2.3二次根式（八大题型）2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦二次根式概念、性质与运算，通过八类题型系统提炼参数求解、隐含条件分析、复合化简等方法，形成从概念到运算的递进逻辑。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求二次根式的值|3题|直接代入与整体代换|概念应用基础| |求参数|3题（含阅读题）|因数分解与有理化|性质延伸应用| |有意义条件|3题（含解题过程）|隐含条件挖掘|概念核心要素| |性质化简|3题（含辨析题）|绝对值性质应用|性质理解深化| |复合化简|3题（含方法示例）|配方与拆分技巧|性质综合运用| |乘法|3题（含应用题）|法则应用与结果整数化|运算基础| |除法|3题|法则与分母有理化|运算深化| |乘除混合|3题（含求值题）|运算顺序与化简技巧|运算综合|

2.3 二次根式 题型一 求二次根式的值 1．要使二次根式的值是有理数，则的值可以是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．当时，二次根式的值为______． 3．若求的值． 题型二 求二次根式中的参数 4．若是整数，则正整数n的最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．已知是整数，则正整数的最小值为____________． 6．阅读材料并解决下列问题： 已知a、b是有理数，并且满足等式5﹣﹣a，求a、b的值． 解：∵5﹣﹣a 即5﹣ ∴2b﹣a＝5，﹣a＝ 解得：a＝﹣ （1）已知a、b是有理数，并且满足等式﹣1，则a＝　 　，b＝　 　． （2）已知x、y是有理数，并且满足等式x+x+18，求xy的平方根． 题型三 二次根式有意义的条件 7．式子有意义，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．要使二次根式有意义，则的取值范围是________． 9．阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件，解得：， ， 原式． 【启发应用】 (1)按照上面的解法，试化简； 【类比迁移】 (2)实数，在数轴上的位置如图所示，化简：． 题型四 利用二次根式的性质化简 10．下列计算，正确的是（    ） A． B． C． D． 11．化简：________． 12．已知当时，求的值．甲、乙两人的解答如下： 甲：原式； 乙：原式． (1)______的解答是错误的； (2)若，求的值． 题型五 复合二次根式的化简 13．已知，则（   ） A． B． C． D．2a 14．计算：_______． 15．阅读与思考： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使得，， 这样，， 那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，， ． 仿照上面的例题，解决下列问题． (1)； (2)． 题型六 二次根式的乘法 16．若的计算结果为整数，则a的值可以是（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 17．计算___________． 18．如图，某小区内有一个长方形广场，广场长为米，宽米，中间有两块大小相同的小长方形绿地（涂色部分），每块小长方形绿地的长为米，宽为米． (1)求广场的周长． (2)除绿地部分，广场其他部分都要铺地砖，已知铺地砖的费用每平方米50元，求这个广场铺地砖的费用． 题型七 二次根式的除法 19．计算：（     ） A． B． C． D． 20．计算的结果等于______． 21．计算： (1) (2) 题型八 二次根式的乘除混合运算 22．计算：的值为（   ） A． B． C． D． 23．计算：________． 24．先化简，再求值：，其中：，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 二次根式 题型一 求二次根式的值 1．要使二次根式的值是有理数，则的值可以是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】将各选项的x依次代入计算，判断开方结果是否为有理数即可得到答案． 【详解】解：将各选项x的值分别代入计算判断： ∵当时， ，，3是有理数，符合要求； 当时，，是无理数，不符合要求； 当时，，是无理数，不符合要求； 当时，，是无理数，不符合要求． 2．当时，二次根式的值为______． 【答案】 【分析】将代入给定的二次根式，根据二次根式的运算规则计算即可得到结果． 【详解】解：把代入， 得． 3．若求的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数性质以及二次根式，正确得出，的值是解题关键．直接利用算术平方根和偶次方的非负数性质得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：， ， 解得， ． 题型二 求二次根式中的参数 4．若是整数，则正整数n的最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】解题思路为先分解质因数化简二次根式，根据二次根式为整数的条件，即被开方数需为完全平方数，即可求出最小正整数n，用到二次根式的化简性质 【详解】解：先对进行变形化简： ∵ ∴ ∵ 是整数，是正整数 ∴ 必须是整数，即为完全平方数 ∴ 正整数的最小值为 5．已知是整数，则正整数的最小值为____________． 【答案】4 【详解】解：是正整数，是整数， 是完全平方数， ∵大于的最小完全平方数是， ∴， 解得． 6．阅读材料并解决下列问题： 已知a、b是有理数，并且满足等式5﹣﹣a，求a、b的值． 解：∵5﹣﹣a 即5﹣ ∴2b﹣a＝5，﹣a＝ 解得：a＝﹣ （1）已知a、b是有理数，并且满足等式﹣1，则a＝　 　，b＝　 　． （2）已知x、y是有理数，并且满足等式x+x+18，求xy的平方根． 【答案】（1）4，1；（2） 【分析】（1）利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程即可． （2）先将等式变形，再利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程得到x和y，再求xy的平方根． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴b=1，a-b=3， ∴a=4； （2）， ∴， ∴， 解得：， ∴xy=16， ∴xy的平方根为±． 题型三 二次根式有意义的条件 7．式子有意义，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵二次根式有意义，要求被开方数为非负数 ∴ 解不等式得． 8．要使二次根式有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：． 9．阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件，解得：， ， 原式． 【启发应用】 (1)按照上面的解法，试化简； 【类比迁移】 (2)实数，在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）先根据题意得到，据此化简二次根式即可； （2）先根据数轴得到，，据此化简二次根式和绝对值即可． 【详解】（1）解：∵有意义， ∴，即， ∴ ； （2）解：由题意得，， ∴， ∴ ． 题型四 利用二次根式的性质化简 10．下列计算，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：，与不是同类二次根式，不能合并，A错误． 选项B：，B错误． 选项C：，C错误． 选项D：，，计算正确，D正确． 11．化简：________． 【答案】 【详解】解：． 12．已知当时，求的值．甲、乙两人的解答如下： 甲：原式； 乙：原式． (1)______的解答是错误的； (2)若，求的值． 【答案】(1)乙 (2) 【分析】（1）利用二次根式的性质，化简求值即可得到答案； （2）利用二次根式的性质化简求值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ， ∴乙的解答在去绝对值时，没有判断的正负情况，是错误的． （2）解：∵， ∴， ∴ ． 题型五 复合二次根式的化简 13．已知，则（   ） A． B． C． D．2a 【答案】C 【分析】本题考查复合二次根式的化简，完全平方公式，令，得出，代入原式得，解得，得出，进而可得出答案 【详解】解：令， ∴， ∴， ∴， 移项，两边平方得， 解得：， ∴， ∴， 故选：C 14．计算：_______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ． 15．阅读与思考： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使得，， 这样，， 那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，， ． 仿照上面的例题，解决下列问题． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，根据，结合例题化简二次根式即可； （2）把所求式子变形为，令，根据结合例题化简二次根式即可． 【详解】（1）解：令， ∵，，， ∴； （2）解：， 令， ∵，，， ∴． 题型六 二次根式的乘法 16．若的计算结果为整数，则a的值可以是（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【分析】求出计算结果为，则为整数，即是完全平方数，据此解答即可． 【详解】解：由题意得：， ， ∵的计算结果为整数， ∴为整数，即是完全平方数， 观察四个选项可知，只有当时，，符合题意． 17．计算___________． 【答案】 【分析】根据二次根式乘法法则计算即可得出答案． 【详解】解： ． 18．如图，某小区内有一个长方形广场，广场长为米，宽米，中间有两块大小相同的小长方形绿地（涂色部分），每块小长方形绿地的长为米，宽为米． (1)求广场的周长． (2)除绿地部分，广场其他部分都要铺地砖，已知铺地砖的费用每平方米50元，求这个广场铺地砖的费用． 【答案】(1)米 (2)元 【分析】（1）长方形周长（长宽），据此计算即可； （2）用广场面积减去两块绿地面积可得出需要铺地砖的面积，再乘以每平方米铺地砖的费用即可． 【详解】（1）解：周长米． （2）解：广场面积：平方米， 两块绿地面积：平方米， 需要铺地砖的面积：平方米， 费用：元， 答：这个广场铺地砖的费用为17750元． 题型七 二次根式的除法 19．计算：（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 20．计算的结果等于______． 【答案】 【详解】解：． 21．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的加减运算进行计算即可； （2）根据平方差公式以及二次根式的除法进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式   ． 题型八 二次根式的乘除混合运算 22．计算：的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：原式为同级运算，从左到右依次计算， ∵， ∴ 原式． 23．计算：________． 【答案】 【详解】解：． 24．先化简，再求值：，其中：，． 【答案】 ， 【分析】先对括号内式子通分，再将除法转化为乘法，利用平方差公式化简后，代入、的值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，代入得： 原式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $