精品解析：山东泰安市岱岳区2025-2026学年八年级下学期7月期末数学练习题

八年级数学练习题 分值：150分；时间：120分钟 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分） 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 两个直角三角形相似 B. 两个等腰三角形相似 C. 两个等腰直角三角形相似 D. 有一个角是的两个等腰三角形相似 4. 如图是某景区大门部分建筑，已知，，当时，则的长是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长和宽各多少步？设长为x步，则下列所列方程中，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点，且，，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 14 D. 16 8. 如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在边长为2的菱形中，，分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，交于点，连接．则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，以为邻边在坐标系内作矩形，，，把矩形绕点O逆时针旋转，当点A旋转到边上的处时，则求点C的对应点的坐标（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分．） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是__________． 12. 如图是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面_______ ． 13. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点B为的黄金分割点（），若，则的长为__________ ．（结果保留根号） 14. 把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形拼成如图2所示的“赵爽弦图”，若图2中小正方形的面积为4，勾，则图1中菱形的周长为______． 15. 如图，中，，，，点D、E分别是、边上的动点，折叠得到，且点落在边上，若恰好与相似，的长为 ____________________ ． 三、解答题（本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算题： （1）； （2）． 17. 解方程： （1）； （2）（用配方法解方程）． 18. 已知关于的方程． （1）求证：无论取何值时，方程总有实数根； （2）若该方程两个根的平方和为25，求的值． 19. 如图，矩形中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧交于点，作射线，过点作的垂线分别交于点，求的长． 20. 智能头盔是在传统防护头盔基础上，集成电子、传感、通讯模块的安全防护+智能穿戴设备，逐渐被电动车、摩托车等骑行爱好者喜欢．某品牌智能头盔专卖店统计了2026年第二季度（4月至6月）该品牌智能头盔的销量情况：4月份销售150个，6月份销售216个． （1）求该店该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； （2）该智能头盔的进价为300元/个，市场调研发现：当售价为400元/个时，月销售量为60个；若售价在此基础上每上涨2元/个，则月销售量将减少1个．为响应政府“安全骑行、惠民利民”的号召，该专卖店希望在月销售利润达到6032元的同时，尽可能让市民享受实惠．请问该品牌智能头盔的实际售价应定为每个多少元？ 21. 为响应国家节能减排的号召，某地乡村道路安装太阳能路灯．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的处时，测得自身影长为1米． （1）求路灯的高度； （2）小明沿着走至处时，头顶的影子刚好落到墙脚处，则他行走的路程是事多少米； （3）小明继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，求此时小明在墙上的影子高度． 22. 如图，已知在中，，平分，交边于点，是边上一点，且，过点作，分别交，于点，，连接． （1）求证：； （2）求证：四边形是菱形； （3）若，，求的长． 23. 数学综合实践课上，在学习了图形的相似后，老师组织同学们以“探究相似基本模型及其迁移运用”为主题的数学活动，对图形旋转过程中的相似进行了深入研究． （1）【问题发现】如图1，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，则四边形为矩形，则_________； （2）【拓展探究】如图2，将图1中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图2说明理由． （3）【解决问题】如图3，中，，点在线段上运动，以为直角边构造且，连接，点为线段的中点，连接． ①求的度数，并说明理由； ②在点的运动过程中，求线段的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学练习题 分值：150分；时间：120分钟 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分） 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A选项：是最简二次根式，被开方数为，与的被开方数不同，不是同类二次根式； B选项：，化简后被开方数为，与的被开方数不同，不是同类二次根式； C选项：，化简后不是二次根式，不是同类二次根式； D选项：，化简后被开方数为，与的被开方数相同，是同类二次根式. 2. 下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个相等的实数根，计算各选项的判别式即可判断． 【详解】解：A、对于方程，，方程没有实数根，不符合题意； B、对于方程，，方程有两个相等的实数根，符合题意； C、对于方程，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D、对于方程，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 两个直角三角形相似 B. 两个等腰三角形相似 C. 两个等腰直角三角形相似 D. 有一个角是的两个等腰三角形相似 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形对应角相等的要求，逐一判断各选项即可得出结论． 【详解】解：A、两个直角三角形只有一组直角相等，其余两个锐角不一定对应相等， ∴两个直角三角形不一定相似，故A错误； B、两个等腰三角形的顶角、底角不一定对应相等， ∴两个等腰三角形不一定相似，故B错误； C、所有等腰直角三角形的三个角都为，，，对应角都相等， ∴两个等腰直角三角形相似，故C正确； D、有一个角是的等腰三角形，可以是顶角也可以是底角，两个三角形的内角不一定对应相等， ∴不一定相似，故D错误． 4. 如图是某景区大门部分建筑，已知，，当时，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，再由可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选C． 5. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算法则，根据二次根式的加减乘除法则逐一计算判断即可． 【详解】解：选项A：和不是同类二次根式，不能合并，∴A错误． 选项B：，∴B错误． 选项C：，∴C错误． 选项D：，计算正确，∴D正确． 6. 在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长和宽各多少步？设长为x步，则下列所列方程中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合长宽的数量关系列方程，整理后对比选项即可得到正确结果． 【详解】解：∵设长为步，宽比长小步， ∴宽为步， ∵长方形面积等于长乘宽，这块田地面积为平方步， ∴列方程得， 整理得． 7. 如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点，且，，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 14 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似的性质是解题的关键． 利用位似图形的性质结合位似比等于相似比得出答案． 【详解】解：， ， 四边形与四边形位似，其位似中心为点O， ，即， ， 故选：C． 8. 如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由矩形性质可得、，知，而，可得度数． 【详解】解：连接，交于点， 四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，即． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，熟记性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等． 9. 如图，在边长为2的菱形中，，分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，交于点，连接．则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，由垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质，得，再得，利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：连接，如图： 由作图痕迹可知，垂直平分， ， ， ， ，， ∴， (负值已舍去)， 四边形为菱形， ， ， ． 10. 如图，以为邻边在坐标系内作矩形，，，把矩形绕点O逆时针旋转，当点A旋转到边上的处时，则求点C的对应点的坐标（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质．利用旋转的性质结合勾股定理求得，作辅助线证明，列出比例式求出，即可解题． 【详解】解：过点作轴于M，过点作轴于， ∵矩形， ∴， ∴四边形和都是矩形， ∴， ∴， 由旋转可得，，， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴的坐标为， 故选：A． 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分．） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：式子在实数范围内有意义， ∴， 解得. 12. 如图是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果． 【详解】解：如图：过作，垂足为，过作，垂足为， ， ， ， ，， ， ， 故答案为： 13. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点B为的黄金分割点（），若，则的长为__________ ．（结果保留根号） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割.根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵点B为的黄金分割点（），， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 14. 把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形拼成如图2所示的“赵爽弦图”，若图2中小正方形的面积为4，勾，则图1中菱形的周长为______． 【答案】40 【解析】 【分析】先求出小正方形的边长为2，则b=8，由勾股定理求出c=10，即可得出结果． 【详解】解：∵小正方形的面积为4， ∴小正方形的边长为2， ∴b=a+2=6+2=8， ∴c==10， ∴菱形的周长为：4c=4×10=40， 故答案为：40． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 15. 如图，中，，，，点D、E分别是、边上的动点，折叠得到，且点落在边上，若恰好与相似，的长为 ____________________ ． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了折叠问题，相似三角形的判定与性质综合，利用相似三角形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 设，则，由折叠的性质得，分两种情况：分为和两种情况，利用相似三角形的对应边成比例列出方程，即可解决问题． 【详解】解：设， ∴， ∵折叠得到， ∴， 当时， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴， ∴，     ∴长是或． 故答案为：或． 三、解答题（本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算题： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 解方程： （1）； （2）（用配方法解方程）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， 或， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ． 18. 已知关于的方程． （1）求证：无论取何值时，方程总有实数根； （2）若该方程两个根的平方和为25，求的值． 【答案】（1）证明：对于方程， 其中， ， ， 恒成立， 无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根 （2） 【解析】 【分析】（1）证明恒大于0； （2）若该方程两个根的平方和为25，求的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，利用求根公式： 解得：； 19. 如图，矩形中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧交于点，作射线，过点作的垂线分别交于点，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】先由勾股定理求解，然后证明，通过求解，最后对运用勾股定理求解． 【详解】解：矩形中，， ， ， 由作图过程知平分，则， ， ，又， 在和中， ， ， ，则， ， ， ，即， ， 在中， 20. 智能头盔是在传统防护头盔基础上，集成电子、传感、通讯模块的安全防护+智能穿戴设备，逐渐被电动车、摩托车等骑行爱好者喜欢．某品牌智能头盔专卖店统计了2026年第二季度（4月至6月）该品牌智能头盔的销量情况：4月份销售150个，6月份销售216个． （1）求该店该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； （2）该智能头盔的进价为300元/个，市场调研发现：当售价为400元/个时，月销售量为60个；若售价在此基础上每上涨2元/个，则月销售量将减少1个．为响应政府“安全骑行、惠民利民”的号召，该专卖店希望在月销售利润达到6032元的同时，尽可能让市民享受实惠．请问该品牌智能头盔的实际售价应定为每个多少元？ 【答案】（1） （2）404元 【解析】 【分析】（1）设该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为，依题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）设该品牌智能头盔的实际售价定为每个y元，依题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：设该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为，由题意得 解得： 即或 （不合题意，舍去） 答：该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌智能头盔的实际售价定为每个y元，由题意得： 解得，， 要尽可能让顾客得到实惠， 该品牌智能头盔的实际售价应定为每个404元． 21. 为响应国家节能减排的号召，某地乡村道路安装太阳能路灯．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的处时，测得自身影长为1米． （1）求路灯的高度； （2）小明沿着走至处时，头顶的影子刚好落到墙脚处，则他行走的路程是事多少米； （3）小明继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，求此时小明在墙上的影子高度． 【答案】（1）米 （2）米 （3）1米 【解析】 【分析】（1）由题意知：米，米，证明，列比例式计算即可； （2）证明，求得（米），再根据，求解即可； （3）连接并延长交于点，过点作于点，交于点，则四边形是矩形，四边形是矩形，设米，则米，米，米，米，米，根据，列比例式求解即可； 【小问1详解】 解：由题意知：米，米， （米）， ， ， 即， 解得：（米）， 答：路灯的高度是米； 【小问2详解】 解：由题意知，米，米，米， ， ， ， 即， 解得：（米）， （米）， 答：当走到处时，他行走的路程是米； 【小问3详解】 解：如图2，连接并延长交于点，过点作于点，交于点， 则四边形是矩形，四边形是矩形， 设米， 则米，米，米， 米，米， ， ， ， 即， 解得：， 答：此时小明在墙上的影子有1米高． 22. 如图，已知在中，，平分，交边于点，是边上一点，且，过点作，分别交，于点，，连接． （1）求证：； （2）求证：四边形是菱形； （3）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）长为 【解析】 【分析】（1）由角平分线的定义得，进而利用“边角边”证明即可证明结论成立； （2）先证明得，，由平行线的性质得，从而有得，于是可证，从而证明结论成立； （3）由得，由（1）得，可证，进而证明，得，即，即可求得的长． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴四边形是菱形． 【小问3详解】 解：在菱形中，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴长为． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定及性质，相似三角形的判定及性质，菱形的判定以及平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定及性质是解题的关键． 23. 数学综合实践课上，在学习了图形的相似后，老师组织同学们以“探究相似基本模型及其迁移运用”为主题的数学活动，对图形旋转过程中的相似进行了深入研究． （1）【问题发现】如图1，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，则四边形为矩形，则_________； （2）【拓展探究】如图2，将图1中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图2说明理由． （3）【解决问题】如图3，中，，点在线段上运动，以为直角边构造且，连接，点为线段的中点，连接． ①求的度数，并说明理由； ②在点的运动过程中，求线段的最小值． 【答案】（1） （2）证明：仍然成立．理由如下： ， ， ， ， 将图1中的矩形绕点逆时针旋转， ， ， ， ， ， （3）① 的度数是，理由如下： 在中，， ， ． 又， ． ， ， ， 即， ， ． ， ， ； ② 【解析】 【分析】（1）根据，证明，，根据平行线分线段成比例，得到，继而得到，解答即可； （2）首先证明，得到，再证明，转化为（1）的情境，求解即可； （3）①首先证明，得到．结合，继而得到，即可得证； ②首先证明，然后根据点在线段上运动，时，线段长度最小，根据直角三角形的性质求解即可； 【小问1详解】 解：（1）由题意得，在矩形中，四边形为矩形， ，， （平行线分线段成比例） ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①略； ② 点为线段的中点 在中，， ， 点在线段上运动时，时，线段长度最小，如图， 此时，在中， 线段的最小值为； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $