1）∵， ∴， （2）， ， ，， 则 ． ▌题型04 二次根式计算的应用 【典例5】 【答案】(1)21；(2)37 【分析】本题考查了平方根的应用： （1）将代入关系式计算即可； （2）将代入关系式求解即可． 【详解】（1）解：当时， （厘米）， 答：冰川消失21年后苔藓的直径为21厘米． （2）解：当时， 即， ， 答：冰川约是在37年前消失的． 【变式4-1】 【答案】B 【分析】将代数式化简即可判断． 【详解】 故选：B 【变式4-2】 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义． （1）先将的系数化为1，再根据算术平方根的定义可得； （2）将代入计算可得． 【详解】（1）解：， ， ； （2）当时，， 答：它落到峡谷底经过了6秒时间． 【变式4-3】 【答案】(1)1； (2)； (3)． 【分析】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会利用二次根式的性质进行计算． （1）根据共轭二次根式的定义，即可得解； （2）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得的值即可； （3）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得的值即可； 【详解】（1）解：， ∴ 与是关于1的共轭二次根式， 故答案为：1； （2）解：∵与是关于2的共轭二次根式， ∴ ∴， 故答案为：； （3）解：∵与是关于12的共轭二次根式， ∴ ∴， ∴． 【变式4-4】 【答案】(1)；(2)见解析； 【分析】（）先求出的值，再根据海伦公式求三角形的面积即可或直接根据秦九韶公式即可； （）过点作于点，利用勾股定理即可求解； 【详解】（1）方法一：海伦公式． ∵，，， ∴， ∴ ； 方法二：秦九韶公式． ∵，，， ∴ ； （2）如解图，过点作于点，    设则， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴； 【变式4-5】 【答案】(1)1，2 (2)3. (3) 【分析】此题考查了二次根式性质和运算的应用，掌握题目提供的结论是解题的关键． （1）对任意两个正数，都有；上述不等式当且仅当时等号成立．据此即可进行解答； （2）把函数变形为，根据题意进行解答即可； （3）设，则，得到，根据四边形面积，即可得到答案． 【详解】（1）解；当时，， 当且仅当即时取等号 当时，有最小值，最小值为2. 故答案为：1，2 （2）当时，函数， ∵ 当且仅当即，即时取等号， 当时，有最小值，最小值为3. （3）设， 由题意可知，， 则 则， ∴四边形面积， 当且仅当时，等号成立， ∴四边形面积的最小值为． 【变式4-6】 【答案】已有认识：（1）2；（2）①，②，③；类比学习： 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，二次根式的应用及整式与几何图形面积的实际应用． 已有认识： （1）根据正方形面积公式，利用算术平方根的定义即可解答； （2）①根据图形用三个直角三角形的面积加上两个正方形的面积即可表示出面积；②用三个直角三角形的面积加上正方形的面积即可表示出面积；③根据两个图形的面积相等，建立等式，根据等式的性质即可解答 类比学习：根据材料设，仿照材料即可解答． 【详解】解：（1）， 也能将其看成是面积为2的正方形的边长； （2）①图1的面积为， ②图2的面积为． ③由此我们可以得到等式：，即； 类比学习： 设， 即， 由于x较小，可忽略不计，得：， ， ，即． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 实数的计算及应用 （题型突破·举一反三） 题型01 利用定义解方程 题型02 二次根式的加减 题型03 二次根式的乘除 题型04 二次根式计算的应用 ▌题型01 利用定义解方程 目前我们学习过一元一次方程的解法，但是对于高次方程，还没有涉及。目前我们学习了平方根和立方根的知识，可以利用其定义求解简单的二次方程和三次方程。 原理：①若，则；②若，则 【典例1】求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)或 (3) (4)或 【分析】本题考查了平方根解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先系数化1，再开平方根，即可作答． （2）开平方根，然后再移项运算，即可作答． （3）先系数化1，再开平方根，即可作答． （4）先系数化1，再开平方根，移项运算，即可作答． 【详解】（1）解： 解得 （2）解： 解得或； （3）解： 解得 （4）解： 解得或． 【变式1-1】解方程： (1) (2) 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）方程两边直接开平方，得到两个一元一次方程，解一元一次方程即可； （2）将方程变形为，然后利用立方根的定义即可求解． 【详解】（1）解： 开平方得，， 即或， 解得或； （2）解： 移项得，， 方程两边同除以3，得， ∴， 解得． 【变式1-2】解方程．． 【答案】或． 【分析】本题考查实数的运算及平方根，熟练掌握相关定义及运算法则是解题的关键，利用平方根的定义解方程即可． 【详解】解：， 开方得：， 解得：或． 【变式1-3】解方程∶ ； 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，算术平方根的定义，立方根的定义，根据立方根的定义求解即可． 【详解】解： 则 解得：； 【变式1-4】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、幂的运算、平方根、立方根的应用等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）先根据平方根求出，进而完成解答； （2）先根据平方根求出，进而完成解答． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ． 【变式1-5】解方程： （1）；               （2）． 【答案】 （1），（2） 【分析】（1）式子整理后，利用平方根的定义求解即可； （2）式子整理后，利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1） ， ， ， ； （2）， ， ， ， ． ▌题型02 二次根式的乘除 1.二次根式乘法法则 二次根式的乘法法则: 【注意】 ①要注意a≥0，b≥0这个条件，只有a，b都是非负数时法则成立； ②同样成立； ③乘法交换律在二次根式中仍然适用。 法则变形（积的算术平方根）：=（a≥0，b≥0） 2.二次根式除法法则 二次根式的除法法则：（a≥0，b＞0） 【注意】 ①要注意a≥0，b＞0这个条件，因为b=0时，分母为0，没有意义。 ②在实际解题时，若不考虑a、b的正负性，直接得是错误的。 二次根式的除法法则变形（商的算术平方根）： （a≥0，b＞0） 【典例2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)12 (2)6 000 (3)10 (4) 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． （1）直接运用二次根式的乘法运算，然后化为最简二次根式即可； （2）直接运用二次根式的乘法运算，然后化为最简二次根式即可； （3）直接运用二次根式的乘法运算，然后化为最简二次根式即可； （4）直接运用二次根式的乘法运算，然后化为最简二次根式即可； 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 【典例3】计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （2）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （3）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （4）根据二次根式的除法运算法则计算即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式2-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算： （1）根据二次根式乘法计算法则求解即可； （2）根据二次根式乘法计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算． （1）按照二次根式的乘法运算法则计算即可． （2）利用平方差公式进行运算即可． 【详解】（1）解： （2） 【变式2-3】计算 (1). (2). (3). (4). 【答案】(1)；(2)2；(3)；(4) 【分析】（1）根据公式 计算即可. （2）根据公式 计算即可. （3）根据公式 计算即可. （4）根据公式 计算即可. 【详解】（1） (2). (3) (4). 【变式2-4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次乘法法则计算即可； （2）根据二次除法法则计算即可； （3）根据二次乘法法则计算即可； （4）根据二次除法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式2-5】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算 （1）根据二次根式乘除法法则计算即可； （2）根据二次根式乘除法法则计算即可； （3）根据二次根式乘除法法则计算即可； （4）根据二次根式乘除法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）原式 ； （3）原式； （4）原式． 【变式2-6】计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的乘除法，根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可 【详解】解：∵ ∴， ∴ 【变式2-7】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． （1）根据二次根式乘除混合运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式性质和乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： 【变式2-8】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)20 (2) (3)10 (4) (5) (6) 【分析】本题考查二次根式的乘法、除法、乘除混合运算，以及二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式相关运算法则是解题的关键． （1）直接利用二次根式的性质化简计算得出答案； （2）直接化简二次根式进而计算得出答案； （3）直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案； （4）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案； （5）直接利用二次根式的化简计算得出答案； （6）直接利用二次根式的乘除混合运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 【变式2-9】下面是小明和大刚分别计算：，的做法． 小明的做法： 解： ． 大刚的做法： 解： ． 两人的做法是否都正确?并选一个你认为合适的方法，计算下面的题目： (1)； (2)． 【答案】(1)两人的做法都正确； (2) 【分析】（1）（2）先判断正确性，再对照已知做法计算即可． 【详解】（1）解：两人的做法都正确， ； （2） 【变式2-10】请阅读下面材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证：小聪：，，所以． 小明：， 这就说明和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以． 任务： (1)猜想：当，时，和之间存在怎样的关系？并仿照小聪或小明的方法举出一个例子进行说明； (2)运用以上结论，计算： ①； ②； (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积． 【答案】(1)；举例见解析 (2)①24；②77 (3)18 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的化简与运算是解题的关键． （1）由题意可得：； （2）①根据，即可求解； ②根据，即可求解； （3）由长方形的面积可求，再化简求值即可． 【详解】（1）解：； 例如：，， ∴． （2）解：①； ②． （3）解：∵长方形的长为，宽为， ∴， 答：这个长方形的面积为18． ▌题型03 二次根式的加减 1.最简二次根式 ①被开方数不含分母，例：、； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，例：。 2.同类二次根式 同类二次根式是指至少两个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同则称为同类二次根式。 判断时需先将所有根式化简为最简形式，再比较被开方数是否一致。同类二次根式与同类项均具有合并特性，合并法则均为保持根式（或字母）不变、系数相加减。但两者判断依据不同：前者仅取决于化简后被开方数的同一性，而后者需字母及其指数均对应相同。 3.二次根式的加减 二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。 4.二次根式的混合运算 二次根式混合运算顺序：先计算括号内，再乘方（开方），再乘除，再加减。 注意：运算结果是根式的，一般应表示为最简二次根式。 【典例4】计算：． 【答案】 【分析】本题二次根式的加减，先利用二次根式的性质化简各数，再加减运算即可． 【详解】解： ． 【变式3-1】 【答案】 【分析】直接合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式               【变式3-2】（1）用“”“”或“”填空： ， ． （2）由（1）可知： ① ， ② ． （3）计算：． 【答案】（1），（2）①；②（3） 【分析】本题考查了无理数的大小比较，绝对值的意义，以及二次根式的加减运算，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． （1）比较被开方数的大小即可； （2）根据绝对值的意义化简即可； （3）先化简绝对值，再合并同类二次根式； 【详解】解：（1）∵， ∴<，<； 故答案为：，； （2）∵<，<， ∴， ， ∴①； ②； 故答案为：；②； （3） ． 【变式3-3】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式加减混合运算法则． 先根据二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式加减混合运算法则进行计算即可． 【详解】 ． 【变式3-4】若，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值． （1）直接代入求解即可； （2）求得和的值，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴；， ∴． 【变式3-5】已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先求出，，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 【变式3-6】已知，求下列各式的值 (1)； (2)． 【答案】(1)20 (2) 【分析】本题考查了因式分解，二次根式的化简求值； （1）先求出的值，再分解因式，并整体代入即可； （2）先求出的值，再分解因式，并整体代入即可． 【详解】（1）解：由已知得：， ； （2）解：， ． 【变式3-7】（1）已知，求的值． （2）已知，，求的值． 【答案】（1）4（2） 【分析】此题考查了二次根式的化简求值，涉及的知识有：分母有理化，平方差根式，完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键． （1）把代数式化为的形式，再把的值代入进行计算即可； （2）将已知与分母有理化后，求出与的值，将所求式子配方后，把 与的值代入计算，即可求出值． 【详解】解：（1）∵， ∴， （2）， ， ，， 则 ． ▌题型04 二次根式计算的应用 二次根式的计算在实际中有非常广泛的运用，以化简、加减乘除运算为基础，结合题目中给出的公式，进行阅读理解，巩固根式化简、分母有理化等核心计算技巧，理清实际问题与根式算式的转化方法，熟练用二次根式解决生活与几何计算题，提升运算准确率与数学建模能力。 【典例5】全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：，其中d表示苔藓的直径，单位是厘米，t代表冰川消失的时间（单位：年） (1)计算冰川消失21年后苔藓的直径为多少厘米？ (2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 【答案】(1)21；(2)37 【分析】本题考查了平方根的应用： （1）将代入关系式计算即可； （2）将代入关系式求解即可． 【详解】（1）解：当时， （厘米）， 答：冰川消失21年后苔藓的直径为21厘米． （2）解：当时， 即， ， 答：冰川约是在37年前消失的． 【变式4-1】我们把形如（，为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则属于无理数的类型为（    ）． A．型 B．型 C．型 D．型 【答案】B 【分析】将代数式化简即可判断． 【详解】 故选：B 【变式4-2】物体自由下落时，如果不考虑空气的阻力，那么物体从开始下落到刚好落地的距离与时间可用公式来估计． (1)把这个公式变形成用s表示t的公式； (2)有一只野兔从山崖边不慎跌入深的峡谷，则它落到峡谷底经过了多长时间？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义． （1）先将的系数化为1，再根据算术平方根的定义可得； （2）将代入计算可得． 【详解】（1）解：， ， ； （2）当时，， 答：它落到峡谷底经过了6秒时间． 【变式4-3】定义：若两个二次根式，满足，且为有理数，则称与是关于的共轭二次根式． (1)与是关于______的共轭二次根式； (2)若与是关于2的共轭二次根式，则______； (3)若与是关于12的共轭二次根式，求的值． 【答案】(1)1； (2)； (3)． 【分析】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会利用二次根式的性质进行计算． （1）根据共轭二次根式的定义，即可得解； （2）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得的值即可； （3）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得的值即可； 【详解】（1）解：， ∴ 与是关于1的共轭二次根式， 故答案为：1； （2）解：∵与是关于2的共轭二次根式， ∴ ∴， 故答案为：； （3）解：∵与是关于12的共轭二次根式， ∴ ∴， ∴． 【变式4-4】文化我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，则其中三角形的面积．此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦——秦九韶公式．    (1)如图，若的三边长依次为，，． 请利用以上两个公式，分别求该三角形的面积S； (2)除了利用以上公式，你还可以用什么办法求出该三角形的面积？请写出求解过程； 【答案】(1)；(2)见解析； 【分析】（）先求出的值，再根据海伦公式求三角形的面积即可或直接根据秦九韶公式即可； （）过点作于点，利用勾股定理即可求解； 【详解】（1）方法一：海伦公式． ∵，，， ∴， ∴ ； 方法二：秦九韶公式． ∵，，， ∴ ； （2）如解图，过点作于点，    设则， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴； 【变式4-5】阅读以下材料：如果两个正数，即，由完全平方式的非负数性质可得： （当即时，取等号）， （当且仅当时取等号） 结论：对任意两个正数，都有；上述不等式当且仅当时等号成立．当这两个正数的积为定值（常数）时，可以利用这个结论求两数的和的最小值． 例如：当为正数时，两数和均为正数，且（常数），则有当且仅当即时取等号 当时，有最小值，最小值为4. 利用以上结论完成下列问题： (1)已知为正数，即，则当 时，取到最小值，最小值为 ； (2)当均为正数，即时，求函数的最小值； (3)如图，四边形的对角线相交于点的面积分别是4和9，求四边形面积的最小值． 【答案】(1)1，2 (2)3. (3) 【分析】此题考查了二次根式性质和运算的应用，掌握题目提供的结论是解题的关键． （1）对任意两个正数，都有；上述不等式当且仅当时等号成立．据此即可进行解答； （2）把函数变形为，根据题意进行解答即可； （3）设，则，得到，根据四边形面积，即可得到答案． 【详解】（1）解；当时，， 当且仅当即时取等号 当时，有最小值，最小值为2. 故答案为：1，2 （2）当时，函数， ∵ 当且仅当即，即时取等号， 当时，有最小值，最小值为3. （3）设， 由题意可知，， 则 则， ∴四边形面积， 当且仅当时，等号成立， ∴四边形面积的最小值为． 【变式4-6】“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法． 【已有认识】 （1）既可以从算术平方根的角度理解，也能将其看成是面积为 的正方形的边长； （2）图1、图2是由同一个五边形通过不同的分割法所形成，图1、图2都含有3块全等的直角三角形，已知直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c． ①图1的面积为 ，②图2的面积为 ． ③由此我们可以得到等式： ； 【类比学习】 探究的近似值（精确到0.001） 凯凯：我们已经知道是介于1.4与1.5之间的一个无理数，设．图3是边长为的正方形，观察图3后写下如下过程：，即，由于x较小，可忽略不计，得：，故 仿照凯凯的方法，探究的近似值（精确到0.001），设计出图形并直接写出结果． （数据参考：） ． 【答案】已有认识：（1）2；（2）①，②，③；类比学习： 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，二次根式的应用及整式与几何图形面积的实际应用． 已有认识： （1）根据正方形面积公式，利用算术平方根的定义即可解答； （2）①根据图形用三个直角三角形的面积加上两个正方形的面积即可表示出面积；②用三个直角三角形的面积加上正方形的面积即可表示出面积；③根据两个图形的面积相等，建立等式，根据等式的性质即可解答 类比学习：根据材料设，仿照材料即可解答． 【详解】解：（1）， 也能将其看成是面积为2的正方形的边长； （2）①图1的面积为， ②图2的面积为． ③由此我们可以得到等式：，即； 类比学习： 设， 即， 由于x较小，可忽略不计，得：， ， ，即． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $