精品解析：河北沧州市沧县中学2025-2026学年高一下学期6月测试（一）数学试题

6月高一年级测试 数学（一） 考试说明：1．本试卷共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，在直四棱柱中，直线与的位置关系是（ ） A. 异面 B. 相交 C. 平行 D. 以上都有可能 【答案】A 【解析】 【详解】在直四棱柱中， 因平面，平面，且，平面， 故直线与为异面直线. 2. 已知，则（ ） A. 40 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，则. 3. 如图，在平行四边形 中， 为靠近点 的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的三角形法则表示即可． 【详解】因为 为靠近点 的三等分点，所以， 所以． 4. 在 中，内角的对边分别为， ，，且，则 （ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理化边为角即可. 【详解】因为， 由正弦定理得， 又，所以， 又，所以 或. 5. 如图，在长方体中，，，则异面直线 和所成角的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为 ，所以是异面直线 和所成角或其补角， 所以在中，，所以， 即异面直线 和所成角的大小是. 6. 如图，在三棱锥 中， ， 分别是棱， 的中点，则 与平面的位置关系为（ ） A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【详解】因为 ， 分别是棱， 的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. 7. 如图，已知平面平面，点在平面 和平面之间，且，，，若，则.（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以，同理可得，，所以 与 相似. 因为，所以，所以， 所以. 8. 如图，在四棱锥中，底面 是矩形，M，N分别在棱，上，且，平面 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由线面平行的性质进行求解． 【详解】如图，连接 ，与 交于点，连接，交 于点， 连接，因为平面 ， 平面， 平面平面， 所以，由于是 的中点，所以. 过点 作，交于点 ，则， 因为，所以， 所以，即. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，，则（ ） A. B. 在复平面内对应的点在第四象限 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】选项A：因为，所以，A错误； 选项B：因为，所以对应的点的坐标为在第四象限，B正确； 选项C：，C正确； 选项D：，D正确. 10. 已知m，n是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若， ，，则 D. 若，，，则 【答案】AB 【解析】 【分析】A.利用一条直线垂直于平行平面的一个，则垂直于另一个和垂直于同一平面的两直线平行判断；B.先利用线面平行的性质定理，再利用一条直线垂直于平行直线中的一条，则垂直于另一条判断；C.利用直线与平面的位置关系判断；D.利用平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面和垂直同一直线的两平面平行判断. 【详解】因为，，所以 ，又因为，所以，A正确； 因为，，则， 若，所以 ，B正确； 因为，， ，所以或 或n与 相交，C错误； 因为，，所以 ，又，则，D错误. 故选：AB. 11. 如图，在四棱锥中，分别是 ，， 的中点，且，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面与平面 的交线记为，则直线 D. 三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用线面平行的判定推理判断AB；利用线面平行的判定性质推理判断C；利用锥体积体公式求出体积比判断D. 【详解】对于A，由题知相交，平面， 平面，所以 与平面相交，故A错误； 对于B，如图，连接，因为分别是 ， 的中点，所以，， 又因为且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面，故B正确； 对于C，因为，因为平面 ， 平面 ，所以平面 ， 因为平面，平面平面，所以，故C正确； 对于D，因为 分别是的中点， 所以，，所以， 所以，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，，若，则______. 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以，即，解得. 13. 在 中，，，，则 的面积为________． 【答案】 【解析】 【详解】已知，则， 由余弦定理可得： ， 代入，得：，解得 ， . 14. 如图，在三棱锥中，等边三角形的边长为2，平面，且，则直线 与平面所成角的余弦值为______. 【答案】 【解析】 【分析】取 的中点，连接，，易证平面，可得是 与平面所成的角，再分别求出 ，的长，根据求出余弦值即可. 【详解】如图，取 的中点，连接，， 由 是等边三角形，则， 因为平面，平面，所以， 又因为，，平面，所以平面， 所以是 与平面所成的角，又 是等边三角形，， 为 的中点，所以，， 因为平面，，所以，， 则，即直线 与平面所成角的余弦值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，. （1）求； （2）求； （3）若，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出，再根据复数模的计算公式求其模； （2）根据复数乘法的运算法则计算； （3）先求出，再根据共轭复数的定义求出. 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 因为， 所以. 16. 如图，正方体中， ， 分别是，的中点. （1）求证： 平面； （2）若，求三棱锥的体积. 【答案】（1）如图，连接，，则 既是的中点，也是的中点 . 因为 是的中点， 所以，因为平面，平面， 所以 平面 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理进行证明； （2）由进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 正方体的棱长为2， 到平面的距离为， ， 所以 17. 记 的内角 ，， 的对边分别为， ，，已知 ． （1）求 ； （2）若，，点 满足，求的长． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理及和角的正弦化简求解. （2）利用数量积的运算律求解. 【小问1详解】 在 中，由正弦定理及 ，得 ， 则 ，即 ， 而，即，解得，又，所以. 【小问2详解】 由，得 ，即， 因此 ， 解得 ，所以的长为 . 18. 如图，四棱锥的底面 为菱形，平面 ，，. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正切值. 【答案】（1）证明：因为四边形 为菱形，所以， 因为平面 ，平面 ，所以， 因为， ，平面， 所以平面，因为平面，所以平面平面. （2）2 【解析】 【分析】（1）先根据线面垂直的判定定理证明平面，再由面面垂直的判定定理即可得出证明； （2）由（1）知平面，可得，，由二面角的定义可知是二面角的平面角，最后在中，求出的值即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图，设 与 交于点，连接 ， 由（1）知平面，因为平面，平面， 所以，，因此是二面角的平面角， 因为，四边形 为菱形，， 所以 为等边三角形，则，所以， 所以，在中，， 即二面角的正切值为2. 19. 如图，在四边形 中， 是正三角形， ， 分别是 ，的中点，， . （1）当时，求四边形 的面积； （2）记. ①试用表示； ②求的最大值. 【答案】（1） （2）①② 【解析】 【分析】（1）由余弦定理求出 ，再由，结合三角形面积公式求解； （2）①利用余弦定理得到 ，结合即可求解； ②由正弦定理得，进而得到，再利用余弦定理得到，结合三角恒等变形化简求最值即可． 【小问1详解】 在 中，由余弦定理得 ，所以， 因为 是正三角形，所以， 易知， 因此. 【小问2详解】 ①在 中，由余弦定理得， 因为 是 的中点， 为正三角形，所以是 边上的高，所以， 因此. ②因为点 ， 分别是 ，的中点，故，且， 在 中，由正弦定理得，解得， ， 在中，由余弦定理得 . 因为，，故， 所以当，即时，的最大值为， 代入得，故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6月高一年级测试 数学（一） 考试说明：1．本试卷共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，在直四棱柱中，直线与的位置关系是（ ） A. 异面 B. 相交 C. 平行 D. 以上都有可能 2. 已知，则（ ） A. 40 B. C. D. 3. 如图，在平行四边形 中， 为靠近点 的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 4. 在 中，内角的对边分别为 ， ，，且，则 （ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 如图，在长方体中，，，则异面直线 和所成角的大小是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在三棱锥 中， ， 分别是棱，的中点，则 与平面的位置关系为（ ） A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 无法判断 7. 如图，已知平面平面，点在平面 和平面之间，且，，，若，则.（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四棱锥中，底面 是矩形，M，N分别在棱，上，且，平面 ，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，，则（ ） A. B. 在复平面内对应的点在第四象限 C. D. 10. 已知m，n是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若， ，，则 D. 若，，，则 11. 如图，在四棱锥中，分别是 ，， 的中点，且，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面与平面 的交线记为，则直线 D. 三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，，若，则______. 13. 在 中，，，，则 的面积为________． 14. 如图，在三棱锥中，等边三角形的边长为2，平面，且，则直线 与平面所成角的余弦值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，. （1）求； （2）求； （3）若，求. 16. 如图，正方体中， ， 分别是，的中点. （1）求证： 平面； （2）若，求三棱锥的体积. 17. 记 的内角，， 的对边分别为 ， ，，已知 ． （1）求 ； （2）若，，点 满足，求的长． 18. 如图，四棱锥的底面 为菱形，平面 ，，. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正切值. 19. 如图，在四边形 中， 是正三角形， ， 分别是，的中点，， . （1）当时，求四边形 的面积； （2）记. ①试用表示； ②求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $