专题02 二次根式计算的综合应用（题型专练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 以“题型突破+方法提炼”为主线，系统整合二次根式计算的几何表示、代数变形及大小比较，形成“概念-方法-应用”的完整逻辑链，培养几何直观与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |用数轴表示无理数|1典例+4变式|勾股定理构造直角三角形，三步法作图|无理数几何化表示，衔接实数与数轴一一对应关系| |无理数的整数部分和小数部分|1典例+6变式|夹逼法估算整数部分，小数部分=原数-整数部分|从无理数性质到代数拆分，强化数感与估算能力| |分母有理化|1典例+5变式|单根式型乘分母，共轭根式型用平方差公式|基于最简二次根式定义，培养代数变形的推理意识| |复合二次根式的化简|1典例+4变式|完全平方公式逆向应用，拆分为√(a±2√b)形式|深化公式应用，建立二次根式与完全平方的联系| |实数大小比较|1典例+5变式|估算法、平方法、作差法等五种比较策略|综合运用前序知识，提升问题解决的数学思维|

专题02 二次根式计算的综合应用 （题型突破·举一反三） 题型01 用数轴表示无理数 题型02 无理数的整数部分和小数部分 题型03 分母有理化 题型04 复合二次根式的化简 题型05 实数大小比较 ▌题型01 用数轴表示无理数 1.数轴上的点与实数的关系是：一一对应 2.我们在学习勾股定理时，经常会遇到无理数边上的边，因此，可以通过构造直角三角形，得到无理数长度的边。 3.在数轴上表示无理数的步骤：①通过计算，得到斜边长为的直角三角形；②以数字a为斜边的一个端点，构造直角三角形；③以a为圆心、长为半径画弧，左边交点为，右边交点为。 【典例1】（25-26八年级上·广西防城港·期中）如图，数轴上的点A所表示的数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算出的长，再运用数轴知识求解出此题结果． 【详解】解：由题意可得，， ∴数轴上的点A所表示的数为， 故选：C． 【变式1-1】如图：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（    ）    A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理．熟练掌握勾股定理解直角三角形，数轴上两点之间的距离，实数的运算，是解题的关键． 先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，得到数轴上表示圆弧的半径，再根据两点间的距离公式即可求出A点表示的数． 【详解】∵图中的直角三角形的两直角边为1和2， ∴斜边长为：， ∴点A所表示的数为：． 故选：B． 【变式1-2】（25-26八年级上·湖北黄冈·期中）如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用勾股定理求得数轴上表示的点与点的距离，再利用实数与数轴的关系即可求得答案． 【详解】解：由题意可得数轴上表示的点与点的距离为， 那么点表示的数为， 故选：A． 【变式1-3】（25-26八年级上·重庆渝北·期中）利用勾股定理，可以作出长为无理数的线段．如图，在数轴上找到点A，过点A作直线l垂直于，在l上取点B，以原点O为圆心，以长为半径作弧，那么点C表示的无理数是（　　）    A． B． C．7 D．29 【答案】B 【分析】根据勾股定理，可判定． 【详解】解：由图知，, ∴． ∴； ∵7，29均是有理数 ∴点C表示的无理数只可能是． 故选：B 【变式1-4】（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，把直径为1的圆放到数轴上，圆上一点A与表示1的点重合，圆沿着数轴向右滚动一周，此时点A表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先计算出圆的周长，然后可得答案． 【详解】解：∵圆的直径为1， ∴圆的周长为：， ∵点A与表示1的点重合， ∴圆沿着数轴正方向滚动一周，此时点A表示的数是，故B正确． 故选：B． ▌题型02 无理数的整数部分和小数部分 无理数是无限不循环小数，所以可以拆分为整数部分和小数部分。整数部分可以通过估算得到，然后通过“小数部分=数字-整数部分”的等量关系得到小数部分。 【典例2】下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记． 无理数的估算： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 事实上，我的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分 例如： ∵，即， ∴的整数部分是2，小数部分是 根据以上笔记内容，请完成如下任务． (1)任务一：的小数部分为______． (2)任务二：a为 的小数部分，b为的整数部分，请计算的值． (3)任务三：其中x是整数，且求的相反数． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】本题考查了无理数的估算，相反数，掌握“逐步逼近”的方法是解题的关键． （1）根据“逐步逼近”的方法，结合算术平方根的意义可得答案； （2）根据，可求得a值，根据，可求得b值，代入即可求解； （3）根据，其中x是整数，且可求得，，代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的小数部分为． （2）解：∵，即， ∴的小数部分为，即； ∵，即， ∴的整数部分为3，即； ∴． （3）解：∵ ∴ ∵其中x是整数，且 ∴，， ∴的相反数． 【变式2-1】先阅读下面的文字，然后解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，因为的整数部分是1，差就是小数部分． 由此我们还可以得到一个真命题：如果，其中x是整数，那么， 请解答下列问题： (1)如果，其中是整数， 且，那么 ， ； (2)已知，其中是整数， 且，求的值． 【答案】(1)3，；(2) 【分析】此题考查了估算无理数的大小， 解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题 ． （1） 估算出，可得，依此即可确定出，的值； （2） 根据题意确定出与的值， 代入求出即可 ． 【详解】（1）解：，其中是整数， 且， ， ， ，， 则； （2）解：，其中是整数， 且， ，， 则． 【变式2-2】已知的小数部分是a，的整数部分是b，求的值. 【答案】 【分析】先估算的范围，再估算5+，5-，即可求出a，b的值，代入即可解答； 【详解】∵， ∴，小数部分， ， ∴整数部分是（小数部分是）， ∴； 【变式2-3】已知7+和7﹣的小数部分分别为a、b，试求代数式ab的值． 【答案】代数式ab的值为5﹣11． 【分析】先由4＜5＜9，则2＜＜3把的整数部分找到，再计算出7+和7﹣的小数部分，最后代入求值. 【详解】∵4＜5＜9， ∴2＜＜3． ∴a＝7+﹣9＝﹣2．b＝7﹣﹣4＝3﹣． ∴ab＝（﹣2）（3﹣） ＝3﹣5﹣6+2 ＝5﹣11， 即代数式ab的值为5﹣11． 【变式2-4】请回答下列问题： (1)介于连续的两个整数和之间，且，那么__________，____________． (2)是的小数部分，是的整数部分，求____________，____________． (3)求的立方根． 【答案】(1)2；3；(2)；3；(3)2 【分析】本题考查无理数的估算及立方根的定义，结合已知条件求得对应字母的值是解题的关键． （1）估算出在哪两个连续整数之间即可； （2）结合（1）中所求，估算出，分别在哪两个连续整数之间即可求得，的值； （3）将，的值代入中计算后，根据立方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）， ， 介于连续的两个整数和之间，且， ，， 故答案为：2；3； （2）， ，， 则，， 故答案为：；3； （3）结合（2）可得， 故的立方根为：2． 【变式2-5】（1）采用夹逼法，利用的一系列不足近似值和过剩近似值来估计它的大小的过程如下： 因为， 所以 因为，， 所以 因为， 所以 因为， 所以 因此(精确到百分位)， 使用夹逼法，求出的近似值(精确到百分位)． （2）我们规定用符号表示数的整数部分，例如 ①按此规定 ； ②如果的整数部分是的小数部分是求的值． 【答案】（1）；（2）①5，② 【分析】（1）仿照使用夹逼法求近似值的方法解答即可； （2）①先使用夹逼法确定的范围，然后即可确定的范围，再根据规定解答即可； ②先确定的整数部分a与的小数部分的值，再代入所求式子化简计算即可． 【详解】解：（1）因为， 所以 因为， 所以， 因为， 所以 因为， 所以， 因此． （2）①因为3.12=9.61，3.22=10.24， 所以， 所以， 所以5； 故答案为：5； ②因为， 所以， 所以原式 ． 【变式2-6】阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来来表示的小数部分，小明的表示方法是有道理的，因为，将这个数减去其整数部分，差就是，又例如∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分 ． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，则的值． (3)已知x是的整数部分，y是其小数部分，直接写出的值． 【答案】(1)，；(2)；(3) 【分析】本题考查了估算无理数的大小和求代数式的值，能估算出无理数的大小是解此题的关键． （1）先估算出的范围，再求出即可； （2）先估算出和的范围，再求出、的值，最后求出代数式的值即可； （3）先求出的范围，再求出、的值，最后代入求出即可． 【详解】（1）解： ， ， 的整数部分是3，小数部分是， 故答案为：3，； （2）解： ，， ，， ，， ； （3）解：， ， ， ，， ． ▌题型03 分母有理化 根据最简二次根式的定义，分母中若含有二次根式，则需要进一步化简。 对于型的式子，可以将分数的分子和分母都乘，得到，化为最简二次根式。 对于型的式子，可以利用平方差公式，将分数的分子和分母都乘，得到，化为最简二次根式。 【典例3】在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： 因为；所以， 所以，；所以， 所以． 请你根据小明的分析和解答过程，解决如下问题： (1)化简：（结果的分母中不含根号）； (2)若，求的值 (2)化简． 【答案】(1)；(2)；(3)22 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，代数式求值，对于（1），分子和分母都乘以，再计算化简即可； 对于（2），先化简求出a，进而得出，然后平方化简得，最后整体代入求值即可；（3）根据分母有理化可进行求解． 【详解】（1）； （2）因为，所以， 所以，即，所以， 所以． （3）解： ． 【变式3-1】已知，，求． 【答案】10 【分析】本题考查二次根式的化简求值，正确化简二次根式是解题关键． 先利用分母有理化进行化简，然后再求出和的值，从而利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ， ∴，， ∴ ． 【变式3-2】阅读下列解题过程： …………………………，请回答下列回题： (1)观察上面的解答过程，请写出___________； (2)利用上面的化简方法，请计算： 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化，实数运算有关的规律，正确理解题意得到规律是解题的关键． （1）仿照题意进行分母有理化即可； （2）根据（1）得到规律，据此求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ， ， … ∴可以得到规律， ∴ ． 【变式3-3】大家知道，因式分解是代数中一种重要的恒等变形．应用因式分解的思想方法有时能取得意想不到的效果，如化简： …… (1)从以上化简的结果中找出规律，直接写出用n（n是正整数）表示上面规律的式子． (2)根据以上规律，计算 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式中的规律探究： （1）根据已知等式，得到规律即可； （2）根据规律，裂项相加即可． 【详解】（1）解：由题意，得： （2）原式． 【变式3-4】【阅读材料】 像，（），（），， 两个含有二次模式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：与，与，与，，等都是互为有理化因式，进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 【解决问题】 (1)的有理化因式为______； (2)化简：； (3)如图，中，与的角平分线相交于点，若的周长为，面积为，求点到边的距离； (4)化简：． 【答案】(1)； (2)； (3)点到边的距离为； (4)． 【分析】（）直接利用材料中的定义求解即可； （）先对分母进行有理化，再求解即可； （）先作出点到各边的垂线段，再表示出的面积，求出点到各边的距离即可； （）先对分母进行有理化，然后合并同类二次根式即可； 本题考查了二次根式的有理化运算，角平分线的性质，解题关键是读懂题意，理解有理化因式的概念并能正确运用它解决实际问题． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式为， 故答案为：； （2）解： ， ， ， ； （3）如图，过分别作，，，连接， ∵与的角平分线相交于点， ∴， 设点到边的距离为， ， ， ∴， ∵的周长为，面积为， ∴， 则； （4）解： ， ， ． 【变式3-5】像，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如，与与与等都是互为“有理化因式”．进行二次根式计算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号． (1)化简：①______；②______． (2)计算：． (3)已知，试比较的大小，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2) (3)；理由见解析 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算．熟练掌握分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）①根据，计算求解即可；②根据，计算求解即可； （2）先将括号中的每一项分母有理化，进一步计算求解即可； （3）由题意得，同理：，，则，进而可得． 【详解】（1）①解：， 故答案为：； ②解：， 故答案为：； （2）解： ． （3）解：；理由如下； ∵， ∴， 同理：，， ∴， ∴ ▌题型04 复合二次根式的化简 完全平方公式： 复合二次根式的常见形式为：，我们可以将通过完全平方公式，化为的形式，即可进行化简。其中，，，通过计算，得到a、b的值，即可完成化简。 【典例4】观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方公式的应用；按照题中提供的方法进行化简即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 【变式4-1】计算的值是（　　） A．1 B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式和二次根式的化简，将原式化简为即可求解． 【详解】解：原式 故选：C 【变式4-2】若为的小数部分，为的小数部分，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】将两个根式分别用完全平方公式进行化简，再代入，即可求解，本题考查了完全平方公式，根式的化简，分母有理化。解题的关键是：熟练掌握配方法，化简根式． 【详解】， ， ，整数部分为， ， ， ， ，整数部分为， ， ， 故答案为：． 【变式4-3】数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料：平方运算和开方运算是互逆运算.，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． (1)化简：； (2)已知为常数，，求m的值 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的化简，绝对值的意义，正确转化完全平方式是解题关键． （1）仿照材料，将变形为，即可化简； （2）先根据不等式的性质，得出，，再利用完全平方式将化简求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， ，， ， 。 【变式4-4】设，且x、y、z为有理数．则xyz＝（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知式子两侧平方后，根据x、y、z的对称性，列出对应等式，进而求出x、y、z的值即可求解． 【详解】解：两侧同时平方，得到 ∴ ∴, ， ∴xyz＝， 故选择：A． ▌题型05 实数大小比较 实数比较大小的常见方法： 1.估算法：通过估算两个数字的近似值，进行大小比较 2.平方法：对于不易直接比较大小的数字，可以通过比较二者的平方大小，得到两个数字的大小关系 3.作差法：若a-b>0，则a>b；若a-b<0，则a<b 4.作商法：若，且a，b>0，则a>b；若，且a，b>0，则a<b 5.倒数法：若，且a，b>0，则a<b；若，且a，b>0，则a>b 【典例5】比较下列实数的大小： ， ， 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据算术平方根与立方根进行计算，无理数的大小比较，即可求解． 【详解】解：， ∵ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：，，． 【变式5-1】比较3，，的大小，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，能熟练化简二次根式和三次根式是解题的关键，当二次根式和三次根式无法再化简时，可把整数化成二次根式或者三次根式的形式再做比较.先把3化成二次根式和三次根式的形式，再把3和做比较即可得到答案. 【详解】解：∵ ∴， ， 故， 故答案为：D. 【变式5-2】在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方，，，则， 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，大小，　　　　（填写，或者） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查二次根式比较大小，二次根式的性质和运算，完全平方公式，掌握平方法比较大小，是解题的关键： （1）利用平方法比较大小即可； （2）利用平方法进行比较即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：猜想，理由如下： ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【变式5-3】“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法， 即：； 例如：比较与2的大小． ∵   又∵   则 ∴，∴． 请根据上述方法解答以下问题： (1)比较与的大小． (2)已知，试用“比差法”比较与的大小． 【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）根据“比差法”比较两个数大小即可；（2）根据“比差法”比较得再得到，根据，化简比较即可求解． 【详解】（1）解：， ∴； （2）解： ∵， ∴， ∴． 【变式5-4】阅读下列解题过程，回答问题： (1)化简：______，______； (2)利用上面的规律，比较______（填“”或“”或“”）． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式比较大小： （1）仿照题意求解即可； （2）根据分母有理化的方法得到，，根据，得到，． 【详解】（1）解： ； ， 故答案为：，； （2）解：， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式5-5】比较与的大小 【答案】 【分析】利用倒数法，即可比较出大小． 【详解】解：， ， ， ， ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次根式计算的综合应用 （题型突破·举一反三） 题型01 用数轴表示无理数 题型02 无理数的整数部分和小数部分 题型03 分母有理化 题型04 复合二次根式的化简 题型05 实数大小比较 ▌题型01 用数轴表示无理数 1.数轴上的点与实数的关系是：一一对应 2.我们在学习勾股定理时，经常会遇到无理数边上的边，因此，可以通过构造直角三角形，得到无理数长度的边。 3.在数轴上表示无理数的步骤：①通过计算，得到斜边长为的直角三角形；②以数字a为斜边的一个端点，构造直角三角形；③以a为圆心、长为半径画弧，左边交点为，右边交点为。 【典例1】（25-26八年级上·广西防城港·期中）如图，数轴上的点A所表示的数为（　　）    A． B． C． D． 【变式1-1】如图：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（    ）    A．1 B． C．2 D． 【变式1-2】（25-26八年级上·湖北黄冈·期中）如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（    ）    A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26八年级上·重庆渝北·期中）利用勾股定理，可以作出长为无理数的线段．如图，在数轴上找到点A，过点A作直线l垂直于，在l上取点B，以原点O为圆心，以长为半径作弧，那么点C表示的无理数是（　　）    A． B． C．7 D．29 【变式1-4】（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，把直径为1的圆放到数轴上，圆上一点A与表示1的点重合，圆沿着数轴向右滚动一周，此时点A表示的数是（    ） A． B． C． D． ▌题型02 无理数的整数部分和小数部分 无理数是无限不循环小数，所以可以拆分为整数部分和小数部分。整数部分可以通过估算得到，然后通过“小数部分=数字-整数部分”的等量关系得到小数部分。 【典例2】下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记． 无理数的估算： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 事实上，我的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分 例如： ∵，即， ∴的整数部分是2，小数部分是 根据以上笔记内容，请完成如下任务． (1)任务一：的小数部分为______． (2)任务二：a为 的小数部分，b为的整数部分，请计算的值． (3)任务三：其中x是整数，且求的相反数． 【变式2-1】先阅读下面的文字，然后解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，因为的整数部分是1，差就是小数部分． 由此我们还可以得到一个真命题：如果，其中x是整数，那么， 请解答下列问题： (1)如果，其中是整数， 且，那么 ， ； (2)已知，其中是整数， 且，求的值． 【变式2-2】已知的小数部分是a，的整数部分是b，求的值. 【变式2-3】已知7+和7﹣的小数部分分别为a、b，试求代数式ab的值． 【变式2-4】请回答下列问题： (1)介于连续的两个整数和之间，且，那么__________，____________． (2)是的小数部分，是的整数部分，求____________，____________． (3)求的立方根． 【变式2-5】（1）采用夹逼法，利用的一系列不足近似值和过剩近似值来估计它的大小的过程如下： 因为， 所以 因为，， 所以 因为， 所以 因为， 所以 因此(精确到百分位)， 使用夹逼法，求出的近似值(精确到百分位)． （2）我们规定用符号表示数的整数部分，例如 ①按此规定 ； ②如果的整数部分是的小数部分是求的值． 【变式2-6】阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来来表示的小数部分，小明的表示方法是有道理的，因为，将这个数减去其整数部分，差就是，又例如∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分 ． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，则的值． (3)已知x是的整数部分，y是其小数部分，直接写出的值． ▌题型03 分母有理化 根据最简二次根式的定义，分母中若含有二次根式，则需要进一步化简。 对于型的式子，可以将分数的分子和分母都乘，得到，化为最简二次根式。 对于型的式子，可以利用平方差公式，将分数的分子和分母都乘，得到，化为最简二次根式。 【典例3】在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： 因为；所以， 所以，；所以， 所以． 请你根据小明的分析和解答过程，解决如下问题： (1)化简：（结果的分母中不含根号）； (2)若，求的值 (2)化简． 【变式3-1】已知，，求． 【变式3-2】阅读下列解题过程： …………………………，请回答下列回题： (1)观察上面的解答过程，请写出___________； (2)利用上面的化简方法，请计算： 【变式3-3】大家知道，因式分解是代数中一种重要的恒等变形．应用因式分解的思想方法有时能取得意想不到的效果，如化简： …… (1)从以上化简的结果中找出规律，直接写出用n（n是正整数）表示上面规律的式子． (2)根据以上规律，计算 【变式3-4】【阅读材料】 像，（），（），， 两个含有二次模式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：与，与，与，，等都是互为有理化因式，进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 【解决问题】 (1)的有理化因式为______； (2)化简：； (3)如图，中，与的角平分线相交于点，若的周长为，面积为，求点到边的距离； (4)化简：． 【变式3-5】像，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如，与与与等都是互为“有理化因式”．进行二次根式计算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号． (1)化简：①______；②______． (2)计算：． (3)已知，试比较的大小，并说明理由． ▌题型04 复合二次根式的化简 完全平方公式： 复合二次根式的常见形式为：，我们可以将通过完全平方公式，化为的形式，即可进行化简。其中，，，通过计算，得到a、b的值，即可完成化简。 【典例4】观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简 ． 【变式4-1】计算的值是（　　） A．1 B． C． D．5 【变式4-2】若为的小数部分，为的小数部分，则的值为 ． 【变式4-3】数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料：平方运算和开方运算是互逆运算.，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． (1)化简：； (2)已知为常数，，求m的值 【变式4-4】设，且x、y、z为有理数．则xyz＝（    ） A． B． C． D． ▌题型05 实数大小比较 实数比较大小的常见方法： 1.估算法：通过估算两个数字的近似值，进行大小比较 2.平方法：对于不易直接比较大小的数字，可以通过比较二者的平方大小，得到两个数字的大小关系 3.作差法：若a-b>0，则a>b；若a-b<0，则a<b 4.作商法：若，且a，b>0，则a>b；若，且a，b>0，则a<b 5.倒数法：若，且a，b>0，则a<b；若，且a，b>0，则a>b 【典例5】比较下列实数的大小： ， ， 【变式5-1】比较3，，的大小，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法， 即：； 例如：比较与2的大小． ∵   又∵   则 ∴，∴． 请根据上述方法解答以下问题： (1)比较与的大小． (2)已知，试用“比差法”比较与的大小． 【变式5-4】阅读下列解题过程，回答问题： (1)化简：______，______； (2)利用上面的规律，比较______（填“”或“”或“”）． 【变式5-5】比较与的大小 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次根式计算的综合应用 （题型突破·举一反三） ▌题型01 用数轴表示无理数 【典例1】 【答案】C 【分析】先计算出的长，再运用数轴知识求解出此题结果． 【详解】解：由题意可得，， ∴数轴上的点A所表示的数为， 故选：C． 【变式1-1】 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理．熟练掌握勾股定理解直角三角形，数轴上两点之间的距离，实数的运算，是解题的关键． 先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，得到数轴上表示圆弧的半径，再根据两点间的距离公式即可求出A点表示的数． 【详解】∵图中的直角三角形的两直角边为1和2， ∴斜边长为：， ∴点A所表示的数为：． 故选：B． 【变式1-2】 【答案】A 【分析】利用勾股定理求得数轴上表示的点与点的距离，再利用实数与数轴的关系即可求得答案． 【详解】解：由题意可得数轴上表示的点与点的距离为， 那么点表示的数为， 故选：A． 【变式1-3】 【答案】B 【分析】根据勾股定理，可判定． 【详解】解：由图知，, ∴． ∴； ∵7，29均是有理数 ∴点C表示的无理数只可能是． 故选：B 【变式1-4】 【答案】B 【分析】首先计算出圆的周长，然后可得答案． 【详解】解：∵圆的直径为1， ∴圆的周长为：， ∵点A与表示1的点重合， ∴圆沿着数轴正方向滚动一周，此时点A表示的数是，故B正确． 故选：B． ▌题型02 无理数的整数部分和小数部分 【典例2】 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】本题考查了无理数的估算，相反数，掌握“逐步逼近”的方法是解题的关键． （1）根据“逐步逼近”的方法，结合算术平方根的意义可得答案； （2）根据，可求得a值，根据，可求得b值，代入即可求解； （3）根据，其中x是整数，且可求得，，代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的小数部分为． （2）解：∵，即， ∴的小数部分为，即； ∵，即， ∴的整数部分为3，即； ∴． （3）解：∵ ∴ ∵其中x是整数，且 ∴，， ∴的相反数． 【变式2-1】 【答案】(1)3，；(2) 【分析】此题考查了估算无理数的大小， 解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题 ． （1） 估算出，可得，依此即可确定出，的值； （2） 根据题意确定出与的值， 代入求出即可 ． 【详解】（1）解：，其中是整数， 且， ， ， ，， 则； （2）解：，其中是整数， 且， ，， 则． 【变式2-2】 【答案】 【分析】先估算的范围，再估算5+，5-，即可求出a，b的值，代入即可解答； 【详解】∵， ∴，小数部分， ， ∴整数部分是（小数部分是）， ∴； 【变式2-3】 【答案】代数式ab的值为5﹣11． 【分析】先由4＜5＜9，则2＜＜3把的整数部分找到，再计算出7+和7﹣的小数部分，最后代入求值. 【详解】∵4＜5＜9， ∴2＜＜3． ∴a＝7+﹣9＝﹣2．b＝7﹣﹣4＝3﹣． ∴ab＝（﹣2）（3﹣） ＝3﹣5﹣6+2 ＝5﹣11， 即代数式ab的值为5﹣11． 【变式2-4】 【答案】(1)2；3；(2)；3；(3)2 【分析】本题考查无理数的估算及立方根的定义，结合已知条件求得对应字母的值是解题的关键． （1）估算出在哪两个连续整数之间即可； （2）结合（1）中所求，估算出，分别在哪两个连续整数之间即可求得，的值； （3）将，的值代入中计算后，根据立方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）， ， 介于连续的两个整数和之间，且， ，， 故答案为：2；3； （2）， ，， 则，， 故答案为：；3； （3）结合（2）可得， 故的立方根为：2． 【变式2-5】 【答案】（1）；（2）①5，② 【分析】（1）仿照使用夹逼法求近似值的方法解答即可； （2）①先使用夹逼法确定的范围，然后即可确定的范围，再根据规定解答即可； ②先确定的整数部分a与的小数部分的值，再代入所求式子化简计算即可． 【详解】解：（1）因为， 所以 因为， 所以， 因为， 所以 因为， 所以， 因此． （2）①因为3.12=9.61，3.22=10.24， 所以， 所以， 所以5； 故答案为：5； ②因为， 所以， 所以原式 ． 【变式2-6】 【答案】(1)，；(2)；(3) 【分析】本题考查了估算无理数的大小和求代数式的值，能估算出无理数的大小是解此题的关键． （1）先估算出的范围，再求出即可； （2）先估算出和的范围，再求出、的值，最后求出代数式的值即可； （3）先求出的范围，再求出、的值，最后代入求出即可． 【详解】（1）解： ， ， 的整数部分是3，小数部分是， 故答案为：3，； （2）解： ，， ，， ，， ； （3）解：， ， ， ，， ． ▌题型03 分母有理化 【典例3】 【答案】(1)；(2)；(3)22 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，代数式求值，对于（1），分子和分母都乘以，再计算化简即可； 对于（2），先化简求出a，进而得出，然后平方化简得，最后整体代入求值即可；（3）根据分母有理化可进行求解． 【详解】（1）； （2）因为，所以， 所以，即，所以， 所以． （3）解： ． 【变式3-1】 【答案】10 【分析】本题考查二次根式的化简求值，正确化简二次根式是解题关键． 先利用分母有理化进行化简，然后再求出和的值，从而利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ， ∴，， ∴ ． 【变式3-2】 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化，实数运算有关的规律，正确理解题意得到规律是解题的关键． （1）仿照题意进行分母有理化即可； （2）根据（1）得到规律，据此求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ， ， … ∴可以得到规律， ∴ ． 【变式3-3】 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式中的规律探究： （1）根据已知等式，得到规律即可； （2）根据规律，裂项相加即可． 【详解】（1）解：由题意，得： （2）原式． 【变式3-4】 【答案】(1)； (2)； (3)点到边的距离为； (4)． 【分析】（）直接利用材料中的定义求解即可； （）先对分母进行有理化，再求解即可； （）先作出点到各边的垂线段，再表示出的面积，求出点到各边的距离即可； （）先对分母进行有理化，然后合并同类二次根式即可； 本题考查了二次根式的有理化运算，角平分线的性质，解题关键是读懂题意，理解有理化因式的概念并能正确运用它解决实际问题． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式为， 故答案为：； （2）解： ， ， ， ； （3）如图，过分别作，，，连接， ∵与的角平分线相交于点， ∴， 设点到边的距离为， ， ， ∴， ∵的周长为，面积为， ∴， 则； （4）解： ， ， ． 【变式3-5】 【答案】(1)①；② (2) (3)；理由见解析 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算．熟练掌握分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）①根据，计算求解即可；②根据，计算求解即可； （2）先将括号中的每一项分母有理化，进一步计算求解即可； （3）由题意得，同理：，，则，进而可得． 【详解】（1）①解：， 故答案为：； ②解：， 故答案为：； （2）解： ． （3）解：；理由如下； ∵， ∴， 同理：，， ∴， ∴ ▌题型04 复合二次根式的化简 【典例4】 【答案】/ 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方公式的应用；按照题中提供的方法进行化简即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 【变式4-1】 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式和二次根式的化简，将原式化简为即可求解． 【详解】解：原式 故选：C 【变式4-2】 【答案】/ 【分析】将两个根式分别用完全平方公式进行化简，再代入，即可求解，本题考查了完全平方公式，根式的化简，分母有理化。解题的关键是：熟练掌握配方法，化简根式． 【详解】， ， ，整数部分为， ， ， ， ，整数部分为， ， ， 故答案为：． 【变式4-3】 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的化简，绝对值的意义，正确转化完全平方式是解题关键． （1）仿照材料，将变形为，即可化简； （2）先根据不等式的性质，得出，，再利用完全平方式将化简求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， ，， ， 。 【变式4-4】 【答案】A 【分析】将已知式子两侧平方后，根据x、y、z的对称性，列出对应等式，进而求出x、y、z的值即可求解． 【详解】解：两侧同时平方，得到 ∴ ∴, ， ∴xyz＝， 故选择：A． ▌题型05 实数大小比较 【典例5】 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据算术平方根与立方根进行计算，无理数的大小比较，即可求解． 【详解】解：， ∵ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：，，． 【变式5-1】 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，能熟练化简二次根式和三次根式是解题的关键，当二次根式和三次根式无法再化简时，可把整数化成二次根式或者三次根式的形式再做比较.先把3化成二次根式和三次根式的形式，再把3和做比较即可得到答案. 【详解】解：∵ ∴， ， 故， 故答案为：D. 【变式5-2】 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查二次根式比较大小，二次根式的性质和运算，完全平方公式，掌握平方法比较大小，是解题的关键： （1）利用平方法比较大小即可； （2）利用平方法进行比较即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：猜想，理由如下： ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【变式5-3】 【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）根据“比差法”比较两个数大小即可；（2）根据“比差法”比较得再得到，根据，化简比较即可求解． 【详解】（1）解：， ∴； （2）解： ∵， ∴， ∴． 【变式5-4】 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式比较大小： （1）仿照题意求解即可； （2）根据分母有理化的方法得到，，根据，得到，． 【详解】（1）解： ； ， 故答案为：，； （2）解：， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式5-5】 【答案】 【分析】利用倒数法，即可比较出大小． 【详解】解：， ， ， ， ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $