精品解析：山东省泰安市岱岳区2024—2025学年下学期八年级数学期末试题

八年级数学练习题 一、选择题每小题4分，共40分． 1. 下列二次根式不能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式和化简二次根式为最简二次根式，掌握同类二次根式概念和化简二次根式为最简二次根式方法是解题关键．判断二次根式能否合并，需化简为最简二次根式后，检查被开方数是否相同即可. 【详解】A. ，能与合并，故不符合题意； B. ，能与合并，故不符合题意； C. ，能与合并，故不符合题意； D. ，不能与合并，故符合题意． 故选：D． 2. 用配方法解方程时，变形结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】本题考查用配方法解一元二次方程，掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．注意：只有当二次项的系数是1的时候，才是等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方．首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式． 【分析】解：， ， ， ． 故选：D． 3. 如图，三角板在手电筒光源的照射下形成了投影，三角板与其投影是位似图形，其相似比是，若三角板的面积是，则其投影的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用位似图形的面积比等于相似比的平方进行计算即可； 【详解】解：设投影的面积为cm，，cm， 故选：D． 【点睛】本题考查位似图形的面积关系，解题关键掌握位似图形的面积比等于相似比的平方． 4. 若有意义，则的取值范围是（ ） A. ≤ B. ≥ C. ﹥0 D. <-1 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式求解． 【详解】解：由题意可得：3x-1≥0， 解得：x≥， 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）是解题关键． 5. “读万卷书，行万里路．”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年64万字增加到九年级的全年144万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率），如果设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为，根据题意即可列出方程求解． 【详解】解：设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为， 根据题意得． 故选：A． 6. 如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（ ） A. 平分 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形判定方法；熟记三角形相似的判定方法“两组角对应相等的两个三角形相似”，“两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似”是解决问题的关键． 【详解】解：在和中，， 如果，需满足的条件有： ①或平分，②； 故选D． 7. 如图，木制活动衣帽架由3个全等的菱形挂钩构成，在A、E、F、C、G、H处安装上、下两排挂钩，可以根据需要改变挂钩间的距离，并在B，M处固定．已知菱形的边长为，要使两排挂钩的距离（即）为，则之间的距离为（ ） A. 36 B. 60 C. 72 D. 96 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理，根据菱形的对角线互相垂直平分，可得，再用勾股定理解求出，即可求解． 【详解】解：如图，设交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵菱形的边长为， ∴， ∴， ∴． 即之间的距离为． 故选：C 8. 下列选项中，可以用来证明命题“两个无理数的乘积一定是无理数”是假命题的反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了假命题的定义以及无理数的定义，错误的命题即为假命题，无限不循环小数即为无理数，再把每个选项的数值进行运算，即可作答． 【详解】解：A、，无法说明两个无理数的乘积一定是无理数是假命题，故该选项是错误的； B、，说明两个无理数的乘积一定是无理数是假命题，故该选项是正确的； C、不是无理数，无法说明两个无理数的乘积一定是无理数是假命题，故该选项是错误的； D、不是无理数，无法说明两个无理数的乘积一定是无理数是假命题，故该选项是错误的； 故选：B 9. 阿基米德曾说过“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见，比如用撬棍撬石头、用剪刀剪纸，甚至开瓶器开啤酒，都是杠杆的巧妙运用．如图①，这是杠杆撬动石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端会翘起，石头就撬动了．如图②所示，的距离为，动力臂米，阻力臂，则的长度为（ ）． A. 50 B. 80 C. 90 D. 100 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度．解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式． 【详解】解：，， ， ， ， 的距离为，动力臂，阻力臂， ， ， 的长为． 故选：C． 10. 如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得，对角线，接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接，则图3中的面积为（　　） A. B. 50 C. D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质可知，过点作，交的延长线于点，根据等边三角形的性质可知，根据含角的直角三角形的性质可得的长，再根据的面积求解即可． 【详解】解：图1连接， 菱形中，， ， 是等边三角形， 对角线， ， ， 图3过点作，交的延长线于点， 是等边三角形， ， ， ， 的面积， 故选：D 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形的面积等，熟练掌握这些性质是解题的关键． 二、填空题，每小题4分，共24分． 11. 使是整数的最小正整数________． 【答案】3 【解析】 【详解】解：∵是整数， ∴12n是一个完全平方数， 又∵12n=4×3n=22×3n， ∴n的最小正整数为3， 此时，==6. 故答案为3 【点睛】此题是将被开方数化成a2的形式，再运用求解. 12. 如图，在中，，点D是斜边的中点，，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查在直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半，等边对等角，三角形的外角性质．根据题意得到，即可得到，再根据三角形的外角性质即可得到答案． 【详解】解：在中，，点D是斜边的中点， ， ， ， 故答案为：． 13. 小明在与Deepseek对话中输入如下的文字，经过40秒的深度思考和验证，Deepseek给出的这个数应该是______． 有没有这样一个数，先计算它的平方，再减去它的3倍后再加上4，结果等于这个数？ 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，根据题意列出关于x的方程和熟练掌握解一元二次方程的基本方法是解题的关键． 设这个输入的数为x，根据题意可得，整理成一般式后利用因式分解法求解可得． 【详解】解：设这个输入的数为x， 根据题意可得， 即， ， 解得：． 故答案为：2． 14. 如图，在菱形中，按如下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点、；作直线，且恰好经过点，与交于点，连接，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题干的作图步骤可知，此作法为作线段的垂直平分线，可知，，即，则可利用勾股定理求得，从而求得． 【详解】解：四边形为菱形， ， 依题意．题中作图为作边垂直平分线， ，， 中，由勾股定理得：， ， ， 由勾股定理得： ， 故答案为． 【点睛】此题主要考查垂直平分线的作法，菱形的性质，勾股定理解直角三角形，此题的关键在能根据作图步骤知道作图所表示的含义． 15. 某商场销售一款恤，进价为每件元，当售价为每件元时，平均每周可卖出件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件恤每降价元，平均每周可多卖出件，若要使每周销售该款恤获利元，设每件降低元，则可列方程为____． 【答案】 【解析】 分析】根据利润售价进价，由每降价元，每星期可多卖出件，可知每件售价降低元，每星期可多卖出件，从而列出方程即可． 【详解】解：原来售价为每件元，进价为每件元，利润为每件元，又每件售价降价元后，利润为每件元，每降价元，每星期可多卖出件，所以每件售价降低元，每星期可多卖出件，现在的销量为， 根据题意得：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O为坐标原点，且，点A的坐标为，则点B的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理、坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据题意和勾股定理可以求得的长，然后即可得到的长，再设点B的坐标为，根据勾股定理得出关于，的二元一次方程组，即可求得点B的坐标． 【详解】解：作轴于点，作轴于点，作交于点，如图所示， 则四边形是矩形， 点A的坐标为， ， ， ， 在中， ， ， ， 在中， ， 设点B的坐标为， 则，， ， 解得：， 将代入， 解得：， 点B的坐标为． 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算． （2）解方程． 【答案】（1）；（2），． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式混合运算，解一元二次方程；掌握二次根式混合运算的步骤及会用公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）先将二次根式化为最简二次根式，再进行加减运算，即可求解； （2）将原方程化为标准形式，用求根公式求解即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）原方程可化为：， ，，， ， ， ，． 18. 如图，菱形的对角线，交于点A，过点B作，过点D作，，交于点C． （1）求证：四边形是矩形． （2）当时，求证：四边形是正方形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了利用菱形的性质，证明四边形是矩形，证明四边形是正方形． （1）根据，，判定四边形是平行四边形，根据菱形的性质可得，从而证得四边形是矩形； （2）当，可证明四边形是正方形，得到，据此可证明四边形是正方形． 【小问1详解】 证明：，， 四边形是平行四边形． 四边形是菱形， 四边形是矩形． 【小问2详解】 证明四边形是菱形，， 四边形是正方形． ，，． ． 由（1）知四边形是矩形， 四边形是正方形． 19. 如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在培上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上． （1）求的长； （2）求灯泡到地面的高度． 【答案】（1） （2）灯泡到地面的高度为 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键． （1）直接利用相似三角形的判定与性质得出的长； （2）根据相似三角形性质列方程进而求出的长． 【小问1详解】 解：由题意可得：， 则， 则， 即， 解得：； 【小问2详解】 解：， ， 光在镜面反射中的入射角等于反射角， ， 又， ， ， ， 解得：， 答：灯泡到地面的高度为． 20. 在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2024年10月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． （1）请证明发现的规律； （2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数． 【答案】（1）见解析 （2）这5个数中最大数为29． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）根据题目数据，设中间的数为a，则另外4个数可以用a的式子表示出来，即可列出算式进行证明； （2）设最大数为为x，则最小数为，列出一元二次方程解答即可． 【小问1详解】 证明：设中间的数为a，则另外4个数分别为，，，， ∴； 【小问2详解】 解：设这5个数中最大数为x，则最小数为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：这5个数中最大数为29． 21. 课本再现 思考 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （1）定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在中，对角线，垂足为． 求证：是菱形． （2）知识应用：如图，在中，对角线和相交于点，． ①求证：是菱形； ②延长至点，连接交于点，若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质证明得出，同理可得，则， ，进而根据四边相等的四边形是菱形，即可得证； （2）①勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，得出，即可得证； ②根据菱形的性质结合已知条件得出，则，过点作交于点，根据平行线分线段成比例求得，然后根据平行线分线段成比例即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∵ ∴， 在中， ∴ ∴， 同理可得，则， 又∵ ∴ ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 ①证明：∵四边形是平行四边形，． ∴ 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴四边形是菱形； ②∵四边形是菱形； ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图所示，过点作交于点， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，勾股定理以及勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键． 22. 关于x得一元二次方程． （1）若该方程有实数根，求m的取值范围； （2）若该方程有两个实数根、（）且，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，则． （1）根据题意可得，据此求解即可； （2）由根与系数的关系得到，再根据已知条件得到，解之即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 如图四边形是矩形，点E，F分别在边，上，且于点H． （1）当时，求证：； （2）若，时，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理等； （1）由矩形的性质及正方形的性质得，由可判定，由全等三角形的性质，即可得证； （2）由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由勾股定理得，即可求解； 掌握矩形的性质，正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，能熟练利用相似三角形的判定及性质，勾股定理进行求解是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形，， ∴矩形是正方形， ∴， ∴， ∵于点H， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：四边形是矩形，，， ∴， ∴， ∵于点H， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：或（不合题意，舍去）， 在中， ． 24. 小星在学习了旋转的相关知识后，对三角形作进一步研究． （1）【提出问题】 已知，如图①，在中，，点是边的中点，连接，将绕点顺时针方向旋转，点的对应点是点，连接，．求的长； （2）类比探究】 如图②，在中，，，点是边的中点，连接，将绕点顺时针旋转，点的对应的是点，连接，．求的长； （3）【变式延伸】 在中，，，，点是边上任意一点，连接，以为直角边，在的右侧作，使得，，连接．当时，求的长．（请在备用图中画出图形并完善解答过程） 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（）证明即可求解； （）过点作的延长线于点，证明可得，，进而得到，再利用勾股定理计算即可求解； （）过点作于点，点在点的左侧和右侧两种情况，分别画出图形，利用相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质和勾股定理解答即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵点是边的中点， ∴， 由旋转得，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作的延长线于点，则， ∵， ∴，， 由旋转得，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过点作于点，则， 当点在点的左侧时，如图，设与相交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 点在点的左侧时，如图， 同理可得，， ∴； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学练习题 一、选择题每小题4分，共40分． 1. 下列二次根式不能与合并的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，变形结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，三角板在手电筒光源的照射下形成了投影，三角板与其投影是位似图形，其相似比是，若三角板的面积是，则其投影的面积是（ ） A B. C. D. 4. 若有意义，则的取值范围是（ ） A. ≤ B. ≥ C. ﹥0 D. <-1 5. “读万卷书，行万里路．”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年64万字增加到九年级的全年144万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为，则可列方程为（ ） A B. C. D. 6. 如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（ ） A. 平分 B. C. D. 7. 如图，木制活动衣帽架由3个全等的菱形挂钩构成，在A、E、F、C、G、H处安装上、下两排挂钩，可以根据需要改变挂钩间的距离，并在B，M处固定．已知菱形的边长为，要使两排挂钩的距离（即）为，则之间的距离为（ ） A. 36 B. 60 C. 72 D. 96 8. 下列选项中，可以用来证明命题“两个无理数的乘积一定是无理数”是假命题的反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 阿基米德曾说过“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见，比如用撬棍撬石头、用剪刀剪纸，甚至开瓶器开啤酒，都是杠杆的巧妙运用．如图①，这是杠杆撬动石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端会翘起，石头就撬动了．如图②所示，的距离为，动力臂米，阻力臂，则的长度为（ ）． A. 50 B. 80 C. 90 D. 100 10. 如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得，对角线，接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接，则图3中的面积为（　　） A. B. 50 C. D. 25 二、填空题，每小题4分，共24分． 11. 使是整数的最小正整数________． 12. 如图，在中，，点D是斜边的中点，，则的度数是______． 13. 小明在与Deepseek对话中输入如下的文字，经过40秒的深度思考和验证，Deepseek给出的这个数应该是______． 有没有这样一个数，先计算它的平方，再减去它的3倍后再加上4，结果等于这个数？ 14. 如图，在菱形中，按如下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点、；作直线，且恰好经过点，与交于点，连接，若，则的长为______． 15. 某商场销售一款恤，进价为每件元，当售价为每件元时，平均每周可卖出件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件恤每降价元，平均每周可多卖出件，若要使每周销售该款恤获利元，设每件降低元，则可列方程为____． 16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O为坐标原点，且，点A的坐标为，则点B的坐标是______． 三、解答题：本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算． （2）解方程． 18. 如图，菱形的对角线，交于点A，过点B作，过点D作，，交于点C． （1）求证：四边形是矩形． （2）当时，求证：四边形是正方形． 19. 如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在培上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上． （1）求的长； （2）求灯泡到地面的高度． 20. 在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2024年10月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． （1）请证明发现的规律； （2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数积为435，求出这5个数中的最大数． 21. 课本再现 思考 我们知道，菱形对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （1）定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在中，对角线，垂足． 求证：是菱形． （2）知识应用：如图，在中，对角线和相交于点，． ①求证：是菱形； ②延长至点，连接交于点，若，求的值． 22. 关于x得一元二次方程． （1）若该方程有实数根，求m的取值范围； （2）若该方程有两个实数根、（）且，求m的值． 23. 如图四边形是矩形，点E，F分别在边，上，且于点H． （1）当时，求证：； （2）若，时，求的值． 24. 小星在学习了旋转的相关知识后，对三角形作进一步研究． （1）【提出问题】 已知，如图①，在中，，点是边的中点，连接，将绕点顺时针方向旋转，点的对应点是点，连接，．求的长； （2）【类比探究】 如图②，在中，，，点是边的中点，连接，将绕点顺时针旋转，点的对应的是点，连接，．求的长； （3）【变式延伸】 在中，，，，点是边上任意一点，连接，以为直角边，在的右侧作，使得，，连接．当时，求的长．（请在备用图中画出图形并完善解答过程） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $