辽宁葫芦岛市2025-2026学年高二下学期数学期末复习卷（十）

**基本信息** 辽宁葫芦岛高二数学期末复习卷以AI芯片性能测试等真实情境为载体，通过导数应用、数列证明等综合题，考查数学建模与逻辑推理，体现用数学语言表达现实世界的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数、数列求和、概率|基础题考查抽象能力，如复数运算、数列前n项和| |多选题|3/18|二项式定理、函数性质|能力题注重推理意识，如函数奇偶性与极值判断| |填空题|3/15|二项式常数项、函数零点|创新题强化空间观念，如含参函数零点问题| |解答题|5/77|正态分布、导数应用、数列证明|综合题突出数据观念，如AI芯片测试的分布列与期望，结合导数研究函数单调性与不等式恒成立|

辽宁葫芦岛市2025-2026学年高二下学期数学期末复习卷（十） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数满足，其中为虚数单位，则（     ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【详解】因为，所以， 所以. 2．已知数列的通项公式为，则数列的前10项和为（     ） A．127 B．192 C．235 D．747 【答案】D 【难度】0.75 【详解】设数列的前n项和为， 因为， 所以 . 3．设是一个随机试验中的两个随机事件，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.72 【分析】先求出的值，再根据条件概率公式求解即可. 【详解】因为，，所以， 解得.所以. 4．已知定义在上的函数，满足，其中是的导函数，若，则不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【分析】构造函数，，通过求导判断函数的单调性，再结合条件，利用单调性求解不等式即可.. 【详解】令，，则， 可知当时，是增函数. 又，所以， 在上，不等式的解集就是的解集， 也即的解集. 5．定义在上的函数满足，数列满足，若存在，使不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.62 【分析】先利用倒序相加法求数列的通项公式，再将存在性不等式转化为大于等于关于的分式的最小值，结合基本不等式求最值即可得. 【详解】因为对任意，有， 数列 ①， 将①式倒序得： ②， 得：， 因此. 将代入不等式，整理得：存在，使得成立. 因为， 当且仅当时等号成立，解得， 即时有最小值，故，即的取值范围为. 6．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.55 【分析】转化为存在使，求在区间最大值，故. 【详解】由题意，所以，， 函数在区间内存在单调递增区间， 则，，即，使得 ， 即，设，， 则，，单调递减； ，，单调递增，，， ，故在上最大值为， 只要，即，就存在满足， 即，函数存在递增区间. 7．若对任意恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.55 【分析】通过分离参数，结合导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】对任意恒成立等价于对任意恒成立， 令，则，故等价于对任意恒成立，即对任意恒成立. 令，则， 令，即，解得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以在处取得最大值，为. 要使对任意恒成立，只需.实数的取值范围为. 8．已知函数，若方程有三个不同的实数根，，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.35 【分析】根据给定条件，作出函数的图象，数形结合求出方程有3个解时的范围，再将目标式用表示并求出的范围. 【详解】方程有三个不同的实数根，即直线与函数的图象有3个交点， 则当时，直线与射线有一个交点， 当时，直线与函数有2个交点， 在同一坐标系内作出函数的图象及直线，如图， 令直线与图象相切的切点为，由求导得：， 则，解得，即直线与图象相切时，， 因此当且仅当时，直线与函数的图象有3个交点， 由，解得， 由，得，即， 因此，函数在上递减， 当时，，所以的取值范围是. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知在的展开式中，第6项为常数项，则（   ） A． B．的项的系数是 C．有理项是第3项，第6项 D．通项为 【答案】BD 【难度】0.65 【分析】利用二项式定理结合通项公式可一一判定选项. 【详解】易知的展开式的通项为 ，， 又第6项为常数项，即时，，所以A项错误； 则通项，，所以D项正确； 含的项为时，，系数为，所以B正确； 显然根据通项公式可知：当时均为有理项，故C错误. 10．已知数列，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】ACD 【难度】0.65 【分析】应用累加法计算求解判断A；应用等比数列通项公式计算判断B、D；应用等差数列通项公式计算判断C. 【详解】已知，，即， 当时，， 所以，，A正确； 已知，，即， 数列是以为首项，公比为2的等比数列， 则，即，B错误； 已知，，对等式两边取倒数得， 即，数列是以为首项，公差为3的等差数列， ，即，C正确； 已知，，等式变形为， 数列是以为首项，公比为2的等比数列，，则，D正确. 11．设函数，，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．在处取得极小值 C．方程有且仅有一个实根 D．对任意，都有 【答案】ABC 【难度】0.43 【分析】A. 定义域 关于原点对称，符合偶函数定义； B.利用导数求解函数的单调性，从而判断极小值点为； C.构造函数求导，函数单调递减，结合零点存在定理得唯一零点； D.构造差值函数，二阶导证明处取最大值 0，不等式方向相反. 【详解】A.定义域关于原点对称， ，满足偶函数定义，A 正确； B. ， 时，， 单调递减； 时，， 单调递增， 故 是极小值点，在处取得极小值，B 正确； C.构造 ，， 在 上严格单调递减；，， 由零点存在定理， 在 有唯一零点，方程仅有一个实根，C 正确； D.构造 ， ， ， 令 ，则，则单调递减， 所以，， 递增；，， 递减， 故 在取最大值，即，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知的二项展开式中常数项为30，则实数的值为________________． 【答案】 【难度】0.75 【详解】展开式的通项， 令，解得，则常数项为，解得（负值舍去）. 13．已知函数，若函数有四个不同的零点，则的取值范围是_____. 【答案】 【难度】0.65 【分析】将有四个不同零点转化为直线与的图象有四个交点，分别分析分段函数两段的单调性与值域，数形结合求的取值范围. 【详解】由可得，问题等价于直线与函数的图象共有4个不同交点， 分两段讨论函数性质： 当时，， 此时函数在上单调递减，在上单调递增； 最小值为，端点值， 因此当时，直线与该段图象有2个交点； 或时仅有1个交点；时无交点； 当时，，在上，单调递减，值域为； 在上，单调递增，值域为； 因此当时，直线与该段图象有2个交点；时仅有1个交点， 当时无交点；要使总交点数为4，需两段各有2个交点，取两个范围的交集，得的取值范围为. 14．已知函数，，若对任意的，恒成立，则实数a的最小值为______． 【答案】 【难度】0.35 【分析】由题可得在上恒成立，然后通过研究，单调性可得答案. 【详解】∵对任意的，恒成立， 即，在上恒成立，即在上恒成立， 即，. 设函数，，则在R上为增函数， 则在上恒成立， 则.令，， 则在上递增，在递减， 则. 四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）随着人工智能技术的快速发展，AI芯片的性能评估成为关键环节．某科技公司对一款新型AI芯片进行性能测试，测试得分X（满分为150分）近似服从正态分布，且，测试成绩为114分及以上的被认定为“卓越”等级． (1)若该芯片共生产了27000片，试估计其中测试成绩为80分及以上的芯片的数量；（结果四舍五入保留到整数） (2)从该批次芯片中随机抽取3片，记其中等级为“卓越”的芯片的数量为Y，求Y的分布列和期望． 附：若随机变量，则，，． 【答案】(1)22716 (2) Y 0 1 2 3 P 0.729 0.243 0.027 0.001 【难度】0.66 【分析】（1）根据正态分布的性质求解即可； （2）首先求出，再根据二项分布可得分布列及数学期望. 【详解】（1）因为，所以，，   所以，   则， 所以估计该批次芯片中测试成绩为80分及以上的芯片的数量为22716； （2）因为，，所以，   由题意得，  Y的可能取值为0，1，2，3， 则，， ，，   所以Y的分布列为： Y 0 1 2 3 P 0.729 0.243 0.027 0.001 ． 16．（15分）已知函数在处取得极小值． (1)求； (2)若关于的不等式在恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围是 【难度】0.6 【分析】（1）先对三次函数求导，利用极值点处导数为列方程解出的两个候选值，再分别代入导数分析左右单调性，检验是否为极小值点，舍去不符合条件的得到结果； （2）将代入函数，利用区间内分离参数，构造关于的二次函数，通过换元确定新变量取值区间，求出函数在区间上的最大值，由恒成立条件得到的取值范围． 【详解】（1）的定义域为，则， 由函数在处取得极小值，得，解得，， 若，则，令，得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以是的极小值点，符合题意， 若，则，令，得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以是的极大值点，不符合题意， 综上，； （2）由（1）得，， 不等式在恒成立， 即不等式在恒成立， 令，， 由，得，则，故，所以时，取最大值， 所以，即的取值范围是． 17．（15分）已知是数列的前项和，，且. (1)求的通项公式； (2)若数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)由（1）得：， ， ， ， 【难度】0.59 【详解】（1）当时，，， ，又，； ，即，； 则当为奇数时，；当为偶数时，； . （2）略 18．（17分）在数列中，，，． (1)求的值； (2)当时，用含的式子表示； (3)令，证明：． 【答案】(1) (2) (3)由，且，得． 设函数，则，单调递增. 所以，即．则， 故． 故． 即． 【难度】0.4 【分析】（1）将数列视作函数，利用，从逐层迭代求出，最终得到； （2）对两次套用推出是公比为5的等比数列，求出后代入复合式直接得到； （3）先由第（2）问结论化简求出，构造导数函数得到不等式完成放缩，再对累加裂项消去中间对数项，证得目标不等式． 【详解】（1）记，由，得． 因为，所以，故. 由，得.由，得. 所以； （2）令，则，所以. 且，故是公比为5的等比数列. 所以，即，且， 所以，即； （3）略 19．（17分）已知函数，函数 (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求b的值； (2)若，，使成立，求m的取值范围； (3)设函数有两个不同的零点，，且满足，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3) 【难度】0.28 【分析】（1）求的导数得到切线斜率，结合两直线垂直斜率乘积为列式求解. （2）将双量词条件转化为函数最值关系，分别求的最小值和的最小值，建立不等式求解的范围. （3）化简解析式，将零点问题转化为方程有两个不同解，通过比值换元构造函数分析单调性，求解的范围. 【详解】（1）的定义域为，求导得. 则曲线在点处的切线斜率. 因切线与直线垂直，故直线斜率必存在，为， 故有，解得. （2）由，求导得. 令，得，当时，，当时，， 则在上单调递减；在上单调递增， 则 ，则的最小值为. 题设条件等价于：对任意，恒成立， 即对任意恒成立. 设，则. 令，得，当时，，当时，， 则在上单调递增；在上单调递减， 因，，且，∴ ，∴ . （3）由，得， 令，求导得， 当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减，， 而当时，恒成立，且， 由有两个零点，即方程有两个不等的正根，亦即直线与的图象有两个公共点， 因此，即， 由，得，且， 不妨设，将代入， 得，即， 令，求导得，令， 求导得，则函数在上单调递减， 有，即，函数在上单调递减， 由，得，则， 因此函数在上单调递减，即， 于是，有，则， 又，而，， 在上递增，而，因此在上递增， 则，即，解得， 所以a的取值范围是. 【点睛】方法归纳：1. 导数几何意义应用：切线斜率等于切点处导数值，两直线垂直斜率乘积为. 2. 双量词问题转化：等价于. 3. 双零点问题常用比值换元法，将双变量转化为单变量构造函数求解. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁葫芦岛市2025-2026学年高二下学期数学期末复习卷（十） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数满足，其中为虚数单位，则（     ） A．1 B． C． D．. 2．已知数列的通项公式为，则数列的前10项和为（     ） A．127 B．192 C．235 D．747 3．设是一个随机试验中的两个随机事件，且，，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知定义在上的函数，满足，其中是的导函数，若，则不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 5．定义在上的函数满足，数列满足，若存在，使不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．若对任意恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 8．已知函数，若方程有三个不同的实数根，，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知在的展开式中，第6项为常数项，则（   ） A． B．的项的系数是 C．有理项是第3项，第6项 D．通项为 10．已知数列，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 11．设函数，，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．在处取得极小值 C．方程有且仅有一个实根 D．对任意，都有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知的二项展开式中常数项为30，则实数的值为________________． 13．已知函数，若函数有四个不同的零点，则的取值范围是_____. 14．已知函数，，若对任意的，恒成立，则实数a的最小值为______． 四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）随着人工智能技术的快速发展，AI芯片的性能评估成为关键环节．某科技公司对一款新型AI芯片进行性能测试，测试得分X（满分为150分）近似服从正态分布，且，测试成绩为114分及以上的被认定为“卓越”等级． (1)若该芯片共生产了27000片，试估计其中测试成绩为80分及以上的芯片的数量；（结果四舍五入保留到整数） (2)从该批次芯片中随机抽取3片，记其中等级为“卓越”的芯片的数量为Y，求Y的分布列和期望． 附：若随机变量，则，，． 16．（15分）已知函数在处取得极小值． (1)求； (2)若关于的不等式在恒成立，求的取值范围． 17．（15分）已知是数列的前项和，，且. (1)求的通项公式； (2)若数列的前项和为，证明：. 18．（17分）在数列中，，，． (1)求的值； (2)当时，用含的式子表示； (3)令，证明：． 19．（17分）已知函数，函数 (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求b的值； (2)若，，使成立，求m的取值范围； (3)设函数有两个不同的零点，，且满足，求实数a的取值范围． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $