精品解析：天津市河东区2025-2026学年高二下学期期末数学试题

2025~2026年天津市河东区高二下期末 数 学 2026年7月7日 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“曲线最小正周期为”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列说法正确的是（ ） A. 扇形的半径与面积之间的关系是相关关系 B. 若变量和之间的相关系数，则和之间的线性相关关系很弱 C. 当样本相关系数满足时，对样本数据，，，落在一条直线上 D. 若变量，呈正相关，则变量，的线性相关性较强 4. 下列函数是偶函数的为（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙两人参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，则甲、乙两人在一轮活动中至少一人猜对成语的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 若随机变量，满足，，，则下列正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（ ） A. 100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B. 100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C. 100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D. 100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 9. 正方体的棱长为3，线段上有两个动点，，且，则三棱锥的体积为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上） 10. 若复数，其中是虚数单位，则______. 11. 已知，，则_____________． 12. 已知随机变量服从正态分布，且，则_____________． 13. 对具有线性相关关系的变量，，根据测得的一组数据，，，，利用最小二乘法得到经验回归方程，据此模型预测当时，的估计值为___________． 14. 在中，，在边上，，，则的值为______________，若，与所成的夹角为，则的最大值为___________． 15. 已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围为________． 三、解答题：（本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，的面积为，． （1）求的值； （2）求； （3）求的值． 17. 如图，在长方体中，，点分别是棱的中点． （1）求长方体外接球的表面积； （2）求证：平面； （3）求直线到平面的距离． 18. 如图，在多面体中，平面平面，四边形为矩形．四边形中，，，，，为的中点． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面所成夹角的大小； （3）点在线段上，当与平面所成角的大小为时，求的长． 19. 为了研究某校高二年级学生的性别与身高是否大于的关联性，调查了该校所有高二年级的学生，整理得到如下列联表： 性别 身高 低于 不低于 合计 女 360 90 450 男 100 450 550 合计 460 540 1000 （1）从列联表中随机抽取一人，分别用，表示抽到男生、女生，用表示抽到学生身高不低于，计算，，并判断该校高二年级学生的性别和身高的关联性； （2）从该校所有高二年级学生中随机抽取100名学生，对性别和身高是否不低于进行统计，其中女生占，身高低于的学生占，请完成如下列联表： 性别 身高 低于 不低于 合计 女 25 男 合计 100 并依据的独立性检验，能否认为该校高二年级学生的性别与身高有关联？ （3）在（2）的样本中，根据性别通过分层抽样随机抽取10名学生参加文艺展演，则在这10名学生中，再抽取3名学生做主演，记为抽到的女生人数，求的分布列及数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 20. 已知函数的最小正周期为，函数的图象关于直线对称． （1）求，的值； （2）当时，求的单调递增区间； （3）将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，设函数，若，，，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026年天津市河东区高二下期末 数 学 2026年7月7日 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由全集，集合，得，而， 所以. 2. 设，则“”是“曲线最小正周期为”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】当时，曲线最小正周期是， 因为，若曲线最小正周期是，则，解得：， 综上，“”是“曲线最小正周期为”的充要条件. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 扇形的半径与面积之间的关系是相关关系 B. 若变量和之间的相关系数，则和之间的线性相关关系很弱 C. 当样本相关系数满足时，对样本数据，，，落在一条直线上 D. 若变量，呈正相关，则变量，的线性相关性较强 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，扇形的半径与面积之间的关系是函数关系，非相关关系，A错误； 对于B，变量和之间的相关系数，较大，则和之间的线性相关关系很强，B错误； 对于C，当样本相关系数满足时，对样本数据落在一条直线上，C正确； 对于D，变量呈正相关，相关系数为正，变量的线性相关性可能较弱，D错误. 4. 下列函数是偶函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，的定义域为关于原点对称， 且，故只是奇函数，故A不合题意； 对于B，的定义域为关于原点对称， 且，故是偶函数，B符合题意； 对于C，的定义域为，关于原点对称， 且，故只是奇函数，故C不合题意； 对于D，的定义域为，关于原点不对称，故是非奇非偶函数，D不合题意. 5. 甲、乙两人参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，则甲、乙两人在一轮活动中至少一人猜对成语的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】甲、乙两人在一轮活动中都猜错的概率为， 所以甲、乙两人在一轮活动中至少一人猜对成语的概率为. 6. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由幂函数性质得函数在上单调递增，且， 则，而，所以. 7. 若随机变量，满足，，，则下列正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】随机变量，满足，，， 则，， ，， 因此选项ABC错误，D正确. 8. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（ ） A. 100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B. 100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C. 100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D. 100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 【答案】C 【解析】 【分析】计算出前三段频数即可判断A；计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断B；根据极差计算方法即可判断C；根据平均值计算公式即可判断D. 【详解】对于 A, 根据频数分布表可知, , 所以亩产量的中位数不小于 , 故 A 错误； 对于B，亩产量不低于的频数为， 所以低于的稻田占比为，故B错误； 对于C，稻田亩产量的极差最大为，最小为，故C正确； 对于D，由频数分布表可得，平均值为，故D错误. 故选；C. 9. 正方体的棱长为3，线段上有两个动点，，且，则三棱锥的体积为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由正方体性质可证平面，所以可知是三棱锥的高，由棱锥体积公式可解. 【详解】 连结交于，由，， 平面，平面， 所以平面， 得点到平面的距离是，即点到平面的距离是， 即三棱锥的高为， 又， 故三棱锥的体积为. 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上） 10. 若复数，其中是虚数单位，则______. 【答案】5 【解析】 【分析】求得，由此求得. 【详解】由于，所以，所以. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查共轭复数，考查复数乘法运算，属于基础题. 11. 已知，，则_____________． 【答案】 【解析】 【详解】由，得，而， 所以. 12. 已知随机变量服从正态分布，且，则_____________． 【答案】 0.24## 【解析】 【详解】随机变量服从正态分布，且， 则. 13. 对具有线性相关关系的变量，，根据测得的一组数据，，，，利用最小二乘法得到经验回归方程，据此模型预测当时，的估计值为___________． 【答案】 11 【解析】 【详解】依题意，， 由经验回归方程过点，得， 因此经验回归方程，当时，， 所以据此模型预测当时，的估计值为11. 14. 在中，，在边上，，，则的值为______________，若，与所成的夹角为，则的最大值为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先利用与表示、 ，再将转化为与的计算，进而求解. 【详解】， 所以； ， ， , 与所成的夹角为， ， 令，则 当时，的最大值为. 15. 已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围为________． 【答案】或 【解析】 【分析】求出函数的零点，画出函数的图象，将问题转换为或总共有三个零点，对分类讨论即可求解. 【详解】当时，由得，解得或， 当时，由得，解得（舍）， 作出的图象，如图， 由得或， 即或， 当，即时，无实根，此时，最多两个实根，与题意不符； 当，即时，有一个实根，有两个实根，符合题意； 当，即时，有两个实根，此时，少有两个实根，不符合题意； 当，即时，有三个实根，至少有一个实根，不符合题意： 当，即时，有两个实根，此时，有一个实根， 符合题意： 当，即时，有两个零点，有一个零点，符合题意 综上所述，有3个零点时，或. 【点睛】方法点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解； （2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解； （3）转化为两熟悉的函数图象的问题． 三、解答题：（本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，的面积为，． （1）求的值； （2）求； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）应用正弦定理及已知可得，再由三角形内角的性质求； （2）由三角形面积公式可得，由余弦定理可得，联立求； （3）由正弦定理及二倍角正余弦公式、和角正弦公式求函数值. 【小问1详解】 根据正弦定理，得，， 又，则， 在中，得​， 由，则； 【小问2详解】 由，得，， 三角形面积，代入得， 由余弦定理，则 ， 所以， 由，则（负值舍）； 【小问3详解】 由正弦定理， 因为，则，故为锐角，可得， 所以，， 所以. 17. 如图，在长方体中，，点分别是棱的中点． （1）求长方体外接球的表面积； （2）求证：平面； （3）求直线到平面的距离． 【答案】（1） （2）在长方体中，以为原点，建立空间直角坐标系，如图： 则， ， 于是，而点直线， 则，又平面，平面， 所以平面. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用长方体的结构特征求出其外接球直径，进而求出球的表面积. （2）建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （3）求面的法向量，再利用点到平面的距离公式求解. 【小问1详解】 在长方体中，， 则该长方体外接球直径， 所以该长方体外接球的表面积. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由平面，得点到平面的距离即为直线到平面的距离． ，设平面的法向量为， 则，取，得， 因此点到平面的距离为， 所以直线到平面的距离为. 18. 如图，在多面体中，平面平面，四边形为矩形．四边形中，，，，，为的中点． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面所成夹角的大小； （3）点在线段上，当与平面所成角的大小为时，求的长． 【答案】（1）由四边形为矩形，得，而平面平面， 平面平面平面，则平面， 又平面，所以平面平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理及判定定理推理得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. （3）令，求出平面的法向量，再利用线面角的向量法列式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，得直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，则， 因此是平面的一个法向量，而是平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则， 解得，所以平面与平面的夹角大小为. 【小问3详解】 由（2）得，由点在线段上，， 即，则点，而， 设平面的法向量为，则，取，得， 而，直线与平面所成角的大小为， 因此，解得， 即点与点重合，所以. 19. 为了研究某校高二年级学生的性别与身高是否大于的关联性，调查了该校所有高二年级的学生，整理得到如下列联表： 性别 身高 低于 不低于 合计 女 360 90 450 男 100 450 550 合计 460 540 1000 （1）从列联表中随机抽取一人，分别用，表示抽到男生、女生，用表示抽到学生身高不低于，计算，，并判断该校高二年级学生的性别和身高的关联性； （2）从该校所有高二年级学生中随机抽取100名学生，对性别和身高是否不低于进行统计，其中女生占，身高低于的学生占，请完成如下列联表： 性别 身高 低于 不低于 合计 女 25 男 合计 100 并依据的独立性检验，能否认为该校高二年级学生的性别与身高有关联？ （3）在（2）的样本中，根据性别通过分层抽样随机抽取10名学生参加文艺展演，则在这10名学生中，再抽取3名学生做主演，记为抽到的女生人数，求的分布列及数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1），，二者差异显著，可判断该校高二年级学生性别与身高有关联； （2）列联表见解析，依据的独立性检验，不能认为该校高二年级学生性别与身高有关联； （3） 0 1 2 3 数学期望（或）。 【解析】 【分析】（1）利用列联表中数据，根据条件概率公式，用频率估计概率； （2）利用已知条件补全列联表，再通过卡方独立性检验，比较计算得到的统计量与临界值，从而判断性别与身高是否存在关联． （3）分析可知，随机变量的可能取值有，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【小问1详解】 由表格中的数据可得，， 所以该中学高二年级学生的性别和身高有关联. 【小问2详解】 由题意，女生人数为，身高低于170cm的学生人数为， 则列联表如下： 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 女 25 15 40 男 25 35 60 合计 50 50 100 零假设该中学高二年级学生的身高与性别无关， ， 依据的独立性检验，没有充分的证据说明不成立，不能认为该校高二年级学生性别与身高有关联； 【小问3详解】 结合（2）可知抽取的10人中，男生有6人，女生有4人， 所以随机变量的可能取值有、、、， ，， ，， 故的分布列如下表所示： 0 1 2 3 因此. 20. 已知函数的最小正周期为，函数的图象关于直线对称． （1）求，的值； （2）当时，求的单调递增区间； （3）将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，设函数，若，，，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦函数的图象性质求解. （2）由（1）求出，再利用正弦函数单调性列出不等式求解. （3）分别求出在给定区间上函数的最大值和的最小值，再利用恒成立不等式列式求出的范围. 【小问1详解】 由函数的最小正周期为，得，因此， 由函数的图象关于直线对称，得，而， 所以. 【小问2详解】 由（1）得，由，得， 由，得；由，得， 所以当时，的单调递增区间是. 【小问3详解】 将的图象向左平移个单位长度，得函数， 当时，，，因此； 由，恒成立，得， 函数，由，得， 当时，，则，解得，因此； 当时，，则，解得，因此； 当时，，则，解得，因此， 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $