精品解析：河北省曲阳县第一高级中学2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题

高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题：，则命题的否定为（    ） A. B. C. D. ， 2. “”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知集合，，则集合的真子集个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 32 4. 已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（ ） A. －1 B. －1或3 C. 3 D. 2 5. 已知均为正数，且，则的最小值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 6. 在使用二分法计算函数的零点的近似解时，现已知其所在区间为，如果要求近似解的精确度为0.1，则接下来至少需要计算（ ）次区间中点的函数值． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递增，则下列不等关系恒成立的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 是第三象限角 B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 C. 若角的终边上有一点，则 D. 若角的终边在第二象限，则角是钝角 10. 下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，且，则 D. 若，，则 11. 一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“k倍美好区间”.特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“完美区间”.下列结论正确的是（ ） A. 若为的“完美区间”，则 B. 函数存在“完美区间” C. 二次函数存在“2倍美好区间” D. 函数存在“完美区间”，则实数m的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则_____ 13. _________. 14. 已知函数，则____________；若存在实数满足，且，则的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的定义域为集合，的值域为集合，. （1）求； （2）若，求. 16. 如图，已知在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点两点，. （1）若，求及的值； （2）若，求. 17. 已知关于x不等式． （1）若时，求不等式的解集； （2）若，解这个关于的不等式； （3），恒成立，求实数a的取值范围 18. 已知函数的定义域为，对任意的a，，都有.当时，. （1）求的值，并证明：当时，； （2）判断的单调性，并证明你的结论； （3）对于任意的，不等式恒成立，试求常数的取值范围. 19. 阅读以下两则教材中截取的材料，并利用材料中的思想方法解决以下问题 材料1:以下是教材中利用构建几何图形，从而得到代数式的几何意义(几何表示)，证明了基本不等式的成立 将教材中图2.1－3中的“风车”抽象成图2.1－4．在正方形中有4个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边的长为，，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积和为，正方形的面积为．由于正方形的面积大于4个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式 . 当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有. 于是就有． 材料2: 我们已经知道，函数在区间内存在一个零点.进一步的问题是，如何求出这个零点呢？一个直观的想法是：如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值.为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围 大多数方程都不能像一元二次方程那样用公式求出精确解.在实际问题中，往往只需求出满足一定精确度的近似解． （1）请仿照材料1中的方法借助三角形OAP及扇形OAP的面积证明:. （2）已知函数 （ⅰ）已知是关于的方程的解，求使不等式成立的整数的最大值. （ⅱ）已知且有且仅有两个零点，记为，判断与的大小，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题：，则命题的否定为（    ） A. B. C. D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，写出结论即可. 【详解】命题：，是一个全称量词命题， 说明对任意的正数，使成立， 则它的否定是：存在正数，使成立， 所以，命题的否定为为：，. 故选：D. 2. “”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先分别解出指数不等式和分式不等式，再利用充分性和必要性的概念得答案. 【详解】，或， 可以推出或， 当或不能推出， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知集合，，则集合的真子集个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 32 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数函数和指数函数的单调性求出，，求出交集，得到真子集个数. 【详解】，， 故，故集合的真子集个数为. 故选：A 4. 已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（ ） A. －1 B. －1或3 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义和性质，列出相应的方程，即可求得答案. 【详解】由题意知：，即，解得或， ∴当时，，则在上单调递减，不合题意; 当时，，则在上单调递增，符合题意, ∴, 故选：C 5. 已知均为正数，且，则的最小值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意得到，再两次利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为，所以， 则 ， 当且仅当，时取等，此时解得， 则的最小值为，故B正确. 故选：B 6. 在使用二分法计算函数的零点的近似解时，现已知其所在区间为，如果要求近似解的精确度为0.1，则接下来至少需要计算（ ）次区间中点的函数值． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据二分法的性质可知，开区间的长度等于1，每经过一次二分法计算，区间长度为原来的一半，经过次二分法计算后，区间长度变为，根据精确度即可求得关于的不等式，从而得到答案. 【详解】开区间的长度等于1，每经过一次二分法计算，区间长度为原来的一半， 经过次二分法计算后，区间长度变为， 又使用二分法计算函数的在区间上零点的近似解时，要求近似解的精确度为0.1， 所以，则，又，所以，又，故， 所以接下来至少需要计算你次区间中点的函数值． 故选：C. 7. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化，再分别与进行比较即可. 【详解】， 故， 故. 故选：B. 8. 已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递增，则下列不等关系恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可知，，再逐一判断各选项即可． 【详解】是定义在上的偶函数， 关于对称， 则在上单调递增，在上单调递减， 是定义在上的奇函数， 关于对称， 则在上单调递增，且， 所以，． 对于A：因为，在上单调递增，所以，故A错误； 对于B：因为，在上单调递增，所以，故B错误； 对于C：因为，在上单调递减， 所以，故C正确； 对于D，因为的值不定， 所以大小关系不定，故D错误； 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 是第三象限角 B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 C. 若角的终边上有一点，则 D. 若角的终边在第二象限，则角是钝角 【答案】BC 【解析】 【分析】利用象限角的定义可判断A选项；利用扇形的面积公式可判断B选项；利用三角函数的定义可判断C选项；由终边角的概念即可判断D选项． 【详解】解：对于A选项，因为且为第二象限角， 故是第二象限角，A错； 对于B选项，若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的半径为， 因此，该扇形的面积为，B对； 对于C选项，若角的终边上有一点，则，C对； 对于D选项，角的终边在第二象限，即， 不妨取，则角不一定为钝角，D错． 10. 下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，且，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用赋值法可判断A；利用不等式的性质可判断BD；利用基本不等式计算可判断C. 【详解】对于A，令，满足，但，故A错误； 对于B，因为，，所以， 又因为，，所以，所以，故B正确； 对于C，因为，且， ， 因为，所以， 当且仅当，即等号成立， 所以，故C正确； 对于D，因为，所以，又， 所以，即，所以，故D正确. 故选：BCD. 11. 一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“k倍美好区间”.特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“完美区间”.下列结论正确的是（ ） A. 若为的“完美区间”，则 B. 函数存在“完美区间” C. 二次函数存在“2倍美好区间” D. 函数存在“完美区间”，则实数m的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】分析每个函数的定义域及其在相应区间的单调性，按“k倍美好区间”，“完美区间”的定义，列出相应方程，再根据方程解的情况，判断正误. 【详解】对于A，因为函数的对称轴为，故函数在上单增， 所以其值域为，又因为为的完美区间， 所以，解得或，因为，所以，A错误； 对于B，函数在和都单调递减，假设函数存在完美区间，则，即a，b互为倒数且，故函数存在完美区间，B正确； 对于C，若存在“2倍美好区间”，则设定义域为，值域为 当时，易得在区间上单调递减， ，两式相减，得，代入方程组解得，，C正确. 对于D，的定义域为，假设函数存在“完美区间”， 若，由函数在内单调递减，则，解得； 若，由函数在内单调递增，则，即在有两解a，b，得，故实数m的取值范围为，D正确. 故选：BCD. 【点睛】抓住“k倍美好区间”，“完美区间”的定义，在已知单调性的前提下，即可通过分析函数在区间端点处a，b的取值，列出方程组. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则_____ 【答案】或##或 【解析】 【分析】利用诱导公式可得，根据同角三角函数关系式，得，从而求得的值，进而求得. 【详解】由，可得， 所以，则 所以，所以 当，时，，，故， 当，时，，故 故或3. 故答案为：或3. 13. _________. 【答案】 【解析】 【详解】 14. 已知函数，则____________；若存在实数满足，且，则的取值范围是________. 【答案】 ①. 0 ②. 【解析】 【分析】由里往外顺序代入变量求解即可得的值；作出函数图像，数形结合可得、且、即可分析计算求解. 【详解】由题，所以； 如图作出函数的函数图像如图所示： 若存在实数满足，且， 则由图可知， 且，即， 所以， 因为，在上单调递增， 所以. 故答案为：0； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的定义域为集合，的值域为集合，. （1）求； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合且，，得到交集； （2）计算出，，求出并集. 【小问1详解】 由题意可得，解得且， ∴函数的定义域且， ∵对任意，，所以， ∴函数的值域， ∴； 【小问2详解】 ，因为，所以， 因为且，所以， 所以. 16. 如图，已知在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点两点，. （1）若，求及的值； （2）若，求. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由三角函数的定义结合同角三角函数的基本关系可求得，再利用诱导公式化简和弦化切，可求得所求代数式的值； （2）由诱导公式结合已知条件可得出，利用同角三角函数的平方关系可求出的值，联立方程组求出、的值，即可得解. 【小问1详解】 由题知，又，A在单位圆上， ，则，， ； 【小问2详解】 ， 由，得， 则， ，得， . 17. 已知关于x不等式． （1）若时，求不等式的解集； （2）若，解这个关于的不等式； （3），恒成立，求实数a的取值范围 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，解出即可. （2）当时，不等式变为一次不等式，当时，对分解因式，讨论根的大小即可得答案. （3）由题意可得，，利用换元法结合函数单调性可得答案. 【小问1详解】 当时，则， 即，因式分解可得：， 所以，则不等式的解集为. 【小问2详解】 当时，则为，即， 当时，则， 因式分解可得：， 当时，有，则此时不等式解集为， 当时，等价于， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为空集， 综上所述，当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. 【小问3详解】 因为， 所以， 因为， 则，则题目等价于，， 令，因为，所以， 则， 由基本不等式，当且仅当时取等号， 因此的最大值为，即， 所以实数a的取值范围为. 18. 已知函数的定义域为，对任意的a，，都有.当时，. （1）求的值，并证明：当时，； （2）判断的单调性，并证明你的结论； （3）对于任意的，不等式恒成立，试求常数的取值范围. 【答案】（1） 令，则，所以， 当时，， 因为， 所以， 因为，所以， 故当时， （2） 在上单调递减； 证明：由得， 任取，且，则， ， 由（1）可知，当时，，所以， 即，所以在上单调递减； （3） 【解析】 【分析】（1）令，求出，当时，，根据得到即可证明； （2）由得，再根据函数单调性的定义进行判断； （3）根据函数的定义域和单调性求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 令，则在上单调递增，且， ， 所以原不等式可转化为，即， 由（2）可知在上单调递减， 所以， 解得或， 又，所以， 由，得， 因为在上均是减函数， 所以在上是减函数， 所以，所以. 19. 阅读以下两则教材中截取的材料，并利用材料中的思想方法解决以下问题 材料1:以下是教材中利用构建几何图形，从而得到代数式的几何意义(几何表示)，证明了基本不等式的成立 将教材中图2.1－3中的“风车”抽象成图2.1－4．在正方形中有4个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边的长为，，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积和为，正方形的面积为．由于正方形的面积大于4个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式 . 当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有. 于是就有． 材料2: 我们已经知道，函数在区间内存在一个零点.进一步的问题是，如何求出这个零点呢？一个直观的想法是：如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值.为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围 大多数方程都不能像一元二次方程那样用公式求出精确解.在实际问题中，往往只需求出满足一定精确度的近似解． （1）请仿照材料1中的方法借助三角形OAP及扇形OAP的面积证明:. （2）已知函数 （ⅰ）已知是关于的方程的解，求使不等式成立的整数的最大值. （ⅱ）已知且有且仅有两个零点，记为，判断与的大小，并说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ）2；（ⅱ），理由见解析 【解析】 【分析】（1）构造单位圆，根据当时，的面积小于扇形的面积，可证明； （2）（ⅰ）求得的解析式，由题可知且.构造新函数，求得的表达式利用基本不等式求得其取值范围，进而求得的最大值； （ⅱ）写出的解析式，易得1一定不是的零点.当时，记（且），则，亦为的零点，分析的单调性可得，结合（1）和（ⅰ）可证得. 【小问1详解】 构造单位圆，角的终边与单位圆交于，过作轴于为单位圆与轴正半轴的交点；如下图： 则，． 当时，的面积小于扇形的面积，故， 故． 【小问2详解】 （ⅰ）已知，，则． 方程整理为且. 则，从而，所以. 记，则． 设，则，所以，即在上单调递增． 则由可得，即，. 设，则在上单调递增． 因为，，所以． 当时，，当且仅当，即时，等号成立. 所以当时，. 所以，故整数的最大值为2． （ⅱ），理由如下： ． 时，，即1一定不是的零点. 令，化简可得. 记（且），则，亦为的零点 当时，单调递增，在单调递增，则在上单调递增. 又， 当时，，则在上有唯一零点，由题即 又，所以亦为的零点，又， 则必有，则. 又由（1）可知当时，，则，而，则 由（2）（ⅰ）可知，在上单调递增，所以，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $