第02讲 有理数与数轴 讲义 2026—2027学年人教版数学七年级上册

本初中数学讲义聚焦有理数与数轴核心知识点，先阐释有理数“可写成分数形式”的本质概念及按整分、性质符号的分类方法，再构建数轴三要素（原点、正方向、单位长度）及点与有理数对应关系的知识支架，形成从数到形的认知递进。 资料亮点在于回归概念本质，通过对比新旧教材强化理解，结合即刻训练、热点题型（如数轴两点距离、动点问题）培养抽象能力与几何直观，中考真题与同步检测助力课中教学实施和课后学生查漏补缺，提升知识应用能力。

人教版（2024）七年级上册 第02讲 有理数及其比较大小——有理数和数轴 学习目标 课标标准：理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数 素养目标：能抽象出数轴的概念（抽象能力） 重难点：理解有理数的概念并进行分类；掌握有理数和数轴上点的对应关系 知 识 点 睛 1 有理数 1、有理数的概念 可以写成分数形式的数叫做有理数（rational number）。 与旧版教材区别：整数和分数统称为有理数。新版教材的有理数概念更回归本质，其英文解释为rational，翻译为比例、比例，新概念更符合。另外有限小数和无限循环小数都可以化为分数，整数也可以写成分母为1的分数形式。 2、有理数的分类 按有理数的整分分类 按有理数的性质符号分类正整数 有理数 0 整数 正整数 正分数 负整数 有理数 负分数 分数 正分数 负整数 负分数 负有理数 0 正有理数 几个常见表述：非负数（正数和0）；非正数（负数和0）；非负整数（正整数和0）；非正整数（负整数和0） 一个新概念——集合：满足一定条件的数放在一起组成集合。 注意：分类原则不重合、不遗漏、标准统一 即刻训练：下列各数：，其中有理数有（ ）个． 答案：根据题意可知只有是无理数，都是有理数，共有5个． 考查了有理数定义义，合理选出即可 2 数轴 1、数轴的概念 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。 原点将数轴（除原点）分成两个部分，其中正方向一侧的部分叫做数轴的正半轴，另一侧的部分叫做数轴的负半轴。 2、数轴的三要素 原点（origin 起源）是数轴的基准点；正方向；单位长度。 3、数轴的画法 （1）画直线；（2）取原点；（3）定正方向；（4）选取合适的单位长度 4、数轴上的点与有理数的对应（数形结合） （1）有理数可以用数轴上的点来表示 （2）一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是a个单位长度；表示数−a的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是a个单位长度。数轴上与原点距离是a个单位长度的点，简称为数轴上与原点的距离是a的点 注意：数轴学习过后会出现多解问题 拓展：动点初步 数轴上两点间距离为；数轴上两点的中点表示数为 ；数轴上的移动，向右加法，向左减法 即刻训练：如图，在数轴上，被遮挡住的点表示的数可能是（ ） 答案：由图可知，被挡住部分处于﹣1和0之间，由选项可知被遮挡住的点表示的数可能是﹣0.5，考查了数轴及有理数与数轴上的点的对应关系 热 点 题 型 归 纳 （有理数的定义） 【例1】下列说法：①0既不是正数也不是负数；②整数包括正整数和负整数；③正数和负数统称有理数；④0是最小的整数；⑤负分数是有理数．其中正确的有（ ） 答案：，由0既不是正数也不是负数，整数分为正整数，负整数和0，有理数分为整数和分数，有理数也分为正有理数，负有理数和0可得正确的有①⑤ 考查了有理数的分类 （数轴与点的对应） 【例2】如图，数轴上吉祥物“骥骥”盖住的点表示的数可能是（　　） 答案：，观察数轴即可得到答案，本题考查考查了数轴上的点表示有理数 （数轴上两点之间的距离） 【例3】数轴上A、B两点间的距离为4，若点A表示的数是﹣3，则点B表示的数是（　　） 答案：，数轴上A、B两点间的距离为4，若点A表示的数是﹣3，则点B表示的数是﹣7或1， 考查数轴上点之间的距离，解题的关键是掌握数轴上两点之间距离的计算公式 （数轴上点的移动）难 【例4】如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100． （1）请写出与A、B两点距离相等的点M所对应的数； （2）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？ （3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度？ 答案：（1）M点对应的数是 （2）A，B之间的距离为120，它们的相遇时间是（秒）， 即相同时间Q点运动路程为：（个单位），即从数﹣20向右运动48个单位到数28； （3）相遇前：（秒），相遇后：（秒） 故当它们运动50秒或70秒时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度． 考查的是数轴上点的运动，还有相遇问题与追及问题．注意用到公式路程＝速度×时间 中 考 真 题 1.（2025•吉林）如图，点A表示的数是1．若将点A向左移动3个单位长度得到点，则点表示的数为（　　） 答案：，考查数轴上点的移动 同 步 检 测 一．选择题 1．如图，a，b，a+b在数轴上的对应点分别是A，B，P，则a﹣b在数轴上的对应点位于（　　） A．点P左边 B．点P，A之间 C．点A，B之间 D．点B右边 2．下列各数与3在数轴上表示的点到原点的距离相等的是（　　） A．﹣2 B．﹣3 C．0 D． 3．用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（　　） A．1 B．﹣2 C．3 D．﹣3 二．填空题 4．把下列各数填入相应的大括号里． 5，﹣1，0，，﹣6，﹣1.3，． 正数集合：{ 　 　 …}． 整数集合：{ 　 　 …}． 负分数集合：{ 　 　 …}． 5．在数轴上，到原点的距离等于2.7个单位长度的点表示的有理数是 　 　 ． 6．数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为﹣2，则点A与点B的距离是　 　 ． 7．数轴上A，B两点对应的数分别是﹣1.3和，则A，B之间的整数有　 　 个． 8．数轴上有A、B两点，点B在点A的右侧，且AB＝3．若点A表示的数为﹣1，则B点所表示的数是　 　 ． 三．解答题 9．如图所示，将一串有理数按下列规律排列，解答下列问题． （1）在A处的数是正数还是负数？ （2）负数排在A，B，C，D中的什么位置？ （3）第2025个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的什么位置？ 10．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． 请回答：数轴上点B表示的数是 　　 ，点P表示的数是 　 （用含t的代数式表示）； 答 案 解 析 1． 考查了数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征 2． 考查数轴上点的位置 3． 考查了数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征 4．正数集合：{5，}；整数集合：{5，﹣1，0，﹣6…}；负分数集合：{﹣1.3，}； 考查了有理数的分类，解题的关键是熟练掌握正数、整数和负分数的定义 5．±2.7． 考查了数轴上点的分布． 6．解：4﹣（﹣2）＝6，所以点A与点B的距离是6．故答案为：6． 考查数轴上两点间距离 7．解：A，B之间的整数有﹣1，0，1，2，3共计5个． 考查数轴上点的特征 8．解：由题知，因为点A表示的数为﹣1，点B在点A右侧，且AB＝3， 则﹣1+3＝2，所以点B表示的数为2． 考查了数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征 9．解：（1）数字的排列规律，向上的↑的箭头所指的数是正数，箭尾所指的数是负数，A在向上的↑的箭头所指的位置上，故为正数， （2）向上的↑的箭头所指的数是正数，箭尾所指的数是负数，向下的↓的箭头所指的数是正数，箭尾所指的数是负数，故负数排在B和D的位置． （3）有图可观察4个数为一个循环2025÷4=506余1，所以完成506个循环后，一定排在B的位置． 考查了数字的规律，有理数的运算，熟练掌握规律 10．解：（1）因为数轴上点A表示的数为6，所以OA＝6，则OB＝AB﹣OA＝4， 点B在原点左边，所以数轴上点B所表示的数为﹣4； 点P运动t秒的长度为6t， 因为动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， 所以P所表示的数为：6﹣6t； 考查的知识点是两点间的距离及数轴上点的移动 23 学科网（北京）股份有限公司 $