精品解析：河北沧州市沧县中学2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题

高一数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章到第九章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. 5i B. 8 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以的虚部为5. 2. 已知向量，，，则（ ） A. 3 B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【详解】因为，， 所以，所以. 3. 若甲、乙、丙、丁、戊五组数据（每组均含200个数据）的方差分别为42，39，51，45，37，则（ ） A. 乙组数据的波动最小，丙组数据的波动最大 B. 戊组数据的波动最小，甲组数据的波动最大 C. 丙组数据的波动最小，戊组数据的波动最大 D. 戊组数据的波动最小，丙组数据的波动最大 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差的性质分析各选项. 【详解】因为，所以戊组数据的方差最小，丙组数据的方差最大， 故戊组数据的波动最小，丙组数据的波动最大 4. 已知，，，是四个不同的平面，，，且，将空间分成个不同的部分，，将空间分成个不同的部分，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由平面的位置关系即可求解. 【详解】因为，所以，将空间分成3个不同的部分，因为，所以，将空间分成4个不同的部分，故，. 5. 为了测量某大楼的高度，某社会实践小组选取与点在同一水平面的，两点作为测量点，测得米，，，在处测得楼顶的仰角为45°，则该大楼的高度约为（ ） A. 83米 B. 85米 C. 87米 D. 89米 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得， 由正弦定理得， 代入数据，解得米， 因为在处测得楼顶的仰角为45°，所以， 则米，故该大楼的高度约为85米. 6. 若球被一个平面截得的截面圆的面积为，且球心到该平面的距离为，设为球的球面上的动点，为截面圆圆周上的动点，则，两点间距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设截面圆的半径为，球的半径为，则，解得， 所以， 故，两点间距离的最大值为. 7. 如图，四边形与均为矩形，，，将矩形沿边翻折，使得二面角为60°，则翻折后点到平面的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理证明翻折后平面，则即为所求点到平面的距离. 【详解】如图， 翻折前，，， 翻折后，，，则为二面角的平面角，即. 因为平面，且，所以平面， 又，所以平面. 因为平面，所以. 因为，， 所以由余弦定理得， 则，所以， 又平面，，所以平面， 故翻折后点到平面的距离为. 8. 若数据的方差为15，数据的方差为10，则数据，的方差的最小值为（ ） A. 10 B. 12 C. 13 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数、方差公式，并结合已知表示出新数据的平均数以及方差，再求新数据方差的最小值. 【详解】设的平均数为，的平均数为，总体的平均数为，总体的方差为， 则， ， 当且仅当时，等号成立. 所以数据，的方差的最小值为12. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组样本数据为9，9，9，10，10，11，12，12，13，15，则（ ） A. 该组样本数据的众数为9 B. 该组样本数据的中位数为11 C. 该组样本数据的平均数为11 D. 该组样本数据的第35百分位数为10 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据众数、中位数、平均数和百分位数的定义和计算公式计算即可. 【详解】样本数据的众数为9，中位数为， 平均数为，A，C均正确，B错误. 因为，所以该组样本数据的第35百分位数为10，D正确. 10. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 在复平面内对应的点位于第二象限 【答案】BD 【解析】 【详解】因为，， 所以，，则，， 在复平面内对应的点位于第二象限，A错误，B，D均正确. ，C错误. 11. 如图，正三棱柱的每条棱的长度均为为棱的中点，底面，点在平面的上方，且，则（ ） A. 平面平面 B. 四面体外接球的表面积为 C. 直线与直线相交 D. 四面体与正三棱柱的公共部分的体积为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理证明线面垂直，进而证明面面垂直，判断A；因为四面体是侧棱垂直于底面，且底面为直角三角形的三棱锥，所以可根据对应的模型求得外接球半径，从而求得外接球表面积，以判断B；用反法思想证明直线与直线不相交，以判断C；四面体与正三棱柱的公共部分为棱台，可用三棱锥相似及四面体与求得公共部分体积，判断D. 【详解】对于A，正中，因为为棱的中点，所以，. 因为正三棱柱中，侧棱平面，平面，所以. 平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面.所以A正确. 对于B，四面体中，底面. 因为，所以是直角三角形，所以其外接圆半径为. 所以四面体的外接球半径. 所以四面体外接球的表面积为.所以B正确. 对于C，因为侧棱平面，底面，所以平行于. 因为平面，平面，所以平面. 所以平面平面. 若直线与直线相交，记交点为M，则，又，直线与直线有两个公共点， 所以重合，显然不成立，所以直线与直线不相交.所以C错误. 对于D，如图，记，连接，交于点H. 连接，交于点G，连接. 四面体与正三棱柱的公共部分为三棱台. 因为. 所以. 所以. 四面体与正三棱柱的公共部分的体积为.故D错误. 故选：AB. 12. 某实验室研发超导量子芯片、硅基自旋量子芯片、光量子芯片这三类芯片，其数量之比为.现按芯片类型进行分层，通过分层随机抽样的方法抽取容量为40的样本进行性能稳定性测试，则样本中超导量子芯片与光量子芯片的数量之差为______. 【答案】12 【解析】 【详解】样本中超导量子芯片、光量子芯片的数量分别为，， 则样本中超导量子芯片与光量子芯片的数量之差为. 13. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，将该平面图形绕边旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的体积为______. 【答案】 【解析】 【详解】因为，，， 所以， 所以， 由，得， 所以平面图形绕边旋转一周得到的旋转体为圆台， 其体积. 14. 在中，，，，分别是，上的点，且，，，且，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】用，表示出和后，通过数量积表示出并求解不等式最值. 【详解】因为，， ， 因为，所以，则， 当，时，取得最小值，且最小值为， 故的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，是圆柱下底面圆的两条直径，，均为圆柱的母线，. （1）求该圆柱的侧面积； （2）证明：平面. 【答案】（1） （2）证明：连接.因为，均为圆柱的母线，所以， 又平面，平面，所以平面. 连接，.因为，是圆的两条直径，所以，，所以四边形是平行四边形， 所以， 又平面，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面平面. 又平面，所以平面. 【解析】 【分析】（1）根据圆柱侧面积公式计算即可. （2）连接，先证明平面，然后证明平面平面，进而得出结论. 【小问1详解】 解：因为，所以该圆柱的高为2，底面半径为1， 则该圆柱的侧面积为. 【小问2详解】 略 16. 已知为中边上的点，且. （1）证明：. （2）若，且在上的投影向量等于，求与的夹角. 【答案】（1）证明：因为， 所以， 所以， 即，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的线性运算进行证明. （2）利用投影向量的概念先求得，再求与的夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图， 在上的投影向量为， 由（1）知， 所以， 即，即， 又，所以，即， 所以，又，所以， 所以， 所以与的夹角为. 17. 为了解居民用水情况，某市水务部门随机调查了1000户居民的月用水量（单位：吨），发现这些数据均分布在区间内，现对这1000个数据进行整理，并据此绘制频率分布直方图. （1）求图中的值； （2）为促进节约用水，该水务部门将对居民用水价格进行调整，拟确定一个用水量临界值，使得80%的居民月用水量不超过该值，求该临界值（单位：吨，结果精确到小数点后一位）； （3）已知该市有20万户居民，若每组的数据用该组区间的中点值作代表，试估计该市居民月用水的总量. 【答案】（1） （2）24.3吨 （3）万吨 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1列式求的值. （2）利用频率分布直方图估计第80百分位数即可. （3）根据频率分布直方图估算平均值，再计算用水总量. 【小问1详解】 因为，所以. 【小问2详解】 设该临界值为吨.因为前3组的频率之和为0.5，前4组的频率之和为0.85， 所以. 由， 得，即该临界值为24.3吨. 【小问3详解】 这1000户居民的月用水量的平均值的估计值为 ， 所以估计该市居民月用水的总量为万吨. 18. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角的大小； （2）若的面积为，且，求的周长； （3）若，在边上，是的角平分线，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，进而求角. （2）根据余弦定理结合三角形的面积公式可求三角形的周长. （3）利用三角形的面积公式可得与的关系，再结合基本不等式可求的最大值. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得，， 所以， 因为，所以， 又，所以. 【小问2详解】 因为，所以， 由余弦定理，得，即， 又因为，所以， 所以的周长为. 【小问3详解】 因为是的角平分线，所以， 由，得， 又，所以， 所以. 因为， 当且仅当时，等号成立， 所以，故的最大值为. 19. 如图，在四棱锥中，底面，，，且. （1）若平面，证明：. （2）设平面平面. （ⅰ）证明：. （ⅱ）若，求二面角的正弦值的取值范围. 【答案】（1）因为底面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面. 因为平面，平面，平面平面，所以. 所以平面，因为平面，所以. （2）（ⅰ）证明：如图1，过点作，垂足为， 因为平面平面，平面平面，所以平面. 因为平面，所以. 又因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面. 因为平面，所以. （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）先证线面垂直，再利用线面垂直的定义证明线线垂直. （2）（ⅰ）根据面面垂直的性质定理证明线面垂直，进而证明平面，再根据线面垂直的定义得到线线垂直. （ⅱ）构造二面角的平面角，结合三角形的边角关系求二面角的正弦值的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）如图2，过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接. 因为平面，平面，所以，因为，所以平面， 因为平面，所以，又，，所以平面，因为平面，所以， 所以为二面角的平面角. 由（ⅰ）知，所以，设（）， 则，所以. ，，， 则. 又，所以随着的增大而增大， 当时，， 当时，， 所以二面角的正弦值的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章到第九章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. 5i B. 8 C. D. 5 2. 已知向量，，，则（ ） A. 3 B. C. D. 6 3. 若甲、乙、丙、丁、戊五组数据（每组均含200个数据）的方差分别为42，39，51，45，37，则（ ） A. 乙组数据的波动最小，丙组数据的波动最大 B. 戊组数据的波动最小，甲组数据的波动最大 C. 丙组数据的波动最小，戊组数据的波动最大 D. 戊组数据的波动最小，丙组数据的波动最大 4. 已知，，，是四个不同的平面，，，且，将空间分成个不同的部分，，将空间分成个不同的部分，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 为了测量某大楼的高度，某社会实践小组选取与点在同一水平面的，两点作为测量点，测得米，，，在处测得楼顶的仰角为45°，则该大楼的高度约为（ ） A. 83米 B. 85米 C. 87米 D. 89米 6. 若球被一个平面截得的截面圆的面积为，且球心到该平面的距离为，设为球的球面上的动点，为截面圆圆周上的动点，则，两点间距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形与均为矩形，，，将矩形沿边翻折，使得二面角为60°，则翻折后点到平面的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 8. 若数据的方差为15，数据的方差为10，则数据，的方差的最小值为（ ） A. 10 B. 12 C. 13 D. 15 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组样本数据为9，9，9，10，10，11，12，12，13，15，则（ ） A. 该组样本数据的众数为9 B. 该组样本数据的中位数为11 C. 该组样本数据的平均数为11 D. 该组样本数据的第35百分位数为10 10. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 在复平面内对应的点位于第二象限 11. 如图，正三棱柱的每条棱的长度均为为棱的中点，底面，点在平面的上方，且，则（ ） A. 平面平面 B. 四面体外接球的表面积为 C. 直线与直线相交 D. 四面体与正三棱柱的公共部分的体积为 12. 某实验室研发超导量子芯片、硅基自旋量子芯片、光量子芯片这三类芯片，其数量之比为.现按芯片类型进行分层，通过分层随机抽样的方法抽取容量为40的样本进行性能稳定性测试，则样本中超导量子芯片与光量子芯片的数量之差为______. 13. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，将该平面图形绕边旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的体积为______. 14. 在中，，，，分别是，上的点，且，，，且，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，是圆柱下底面圆的两条直径，，均为圆柱的母线，. （1）求该圆柱的侧面积； （2）证明：平面. 16. 已知为中边上的点，且. （1）证明：. （2）若，且在上的投影向量等于，求与的夹角. 17. 为了解居民用水情况，某市水务部门随机调查了1000户居民的月用水量（单位：吨），发现这些数据均分布在区间内，现对这1000个数据进行整理，并据此绘制频率分布直方图. （1）求图中的值； （2）为促进节约用水，该水务部门将对居民用水价格进行调整，拟确定一个用水量临界值，使得80%的居民月用水量不超过该值，求该临界值（单位：吨，结果精确到小数点后一位）； （3）已知该市有20万户居民，若每组的数据用该组区间的中点值作代表，试估计该市居民月用水的总量. 18. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角的大小； （2）若的面积为，且，求的周长； （3）若，在边上，是的角平分线，求的最大值. 19. 如图，在四棱锥中，底面，，，且. （1）若平面，证明：. （2）设平面平面. （ⅰ）证明：. （ⅱ）若，求二面角的正弦值的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $