精品解析：山东省济宁市曲阜市2025-2026学年八年级下学期期末数学试题

2025～2026学年度第二学期期末教学质量监测考试 八年级数学试题 本试卷共6页，满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填在答题卡指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一项符合题目要求． 1. 已知正比例函数的图像过点，则的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 2. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知的三条边分别为a，b，c，下列条件中，哪个不能够判断是直角三角形（ ） A. B. C. D. 4. 下列各图象中，不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 某校准备从甲、乙、丙、丁四个科技小组中选出一组，参加全区中小学科技创新竞赛，下表记录了各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差．若要选出一个成绩好且状态稳定的小组去参加比赛，则应选择的小组是（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数 90 94 94 93 方差 1.6 0.8 1.5 1.2 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 如图，一次函数（）的图象经过点P，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程（米）和所用时间（分钟）的关系图，则下列说法中错误的是（ ） A. 小明家和学校距离米 B. 小华乘公共汽车的速度是米/分 C. 小华乘坐公共汽车后与小明相遇 D. 小明从家到学校的平均速度为米/分 8. 如图，坐标系中，四边形是正方形，点A的坐标是，则点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，将沿直线折叠，此时点落在点处，与交于点，则所在直线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，，．，分别是，上的动点（不含端点），分别是，的中点．则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若是整数，则正整数n的最小值是_____． 12. 图1是颐和园十七孔桥东的廓如亭，俗称八方亭，它是颐和园乃至全国园林中最大的亭子，始建于清乾隆年间． 图2是其地基示意图，为正八边形，则它的一个外角的度数为_____． 13. 如图，在平面直角坐标系中，线段，分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度，与飞行时间的函数关系，其中，线段与相交于点，轴于点，点的横坐标为25，则在第_________秒时1号和2号无人机在同一高度． 14. 如图，在一座木建筑中，有一扇矩形窗户（四边形），工人师傅准备连接窗户各边中点、、、来制作精美的装饰边框，如果他们测得边的长为1.5米，边的长为2米，那么四边形的周长为_____米． 15. 如图，正方形、按照如图所示的方式放置，点、、、和点、、、分别在直线和轴上，已知，，，则的纵坐标是_____． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮．一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2所示，若物体升高至处，求滑块向左滑动到处的距离． 18. 某校为了解初中学生每天在校体育活动的时间(单位:)，随机调查了该校的部分初中学生．根据调查结果，绘制出如下的统计图1和图2．请根据相关信息，解答下列问题: （Ⅰ）本次接受调查的初中学生人数为 ，图1中的值为 ； （Ⅱ）求统计的这组每天在校体育活动时间数据的平均数、众数和中位数； （Ⅲ）根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据,若该校共有1200名初中学生，估计该校每天在校体育活动时间大于的学生人数． 19. 如图，已知直线：经过点、，且平行于直线：． （1）求直线的表达式： （2）如果直线经过点，与轴的正半轴相交于点，已知的面积为6，求直线的表达式． 20. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是，的中点，点在四边形外，连接，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求四边形的面积． 21. 人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近年来得到了迅猛发展，某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校计划购买、两种型号的机器人模型共50个，型号、型号机器人模型的单价分别为400元、240元，设学校购买型号机器人模型个，购买这两种型号机器人模型共花费元． （1）求与之间的函数关系式； （2）若购买型号机器人模型的数量不超过型号机器人模型数量的，问购买型号机器人模型多少个时花费最少？最少费用是多少元？ 22. 在学习了一元一次不等式与一次函数的内容后，某学习小组对不等式（组）展开进一步的探究． 【发现】在数轴上，表示一个点，则表示这个点及其右侧所有点的集合；在平面直角坐标系中，表示一条直线，则表示直线及其右侧所有点组成的平面区域． 【探究】 （1）直线 如图1所示，它表示为以方程的所有解为坐标的点组成的图形，例如，点在直线上，是方程的一个解；点在直线上方，是不等式的一个解，从而发现结论：不等式可以表示为直线及其______（填“上方”或“下方”）的所有点组成的平面区域；不等式可以表示为直线及其______（填“上方”或“下方”）的所有点组成的平面区域． 【应用】 （2）图2阴影部分（含边界）是______（填写不等式组）表示的平面区域； （3）已知不等式组， ①请在图3的平面直角坐标系中，用阴影部分表示出不等式组表示的平面区域G，并求出该阴影部分的面积． ②请直接写出与区域G有交点时b的取值范围． 23. 问题情境： 在矩形纸片中，点是边上一动点，连接，将沿折叠得到，并展开铺平．操作探究： （1）如图1，若点落在边上，则四边形的形状是______； （2）若点落在矩形内部． ①如图2，过点作，垂足为，交于点，连接请判断四边形的形状，并说明理由； ②如图3，为边的三等分点，且点在点的左侧．连接并延长，交边于点，试判断线段与的数量关系，并说明理由； （3）如图4，，，若，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期期末教学质量监测考试 八年级数学试题 本试卷共6页，满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填在答题卡指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一项符合题目要求． 1. 已知正比例函数的图像过点，则的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】把函数图像上的点代入解析式即可得到关于的一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：正比例函数的图像过点， ，解得． 2. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，无法合并，本选项运算错误，不符合题意； B、，本选项运算错误，不符合题意； C、 ，运算正确，符合题意； D、，本选项运算错误，不符合题意． 3. 已知的三条边分别为a，b，c，下列条件中，哪个不能够判断是直角三角形（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形的判定，可利用三角形内角和定理及勾股定理的逆定理逐一分析选项即可． 【详解】解：A．∵，且， ∴，即， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； B．∵， ∴， 由勾股定理的逆定理可知是直角三角形，故本选项不符合题意； C．设，，， ∵，即 由勾股定理的逆定理可知是直角三角形，故本选项不符合题意； D．设，，， ∵，，， 不满足勾股定理的逆定理 ∴不是直角三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 4. 下列各图象中，不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义：对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应即可． 【详解】解：、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，不符合题意； 、对每一个的值，并不是有唯一确定的值与之对应，故不是的函数，符合题意； 、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，不符合题意； 、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，不符合题意． 5. 某校准备从甲、乙、丙、丁四个科技小组中选出一组，参加全区中小学科技创新竞赛，下表记录了各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差．若要选出一个成绩好且状态稳定的小组去参加比赛，则应选择的小组是（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数 90 94 94 93 方差 1.6 0.8 1.5 1.2 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵乙、丙的平均数为，高于甲的和丁的， ∴成绩较好的小组为乙和丙， 又∵乙的方差为，小于丙的方差，方差越小成绩越稳定， ∴乙成绩好且状态稳定， 故应选择乙小组． 6. 如图，一次函数（）的图象经过点P，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象找到函数值小于或等于3时自变量的取值方式即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，关于x的不等式的解集为． 7. 小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程（米）和所用时间（分钟）的关系图，则下列说法中错误的是（ ） A. 小明家和学校距离米 B. 小华乘公共汽车的速度是米/分 C. 小华乘坐公共汽车后与小明相遇 D. 小明从家到学校的平均速度为米/分 【答案】C 【解析】 【详解】解：由图象可知小明家和学校距离米，故A选项正确，不符合题意， 小华乘公共汽车的速度是（米/分），故B选项正确，不符合题意， ∵小华与小明在从家到学校已走米处相遇，此时，小明在吃早餐， ∴相遇时，小明所用时间为（分钟）， ∵小明出发去学校， ∴小华乘坐公共汽车后与小明相遇，故C选项错误，符合题意， 小明从家到学校的平均速度为（米/分），故D选项正确，不符合题意． 8. 如图，坐标系中，四边形是正方形，点A的坐标是，则点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作轴于，过点作交延长线于，证明，利用全等三角形对应边相等求出和的长，进而得出点坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作交的延长线于， 则，  ，   四边形是正方形，  ，，  ，  ， 在和中，  ，  ，  ，，   点的坐标是，  ，，  ，，  点的横坐标为，纵坐标为，   点的坐标是． 9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，将沿直线折叠，此时点落在点处，与交于点，则所在直线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由矩形的性质和折叠的性质推导角度之间的关系，进而得到，设点坐标，利用线段和差表示出的长度，之后利用勾股定理求出点坐标，最后结合点坐标求出所在直线的函数表达式． 【详解】解：四边形是矩形， ， ． 沿直线折叠， ， ， ． ，，设，则， 在中，． ， ，解得，即． 直线经过点，设直线的解析式为， 将点代入，得，解得， 所在直线的函数表达式为． 10. 如图，中，，．，分别是，上的动点（不含端点），分别是，的中点．则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先连接，根据中位线的性质可知，要求最小，即求最小，当时，取得最小值，再根据勾股定理求出答案． 【详解】解：连接， ∵点G，H分别为的中点， ∴是的中位线， ∴． 当时，取最小值，即最小． 在中，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若是整数，则正整数n的最小值是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，算术平方根，解题关键是根据正整数，确定整数n的最小值即可． 【详解】解：∵，且是整数， ∴正整数n的最小值是3． 故答案为：3 12. 图1是颐和园十七孔桥东的廓如亭，俗称八方亭，它是颐和园乃至全国园林中最大的亭子，始建于清乾隆年间． 图2是其地基示意图，为正八边形，则它的一个外角的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据正多边形的每个外角都相等，且多边形的外角和都是，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵图2是其地基示意图，为正八边形 ∴则它的一个外角的度数为． 13. 如图，在平面直角坐标系中，线段，分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度，与飞行时间的函数关系，其中，线段与相交于点，轴于点，点的横坐标为25，则在第_________秒时1号和2号无人机在同一高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，当时，，求出点的坐标，进而求出的解析式，联立与，求出点的坐标即可得到答案．解题的关键是读懂题意，正确求出函数关系式． 【详解】解：当时，， ∴点的坐标为， 由题意知点的坐标为， 设， 将代入得， ∴， ∴， ∴线段对应的函数表达式为：， 由题意可知，则， 解得：， ∴， ∴点的坐标为， ∴则在第15秒时1号和2号无人机在同一高度，为， 故答案为：15． 14. 如图，在一座木建筑中，有一扇矩形窗户（四边形），工人师傅准备连接窗户各边中点、、、来制作精美的装饰边框，如果他们测得边的长为1.5米，边的长为2米，那么四边形的周长为_____米． 【答案】5 【解析】 【分析】连接，相交于点，利用中位线的性质和菱形的判定可得四边形是菱形，直角中利用勾股定理即可求得的长，则周长可以求得． 【详解】解： 如图，连接，相交于点， 四边形是矩形， 点，，，分别是各边的中点， ， ， ， 四边形是菱形， 在直角中，米，米， 则， 四边形的周长为：． 15. 如图，正方形、按照如图所示的方式放置，点、、、和点、、、分别在直线和轴上，已知，，，则的纵坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出点、的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，进而可得点的坐标，归纳类推出一般规律即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 将点，代入直线得， ，解得， ∴， ∵，， ∴，，即，， ∴，即， 归纳类推得：点的横坐标为，纵坐标为，其中为正整数， ∴的坐标是． 则的纵坐标是． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式. 17. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮．一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2所示，若物体升高至处，求滑块向左滑动到处的距离． 【答案】（1）绳子的总长度为 （2）滑块向左滑动的距离为 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出的值，即可求出绳子的总长度； （2）设物体升高后到达点，滑块滑动到点，则，先求出的长，再根据绳子总长度不变求出的长，根据勾股定理求出的值，即可求出滑块向左滑动到处的距离． 【小问1详解】 解：由题意得，物体到定滑轮的垂直距离为，即， ， 在中，由勾股定理得：， 绳子总长度为：， 答：绳子的总长度为； 【小问2详解】 解：设物体升高后到达点，滑块滑动到点，则， ， ∵绳子总长度不变， ， 在中，由勾股定理得：， 滑块向左滑动的距离为：， 答：滑块向左滑动的距离为． 18. 某校为了解初中学生每天在校体育活动的时间(单位:)，随机调查了该校的部分初中学生．根据调查结果，绘制出如下的统计图1和图2．请根据相关信息，解答下列问题: （Ⅰ）本次接受调查的初中学生人数为 ，图1中的值为 ； （Ⅱ）求统计的这组每天在校体育活动时间数据的平均数、众数和中位数； （Ⅲ）根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据,若该校共有1200名初中学生，估计该校每天在校体育活动时间大于的学生人数． 【答案】（Ⅰ）40；25（Ⅱ）平均数是1.5；众数是1.5；中位数是1.5（Ⅲ） 1080人 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据统计图中的数据可以求得本次调查的学生人数，进而求得m的值； （Ⅱ）根据平均数和众数、中位数即可求解； （Ⅲ）根据统计图中的数据可以求得该校每天在校体育活动时间大于1h的学生人数． 【详解】（Ⅰ）本次接受调查的初中学生人数为：4÷10%＝40， m%＝＝25%， 故答案为：40，25． （Ⅱ）平均数==1.5 由条形统计图得，4个0.9，8个1.2，15个1.5，10个1.8，3个2.1， ∴1.5出现的次数最多，15次， ∴众数是1.5， 第20个数和第21个数都是1.5， ∴中位数是1.5； （Ⅲ）1200×＝1080（人）， 答：该校每天在校体育活动时间大于1h的学生有1080人． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 19. 如图，已知直线：经过点、，且平行于直线：． （1）求直线的表达式： （2）如果直线经过点，与轴的正半轴相交于点，已知的面积为6，求直线的表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了两直线平行问题，待定系数法求解析式，能够灵活使用待定系数法是解题的关键． （1）根据函数图像平行的性质可知，，再代入即可求解； （2）设直线的表达式，则，根据三角形面积公式即可列式求出，再利用待定系数法即可求解． 【小问1详解】 解：， ， 将代入得， ， 则； 【小问2详解】 解：设直线的表达式，则由题意可知，， 将代入得， ， 即， ， ， 解得或（舍） 则， 将，代入得， ，解得， 则直线的表达式． 20. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是，的中点，点在四边形外，连接，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先由对角线互相平分可证明四边形是平行四边形，再由即可证明四边形是矩形； （2）先得到是等边三角形，再由含有的直角三角形设出未知数，结合勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：是的中点， ， 四边形是平行四边形． ， ． ， ． 又四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形． 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ． 是等边三角形，即， 在中，． 设，则， ，即， 解得，即， ． 21. 人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近年来得到了迅猛发展，某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校计划购买、两种型号的机器人模型共50个，型号、型号机器人模型的单价分别为400元、240元，设学校购买型号机器人模型个，购买这两种型号机器人模型共花费元． （1）求与之间的函数关系式； （2）若购买型号机器人模型的数量不超过型号机器人模型数量的，问购买型号机器人模型多少个时花费最少？最少费用是多少元？ 【答案】（1） （2）购买A型号机器人模型30个时花费最少，最少费用是16800元 【解析】 【分析】（1）根据总费用为两种机器人费用之和，代入数量和单价列出函数关系式，化简即可； （2）先根据B型数量的限制条件列出不等式，求得x的取值范围，再根据一次函数的增减性，即可求出最小花费和对应的购买数量． 【小问1详解】 解：学校购买A型号机器人模型个，则购买B型号机器人模型个． 根据题意，总花费， 化简得， 即与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：根据题意，得， 解得． 在函数中，， 因此随的增大而增大， 所以当时，取得最小值， 代入得（元）． 答：购买A型号机器人模型30个时花费最少，最少费用是16800元． 22. 在学习了一元一次不等式与一次函数的内容后，某学习小组对不等式（组）展开进一步的探究． 【发现】在数轴上，表示一个点，则表示这个点及其右侧所有点的集合；在平面直角坐标系中，表示一条直线，则表示直线及其右侧所有点组成的平面区域． 【探究】 （1）直线 如图1所示，它表示为以方程的所有解为坐标的点组成的图形，例如，点在直线上，是方程的一个解；点在直线上方，是不等式的一个解，从而发现结论：不等式可以表示为直线及其______（填“上方”或“下方”）的所有点组成的平面区域；不等式可以表示为直线及其______（填“上方”或“下方”）的所有点组成的平面区域． 【应用】 （2）图2阴影部分（含边界）是______（填写不等式组）表示的平面区域； （3）已知不等式组， ①请在图3的平面直角坐标系中，用阴影部分表示出不等式组表示的平面区域G，并求出该阴影部分的面积． ②请直接写出与区域G有交点时b的取值范围． 【答案】（1）上方，下方 （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）理解题意并结合图象即可解答； （2）根据图象即可得阴影部分在直线的上方，直线的下方，即可得对应的不等式组； （3）①在平面直角坐标系中，画出和的图象，再求出两直线的交点，结合图象，根据三角形的面积公式即可求解； ②由图可知，当过点时，b取最小值；当过点时，b取最大值；分别求出对应的b值，即可得b的取值范围． 【小问1详解】 解：不等式可以表示为直线及其上方的所有点组成的平面区域；不等式可以表示为直线及其下方的所有点组成的平面区域； 故答案为：上方，下方； 【小问2详解】 解：由图象可知，阴影部分在直线的上方，直线的下方， ∴图2阴影部分（含边界）是（填写不等式组）表示的平面区域； 【小问3详解】 解：①不等式组， 在平面直角坐标系中，画出和的图象，如图， 由图得，即为不等式组的解集所在的区域G， 区域G的面积， 解，得， ∴， ∴区域G的面积； ②由图可知，当过点时，b取最小值，； 当过点时，b取最大值， 将代入得，， 解得． ∴与区域G有交点时b的取值范围为． 23. 问题情境： 在矩形纸片中，点是边上一动点，连接，将沿折叠得到，并展开铺平．操作探究： （1）如图1，若点落在边上，则四边形的形状是______； （2）若点落在矩形内部． ①如图2，过点作，垂足为，交于点，连接请判断四边形的形状，并说明理由； ②如图3，为边的三等分点，且点在点的左侧．连接并延长，交边于点，试判断线段与的数量关系，并说明理由； （3）如图4，，，若，请直接写出的长． 【答案】（1）正方形 （2）①四边形BEMF为菱形，理由见解析；②，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据折叠得出，，根据，证明四边形为矩形，再由，即可证明四边形为正方形； （2）①根据折叠得出，，，，证明，得出，证明，即可证明结论； ②先证明，根据矩形中，，，证明四边形为平行四边形，得出，求出，即可得出结论； （3）根据矩形的性质得到，，，根据折叠根据折叠的性质得到，，，过点作，如图所示：求得，根据矩形的性质得到，，，求得，根据等腰三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理得到，设，则，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：四边形为矩形， ， 根据折叠可知：，， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， 故答案为：正方形； 【小问2详解】 解：①四边形为菱形； 理由如下： 根据折叠可知：，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为菱形； ②； 理由如下： ，为边的三等分点， ， 根据折叠可知：，， ， ， ， ， ， 矩形中，，， 四边形为平行四边形， ， ， ； 【小问3详解】 解：四边形为矩形，，， ，，， 根据折叠可知：，，， 过点作，如图所示： ， ， 四边形为矩形， ，，， ， ， ， ， 即， ， ， ， 设， 则， 根据勾股定理得，即， 解得， 即． 【点睛】本题主要考查了四边形的综合应用，涉及折叠性质、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质，数形结合，分类讨论是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $