湖南衡阳市衡阳县部分校2025-2026学年高一下学期7月期末校内检测数学试题

2026年上学期高一期末校内检测 数学 (试卷满分：150分，考试时间：120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，请将答题卡上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.函数的最小正周期为2π,则 A. B.1 C.2 D.4 2.已知是虚数单位，若复数z满足,则 A. B.1+i C. D. 3.已知a>0,b>0,且a+2b=1,则的最小值为 A.5 B.6 C.7 D.8 4.当蛋白质分子量达到一定量级时，其分子量Mr与迁移率X之间满足,其中k,b为常数.若b=1,则当分子量变为原来的2倍时，现迁移率与原迁移率的差值为 A. B. C.1g2 D.2 5.已知a,b,c为Rt△ABC的三个内角A,B,C的对边，c为斜边，向量.若⊥,则∠B= A. B. C. D. 6.某不透明盒子中共有6个大小、质地完全相同的小球，其中有4个红球2个黑球，从中不放回地依次随机摸出2个球，记事件A=“至少摸到一个红球”;B=“至多摸到一个黑球”;C=“摸到2个红球”;D=“摸到2个黑球”,则下列说法正确的是 A.A与B是互斥事件 B.B与C是对立事件 C.C与D是互斥但不是对立事件 D.A与D是互斥但不是对立事件 7.如图，在△PAB中，PA=PB=,∠APB=90°,点O为AB的中点，以PO为折痕将△POB折叠，使点B到达点B′位置，且B′O⊥AO,则三棱锥P-AOB′外接球的表面积为 A.12π B.16π C.24π D.32π 8.已知单位向量满足：,且,则的取值范围是 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知复数z1,z2,下列结论正确的有 A.若,则 B.若,则z1=z2=0 C.若∈R, 则 D.若(其中i是虚数单位)是关于x的方程x²+px+q=0(p,q∈R)的一个 根，则q=5 10.设函数的定义域为D,,使得成立，则称为“美丽函数”.下列所给出的函数为“美丽函数”的是 A.y=x² B. C. D.y=sin x 11.已知圆台下底面圆心为点A,半径为2,上底面圆心为点B,半径为1.点C为圆B上一动点，点D为圆A上一动点，二面角C-AB-D的大小为,下列说法正确的是 A.∠CAD> B. C.若AB=3,则AB与CD所成角为 D.若AB=3,则四面体ABCD的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知向量,且//,则m的值为_______. 13.设A,B是一个试验中的两个事件，且P(A)=,P(B)=,P(AB)=,则=___. 14.在等腰三角形ABC中，AB=AC,∠A<,CD为AB边上的中线，且sin∠ACD=,则sin∠A=____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.(本小题满分13分) 某公司餐厅为了完善餐厅管理，提高餐厅服务质量，随机调查了50名就餐的公司职员，根据这50名职员对餐厅服务质量的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40,50),[50,60),…,[90,100]. (1) 求频率分布直方图中a的值； (2) 若采用分层抽样的方式从评分在[40,60),[60,80),[80,100]的公司职员中抽取10人，则评分在[60,80)内的职员应抽取多少人? (3)该公司规定：如果职员对公司餐厅服务质量的评分低于75分，将对公司餐厅进行内部整顿.用每组数据的中点值代替该组数据，试估计该公司职员对餐厅服务质量评分的平均分，并据此回答餐厅是否需要进行内部整顿. 16.(本小题满分15分) 如图，六面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，AE=2BF,BF//AE,BF⊥AD,且平面ACE⊥平面ABCD. (1) 求证：AE⊥平面ABCD; (2) 在AD上确定一点M,使得FM//平面ECD; (3)若AB=AC=BF=2,求点B到平面EFC的距离. 17.(本小题满分15分)已知△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=2,b=1,M和N是边BC上的点.AN为∠BAC的角平分线，点M满足S△AMB=S△AMC. (1)若∠MAN=,求∠BAM; (2)当∠BAM最大时，求此时△AMN的面积. 18.(本小题满分17分)已知函数 (1)若关于x的方程有3个不同的零点，求a的取值范围；(2),定义集合,求D(). 19.(本小题满分17分) 已知圆柱OO₁的底面半径为1,高为π,面ABCD是圆柱的一个轴截面.一动点从点B 出发沿着圆柱的侧面到达点D,其距离最短时在侧面留下的曲线如图所示.将轴截面ABCD绕着轴OO1逆时针旋转后，边B₁C₁与曲线相交于点P. (1) 当时，证明：平面APB⊥平面A₁B₁C₁D₁; (2) 当时，求AP与圆柱OO₁下底面所成角的正切值； (3)是否存在θ,使得二面角D-AB-P的大小为?若存在，求出线段BP的长度；若不存在，请说明理由. 2026年上学期高一期末校内检测·数学 参考答案、提示及评分细则 1.A 2.B 3.D 4.A 5.C 6.C 7.A 8.A 9.BD 10.BCD 11.ABC 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.A【详解】因为 的最小正周期为， 所以的最小正周期，解得． 2.B【详解】，故． 3.D【详解】因为，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8． 4.A【详解】由题意得， 原迁移率，现迁移率，可得 5.C【详解】∵∴， ∵是三角形内角，∴，， 由，有，，是三角形内角，，∴． 6.【答案】C 【解析】对于A．“至少摸到一个红球”与“至多摸到一个黑球”可以同时发生，所以A与B不是互斥事件，故A错误； 对于B，“至多摸到一个黑球”包含一红一黑、两红；与“摸到2个红球”可以同时发生，所以B与C不互斥，也不是对立事件，故B错误； 对于C，C与D不可能同时发生，是互斥事件但不是对立事件，故C正确； 对于D，A与D是对立事件，故D错误． 7.A【详解】由题意可得：，，，且，以OA，，OP为邻边构造棱长为2的正方体，三棱锥与该正方体共外接球，因此外接球的半径为，表面积． 8.A【详解】设单位向量，，， ∴，，∴， 即到和的距离和为，而， 故动点表示线段AB上的动点． 又该式表示与线段AB上点的距离，∴的取值范围是． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.【答案】BD 【解析】对于A，取，，满足，而，，，故A错误； 对于B，设，，a，b，c，，由，得，则，，因此，，故B正确； 对于C，取，满足，但不满足，故C错误； 对于D，是关于x的方程的一个根，则，所以，解得，D正确．故选BD． 10.BCD【详解】由题意知，函数的定义域为D，，，使得成立，所以函数的值域关于原点对称，故选BCD． 11.ABC【详解】由题意可画图，结合最小角定理，斜线与射影直线，异面直线成角以及棱锥体积公式易知． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.【答案】 13.【答案】 【解析】∵，，，互斥 ∴，，，，∴． 14.【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15.【答案】由频率分布直方图估计平均数，用平均数的代表意义解决实际问题；补全频率分布直方图，由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 （1）； （3分） （2）5人； （4分） （3）76.2，不需要； （6分） 16.【答案】点、直线、平面之间的位置关系 （1）证明见解析； （4分） （2）M为DA的中点； （5分） （3）； （6分） 【解析】（1）由四边形ABCD为菱形，则， 由平面平面ABCD，且平面平面，平面ABCD， 则平面ACE， （2分） 由平面ACE，则， 由，，则， 由，AD，平面ABCD，则平面ABCD． （4分） 17.【答案】原创题三角恒等变换；解三角形 （1）； （7分） （2）； （8分） 【解析】（1）设，，由， （4分） 化简得，则； （7分） （2）， （10分） 显然为正，依据基本不等式可知，当时，有的最大值为，，． 由，解得． （15分） 18.【解析】（1）设，则若满足方程，有，，， 故由图象，，则； （8分） （2），，由函数图象，有或解得． （17分） 19.【解析】（1）当时，有，在圆柱中， 平面，平面，则有， （1分） 又，，、平面， （2分） 所以平面， （3分） 又因为平面APB，所以平面平面； （4分） （2）为所求线面角，，， （8分） ； （10分） （3）由于二面角为直二面角，故只要考查二面角是否为即可． （12分） 过作于Q，连接PQ． 由于，，所以平面，所以． 于是即为二面角的平面角． （14分） 在中，，． 若，则需，即． 而在上恒成立．矛盾． 即不存在，使二面角为． （17分） 学科网（北京）股份有限公司 $