精品解析：贵州省六盘水市2025-2026学年下学期八年级素养监测试题卷数学

2026年八年级素养监测试题卷 数学 温馨提示：1．请考生将相关信息和答案填涂到答题卷上． 2．本试题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟． 3．本试题卷和答题卷一并交回． 一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分．每题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 保健食品 B. 绿色食品 C. 有机食品 D. 速冻食品 3. 贵州简称“贵”或“黔”，地处中国西南腹地，总面积约为平方千米．数据用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，分别是，的中点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，平分交于点，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 六盘水市年月—日每日的最高气温依次如下： 日期 日 日 日 日 日 日 日 最高气温 则这组数据的四分位数和分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，，，．是平面内一点，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点不可能在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 如果分式的值为0，则的值应为（ ） A. 3 B. C. D. 9 11. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线交于点．已知，，则的长为（ ） A. B. C. D. 12. 在人工智能产业持续发展的今天，智能警用机器人已逐步投入使用．图是警用机器人小安与小满，他们从甲地出发，前往同一直线上相距米的乙地开展巡逻工作．小安先行且速度恒定，小满出发一段时间后提速至原速的倍．小安警官和小满警官行走路程（米）与行走时间（秒）之间的关系如图所示，下列说法正确的有（ ）个． ①线段表示小安警官行走路程与时间之间的关系； ②小满警官提速前的速度是米/秒； ③线段所在直线的函数关系式是； ④当时，小安警官和小满警官之间的距离不超过米的总时长是秒． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13. 计算：＝_____． 14. 如图是一幅中式墙体窗格设计图，该窗格的外边框为正六边形，则该正六边形的内角和为________度． 15. 某校拟派一名跳高运动员参加校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了次选拔测试，测得甲、乙两人的平均成绩相同，方差分别为，，据此判断，这两人中________的成绩更稳定．（填写“甲”或“乙”） 16. 如图，将折叠后，点与点重合，点的对应点为点，折痕为．若，，，则点到的距离为________． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解决下列问题： （1）计算：； （2）解不等式组：请结合题意完成本题的解答． 解：解不等式①，得________； 解不等式②，得________； 把不等式①②的解集在同一数轴上表示出来： ∴原不等式组的解集为________． 18. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）将向右平移个单位长度，得到，在图中画出平移后的； （2）作关于坐标原点成中心对称的； （3）在（1）（2）的条件下，写出的坐标________；的坐标________． 19. 为了选拔学生参加全市网络安全知识竞赛，某中学举办了网络安全知识测试．对笔试成绩前三的小颖、小亮、小华（依次为95分、97分、98分）三名同学进行演讲成绩打分，演讲成绩由位评委现场打分（满分为10分），演讲成绩取全体评委打分总和，综合成绩按笔试成绩占，演讲成绩占计算． 【数据收集与整理】 以下是位同学演讲成绩得分情况统计图： 小颖、小亮、小华三名同学综合成绩（单位：分）情况统计表 学生 评委打分的中位数 评委打分的众数 演讲成绩 综合成绩 小颖 小亮 和 小华 【数据分析与运用】 （1）________，________； （2）求小华同学的演讲成绩； （3）计算小华的综合成绩，并通过综合成绩判断选择谁参加全市的网络安全知识竞赛． 20. 如图，在四边形中，，对角线，相交于点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 21. 为落实“健康第一”教育理念，持续强化校园体育特色建设．某校需采购A，B两种类型的体育器材来丰富大课间锻炼及课后体育活动．已知购买套A型体育器材比购买套B型体育器材多元，用元购买A型体育器材和用元购买B型体育器材的数量相同． （1）求A，B两种类型的体育器材每套各多少元； （2）该校计划采购A，B两种类型的体育器材共套，且总费用不超过元，则最多购进A型体育器材多少套． 22. 数形结合是解决问题的一种重要的思想方法，华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．我们既可以通过代数估算比较两个无理数的大小，又可以借助几何直观验证结论． 完成下列问题： （1）贝贝利用估算的方法得到________，________（结果精确到） 从而得到：________（填“”“”或“”） （2）欢欢利用数形结合构造了如图所示的图形，其中，，，．请结合此图完成与的大小比较． 23. 如图，直线：与轴交于点，直线：与直线交于点，与轴交于点． （1）点的坐标为________；当时，的取值范围是________； （2）求直线的函数表达式； （3）将直线沿轴方向平移后与直线交于点，若，直接写出直线平移后的函数表达式． 24. 我们通常把多项式及叫作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们可以做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最值问题． 例如：分解因式； ． 又例如：求代数式的最小值； ， 且， 当，即时，有最小值，最小值是． 利用“配方法”解答下列问题： （1）分解因式：________； （2）若多项式的最大值为，求的值； （3）已知，，是的三边长，且满足，试判断的形状． 25. 【问题背景】 旋转变换是几何变换中经典的基础模型．借助旋转，图形潜藏的几何特征会直观呈现，原本分散的条件与结论得以汇聚整合，各元素间的关联也变得清晰易懂，进而实现问题的巧妙转化与顺利求解． 【操作发现】 （1）如图①，在中，，，，为边上的点，且，试判断线段，，之间的数量关系．我们可以将绕点旋转到处，再连接．这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到同一个三角形中解决问题． ①线段，，之间满足的数量关系是________； ②若，，则________； 【联系拓展】 （2）如图②，在等边内有一点，若点到顶点，，的距离分别是，，，求的度数； 【学以致用】 （3）如图③所示是一个三角形公园，其中顶点，，为公园的出入口，，，，，工人师傅准备在公园内修建一凉亭，使该凉亭到三个出入口的距离之和最小，最小是________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年八年级素养监测试题卷 数学 温馨提示：1．请考生将相关信息和答案填涂到答题卷上． 2．本试题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟． 3．本试题卷和答题卷一并交回． 一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分．每题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，包括有限小数和无限循环小数，据此判断． 【详解】解：选项A、开方开不尽，是无限不循环小数，是无理数； 选项B、是整数，属于有理数； 选项C、是无限循环小数，属于有理数； 选项D、是分数，属于有理数． 2. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 保健食品 B. 绿色食品 C. 有机食品 D. 速冻食品 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【详解】A中，该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B中，该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C中，该图形是不轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； D中，该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 3. 贵州简称“贵”或“黔”，地处中国西南腹地，总面积约为平方千米．数据用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：数据用科学记数法可以表示为． 4. 如图，在中，，分别是，的中点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：，分别是，的中点，， ． 5. 已知，下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、∵，不等式两边同时加1，不等号方向不变，∴，故A错误； B、∵，不等式两边同时除以正数3，不等号方向不变，∴，故B错误； C、∵，不等式两边同时乘以负数，不等号方向改变，∴，故C错误； D、∵，不等式两边同时减去，不等号方向不变，∴，故D正确． 6. 如图，在中，平分交于点，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得，，进而求得，再由角平分线的性质即可得，进一步计算可求得结果． 【详解】解：∵在中，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 7. 六盘水市年月—日每日的最高气温依次如下： 日期 日 日 日 日 日 日 日 最高气温 则这组数据的四分位数和分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】先将数据从小到大排序，再计算对应分位数的位置，根据规则得到四分位数结果． 【详解】解：首先将7个最高气温数据从小到大排序，得：， 数据个数 ， 计算的位置：， 不是整数，向上取整得2，因此是排序后第2个数据，即； 计算的位置：， 不是整数，向上取整得6，因此是排序后第6个数据，即． 8. 下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形就是因式分解，据此对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵因式分解要求左边是多项式，右边为几个整式的积的形式， A选项的变形是整式乘法，右边不是整式积的形式，不符合要求； B选项左边是单项式，不是多项式，不符合要求； C选项右边是和的形式，不是整式积的形式，不符合要求； D选项，左边是多项式，右边是整式的积，且变形是恒等变形，符合因式分解的定义． 9. 如图，在平面直角坐标系中，，，．是平面内一点，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点不可能在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意画出草图，可得符合条件的第四个顶点有三种可能，即可求解． 【详解】解：如图，第四个顶点不可能在第三象限． 10. 如果分式的值为0，则的值应为（ ） A. 3 B. C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式值为0的条件． 分式的值为0需分子为0且分母不为0，解分子方程并排除分母为0的情况． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴分子且分母， 解得或且， ∴． 故选：B． 11. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线交于点．已知，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据作图可知是的角平分线，过点作于点，利用角平分线的性质可得，在中利用勾股定理求出的长，再证明得到，最后设，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：过点作于点， 由作图可知，平分， ，， ， 在中，，， ， 在和中， ， ， ， 设，则， 在中，，， ， 解得， ． 12. 在人工智能产业持续发展的今天，智能警用机器人已逐步投入使用．图是警用机器人小安与小满，他们从甲地出发，前往同一直线上相距米的乙地开展巡逻工作．小安先行且速度恒定，小满出发一段时间后提速至原速的倍．小安警官和小满警官行走路程（米）与行走时间（秒）之间的关系如图所示，下列说法正确的有（ ）个． ①线段表示小安警官行走路程与时间之间的关系； ②小满警官提速前的速度是米/秒； ③线段所在直线的函数关系式是； ④当时，小安警官和小满警官之间的距离不超过米的总时长是秒． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题意知小安先行，则线段表示小安警官行走路程与时间之间的关系，故说法①正确； ，小满警官提速前的速度是1米/秒，不是米/秒，故说法②错误； 由题意知，小满警官提速后的速度是2米/秒， ，， ∴， 设直线所在直线的函数关系式是， 将，代入得，，解得， ∴线段所在直线的函数关系式是，故说法③正确； 第一阶段：小满警官出发前，时长为60秒； 第二阶段：(小满警官出发但未提速，此时二者速度一致，始终有90米的距离，不符合题意)； 第三阶段：小满警官出发提速后相遇前，， 小安所在直线解析式为，，则，∴； 第四阶段：小满警官出发提速后相遇后，， ∴，则，∴； 第五阶段：小满警官到达终点，小安继续前进，小满与终点相距小于等于60米，则，∴； 总时长(秒) ，故说法④正确． 二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13. 计算：＝_____． 【答案】2x 【解析】 【分析】直接利用分式的性质化简得出答案． 【详解】解：＝＝2x． 故答案为：2x． 【点睛】本题主要考查了约分，正确掌握分式的性质化简是解题关键． 14. 如图是一幅中式墙体窗格设计图，该窗格的外边框为正六边形，则该正六边形的内角和为________度． 【答案】 【解析】 【分析】根据边形的内角和公式，将代入计算即可求解． 【详解】解：根据多边形内角和公式，得， 正六边形的内角和为． 15. 某校拟派一名跳高运动员参加校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了次选拔测试，测得甲、乙两人的平均成绩相同，方差分别为，，据此判断，这两人中________的成绩更稳定．（填写“甲”或“乙”） 【答案】甲 【解析】 【分析】平均成绩相同时，比较两人方差的大小，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定，据此即可判断． 【详解】解：已知甲，乙两人平均成绩相同，且，， 因为，即， 所以甲的成绩波动更小，甲的成绩更稳定． 16. 如图，将折叠后，点与点重合，点的对应点为点，折痕为．若，，，则点到的距离为________． 【答案】## 【解析】 【分析】如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点，设，则，通过平行四边形的性质证明，先根据勾股定理列方程可得的长，最后由三角形面积可得结论． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点， 设，则， 由折叠的性质，得 ，   四边形是平行四边形，  ，，，  ， 在中，，  ， 由勾股定理，得， ，  ，，  ， 解得， ， 的面积，  ， ， 即点到的距离为． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解决下列问题： （1）计算：； （2）解不等式组：请结合题意完成本题的解答． 解：解不等式①，得________； 解不等式②，得________； 把不等式①②的解集在同一数轴上表示出来： ∴原不等式组的解集为________． 【答案】（1） （2）；；； 【解析】 【分析】（1）根据绝对值性质去绝对值、计算有理数乘方、将二次根式化为最简形式，再合并同类项即可； （2）分别求出两个一元一次不等式的解集，将两个解集在数轴上表示，找出公共部分，公共部分即为原不等式组的解集． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：解不等式①，得； 解不等式②，得； 把不等式①②的解集在同一数轴上表示出来： ∴原不等式组的解集为． 18. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）将向右平移个单位长度，得到，在图中画出平移后的； （2）作关于坐标原点成中心对称的； （3）在（1）（2）的条件下，写出的坐标________；的坐标________． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）如上图，即为所求； （3）； 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由坐标系可得，的坐标为；的坐标为． 19. 为了选拔学生参加全市网络安全知识竞赛，某中学举办了网络安全知识测试．对笔试成绩前三的小颖、小亮、小华（依次为95分、97分、98分）三名同学进行演讲成绩打分，演讲成绩由位评委现场打分（满分为10分），演讲成绩取全体评委打分总和，综合成绩按笔试成绩占，演讲成绩占计算． 【数据收集与整理】 以下是位同学演讲成绩得分情况统计图： 小颖、小亮、小华三名同学综合成绩（单位：分）情况统计表 学生 评委打分的中位数 评委打分的众数 演讲成绩 综合成绩 小颖 小亮 和 小华 【数据分析与运用】 （1）________，________； （2）求小华同学的演讲成绩； （3）计算小华的综合成绩，并通过综合成绩判断选择谁参加全市的网络安全知识竞赛． 【答案】（1）9；8 （2） （3）；选择小华参加全市的网络安全知识竞赛 【解析】 【分析】（1）从折线图中提取小亮的10个评委打分并排序，取第5、6个数的平均数，即可得中位数；统计小颖的评委打分中出现次数最多的分数，即可得众数； （2）用扇形图各分数占比算加权平均分，再乘10个评委，即可得演讲总分； （3）按笔试、演讲权重，计算小华综合成绩；对比三人成绩，选最高者参赛即可． 【小问1详解】 解：将小亮的10个评委打分从小到大排列为：6，7，7，8，9，9，9，10，10，10， 中位数为第5、6个数的平均数， ∴； 从折线图看，小颖的评委打分中8分出现5次，次数最多， ∴； 【小问2详解】 解：分； 【小问3详解】 解：综合成绩按笔试成绩占，演讲成绩占计算， ∴小华的综合成绩分； ∵， ∴选择小华参加全市的网络安全知识竞赛． 20. 如图，在四边形中，，对角线，相交于点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行线的性质得到，再证明全等得到，从而证明四边形是平行四边形； （2）根据等腰三角形的“三线合一”得到，再根据勾股定理和平行四边形的性质求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 由（1）知，四边形是平行四边形，是平行四边形的对角线， ∴． 21. 为落实“健康第一”教育理念，持续强化校园体育特色建设．某校需采购A，B两种类型的体育器材来丰富大课间锻炼及课后体育活动．已知购买套A型体育器材比购买套B型体育器材多元，用元购买A型体育器材和用元购买B型体育器材的数量相同． （1）求A，B两种类型的体育器材每套各多少元； （2）该校计划采购A，B两种类型的体育器材共套，且总费用不超过元，则最多购进A型体育器材多少套． 【答案】（1）A型体育器材每套元，B型体育器材每套元； （2）最多购进A型体育器材套． 【解析】 【分析】（1）根据“两种器材购买数量相同”的等量关系列分式方程求解； （2）根据“总费用不超过元”的不等关系列一元一次不等式，求解得到最大购进数量． 【小问1详解】 解：设每套B型体育器材的价格为元，则每套A型体育器材的价格为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 则， 答：A型体育器材每套元，B型体育器材每套元． 【小问2详解】 解：设购进A型体育器材套，则购进B型体育器材套， 根据题意，得 ， 解得， 答：最多购进A型体育器材套． 22. 数形结合是解决问题的一种重要的思想方法，华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．我们既可以通过代数估算比较两个无理数的大小，又可以借助几何直观验证结论． 完成下列问题： （1）贝贝利用估算的方法得到________，________（结果精确到） 从而得到：________（填“”“”或“”） （2）欢欢利用数形结合构造了如图所示的图形，其中，，，．请结合此图完成与的大小比较． 【答案】（1）1.7；2.6； （2） 【解析】 【分析】（1）利用无理数的估算方法求解即可． （2）先由勾股定理求解，然后根据三角形三边关系求解． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ∴在1和2之间， ∵ ∴，即 而 ∴； ∵ ∴ ∴在2和3之间， ∵ ∴，即 而 ∴； ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴ ∵ ∴． 23. 如图，直线：与轴交于点，直线：与直线交于点，与轴交于点． （1）点的坐标为________；当时，的取值范围是________； （2）求直线的函数表达式； （3）将直线沿轴方向平移后与直线交于点，若，直接写出直线平移后的函数表达式． 【答案】（1）； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将点代入求解点C的坐标；的解集即为直线在直线下方时，对应交点横坐标的取值范围； （2）将点、代入，解方程组即可； （3）由题意可设平移后的函数表达式为，则，那么，则，可求点坐标，再代入平移后的函数表达式求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线：经过点 ∴ ∴， ∴当时，的取值范围是； 【小问2详解】 解：将点、代入， 可得 解得 ∴直线的函数表达式为； 【小问3详解】 解：由题意可设平移后的函数表达式为 对于，当时，则， 解得 ∴ ∴ ∴ ∴ 如图： ∴ 解得 当时，则，解得 ∴ 将点代入，则， ∴平移后的表达式为； 当时，则，解得 ∴ 将点代入，则，解得 ∴平移后的表达式为， 综上：平移后的表达式为或． 24. 我们通常把多项式及叫作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们可以做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最值问题． 例如：分解因式； ． 又例如：求代数式的最小值； ， 且， 当，即时，有最小值，最小值是． 利用“配方法”解答下列问题： （1）分解因式：________； （2）若多项式的最大值为，求的值； （3）已知，，是的三边长，且满足，试判断的形状． 【答案】（1） （2） （3）是直角三角形 【解析】 【分析】（1）利用配方法凑完全平方，再结合平方差公式分解因式即可； （2）先对多项式配方，利用平方数的非负性得到多项式的最大值，再结合已知最大值列方程求解即可； （3）先移项配方，利用非负数的性质求出三角形三边长，再结合勾股定理的逆定理判断三角形形状． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：对配方 ， ， ， 的最大值为， 多项式的最大值为， ， 解得； 【小问3详解】 解： 移项得，， 配方得， ， 即， 任意数的平方为非负数， ， 解得， ， 是直角三角形． 25. 【问题背景】 旋转变换是几何变换中经典的基础模型．借助旋转，图形潜藏的几何特征会直观呈现，原本分散的条件与结论得以汇聚整合，各元素间的关联也变得清晰易懂，进而实现问题的巧妙转化与顺利求解． 【操作发现】 （1）如图①，在中，，，，为边上的点，且，试判断线段，，之间的数量关系．我们可以将绕点旋转到处，再连接．这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到同一个三角形中解决问题． ①线段，，之间满足的数量关系是________； ②若，，则________； 【联系拓展】 （2）如图②，在等边内有一点，若点到顶点，，的距离分别是，，，求的度数； 【学以致用】 （3）如图③所示是一个三角形公园，其中顶点，，为公园的出入口，，，，，工人师傅准备在公园内修建一凉亭，使该凉亭到三个出入口的距离之和最小，最小是________． 【答案】（1）①；② （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①将绕点旋转到处，再连接，然后证明出，，再由全等三角形的性质以及勾股定理求解即可；②将已知数据代入求解即可； （2）以为边向右作等边，连接，证明以及为等边三角形，再由勾股定理逆定理证明，再由角度和差计算即可； （3）将绕点顺时针旋转至，连接，则为等边三角形，那么，故当点共线时，取得最小值，即为，然后求出，再由勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：①将绕点旋转到处，再连接 ∵，， ∴， 由旋转可得，，，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴； ②∵，， ∴由可得， 解得（舍负）； 【小问2详解】 解：以为边向右作等边，连接， ∵是等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴为等边三角形， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴； 【小问3详解】 解：将绕点顺时针旋转至，连接， 由旋转可得，， ∴为等边三角形， ∴ ∴， 当点共线时，取得最小值，即为 ∵ ∴ ∴， ∴最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $