精品解析：天津市五区县重点校2025-2026学年第二学期期末联考高二数学试题

2025~2026学年度第二学期期末重点校联考 高二数学 出题学校：宝坻一中 杨村一中 第Ⅰ卷（共45分） 一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据补集、并集定义直接计算即可. 【详解】由题意，=. 故选：B 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】命题“，”的否定形式为：“，”. 3. 已知函数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据求解即可. 【详解】由题意， 故，又，则. 故选：C 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据的奇偶性可判断选项C、D错误，又根据单调性可判断选项B错误，从而可得答案. 【详解】由题意，函数的定义域为， 因为，所以，所以是偶函数，排除C和D； 当时，，，令，则， 令，，所以在单调递增， 因为，所以由可得， 所以时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以B错误. 5. 下列说法中，正确的个数是（ ） ①随机变量X服从正态分布，且，则； ②用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，r值越大两个变量的相关程度越强. ③残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高； ④决定系数，甲、乙两个模型的分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】对于①，由，且，得，①错误； 对于②，用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，r绝对值越大两个变量的相关程度越强，②错误； 对于③，残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高，③正确； 对于④，决定系数越大，拟合效果越好，因此模型甲的拟合效果更好，④错误. 6. 函数，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断出函数为偶函数，再判断出函数的单调性，结合偶函数的性质求解即可. 【详解】因为， 且， 所以函数为上的偶函数， 当时，，单调递增， 又因为， 又因为， 且， 即 所以， 即. 7. 从0，2，4，6，8中任取2个数字，从1，3，5，7中任取1个数字，共可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为（ ） A. 240 B. 80 C. 64 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理及分步乘法计数原理，结合排列计数问题列式求解. 【详解】当选出的两个偶数不含时，这两个偶数从中选取， 此时个位有种取法，百位和十位有种取法，故构成的三位数有个， 当选出的两个偶数含时，必在十位，百位有种取法，个位有种取法， 构成的三位数有个， 所以共可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为. 8. 设奇函数的导函数为，，当时，，则使得成立的的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造辅助函数，利用导数判断其单调性，结合奇偶性分析函数在不同区间的符号，进而求解不等式. 【详解】构造函数，则. 当时，由，得，故在上单调递减. 由为奇函数，得，故，且为偶函数. 当时，等价于， 结合在单调递减且，得. 当时，等价于， 在上单调递增且，得. 综上，的解集为. 9. 已知函数，若，，使成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得的取值范围为，当时求导，对进行分类讨论，由的取值范围包含来求得的取值范围. 【详解】当时，函数是减函数， ，所以， 当时，，， 若，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即，解得； 若，则，在上单调递增， 此时的值域为，符合题意， 若，的值域为，不符合题意， 综上所述，实数的取值范围为. 第Ⅱ卷（共105分） 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 10. 的展开式的常数项是_____(用数字作答)． 【答案】 【解析】 【分析】根据展开式通项得，再令即可解出. 【详解】设展开式的通项为， 令，解得，，为所求常数项． 故答案为：. 11. 幂函数图像关于轴对称，且在上是减函数，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据幂函数的定义与性质，得出，且为偶数，再根据取值范围，求出和的值，再求和． 【详解】解：∵幂函数）的图像关于轴对称，且在上是严格减函数， ∴，且为偶数，，且． 解得，，且， 只有时满足为偶数， ∴．故， 故答案为：3． 12. 函数的单调递增区间是__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域，然后根据二次函数的单调性及复合函数单调性判断原则进行判断即可． 【详解】解：令，解得或，所以的定义域为， 因为的开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又因为函数在定义域上为减函数， 所以的单调增区间为． 13. 某单位为了提高员工身体素质，开展双人投篮比赛，现甲、乙两人为一组参加比赛， 每次由其中一人投篮，规则如下:若投中，则此人继续投篮，若未投中，则换为对方投篮，无论之前投篮的情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为.第2次投篮的人是甲的概率为_____；已知在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设第次是甲投篮为事件，投篮命中为事件，根据已知及条件概率，应用全概率公式、条件概率公式求、. 【详解】设第次是甲投篮为事件，投篮命中为事件， 所以，，，则，， 所以第2次投篮人是甲的概率为， 在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为. 故答案为：；. 14. 已知a，且，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】变形后，由基本不等式进行求解 【详解】 ， 因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 15. 已知函数，若有两个零点，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】把问题转化为，其中，结合图象知，当时，对应两个解，利用解出，并得到的表达式，以此构造函数，利用函数单调性求取值范围即可. 【详解】令，则等价于， 为函数的解，对应为的解， 结合图象知，当时，对应两个解， 不妨设，于是， 得，，， 令，有， 设，则， 令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 且， 因此的取值范围是， 即的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题（本题共5小题，共75分） 16. 已知函数． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）当时，讨论函数的单调性． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递减，在与上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在与上单调递增. 【解析】 【分析】（1）代入，求出与，再写切线方程. （2）先求并因式分解，再结合对导数符号分类讨论，确定单调区间. 【小问1详解】 当时，，. ，所以. 所以切线方程为. 【小问2详解】 定义域为. . 当时，由可知与同号. 因此在与上，在上， 所以在与上单调递增，在上单调递减. 当时，，所以在上单调递增. 当时，由可知与同号. 因此在与上，在上， 所以在与上单调递增，在上单调递减. 综上可知：当时，在上单调递减，在与上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在与上单调递增. 17. 某学生在上学路上要经过个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯停留的时间都是分钟． （1）求这名学生上学路上在第三个路口首次遇到红灯的概率； （2）求该学生在路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及方差． 【答案】（1） （2） 0 2 4 6 8 【解析】 【分析】（1）“第三个路口首次红灯”等价前两次绿灯、第三次红灯，利用独立事件概率相乘直接算出； （2）遇红灯次数服从二项分布，停留总时间，先求出各取值概率得到分布列，再用二项分布方差公式结合方差线性性质求得． 【小问1详解】 记“学生上学路上在第三个路口首次遇到红灯”， 则 所以学生上学路上在第三个路口首次遇到红灯的概率为； 【小问2详解】 记为遇到红灯数，则服从二项分布， ，， ，， ， ，所以的分布列为： 0 2 4 6 8 因为服从二项分布， 所以，． 18. 某研发团队为了解人们对DeepSeek的使用满意度，随机抽查了150名使用过DeepSeek的人员，整理得到如下列联表：（单位：人） 性别 满意度 合计 比较满意 非常满意 男性 女性 合计 （1）求、、的值； （2）在样本中，按性别利用分层随机抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人，表示抽取的人中男性的人数，求的分布列与数学期望； （3）根据小概率值的独立性检验，能否认为对DeepSeek的使用满意度与性别有关？ 附：，． 【答案】（1），， （2）的分布列如下表所示： （3）不能 【解析】 【分析】（1）利用表格中的数据可得出、、的值； （2）求出抽取的人中男性、女性的人数，分析可知的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （3）提出零假设对DeepSeek的使用满意度与性别无关，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论. 【小问1详解】 由表中的数据可得，，. 【小问2详解】 在样本中，按性别利用分层随机抽样的方法抽取人， 这人中男性人员的人数为，女性人员的人数为， 由题意可知的可能取值有、、， 则，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 故. 【小问3详解】 零假设为对DeepSeek的使用满意度与性别无关， 根据表中数据可得， 根据小概率的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此，可以认为成立，即认为对DeepSeek的使用满意度于性别无关. 19. 已知函数（ 且 ）是偶函数. （1）求实数的值； （2）若 ，且对于 ，不等式 恒成立，求整数的取值集合． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）利用偶函数满足，求解的值； （2）利用函数的奇偶性和单调性，将不等式恒成立转化为关于整数的条件求解. 【小问1详解】 因为 是偶函数，根据偶函数满足， 得，即， 整理得，即， 因为, 不恒为 0，所以必须 ，所以； 【小问2详解】 由（1）知 ，则 因为 ，，故 是奇函数， 而 单调递增， 单调递减， 故 单调递增，因此 在上单调递增， 不等式 可化为， 即， 因为单调递增，所以，， 只需左边的最小值大于右边即可，令 ， 这是开口向上的二次函数，其最小值为 因此，整理得，即， 解得，又 为整数，故的值为， 整数的取值集合是. 20. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线与轴平行，求实数的值； （2）若在上恒成立，求整数的取值集合； （3）求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义得，即可得解； （2）参变分离得，设，结合零点存在性定理多次求导得，即可求解； （3）由（2）知，令，进而，利用放缩法，累加求和即可证明. 【小问1详解】 因为，所以， 由于曲线在点处的切线与轴平行， 所以，即； 【小问2详解】 由于在上恒成立， 即在上恒成立， 即， 设， 所以， 令，则， 即在为增函数， 又． 即存在唯一的实数根，满足，且， 当时，，，当时，，， 即函数在为减函数，在为增函数， 则， 由于，且， 所以，所以， 故； 【小问3详解】 由（2）知，， 所以， 令， 则， 所以 ， 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期末重点校联考 高二数学 出题学校：宝坻一中 杨村一中 第Ⅰ卷（共45分） 一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知函数，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法中，正确的个数是（ ） ①随机变量X服从正态分布，且，则； ②用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，r值越大两个变量的相关程度越强. ③残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高； ④决定系数，甲、乙两个模型的分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 函数，设，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 从0，2，4，6，8中任取2个数字，从1，3，5，7中任取1个数字，共可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为（ ） A. 240 B. 80 C. 64 D. 60 8. 设奇函数的导函数为，，当时，，则使得成立的的取值范围是( ) A. B. C. D. 9. 已知函数，若，，使成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共105分） 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 10. 的展开式的常数项是_____(用数字作答)． 11. 幂函数图像关于轴对称，且在上是减函数，则________． 12. 函数的单调递增区间是__________. 13. 某单位为了提高员工身体素质，开展双人投篮比赛，现甲、乙两人为一组参加比赛， 每次由其中一人投篮，规则如下:若投中，则此人继续投篮，若未投中，则换为对方投篮，无论之前投篮的情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为.第2次投篮的人是甲的概率为_____；已知在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为_____. 14. 已知a，且，则的最小值为______． 15. 已知函数，若有两个零点，则的取值范围是_____. 三、解答题（本题共5小题，共75分） 16. 已知函数． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）当时，讨论函数的单调性． 17. 某学生在上学路上要经过个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯停留的时间都是分钟． （1）求这名学生上学路上在第三个路口首次遇到红灯的概率； （2）求该学生在路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及方差． 18. 某研发团队为了解人们对DeepSeek的使用满意度，随机抽查了150名使用过DeepSeek的人员，整理得到如下列联表：（单位：人） 性别 满意度 合计 比较满意 非常满意 男性 女性 合计 （1）求、、的值； （2）在样本中，按性别利用分层随机抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人，表示抽取的人中男性的人数，求的分布列与数学期望； （3）根据小概率值的独立性检验，能否认为对DeepSeek的使用满意度与性别有关？ 附：，． 19. 已知函数（ 且 ）是偶函数. （1）求实数的值； （2）若 ，且对于 ，不等式 恒成立，求整数的取值集合． 20. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线与轴平行，求实数的值； （2）若在上恒成立，求整数的取值集合； （3）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $