精品解析：贵州铜仁市2025-2026学年八年级下学期期末7月质量监测数学试题

铜仁市2026年7月质量监测试题 八年级数学 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共8页，三个大题，共25题，满分150分．考试时长120分钟，考试形式为闭卷． 2．请在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题不计分． 3．不能使用计算器． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 把多项式分解因式的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 剪纸是中国最古老的民间艺术之一，贵州省苗族传统美术剪纸是国家级非物质文化遗产之一．下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若，则的长是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 为了解八年级学生的体能状况，某校对甲、乙两个班级学生的一分钟跳绳成绩进行了统计．制作了两个班级成绩的箱线图如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 甲班的第一四分位数低于乙班的第一四分位数 B. 甲班学生的最好成绩高于乙班学生的最好成绩 C. 甲班学生的成绩比乙班学生的成绩更加分散 D. 甲班学生成绩的中位数高于乙班学生成绩的中位数 5. 正比例函数的图象经过（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、四象限 D. 第二、三象限 6. 如图1是一只风筝，其骨架抽象成平面图形如图2所示，点，分别是外骨架，的中点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 为加强体育管理，某校规定学生的学期体育综合成绩计算办法为：平时成绩占，期中成绩占，期末成绩占．小华同学的三项成绩依次为，则他的学期体育综合成绩是（ ） A. 90 B. 93 C. 88 D. 91 8. 如图，已知菱形的边长是8，，则菱形的面积是（ ） A. B. C. 32 D. 16 9. 化简分式的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 10. 如图，在平行四边形中，，以点B为圆心，以适当长度为半径作弧，交，于M，N两点，再分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于E，若，，的长度为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 11. 已知一次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 方程的解是 B. C. 函数y随着x增大而增大 D. 时， 12. 百舸竞渡，激情飞扬，端午节期间，铜仁市举行龙舟比赛．甲、乙两支龙舟队在比赛时距出发点的路程与时间之间的函数图象如图所示，结合图象，下列说法正确的是（ ） A. 甲龙舟队先到达终点 B. 乙龙舟队前分钟的速度是 C. 在距出发点米处乙龙舟队追上甲龙舟队 D. 乙龙舟队到达终点时，甲龙舟队距终点 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 四边形的内角和为_______． 14. 甲、乙、丙三支女子篮球队的人数相同，且平均身高都是1.72 m，身高的方差分别是，，，则身高比较整齐的篮球队是_______． 15. 函数的自变量的取值范围是_________． 16. 如图，正方形中，，E是边的中点，点P从点A开始以每秒1个单位长度的速度在边上匀速运动，在点P的运动过程中，连接，将沿翻折，点A落在处，设点P运动时间为，当点到的距离为6时，t的值为_______． 三、解答题（本大题共9小题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解答下列各题 （1）计算：； （2）下面是小颖同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务． ……第一步 ……第二步 ……第三步 任务一：小颖同学的化简过程中，第_______步是在进行分式的通分，从第_______步开始出现错误； 任务二：请写出正确的化简过程． 18. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为， 请解答以下问题． （1）当时，点B在第______象限，线段的长为______； （2）将点B向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到点C，当点C在第四象限时，求m的取值范围． 19. 为提升学生的数学素养，某中学组织开展数学阅读活动，该校教务处为了解七、八年级学生参与数学阅读时长情况，从两个年级学生中各随机抽取50名学生进行调查，收集的学生每周参与数学阅读的时长（x小时）数据按照如下标准分组：；；；；，根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表． 年级 平均数 中位数 第一四分位数 第三四分位数 七年级 1.8 1.8 m 2.4 八年级 2.0 1.9 1.3 2.6 请你根据统计图表提供的信息，解答下列问题： （1）本次被调查的七年级学生中每周参与数学阅读时长在小时范围内有_______人，请补全频数分布直方图； （2）若七年级学生中每周参与数学阅读时长在小时范围内的数据是：1.0，1.1，1.1，1.2，1.2，1.3，1.3，1.3，1.3，1.3，1.4，1.4，则这组数据的众数为_______，表中的_______； （3）你认为哪个年级组织阅读活动效果较好，并说明理由．（说一条即可） 20. 如图，在平行四边形中，点E是边的中点，延长与的延长线相交于点F，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 如图，直线的函数表达式为，直线与x轴交于点，与y轴交于点A，与直线交于点． （1）求直线的函数表达式； （2）若将直线向下平移m个单位，使两直线的交点P落在线段上（不与点A，点B重合），求m的取值范围． 22. 综合实践 实践课题：将三角形纸片剪拼成矩形，要求拼出的矩形与原三角形面积相等． 准备材料：三角形纸片，剪刀，铅笔，直角三角板． 方案设计：小芳同学设计了如下不完整的剪拼方案：如图1，取的中点D，过D作垂足为点M；沿剪开，将绕点D顺时针旋转，得； 根据以上条件，完成下列任务： （1）任务一：请帮小芳的剪拼方案补充完整或者另外设计一种不同于小芳的剪拼方案，并说明剪拼过程． （2）任务二：在中，若，面积为，请计算你所剪拼的矩形的对角线长． 23. 我市某校科创实验室准备采购甲、乙两型号机器人模型，经调查甲型机器人模型单价比乙型机器人模型单价多500元，用20000元购买甲型机器人模型和用15000元购买乙型机器人模型的数量相同． （1）设甲型机器人模型每台x元，则乙型机器人模型每台_________元． （2）求甲，乙两型号机器人模型的单价分别是多少元？ （3）该校计划采购甲、乙两型号机器人模型共40台，要求甲型机器人模型的数量不低于乙型机器人模型的数量的，请问采购甲型机器人模型多少台，才能使总费用最低，最低费用是多少元？ 24. 在平面直角坐标系中，直线的表达式为，分别与x轴，y轴交于点B，C． （1）点B的坐标是___________，点C的坐标是___________； （2）如图，直线分别与x轴，y轴交于点A，E，与直线交于点D，点M是x轴上的任意一点，求的最小值； （3）在（2）的条件下，若点G是直线上的动点，在y轴上是否存在点F，使以点B，D，F，G为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 已知在菱形中，，，N是上的一点，将线段绕点A逆时针旋转，得到，连接． （1）如图1，的度数为___________；线段与线段的数量关系为_________； （2）如图2，连接，，试探究线段，，的数量关系，并说明理由； （3）若点N是射线上的动点，且，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 铜仁市2026年7月质量监测试题 八年级数学 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共8页，三个大题，共25题，满分150分．考试时长120分钟，考试形式为闭卷． 2．请在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题不计分． 3．不能使用计算器． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 把多项式分解因式的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先找出多项式的公因式，提取公因式得到结果，对比选项即可求解. 【详解】解：观察多项式， ∵两项的公因式为， ∴提取公因式得. 2. 剪纸是中国最古老的民间艺术之一，贵州省苗族传统美术剪纸是国家级非物质文化遗产之一．下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形”进行分析判断． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意． 3. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若，则的长是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵四边形为矩形，， ∴． 4. 为了解八年级学生的体能状况，某校对甲、乙两个班级学生的一分钟跳绳成绩进行了统计．制作了两个班级成绩的箱线图如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 甲班的第一四分位数低于乙班的第一四分位数 B. 甲班学生的最好成绩高于乙班学生的最好成绩 C. 甲班学生的成绩比乙班学生的成绩更加分散 D. 甲班学生成绩的中位数高于乙班学生成绩的中位数 【答案】D 【解析】 【分析】箱线图能直接显示一组数据的最大值、最小值、中位数及上下四分位数，但无法直接显示平均数、方差及具体某个排名的数值． 【详解】解：．由箱线图知：甲班的第一四分位数是145，乙班的第一四分位数是140，则甲班的第一四分位数高于乙班的第一四分位数，故该选项不符合题意； ．由箱线图知：甲班学生的最好成绩是200，乙班学生的最好成绩是210，故甲班学生的最好成绩低于乙班学生的最好成绩，故该选项不符合题意； ．由箱线图知：甲班学生成绩的箱线图宽度较窄，则甲班成绩比乙班成绩集中，故该选项不符合题意； ．由箱线图知：甲班的中位数是165，乙班的中位数是160，甲班中位数高于乙班，该说法正确 ，故该选项符合题意. 5. 正比例函数的图象经过（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、四象限 D. 第二、三象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据比例系数的符号即可判断函数图象经过的象限. 【详解】解：∵正比例函数中，， ∴根据正比例函数的性质，当时，正比例函数的图象经过第二、四象限. 6. 如图1是一只风筝，其骨架抽象成平面图形如图2所示，点，分别是外骨架，的中点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵点，分别是，的中点，且， ∴（三角形的中位线定理）． 7. 为加强体育管理，某校规定学生的学期体育综合成绩计算办法为：平时成绩占，期中成绩占，期末成绩占．小华同学的三项成绩依次为，则他的学期体育综合成绩是（ ） A. 90 B. 93 C. 88 D. 91 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵ 学期体育综合成绩为各项成绩乘以对应权重的和， ∴ 小华的综合成绩为： ． 8. 如图，已知菱形的边长是8，，则菱形的面积是（ ） A. B. C. 32 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可求出，根据，可求出，根据菱形的性质可得，根据含角的直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，然后求出对角线的长即可求解． 【详解】解：∵菱形的边长是8，， ∴，， ∵， ∴， 设交于点， ∴在中，，， ∴， ∴ ∴， ∴菱形的面积是． 9. 化简分式的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同分母分式减法法则：分母不变，分子相减计算，再通过因式分解约分得到结果. 【详解】解：原式 . 10. 如图，在平行四边形中，，以点B为圆心，以适当长度为半径作弧，交，于M，N两点，再分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于E，若，，的长度为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理求出，由作图可得出，根据平行线的性质得出，则，根据等角对等边得出，最后根据线段的和差关系求解即可. 【详解】解：∵，，， ∴， 由作图可知，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 11. 已知一次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 方程的解是 B. C. 函数y随着x增大而增大 D. 时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的图象和一次函数的性质，可以判断出各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可得， 当时，，则方程的解是，故选项A错误，不符合题意； 当时，，故选项B错误，不符合题意； 随的增大而减小，故选项C错误，不符合题意； 当时，，故选项D正确，符合题意. 12. 百舸竞渡，激情飞扬，端午节期间，铜仁市举行龙舟比赛．甲、乙两支龙舟队在比赛时距出发点的路程与时间之间的函数图象如图所示，结合图象，下列说法正确的是（ ） A. 甲龙舟队先到达终点 B. 乙龙舟队前分钟的速度是 C. 在距出发点米处乙龙舟队追上甲龙舟队 D. 乙龙舟队到达终点时，甲龙舟队距终点 【答案】C 【解析】 【分析】由图象可知，乙龙舟队先到达终点即可判断；由图象可知，乙龙舟队前分钟的速度是，即可判断；分别求出解析式，当乙龙舟队追上甲龙舟队时，解得，再代入即可判断；由图象可知乙龙舟队到达终点时，，则有，所以，即可判断． 【详解】解：、由图象可知，乙龙舟队先到达终点，该选项说法错误，不符合题意； 、由图象可知，乙龙舟队前分钟的速度是，该选项说法错误，不符合题意； 、设甲队在比赛时路程与时间之间的函数解析式为， ∴，解得， ∴， 由图象可知乙队加速后，直线过点，， 设解析式为，则， 解得， 则解析式为， 当乙龙舟队追上甲龙舟队时，解得， ∴， 即在距出发点米处乙龙舟队追上甲龙舟队，该选项说法正确，符合题意； 、由图象可知乙龙舟队到达终点时，， ∴，则， ∴乙龙舟队到达终点时，甲龙舟队距终点，该选项说法错误，不符合题意． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 四边形的内角和为_______． 【答案】360°． 【解析】 【详解】试题分析：根据n边形的内角和是（n﹣2）•180°，代入公式就可以求出四边形的内角和为：（4﹣2）×180°=360°． 考点：多边形内角和定理． 14. 甲、乙、丙三支女子篮球队的人数相同，且平均身高都是1.72 m，身高的方差分别是，，，则身高比较整齐的篮球队是_______． 【答案】乙队 【解析】 【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明数据波动越小，身高越整齐，据此比较三个方差的大小即可求解. 【详解】解：，，， ， 乙队身高的波动最小，身高比较整齐. 15. 函数的自变量的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的意义，被开方数是非负数，即可求解． 【详解】根据题意得：， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 16. 如图，正方形中，，E是边的中点，点P从点A开始以每秒1个单位长度的速度在边上匀速运动，在点P的运动过程中，连接，将沿翻折，点A落在处，设点P运动时间为，当点到的距离为6时，t的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】分两种情况讨论：当在E的右下方时，过作于M，交于N，过作于H，则四边形是矩形，四边形是矩形，得出，，，结合已知得出，在中，根据勾股定理求出，则，在中，根据勾股定理求出，解方程即可； 当在E的右上方时，过作于M，交于N，过作于H，用类似的方法求解即可． 【详解】解：∵正方形中，， ∴，， ∵E是边的中点， ∴， ∵翻折， ∴，， 当在E的右下方时，如图，过作于M，交于N，过作于H， 则四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，，， ∵点到的距离为6， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 解得； 当在E的右上方时，如图，过作于M，交于N，过作于H， 则四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，，， ∵点到的距离为6， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 解得； 综上，t的值为或10． 三、解答题（本大题共9小题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解答下列各题 （1）计算：； （2）下面是小颖同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务． ……第一步 ……第二步 ……第三步 任务一：小颖同学的化简过程中，第_______步是在进行分式的通分，从第_______步开始出现错误； 任务二：请写出正确的化简过程． 【答案】（1） （2）任务一：一，二， 任务二：原式 【解析】 【分析】（1）先化简各式，然后进行计算即可解答； （2）任务一：通过观察解答过程可知，第一步是在进行分式的通分，化简过程从第二步开始出现错误； 任务二：先通分，然后根据同分母分式相加减的法则计算即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 任务一：略； 任务二：略. 18. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为， 请解答以下问题． （1）当时，点B在第______象限，线段的长为______； （2）将点B向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到点C，当点C在第四象限时，求m的取值范围． 【答案】（1）一，2 （2） 【解析】 【分析】（1）求出点的坐标即可得其所在的象限，再结合点的坐标可得线段的长； （2）先根据点坐标的平移规律可得点的坐标，再根据第四象限内的点的横坐标大于0、纵坐标小于0建立不等式组，解不等式组即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴点的坐标为， ∵， ∴点在第一象限； ∵点的坐标为， ∴线段的长为． 【小问2详解】 解：∵将点向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到点， ∴，即， ∵点在第四象限， ∴， 解得． 19. 为提升学生的数学素养，某中学组织开展数学阅读活动，该校教务处为了解七、八年级学生参与数学阅读时长情况，从两个年级学生中各随机抽取50名学生进行调查，收集的学生每周参与数学阅读的时长（x小时）数据按照如下标准分组：；；；；，根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表． 年级 平均数 中位数 第一四分位数 第三四分位数 七年级 1.8 1.8 m 2.4 八年级 2.0 1.9 1.3 2.6 请你根据统计图表提供的信息，解答下列问题： （1）本次被调查的七年级学生中每周参与数学阅读时长在小时范围内有_______人，请补全频数分布直方图； （2）若七年级学生中每周参与数学阅读时长在小时范围内的数据是：1.0，1.1，1.1，1.2，1.2，1.3，1.3，1.3，1.3，1.3，1.4，1.4，则这组数据的众数为_______，表中的_______； （3）你认为哪个年级组织阅读活动效果较好，并说明理由．（说一条即可） 【答案】（1）10，补图如下： （2）1.3，1.3 （3）八年级组织阅读活动效果较好 理由：∵八年级的平均数、中位数、第三四分位数均高于七年级， ∴八年级组织阅读活动效果较好． 【解析】 【分析】（1）用总人数减去其余各组人数即可求解，然后补全直方图即可； （2）根据众数和第一四分位数的定义求解即可； （3）从平均数和中位数以及四分位数的角度作出判断即可． 【小问1详解】 解：每周参与数学阅读时长在小时范围内有（人）， 补图略； 【小问2详解】 解：这组数据中1.3出现的次数最多，有5次， ∴这组数据的众数为1.3， 方法一：∵， ∴第一四分位数向上取整为第13个数据， 则； 方法二：∵一共有50个数据， ∴第一四分位数为前25个数的中位数，即第13个数， ∴第一四分位数为1.3； 【小问3详解】 略 20. 如图，在平行四边形中，点E是边的中点，延长与的延长线相交于点F，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∴； （2）4 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质和平行线的性质得到，由线段中点的定义得到，据此可证明； （2）由全等三角形的性质和平行四边形的性质得到，则由三线合一定理得到，由勾股定理可求出的长；证明四边形是平行四边形，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，连接， 由（1）知， ∴， 由平行四边形的性质可得，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 21. 如图，直线的函数表达式为，直线与x轴交于点，与y轴交于点A，与直线交于点． （1）求直线的函数表达式； （2）若将直线向下平移m个单位，使两直线的交点P落在线段上（不与点A，点B重合），求m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据待定系数法求出，结合平移的性质设向下平移m个单位的表达式为，求出，然后分别把、代入表达式求出m对应的值，最后结合P不与A，B两点重合，即可求解． 【小问1详解】 解：设直线表达式为， 【小问2详解】 ∵过，， ∴ ， 解得 ， ∴直线表达式为； 解：∵过点． ∴， ∴ ∴表达式为， 设向下平移m个单位的表达式为． 又∵与y轴交于点A， ∴当时，， ∴ 当 过时，，解得； ②当 过时，，解得， 又∵P不与A，B两点重合， ∴． 22. 综合实践 实践课题：将三角形纸片剪拼成矩形，要求拼出的矩形与原三角形面积相等． 准备材料：三角形纸片，剪刀，铅笔，直角三角板． 方案设计：小芳同学设计了如下不完整的剪拼方案：如图1，取的中点D，过D作垂足为点M；沿剪开，将绕点D顺时针旋转，得； 根据以上条件，完成下列任务： （1）任务一：请帮小芳的剪拼方案补充完整或者另外设计一种不同于小芳的剪拼方案，并说明剪拼过程． （2）任务二：在中，若，面积为，请计算你所剪拼的矩形的对角线长． 【答案】（1）如图所示， 取的中点E，过E作垂足为点N；沿剪开，将绕点E顺时针旋转，得； （2） 【解析】 【分析】（1）仿照小芳的方法剪拼即可； （2）过A作于点H，连接，根据三角形的面积公式可求出，根据旋转的性质得出，，，，则四边形是矩形，得出，，进而证明四边形是矩形，得出，根据线段的数量关系可判断，最后根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过A作于点H，连接， ∵，， ∴， ∴ ， ∵绕点D顺时针旋转，得，， ∴，， 同理，， ∴四边形是矩形， ∴，， 又， ∴四边形是矩形， ∴ ∵，，，， ∴， ∴， ∴对角线． 23. 我市某校科创实验室准备采购甲、乙两型号机器人模型，经调查甲型机器人模型单价比乙型机器人模型单价多500元，用20000元购买甲型机器人模型和用15000元购买乙型机器人模型的数量相同． （1）设甲型机器人模型每台x元，则乙型机器人模型每台_________元． （2）求甲，乙两型号机器人模型的单价分别是多少元？ （3）该校计划采购甲、乙两型号机器人模型共40台，要求甲型机器人模型的数量不低于乙型机器人模型的数量的，请问采购甲型机器人模型多少台，才能使总费用最低，最低费用是多少元？ 【答案】（1） （2）甲型机器人模型的单价2000元，则乙型机器人模型的单价1500元． （3）采购甲型机器人模型为10台，才能使总费用最低，最低费用是65000元 【解析】 【分析】（1）根据甲型机器人模型单价比乙型机器人模型单价多500元列式即可； （2）根据题意列出分式方程，求解并检验即可； （3）设甲型机器人模型有a台，则乙型机器人模型有台，设总费用为w元，根据题意写出w与a的关系式，根据一次函数的增减性并结合a的取值范围，求出w的最小值． 【小问1详解】 解：乙型机器人模型每台元； 【小问2详解】 解：根据题意可得 ， 解得， 经检验是分式方程的解，且符合题意； （元）； 答：甲型机器人模型的单价2000元，则乙型机器人模型的单价1500元； 【小问3详解】 解：设采购甲型机器人模型有a台，则采购乙型机器人模型有台，设总费用为w元， 根据题意可得 ， 解得， 又因为 ， ∵，w随着a增大而增大， ∴当时，w有最小值； 最小值为（元）， 答：采购甲型机器人模型为10台，才能使总费用最低． 24. 在平面直角坐标系中，直线的表达式为，分别与x轴，y轴交于点B，C． （1）点B的坐标是___________，点C的坐标是___________； （2）如图，直线分别与x轴，y轴交于点A，E，与直线交于点D，点M是x轴上的任意一点，求的最小值； （3）在（2）的条件下，若点G是直线上的动点，在y轴上是否存在点F，使以点B，D，F，G为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）当时，，当时，，分别求出点坐标； （2）分别求出E、D的坐标，然后作点关于轴的对称点，则，连接，，则，从而得出，故当、M、D三点共线时，最小，最小值为，然后根据两点间距离公式求解即可； （3）因为平行四边形的顶点顺序不固定，所以分为边、为对角线两种情况，结合平行四边形对边平行且相等或对角线互相平分的性质，设G、F的坐标，根据坐标关系列方程求解点F坐标． 【小问1详解】 解：当时，，当时，，解得， ； 【小问2详解】 解：对于，当时，， ， 联立， 解得， ， 作点关于轴的对称点，则，连接，， 则， ， 当、M、D三点共线时，最小，最小值为， 此时， 即的最小值为； 【小问3详解】 解：设，， ∵以点，，，为顶点的四边形是平行四边形， ∴当为边时， 向上平移，使点B落在y轴上的点，点D落在直线上的点，连接， 则， ∴四边形是平行四边形， ∴， 解得， ∴； 向下平移，使点D落在y轴上的点，点B落在直线上的点，连接， 则， ∴四边形是平行四边形， ∴， 解得， ∴； 当对角线时，取的中点P，过P作直线交y轴于点，交直线于点，使，连接， 则四边形是平行四边形， 由中点坐标公式得， 解得， ∴． 综上，存在满足条件的点，坐标为或． 25. 已知在菱形中，，，N是上的一点，将线段绕点A逆时针旋转，得到，连接． （1）如图1，的度数为___________；线段与线段的数量关系为_________； （2）如图2，连接，，试探究线段，，的数量关系，并说明理由； （3）若点N是射线上的动点，且，求的长． 【答案】（1）， （2）解：，理由如下： ∵是菱形的对角线，， ∴，，， ∴，； 又∵， ∴； 又∵，， ∴； ∴，； 又∵， ∴； 在中 ∴， 又∵， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质和平行线的性质即可求出的度数；证明，即可得出线段与线段的数量关系； （2）根据菱形的性质可求出，证明，得出，，则，在中，根据勾股定理得出，，即可得出结论； （3）过作，交延长线点E，根据菱形的性质，勾股定理以及含角的直角三角形的性质可求出，，，； 然后分两种情况讨论：①当N在线段上时，②当N在的延长线时，结合（2）中求解即可． 【小问1详解】 解：∵菱形， ∴，， ∴， 又∵， ∴； 又∵，， ∴； ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过作，交延长线点E， ∵四边形是菱形，，∠． ∴，， 在中，，， ∴，． 在中，，． ∴； ①当N在线段上时，如上图 ∵． ∴； 由（2）， ∴ ； ②当N在的延长线时，如下图 ∵． ∴； 由（2） ∴， 综上，长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $