精品解析：湖南衡阳市衡东县第一中学2025-2026学年高一下学期6月月考数学试题

2026年衡东县第一中学高一6月月考数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 样本数据的中位数为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 3. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 4. 已知和的夹角为60°，且，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 5. 在中，已知，则的形状为（   ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 6. 某校有高中生2000人，其中高一年级600人，高二年级700人，高三年级700人．为了解学生的视力情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，则应抽取高一年级的人数为（ ） A. 20 B. 30 C. 35 D. 40 7. 已知是不共线的向量，且，则（    ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 8. 如图，是平面外的一点，，，，分别为，的中点，且．则异面直线与所成的角的大小为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. （多选）已知复数（i为虚数单位），则（ ） A. 的共轭复数为 B. 的虚部为 C. D. 10. 已知m、n是空间中两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 11. 一组样本数据的平均数为，方差为．现将每个数据都变为，所得新样本数据的平均数为，方差为．则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 若原样本中位数为，则新样本中位数为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，若，，，则___________ 13. 已知向量，满足，，．则______． 14. 已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 16. 已知复数，其中i为虚数单位，． （1）若是纯虚数，求的值； （2）在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围． 17. 如图，在正方体中，E是的中点. （1）求证：平面； （2）设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积． 18. 如图,在四棱锥P－ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA=PC,E为PB的中点．求证: （1）平面AEC; （2）平面AEC⊥平面PBD． 19. 2025年吉林市马拉松赛将于5月18日正式开赛.为积极参与马拉松比赛，吉林市某中学决定从3000名学生随机抽取100名学生进行体能检测，这100名学生进行了15公里的马拉松比赛，比赛成绩（分钟）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间是. （1）求图中的值； （2）根据频率分布直方图，估计这100名学生比赛成绩的平均数； （3）根据频率分布直方图，估计这100名学生比赛成绩的第80百分位数； （4）根据样本频率分布直方图，估计该校3000名学生中约有多少名学生能在80分钟内完成15公里马拉松比赛？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年衡东县第一中学高一6月月考数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：C. 2. 样本数据的中位数为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】结合中位数定义可得. 【详解】将已知数据从小到大排序为，则中位数为. 3. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可知，可知的虚部为1. 4. 已知和的夹角为60°，且，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为和的夹角为60°，且， 所以. 5. 在中，已知，则的形状为（   ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理及两角差的正弦公式求解. 【详解】由可得， 所以， 即， 因为，所以， 所以，即， 所以的形状为等腰三角形. 6. 某校有高中生2000人，其中高一年级600人，高二年级700人，高三年级700人．为了解学生的视力情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，则应抽取高一年级的人数为（ ） A. 20 B. 30 C. 35 D. 40 【答案】B 【解析】 【详解】由分层抽样的等比例性质，应抽取高一年级的人数为人. 7. 已知是不共线的向量，且，则（    ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 【答案】C 【解析】 【详解】假设存在实数，使得，则三点共线， ，而不共线，故，无解，所以假设不成立，故A错误； 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，无解，所以假设不成立，故B错误； C：， 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，解得，所以假设成立，故C正确； D：， 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，无解，所以假设不成立，故D错误． 8. 如图，是平面外的一点，，，，分别为，的中点，且．则异面直线与所成的角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点F，连接，，根据异面直线定义结合余弦定理计算即可求解. 【详解】取的中点F，连接，， 在中，是的中点，F是的中点，． 同理可得． 为异面直线与所成的角（或其补角）． 在中，，又，， ， ，即异面直线与所成的角为． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. （多选）已知复数（i为虚数单位），则（ ） A. 的共轭复数为 B. 的虚部为 C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，，的共轭复数为，故A错误； 对于B，的虚部为，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 10. 已知m、n是空间中两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】AB 【解析】 【详解】A选项，由于，，由面面平行的性质，可得，故A正确； B选项，若，，由面面平行的判定定理可得，故B正确； C选项，若，，则，可能平行、相交或异面，故C错误； D选项：若，，，则或异面，故D错误. 11. 一组样本数据的平均数为，方差为．现将每个数据都变为，所得新样本数据的平均数为，方差为．则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 若原样本中位数为，则新样本中位数为 【答案】ACD 【解析】 【详解】由，可知平均数满足，故A正确． 方差在平移时不变，在乘以2时变为原来的倍，所以，故B错误，C正确． 因为变换是严格递增的一次函数，所以中位数也对应变为，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，若，，，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理直接求解即可. 【详解】由正弦定理得到：， 即. 13. 已知向量，满足，，．则______． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以 ， 所以. 14. 已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案. 【详解】∵ ∴ ∴ ∴. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长. 【小问1详解】 解：因为，则，由已知可得， 可得，因此，. 【小问2详解】 解：由三角形的面积公式可得，解得. 由余弦定理可得，， 所以，的周长为. 16. 已知复数，其中i为虚数单位，． （1）若是纯虚数，求的值； （2）在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用纯虚数的定义列不等式组求解即得； （2）根据第二象限内的点的特征列不等式组求解即得. 【小问1详解】 由是纯虚数，可得， 由①解得或，因时，，不合题意， 故的值为； 【小问2详解】 由在复平面内对应的点在第二象限， 可得，由③解得；由④解得或， 故得，即的取值范围为. 17. 如图，在正方体中，E是的中点. （1）求证：平面； （2）设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证，再用直线与平面平行的判定定理证明平面； （2）利用等体积法，求三棱锥的体积. 【小问1详解】 证明：因为在正方体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为正方体的棱长是1，E是的中点，所以， 三角形ABC的面积， 三棱锥的体积. 18. 如图,在四棱锥P－ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA=PC,E为PB的中点．求证: （1）平面AEC; （2）平面AEC⊥平面PBD． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】(1) 设,连接,根据中位线可得,再根据线面平行的判定定理即可证明; (2)根据可得,根据四边形为菱形,可得,再根据线面垂直的判断定理可得平面,再根据面面垂直的判定定理即可得出结果. 【小问1详解】 设,连接,如图所示: 因为O,E分别为,的中点,所以, 又因为平面,平面, 所以平面． 【小问2详解】 连接,如图所示: 因为,为的中点,所以, 又因为四边形为菱形,所以, 因为平面,平面,且, 所以平面,又因为平面, 所以平面平面． 19. 2025年吉林市马拉松赛将于5月18日正式开赛.为积极参与马拉松比赛，吉林市某中学决定从3000名学生随机抽取100名学生进行体能检测，这100名学生进行了15公里的马拉松比赛，比赛成绩（分钟）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间是. （1）求图中的值； （2）根据频率分布直方图，估计这100名学生比赛成绩的平均数； （3）根据频率分布直方图，估计这100名学生比赛成绩的第80百分位数； （4）根据样本频率分布直方图，估计该校3000名学生中约有多少名学生能在80分钟内完成15公里马拉松比赛？ 【答案】（1）0.005 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1可求得实数的值； （2）根据频率分布直方图求平均数，即每小组的中点值乘以频率加起来即可； （3）第80百分位数指的是频率累计到0.8的点，根据已知，即可求出； （4）求出样本中小于80分钟之频率，总数乘以频率可得结果. 【小问1详解】 由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1， 可得， 解得． 【小问2详解】 由频率分布直方图可得平均分为： . 【小问3详解】 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 故第80百分位数落在，设为m， 由，得， 故第80百分位数为． 【小问4详解】 样本中80分钟之前频率为， 因此估计该校3000名学生中能在80分钟内完成15公里马拉松比赛的学生人数为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $