13.3.2 三角形的外角 暑假自学练 2026-2027学年初中数学人教版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学人教版八年级上学期13.3.2三角形的外角暑假同步练，以"基础巩固-能力提升-综合探究"分层设计，通过梯度化题型培养几何直观与推理能力，适配暑假自学知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一外角性质应用|单选题1-2直接考查外角定理，填空9-10结合平行线性质，夯实概念理解| |提升|外角与角平分线/折叠综合|单选题3-5涉及角平分线与外角关系，填空12-13融入折叠变换，培养推理能力| |综合|多知识点探究应用|解答题17-19通过"飞镖模型""动点问题"，整合内角和、外角性质，发展模型意识与创新思维|

13.3.2 三角形的外角 暑假自学练 2026-2027学年 初中数学人教版（2024）八年级上学期 一、单选题 1．如图，点A，B在直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，、分别是的角平分线和高，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，是的外角，平分，平分，且，相交于点．若，则等于（   ） A． B． C． D． 5．如图，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图所示，将点A，B，C，D，E，F依次首尾相连组成一个封闭图形，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，，，点D在边上，，和相交于点O．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，直线于点，若，则的度数是（    ） A．120° B．100° C．150° D．160° 二、填空题 9．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的值为______． 10．如图，，，，则____． 11．如图，在中，，点，分别是边，上的两个定点．若点在线段上运动，当时，则_____． 12．如图，、分别为的内、外角平分线，、分别为的内、外角平分线，若，则_______． 13．如图，三角形纸片中，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为_____．    14．如图，在中，，D是延长线上一点，是的平分线，分别作，的平分线，交于点E，F，则______°，______°． 三、解答题 15．如图，中，于点D，平分，点F在的延长线上，过点C作直线，且．求的度数． 16．如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E， (1)若，，求的度数． (2)探究，，的关系，并说明理由． 17．综合与探究 【感知】如图1，在中，、分别是和的角平分线． 【应用】 （1）若，则___________；若，则________； （2）求与之间的关系并证明； 【拓展】 （3）如图2，在四边形中，、分别是和的角平分线，求与的数量关系． 18．【问题背景】研究了三角形内角和定理及其推论后，观察飞镖可以抽象成图①，我们把这个图形形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，探究、、、之间的数量关系，并证明： （2）请利用上述结论或解题方法，完成下面的问题： 【类比探究】 ①如图2，已知，求的度数； 【拓展延伸】 ②如图3，已知，求的度数． 19．中，，点D，E分别是边上的点，点P是一动点，令，． 初探： （1）如图1，若点P在线段上，且，则________； （2）如图2，若点P在线段上运动，则之间的关系为__________； （3）如图3，若点P在线段的延长线上运动，则之间的关系为__________． 再探： （4）如图4，若点P运动到的内部，写出此时之间的关系，并说明理由． （5）若点P运动到的外部，请在图5中画出一种情形，写出此时之间的关系，并说明理由． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B B C A B C 1．C 根据三角形外角定理可得，根据邻补角的定义可得.本题主要考查了三角形外角定理和邻补角的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键. 解：是的一个外角， ， ， 又， . 故选：C. 2．D 本题考查的是三角形的外角性质，先根据题意求出，再根据三角形的外角性质计算，得到答案． 解：如图， 由题意得：， 则， 故选：D． 3．B 本题考查的是三角形内角和定理，先根据求出的度数，由三角形外角的性质求出的度数，再根据平分得出的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论． 解：∵， ∴． ∵是的外角，， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 故选：B． 4．B 本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义．根据角平分线的定义可得，再由三角形外角的性质，可得，从而得到，即可求解． 解：∵平分，平分， ∴． ∵是的外角，是的外角， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 5．C 本题考查了三角形内角和定理和三角形外角性质的应用，首先根据三角形外角性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 6．A 本题主要考查了三角形外角的性质，延长交于点H，延长交于点G，连接，根据外角性质得出，，，，然后得出，求出结果即可．熟练掌握三角形外角的性质等于和它不相邻的两个内角之和，是解题的关键． 解：延长交于点H，延长交于点G，连接，如图所示： 根据三角形外角的性质得：， ， ， ， ∴， ∴． 故选：A． 7．B 本题考查了三角形外角的性质，掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题关键．由三角形外角的性质可得，再结合求解即可． 解：是的外角， ， ， ， 故选：B． 8．C 延长AE，与DC的延长线交于点F，根据平行线的性质，求出∠AFC的度数，再利用外角的性质求出∠ECF，从而求出∠ECD． 解：延长AE，与DC的延长线交于点F， ∵AB∥CD， ∴∠A+∠F=180°， ∵， ∴∠F=60°， ∵AE⊥CE， ∴∠AEC=90°， 而∠AEC=∠F+∠ECF， ∴∠ECF=∠AEC-∠F =30°， ∴∠ECD=180°-30°=150°， 故选：C． 本题考查平行线的性质和三角形外角的性质，正确作出辅助线和掌握平行线的性质是解题的关键． 9．/65度 本题考查了平行线的性质，对顶角、邻补角，三角形外角的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，根据对顶角相等求出的度数，再根据三角形外角的性质即可求出的度数． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 10．25 本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，邻补角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据邻补角的定义得到，根据平行线的性质得到，根据三角形外角的性质即可得到结论． 解：如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：25． 11．/125度 本题考查了三角形外角的性质，连接，根据三角形外角的性质可得，再根据，即可求解． 解：连接， ∵是的一个外角，是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12．/度 此题考查了三角形内角和外角角平分线的相关知识，涉及到三角形外角等于与其不相邻的两内角和的知识，掌握以上知识是解题的关键．根据，分别为的内、外角平分线分别设，，再根据，分别为的内，外角平分线，得到和 ，最后根据 和 求出 即可． 解：，分别为的内、外角平分线， ，， 设，， ，， 又，分别为的内，外角平分线， ，， ，， 又， ， 又， ， ， 故答案为：． 13． 本题考查的是三角形内角和定理、折叠的性质，掌握三角形内角和等于是解题的关键． 根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质求出，根据三角形的外角的性质计算，得到答案． 解：如图：    ，， ， 由折叠的性质可知，， ， ， 故答案是：． 14． 先利用直角三角形两个锐角互余，得出，再根据角平分线的意义，得出，，结合平角的意义，可求得，再利用角平分线的意义和三角形外角的性质，可求得，从而可利用邻补角的意义求得，再利用直角三角形两个锐角互余，求得． 解：∵在中，， ∴， ∵，的平分线， ∴，， ∴ ， ∵是的平分线， ∴， ， ∵， ∴，解得：， 又， ， ，解得：， 故答案为：，． 本题考查了角平分线的意义，直角三角形两个锐角互余，三角形外角的性质，邻补角的意义，解题关键是利用三角形外角的性质求解． 15．11° 本题主要考查了平行线的性质、邻补角的性质、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据平行线的性质可求解，根据邻补角的定义可得，再根据角平分线的定义可得，然后感觉三角形外角的性质可得，然后根据垂直的定义以及角的和差即可解答． 解：∵， ∴ ， ∵， ∴ ∵平分， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵于点D， ∴， ∴． 16．(1) (2)，见解析 本题考查的是三角形外角的性质及三角形内角和定理，角平分线的性质；熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键. （1）先根据三角形外角的性质得出的度数，再由角平分线的性质得出的度数，由三角形内角和定理即可得出结论； （2）先由三角形外角的性质得出，故可得出，再由即可得出结论； （1）解：∵，， ∴， 平分， ∴， ， ； （2）解：，理由： ，， ， ， ， ； 17．(1) ； ； (2)，证明见解析； (3) 本题考查三角形内角和定理，外角性质定理，角平分线的定义；熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据角平分线定义，三角形内角和定理求解即可； （2）根据角平分线，三角形内角和定理进行求解； （3）结合（2）的结论，根据三角形外角性质，内角和定理求解． （1）解：若， ∵分别是和的平分线，，， ∴， ∴． 若， ∵分别是和的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；； （2）解：；理由如下： ∵分别是和的平分线， ∴，， ∴ ； （3）解：． 如图，延长，交于点E，由（2）知，， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 即． 18．（1），证明见解析；（2）①；②． 本题考查三角形的外角性质及其应用、平行线的性质，解答的关键是利用转化的思想方法解决问题． （1）连接，并延长至点，利用三角形的外角求解即可； （2）连接，利用（1）中结论可得，，结合已知可求解； （3）在直线上取一点，连接，利用（2）中结论可得，再利用平行线的性质可得，进而得到即可求解． 解：（1）． 证明：如图，连接，并延长至点， ∵，， ∵ ∴ ∴； （2）①如图，连接， 由（1）可知，， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②如图，在直线上取一点，连接， 由①可知， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 19．（1）130 （2） （3） （4），理由见解析 （5）或，图见解析，理由见解析 本题主要考查了三角形外角的性质，对顶角相等等，熟知三角形外角的性质是解题的关键． （1）如图1所示，连接，证明即可得到答案； （2）只需要证明即可得到答案； （3）利用三角形外角的性质求解即可； （4）利用三角形外角的性质求解即可； （5）根据题意画出图形，利用三角形外角的性质求解即可． 解：（1）如图1所示，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴ 故答案为：； （3）解：设与交于F， ∵，， ∴， 故答案为：； （4）解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴； （5）解：如图5-1所示， ∵， ∴ 如图5-2所示， ∵， ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $