专题2.7 有理数的混合运算（暑假预习讲义）2026-2027学年苏科版七年级数学上学期培优讲义

专题2.7 有理数的混合运算 【本节预习目标】 1.掌握有理数混合运算的顺序，能熟练进行有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算，提升运算的规范性与准确率。 2.能灵活运用加法、乘法运算律简化运算，掌握常见的简便运算技巧，发展数学运算核心素养。 3.能运用有理数混合运算解决生活实际、数字游戏、程序运算等情境问题，体会数学的应用价值。 4.通过规律探究、新定义运算、方案优化类题型，培养归纳推理与数学建模的能力。 【前置旧知回顾】 知识模块 已学旧知内容 本节新知关联 有理数四则运算 有理数加、减、乘、除的运算法则；加法、乘法运算律 四则运算是混合运算的基础运算单元，运算律是简化混合运算的核心工具 有理数乘方 乘方的概念与符号法则；乘方的运算方法 乘方是混合运算中的第三级运算，运算优先级最高 括号运算规则 去括号、添括号的符号法则；括号内运算的优先级 多重括号运算遵循从内到外的顺序，是混合运算的重要组成部分 知识点1：有理数的混合运算顺序 1.运算分级与优先级 有理数运算分为三级：加减是第一级运算，乘除是第二级运算，乘方是第三级运算。 运算优先级：第三级>第二级>第一级，即先乘方，再乘除，最后加减。 2.同级与括号规则 同级运算，从左到右依次进行； 如有括号，先进行括号内的运算，按小括号→中括号→大括号的顺序依次计算。 知识点2：有理数混合运算的简便运算 1.核心运算律 加法：交换律；结合律 乘法：交换律；结合律；分配律 2.常用简便技巧 巧转化：小数与分数互化、除法转化为乘法、带分数化为假分数； 巧逆用：逆用乘法分配律，提取公因式简化计算； 巧分段：借助加减号将算式分段，每段内分别计算后再合并结果。 【基础巩固题型】 【题型1】有理数混合运算 1.核心知识点 有理数混合运算的优先级顺序；乘方、乘除、加减的运算法则 2.解题方法技巧 ①严格遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序，不随意跳级运算； ②按“小括号→中括号→大括号”的顺序逐层计算，每层内仍遵循高级运算优先； ③适当运用乘法分配律去掉括号，简化逐层计算的繁琐过程。 【例题1】.（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题1-1】.（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题1-2】.（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式题1-3】.（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：原式 ． 【题型2】“24点”数字趣味运算 1.核心知识点 有理数四则与乘方混合运算；数字组合与运算构造 2.解题方法技巧 ①优先凑基础乘积组合：、、，将数字向目标因数靠拢； ②次选和差形式：、、等，通过加减构造目标值； ③合理使用括号与乘方调整运算顺序，每个数字必须使用且仅使用一次。 【例题2】.（25-26七年级上·云南保山·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，通过计算每个算式的值，判断是否等于24即可得到答案． 【详解】解：A、，原式不正确，符合题意； B、，原式正确，不符合题意； C、，原式正确，不符合题意； D、，原式正确，不符合题意； 故选：A． 【变式题2-1】.（25-26七年级上·浙江杭州·期中）有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方运算（可用括号）列一个算式，先得计算结果为“24”者获胜（J，Q，K分别表示11，12，13，A表示1）．小聪抽到的四张牌如图所示，你能算出“24点”吗？请列出算式__________．（写出一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键；因此此题可根据“24点”进行求解． 【详解】解：由题意得：，； 故答案为（答案不唯一）． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）“24点游戏”指的是从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽出四张，根据牌面上的数进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果是或．其中红色代表负数，黑色代表正数．现抽出的牌所对应的数是黑桃4，红桃5，梅花3，方块7，请你写出一个刚好凑成的算式：_________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握点游戏的规则是解题的关键． 根据点游戏的规则，利用给定的数字进行组合得到即可． 【详解】解：根据题意，可知四个数分别为， 通过观察可知， ． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）小徽有5张卡片，分别写有数字，，4，7，2，请你按要求抽出卡片，完成下列各题． (1)若从中抽出4张卡片，运用加、减、乘、除、乘方等运算符号和括号，使得4张卡片上的数字的运算结果为24，请写出其中一种算式； (2)（i）若从中抽出2张卡片，且2张卡片上的数字的差最小，应如何抽取？最小值是多少？ （ii）若从中抽出2张卡片，且2张卡片上的数字的积最大，应如何抽取？最大值是多少？ 【答案】(1)（答案不唯一） (2)（i）抽取数字以及数字，最小值是．（ii）抽取数字以及数字，最大值是45， 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，进行列式计算，即可作答． （2）（i）根据2张卡片上的数字的差最小，则拿出最大的数为，拿出最小的数为，把最小的数减去最大的数，即可作答． （ii）根据2张卡片上的数字的积最大，则抽取相同符号的两个数，且它们的绝对值最大，所以抽取数字以及数字，运算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，； （2）解：（i）拿出最大的数为，拿出最小的数为， 则， 即抽取最大的数为以及最小的数为，并把最小的数减去最大的数，此时得出差最小； （ii）抽取相同符号的两个数，且它们的绝对值最大，此时2张卡片上的数字的积最大， 即抽取数字以及数字，， ∴这2张卡片上的数字的积最大值是45， 【题型3】单流程程序流程图计算 1.核心知识点 有理数混合运算；程序逻辑的理解与执行 2.解题方法技巧 ①先理清程序的输入、运算步骤、判断条件、输出的完整逻辑链； ②代入输入值时严格按运算顺序计算，注意乘方的符号判断； ③单次运算不满足输出条件时，将结果重新代入，逐次计算直到满足条件。 【例题3】.（25-26七年级上·河南郑州·期末）按照如图所示的操作步骤，若输入的值为6，则输出的结果为________． 【答案】54 【分析】本题主要考查了与流程图有关的有理数计算，根据运算程序列式计算即可求解． 【详解】解：根据题意，输入的值为6时，可得． 故答案为：54． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·全国·周测）给出如图所示的程序．当输入的值为1时，输出的值为1；当输入的值为时，输出的值为．故当输入的值为0.5时，输出的值为_________． 【答案】 【分析】根据程序流程，可得出函数关系式。已知两组、的对应值，可将其代入函数式，得到一个关于、的二元一次方程组，解出 、的值后，再将代入求出对应的值． 【详解】解：由题意可列方程组 即解得 当输入的值为时，输出的值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用和函数关系式的确定，解题关键是将程序流程转化为数学表达式，再利用已知条件建立方程组求解． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·四川成都·期中）在计算机上可以设置运算程序，输入一组数据，计算机就会呈现运算结果，就好像一个“数值转换机”．上面是一组“数值转换机”，若输出的数为15．则输入的数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：， 故选：B． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·宁夏银川·期末）小华和小丽玩一个数字游戏，小华说：“你在心里任意想一个数，按以下步骤操作后，告诉我结果，我就会立马知道你心里想的是什么．”你明白其中的道理吗？让我们和小丽一起来揭秘吧． (1)如果小丽心里想的是，那么她最终得到的结果是 ． (2)如果小丽告诉小华她最终得到的结果是，那么小华会告诉小丽心里想的数是 ． (3)小丽又换了几个她最终得到的结果告诉小华，小华都能立马说出她心中想的数字，请你揭示其中的奥秘． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（）根据运算程序计算即可求解； （）设小丽心里想的数是，根据题意列出方程解答即可求解； （）设小丽心里想的数是，可得最终的计算结果是，即把小丽的计算结果加就是她心里想的数，据此即可求解； 本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用，整式加减的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：设小丽心里想的数是， 则， 解得， ∴小丽心里想的数是， 故答案为：； （3）解：设小丽心里想的数是，则， 即最终的计算结果是， 可知，最终的计算结果比原数小， ∴把小丽的计算结果加就是她心里想的数． 【培优提升题型】 【题型4】运用乘法分配律的简便运算 1.核心知识点 乘法分配律的正用与逆用；分数、小数的混合运算 2.解题方法技巧 ①正用分配律：括号外的数分别乘括号内各项，消去分母或小数，简化计算； ②逆用分配律：提取各项的公因数，将剩余部分合并后再计算； ③接近整十、整百的数可拆成整十/整百数与一个数的和差，再用分配律。 【例题4】.（25-26七年级上·湖南株洲·期末）计算：________． 【答案】58 【详解】解： ． 【变式题4-1】.（25-26七年级上·广东汕头·期末）如图是嘉淇对一道题的解题过程，下列判断正确的是（   ） ……第①步 ……第②步 ．……第③步 A．第①步运用了乘法交换律 B．第②步运用了乘法对加法的分配律，但结果错误 C．第②步的运算结果正确 D．第③步的结果是本题的正确结果 【答案】B 【详解】解：第①步是将带分数拆分为，没有运用乘法交换律，故A选项错误； 按照乘法对加法的分配律展开计算： ， ∴第②步运用了乘法对加法的分配律，但计算时符号错误，结果错误，故B选项正确，C选项错误； 第②步计算已经出错，∴第③步的结果错误，故D选项错误． 【变式题4-2】.（2026·河北沧州·二模）洪洪在计算的过程中产生了如下两种简便计算思路： 思路一： 解：原式 思路二： 解：原式 = (1)在思路一中的“□”内填上合适的数，并完成计算； (2)在思路二中的“○”内填上“”“”、“×”、或“÷”中的一个运算符号，使得运算过程正确．并完成计算． 【答案】(1)；； (2)； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·河北保定·期末）学习了有理数乘法后，王老师给同学们布置了一道数学题：计算．看谁算得又快又正确．嘉嘉、淇淇和媛媛的解法如下： 嘉嘉：原式； 淇淇：原式； 媛媛：原式． (1)淇淇和媛媛的解法都运用了拆项法，即把一个数拆成两个数的和或两个数的差，然后再运用有理数的运算律进行计算，可使计算简便，她们运用的运算律是（     ） A．乘法交换律        B．乘法结合律 C．乘法对加法的分配律    D．加法结合律 (2)请你选择以上三种解法中的一种计算的值． 【答案】(1)C (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，乘法运算律，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据乘法对加法的分配律进行求解即可； （2）利用拆项法和乘法对加法的分配律，进行计算即可． 【详解】（1）解：她们运用的运算律是乘法对加法的分配律， 故选：C； （2）解： ． 【题型5】有理数混合运算的生活情境应用 1.核心知识点 有理数混合运算的实际意义；数学建模思想 2.解题方法技巧 ①读懂题意，提取数量关系，明确各数据对应的运算意义； ②阶梯计费、促销优惠类问题分段计算，注意各段的计费标准； ③计算结果结合实际情境验证，确保答案符合现实意义。 【例题5】.（25-26七年级上·云南昆明·期中）中国航天员科研训练中心研发的“太空菜园”装置，在“天宫二号”进行生菜在轨培养试验成功后，某科技小组设计了一个微型种植舱模型．将该模型抽象出来的几何图形如图所示，整个种植舱由圆柱形生长舱和圆锥形营养舱组成，总高度为80厘米，营养舱的高度为总高度的，生长舱与营养舱的底面圆周长均为厘米．（备注：，结果保留） (1)营养舱的高度为__________厘米，底面半径为__________厘米； (2)求该微型种植舱模型的体积． 【答案】(1)20，30 (2)立方厘米 【分析】本题考查了圆柱的体积，圆锥的体积，含乘方的有理数的混合运算的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，进行列式计算得营养舱的高度为20厘米，结合圆周长公式进行列式计算，得底面半径为30厘米，即可作答． （2）分别算出圆柱的体积，圆锥的体积，再相加，即可作答． 【详解】（1）解：∵总高度为80厘米，营养舱的高度为总高度的， ∴（厘米）， ∵生长舱与营养舱的底面圆周长均为厘米． ∴（厘米）， 即营养舱的高度为20厘米，底面半径为30厘米； （2）解：由（1）得营养舱的高度为20厘米，底面半径为30厘米； ∴圆柱形生长舱的高度为（厘米）， 则（立方厘米）， ∴该微型种植舱模型的体积为立方厘米． 【变式题5-1】.（25-26七年级上·湖南衡阳·开学考试）王明准备改造自己的房间，想让它更智能、更舒适． (1)王明想给正方形的书房地面铺设带有感应功能的方砖，用边长的方砖铺地正好需36块．改用边长的方砖需多少块？ (2)为了营造氛围，王明需要购买30个可调光调色的智能灯泡．现有甲、乙两家商城在销售，灯泡的单价都是10元．但两家商场的优惠活动不同： 甲商城：打8折销售            乙商城：购物每满200元，立减30元现金 王明想尽量节省费用，他应该选择哪家商场购买？为什么？（请写出计算过程） 【答案】(1)改用边长的方砖需81块 (2)应该选择甲商场购买，原因见解析 【分析】本题考查正方形的面积，折扣问题，读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键： （1）求出总面积，再除以边长的方砖的面积，进行计算即可； （2）根据优惠方法，求出分别到两个商城购买所需要的费用，进行比较即可． 【详解】（1）解：（块）； 答：改用边长的方砖需81块； （2）应该选择甲商场购买，原因如下： 去甲商场购买所需费用为：（元）； （元），， 故去乙商场购买所需费用为：（元）； 因为， 所以他应该选择甲商场购买． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·广西河池·期末）某班计划开展团建活动，了解到多数同学都喜欢吃哈密瓜．于是班级采购小组到市场调查，发现华星超市在搞促销活动，其中有一批大小差不多的哈密瓜也在促销．促销员说：这些瓜每个重量大约都在5斤左右，之前卖3.5元一斤的，现在搞活动全部卖15元一个．采购小组商量后买了10个回来．验货小组想知道这次购买的10个瓜的实际重量，于是将10个瓜逐个称重，以5斤为标准，超过记为正，不足记为负，记录结果如下：，，，，，，，，，．问： (1)最重的瓜比最轻的瓜重多少斤？ (2)该班采购的10个哈密瓜实际总重量为多少斤？ (3)如果按原价购买这10个瓜需付多少元？该班此次购买省了多少元？ 【答案】(1)最重的瓜比最轻的瓜重斤 (2)该班采购的个哈密瓜的总重量为斤 (3)按原价购买这个瓜需付元，此次购买省了元 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数混合运算的应用，正确列出算式是解答本题的关键． （1）用最重的减去最轻的即可； （2）实际总重量等于10个瓜的标准质量加上10个瓜与标准质量的差的总和； （3）用总重量乘以单价可得原总价，再计算活动时的总价，两者相比较即可求出省了多少元． 【详解】（1）解：（1） 答：最重的瓜比最轻的瓜重0.85斤； （2）解： 答：该班采购的10个哈密瓜的总重量为斤； （3）活动前总价： 活动时总价： 此次购买省了： 答：按原价购买这10个瓜需付元，此次购买省了元． 【变式题5-3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）综合探究 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法． 如图1所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推… ① ② ③ 阴影面积 面积 (1)根据图形填写上表； (2)计算：；（请写出计算过程） (3)类比：小华在计算时利用了如图2所示的正方形模型． 设正方形的面积为1，第1次分割，把正方形的面积三等分，阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为；… ①第n次分割后，空白部分的面积是______． ②由此计算的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题考查了有理数的乘方、图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据图1分别求出部分①⑥的面积，再根据阴影部分的面积等于部分⑥的面积的一半即可得； （2）将转化为，再去括号，计算即可得； （3）①根据第次分割后，空白部分的面积归纳类推出一般规律，由此即可得； ②根据①中的规律求出，再将所求出式子的转化为，代入计算即可得． 【详解】（1）解：由图1可知，部分①的面积为， 部分②的面积为， 部分③的面积为， 部分④的面积为， 部分⑤的面积为， 部分⑥的面积为， 则阴影部分的面积为． 则填表如下： ① ② ③ 阴影面积 面积 （2）解： ． （3）解：由图2可知，第1次分割后，空白部分的面积为， 第2次分割后，空白部分的面积为， 第3次分割后，空白部分的面积为， 归纳类推得：第次分割后，空白部分的面积是， 故答案为：． ②由上可知，第100次分割后，空白部分的面积是， ∴， ∴ ． 【题型6】新定义运算中的混合运算 1.核心知识点 新定义规则的理解；有理数混合运算的综合运用 2.解题方法技巧 ①准确解读新运算的规则，将新运算转化为常规的四则与乘方运算； ②多层新运算按从内到外的顺序逐层计算，每一步严格遵循定义规则； ③含参数的新定义方程，代入规则整理后，按常规方程求解。 【例题6】.（25-26七年级下·江苏苏州·期中）定义一种运算：．例如：．那么______． 【答案】79 【分析】根据新定义，按照先算括号内，再算括号外的顺序，套用给定运算规则计算即可． 【详解】解：根据规则， 再计算 ． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·江苏连云港·期中）在有理数范围内，定义一种新运算“”：，例如：，则 __________． 【答案】 【分析】本题考查定义新运算，有理数的混合运算，熟练掌握新运算的法则是解题的关键，根据新运算的法则列式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·湖南长沙·期中）在数学中，有一个著名的“冰雹猜想”（又称Collatz猜想），它定义了一种运算：对于正整数n，如果n是偶数，则将它变为；如果n是奇数，则将它变为；如此重复运算，最终都会得到1．定义从正整数n开始到第一次得到1的运算次数叫做n的“冰雹步数”．例如：从5开始，运算过程为：5→16→8→4→2→1共进行了5次运算，则5的“冰雹步数”为5．那么，以下四个数中，冰雹步数最大的是（   ） A．3 B．6 C．13 D．20 【答案】C 【分析】本题考查流程图与有理数的计算，计算每个选项的冰雹步数（即从n开始按规则运算到1的次数），并比较大小即可． 【详解】解：从开始，运算过程为：共进行了7次运算，则3的“冰雹步数”为7． 从开始，运算过程为：共进行了8次运算，则6的“冰雹步数”为8． 从开始，运算过程为：共进行了9次运算，则13的“冰雹步数”为9． 从开始，运算过程为：共进行了7次运算，则20的“冰雹步数”为7． ∴冰雹步数最大的是13， 故选：C． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·陕西榆林·期末）定义一种新运算：对于任意有理数、，都满足．例如：． (1)求的值； (2)已知，求有理数的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，解一元一次方程，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据题意可知，据此计算求解即可； （2）根据新定义，先计算出，进而得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 解得． 【压轴素养题型】 【题型7】循环规律型程序运算 1.核心知识点 程序流程图运算；周期规律的探究 2.解题方法技巧 ①先按程序计算前几次的输出结果，找出循环周期； ②用总次数除以周期，根据余数判断对应周期内的第几个结果； ③注意循环起始位置，避免因起始项计数错误导致规律判断失误。 【例题7】.（25-26六年级下·四川成都·期中）在如图的运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为，，则第4次输出的结果为__________． 【答案】3 【分析】根据程序流程图计算即可得出结果． 【详解】解：若开始输入的值为48， 我们发现第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为． 【变式题7-1】.（2026·陕西榆林·模拟预测）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序，第1次计算输出的结果是1，第2次计算输出的结果是,…，这样计算下去，第7次计算输出的结果是_____． 【答案】1 【分析】分别计算出前几次输出的结果，再根据规律可得答案． 【详解】解：当输入时，第1次输出的结果是； 第2次输出的结果是； 第3次输出的结果是； 第4次输出的结果是； 第5次输出的结果是； 第6次输出的结果是； 第7次输出的结果是． 【变式题7-2】.（25-26九年级下·河北石家庄·开学考试）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为50，我们发现第1次输出的结果为25，第2次输出的结果为32，…，则第次输出的结果是__________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了代数式求值及数字变化规律，找到数字变化的规律是解题的关键．依次计算前几次的输出结果，从而发现输出结果的循环规律，利用周期性即可得到答案． 【详解】解：第一次：输入，为偶数，输出； 第二次：输入，为奇数，输出； 第三次：输入，为偶数，输出； 第四次：输入，为偶数，输出； 第五次：输入，为偶数，输出； 第六次：输入，为偶数，输出； 第七次：输入，为偶数，输出； 第八次：输入，为奇数，输出； 第九次：输入，为偶数，输出； 故从第四次开始，呈现周期性规律，以为一个周期，循环周期为， ， 故第次输出的结果是． 故答案为：． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·河南郑州·期末）在学习完有理数的混合运算后，小明和同学一起编制了如下一个运算程序：一开始输入一个非零自然数，当为偶数时，就用除以，得到一个新的自然数；当为奇数时，我们先把乘以后，其结果再加上，这样也能得到一个新的自然数．把第一次运算后得到的新的自然数再次代入程序中，按上述法则继续运算，并不断重复这个运算程序次，直到运算的结果第一次为时，终止此程序，我们就称是自然数的熵．例如自然数时，则第一次运算，第二次运算，第三次运算，这样经过次运算后结果第一次为，则称的熵．若输入自然数，则自然数的熵_________． 【答案】7 【分析】本题考查了程序流程图与有理数的计算，掌握知识点的应用是解题的关键．根据程序框图列式计算，直至结果为1即可． 【详解】解：输入自然数， 第一次运算， 第二次运算， 第三次运算， 第四次运算， 第五次运算， 第六次运算， 第七次运算， 则自然数 3 的熵， 故答案为：7． 【题型8】图形规律中的混合运算 1.核心知识点 图形计数规律；数列求和与混合运算 2.解题方法技巧 ①计算前几个图形的对应数量，分析增量规律，推导第个图形的通用表达式； ②求和类问题可利用裂项相消、等差数列求和等方法简化计算； ③代入验证：将代入通项公式，验证是否与图形数量一致。 【例题8】.（25-26七年级上·重庆合川·期末）利用圆点按如图所示的规律拼图，其中第①个图中有个圆点，第②个图中有个圆点，第③个图中有个圆点，第④个图中有个圆点，……，按照这一规律，第⑦个图中的圆点数为（   ） A．43 B．39 C．34 D．30 【答案】A 【分析】本题考查几何图形中的数字规律，由所给图形找准呈现的规律是解决问题的关键． 结合图形，将图形补成正方形，可得规律：图四边形每边有个圆点，原图中圆点数为，根据题意，令代值计算即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 图①四边形每边有个圆点，原图中圆点数为个； 图②四边形每边有个圆点，原图中圆点数为个； 图③四边形每边有个圆点，原图中圆点数为个； 图④四边形每边有个圆点，原图中圆点数为个； 图四边形每边有个圆点，原图中圆点数为个； 当时，， 则按照这一规律，第⑦个图中的圆点数为个， 故选：A． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·广东梅州·期中）阅读材料，根据材料回答： 例1： ． 例2： (1)由上面的材料可总结出一个规律：（用字母表示）______； (2)仿照上面材料或规律计算：； (3)根据（1）的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据材料中的计算示例，总结同指数幂相乘的运算规律； （2）先将带分数转化为假分数，再运用（1）中的规律进行简便计算； （3） 先把小数化为分数，拆分指数使各幂的指数统一，再利用（1）的规律简化式子，最后完成有理数的乘法运算． 【详解】（1）解：由材料中的计算过程可得 （2）解： （3）解： 【变式题8-2】.（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）观察下面每个图形中圆圈的总个数，也可以用相对应算式表达． ①； ②； ③； ④； ．．．．．． (1)根据你发现的规律填空：（___________）=___________2； (2)根据上面规律，计算： ___________；（直接填结果） (3)根据上面规律，计算：．（要写必要的计算过程） 【答案】(1)7；7 (2)10000 (3) 【分析】本题考查有理数的加减运算，数字类规律探索，熟练根据题意得出规律是解题的关键． （1）根据题中的式子即可得出规律； （2）利用（1）中得出的规律计算即可； （3）将原式转化为，再进行计算即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④； ．．．．．． 所以第n个等式可表示为：， 所以当时，， 所以， 故答案为：7，7． （2）解：当时，， 所以， 故答案为：10000； （3）解：原式 ． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·江西吉安·期中）【规律探索】 观察如图的各图形，我们会发现： 图①空白部分小正方形的个数是， 图②空白部分小正方形的个数是， 图③空白部分小正方形的个数是_____； （1）请补充图③中得到的算式； （2）像这样继续排列下去请你再写出一道算式： ； 你会发现这些算式存在一个规律：请归纳 （用含有字母n的算式表示，其中n为正整数）； 【问题解决】 （3）运用这个规律计算：． 【答案】（1）；（2），；（3）2025 【分析】本题考查了图形规律，有理数的混合运算，观察图形的变化规律将图形的变化规律转化为数字规律是解题关键． （1）根据空白部分小正方形的个数等于大正方形的边长个数加阴影部分正方形的边长个数即可求解； （2）根据题干即可写出一个算式；即可写出规律； （3）运用规律将原式化为，再进行求解． 【详解】解：（1）由题意得，∵图①空白部分小正方形的个数是， 图②空白部分小正方形的个数是， ∴图③中得到的式子为：． 故③中得到的算式为：， 故答案为：； （2）由（1）知，满足要求的算式为：． 发现的规律为：； 故答案为：，； （3）由上述规律可知， ， 故答案为：2025． 易错点 1、运算顺序混乱：忽略乘方的最高优先级，先算加减后算乘除；同级运算不按从左到右顺序，随意跳步计算。 2、符号频繁出错：去括号时忽略括号前的负号，漏变符号；乘方运算中混淆与的底数与符号。 3、运算律误用：乘法分配律漏乘括号内的部分项；逆用分配律时提取公因数不彻底，导致计算错误。 4、程序运算失误：循环运算时次数计数错误；判断条件理解偏差，导致提前或延后输出结果。 重点 1、有理数混合运算的顺序规则，能规范、准确地进行含乘方、多重括号的混合运算。 2、灵活运用运算律进行简便计算，提升运算效率与准确率。 3、运用有理数混合运算解决生活情境、数字游戏、程序运算等常见题型。 难点 1、简便运算技巧的灵活选择，尤其是乘方背景下的简便运算与裂项求和类问题。 2、规律探究、方案优化类综合题型的分析思路与数学建模方法。 一、单选题 1．是的（     ） A．2倍 B．3倍 C．6倍 D．9倍 【答案】B 【详解】解：，，且， 是的倍． 2．下列各组数中，其值相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】根据有理数乘方和乘法的运算法则，分别计算每个选项中两个式子的值，再比较是否相等即可． 【详解】解：，， ，该选项符合要求； ，， ，该选项不符合要求； ，， ，该选项不符合要求； ，， ，该选项不符合要求； 综上，答案选A． 3．我们常用的十进制数，如，我国古代易经一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在如下排列的绳子上打结，并采用七进制（如），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（   ）天． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先数出每根绳子上的结数，然后将从左向右的每一位数字分别乘，，，，再将计算结果相加． 【详解】解：据图可知，从左向右，四根绳子的结数分别是、、、， 则孩子出生的天数为． 二、填空题 4．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查有理数混合运算，首先负数的奇次幂是负数，其次符号不同的两个数相加，符号取绝对值较大的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差． 【详解】解： 5．定义新运算：，例如：☆，则_____． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 6．进位制中“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数（十进制数一般不标）． 表示进制数从右起，第一位为，第二位为，第三位为．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，例如：十进制数；二进制数． （1）二进制数转换为十进制数等于__________； （2）十进制数862转换为八进制数为__________． 【答案】 26 【分析】利用位权展开法，将二进制数的每一位数字乘以对应基数2的幂次（幂次从右往左，从0开始计数），再将所有结果相加，即可得到对应的十进制数．通过将十进制数表示为各数位数字与基数8的幂次的乘积之和的形式，反推出各数位上的数字，从而得到对应的八进制数；也可采用 “除8取余法”，即不断用十进制数除以8，记录每次的余数，最后将余数从下往上排列得到八进制数． 【详解】解：（1）； （2）∵；；；， ∴， ∴十进制数862转换为八进制数为． 三、解答题 7．计算 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)8 (2)34 (3)0 【分析】（1）根据有理数的加减法运算计算即可； （2）使用乘法运算律求解即可； （3）根据含乘方的有理数混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 8．计算及列式计算： (1)计算：； (2)现有4张卡片，上面分别写有不同的有理数，请按照下面的要求列式计算： 用最大的有理数减去最小的有理数，所得的差除以剩余两张卡片上数字的和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据含乘方的有理数混合运算法则，进行计算即可； （2）根据题意列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：由题意得： ． 9．下面是学习《有理数》时，数学老师出示的问题和两名同学的解答过程． 计算： 嘉嘉： 解：原式  第一步   第二步   第三步   第四步 琪琪： 解：原式  第一步   第二步   第三步   第四步 (1)请指出两名同学的错误分别在第几步； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)嘉嘉的错误在第一步，琪琪的错误在第三步 (2) 解：原式． 【分析】（1）根据有理数的混合运算法则分析判断即可． （2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算即可． 【详解】（1）解：嘉嘉的错误在第一步，琪琪的错误在第三步． （2）略 10．综合与实践 【实践主题】估计某款空心卷筒缎带展开的总长度． 【实践背景】欢欢与乐乐在用某款缎带包扎礼品时，计划在不把缎带全部展开的情况下，分别用不同的方法估计已使用过的两卷不同的空心卷筒缎带还有多长？ 【方法一：称重法】 欢欢用电子秤称出整卷缎带（含中心纸筒，如图1）的总质量，并称出同款已用完全部缎带后的中心纸筒的质量． （1）已知缎带净重总质量中心纸筒的质量，则这卷缎带的净重m是________g； （2）剪下一段长度为的缎带，称出其质量．假设这卷缎带质地均匀，则欢欢的这卷缎带在剪下1米之前的总长度大约是多少米？ 【方法二：等体积法】 一卷空心卷筒缎带未展开时可近似为“空心圆柱”状，底面可看作圆环，如图2，乐乐测得外直径为，内直径为（不包括中心纸筒）．然后展开一小段缎带，展开后缎带可近似为“薄长方体”状（如图3）．由于一层缎带太薄，无法精确测量，为了减小测量误差，乐乐将展开的这一小段缎带平整折叠成20层，经过多次测量取平均值后，得到20层缎带的总厚度为． （3）为了估计这卷缎带长度，可先求出每层缎带的厚度d为________； （4）若这卷缎带厚度均匀，则乐乐的这卷缎带的总长度大约是多少米？（π的值取3） 【答案】（1）36；（2）欢欢的这卷缎带在剪下1米之前的总长度大约是20米；（3）；（4）乐乐的这卷缎带的总长度大约是14米 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是： （1）根据缎带净重总质量中心纸筒的质量求解即可； （2）利用缎带净重÷缎带的质量即可求解； （3）利用20层的厚度÷层数（20）即可； （4）根据缎带总长=卷筒缎带底面环形面积÷缎带厚度求解即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：36； （2）（米） 答：欢欢的这卷缎带在剪下1米之前的总长度大约是20米． （3）， 故答案为：0.015； （4）这卷缎带的总长度大约 答：乐乐的这卷缎带的总长度大约是14米 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.7 有理数的混合运算 【本节预习目标】 1.掌握有理数混合运算的顺序，能熟练进行有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算，提升运算的规范性与准确率。 2.能灵活运用加法、乘法运算律简化运算，掌握常见的简便运算技巧，发展数学运算核心素养。 3.能运用有理数混合运算解决生活实际、数字游戏、程序运算等情境问题，体会数学的应用价值。 4.通过规律探究、新定义运算、方案优化类题型，培养归纳推理与数学建模的能力。 【前置旧知回顾】 知识模块 已学旧知内容 本节新知关联 有理数四则运算 有理数加、减、乘、除的运算法则；加法、乘法运算律 四则运算是混合运算的基础运算单元，运算律是简化混合运算的核心工具 有理数乘方 乘方的概念与符号法则；乘方的运算方法 乘方是混合运算中的第三级运算，运算优先级最高 括号运算规则 去括号、添括号的符号法则；括号内运算的优先级 多重括号运算遵循从内到外的顺序，是混合运算的重要组成部分 知识点1：有理数的混合运算顺序 1.运算分级与优先级 有理数运算分为三级：加减是第一级运算，乘除是第二级运算，乘方是第三级运算。 运算优先级：第三级>第二级>第一级，即先乘方，再乘除，最后加减。 2.同级与括号规则 同级运算，从左到右依次进行； 如有括号，先进行括号内的运算，按小括号→中括号→大括号的顺序依次计算。 知识点2：有理数混合运算的简便运算 1.核心运算律 加法：交换律；结合律 乘法：交换律；结合律；分配律 2.常用简便技巧 巧转化：小数与分数互化、除法转化为乘法、带分数化为假分数； 巧逆用：逆用乘法分配律，提取公因式简化计算； 巧分段：借助加减号将算式分段，每段内分别计算后再合并结果。 【基础巩固题型】 【题型1】有理数混合运算 1.核心知识点 有理数混合运算的优先级顺序；乘方、乘除、加减的运算法则 2.解题方法技巧 ①严格遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序，不随意跳级运算； ②按“小括号→中括号→大括号”的顺序逐层计算，每层内仍遵循高级运算优先； ③适当运用乘法分配律去掉括号，简化逐层计算的繁琐过程。 【例题1】.（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： (1)； (2) 【变式题1-1】.（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； 【变式题1-2】.（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【变式题1-3】.（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型2】“24点”数字趣味运算 1.核心知识点 有理数四则与乘方混合运算；数字组合与运算构造 2.解题方法技巧 ①优先凑基础乘积组合：、、，将数字向目标因数靠拢； ②次选和差形式：、、等，通过加减构造目标值； ③合理使用括号与乘方调整运算顺序，每个数字必须使用且仅使用一次。 【例题2】.（25-26七年级上·云南保山·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26七年级上·浙江杭州·期中）有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方运算（可用括号）列一个算式，先得计算结果为“24”者获胜（J，Q，K分别表示11，12，13，A表示1）．小聪抽到的四张牌如图所示，你能算出“24点”吗？请列出算式__________．（写出一种即可） 【变式题2-2】.（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）“24点游戏”指的是从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽出四张，根据牌面上的数进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果是或．其中红色代表负数，黑色代表正数．现抽出的牌所对应的数是黑桃4，红桃5，梅花3，方块7，请你写出一个刚好凑成的算式：_________． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）小徽有5张卡片，分别写有数字，，4，7，2，请你按要求抽出卡片，完成下列各题． (1)若从中抽出4张卡片，运用加、减、乘、除、乘方等运算符号和括号，使得4张卡片上的数字的运算结果为24，请写出其中一种算式； (2)（i）若从中抽出2张卡片，且2张卡片上的数字的差最小，应如何抽取？最小值是多少？ （ii）若从中抽出2张卡片，且2张卡片上的数字的积最大，应如何抽取？最大值是多少？ 【题型3】单流程程序流程图计算 1.核心知识点 有理数混合运算；程序逻辑的理解与执行 2.解题方法技巧 ①先理清程序的输入、运算步骤、判断条件、输出的完整逻辑链； ②代入输入值时严格按运算顺序计算，注意乘方的符号判断； ③单次运算不满足输出条件时，将结果重新代入，逐次计算直到满足条件。 【例题3】.（25-26七年级上·河南郑州·期末）按照如图所示的操作步骤，若输入的值为6，则输出的结果为________． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·全国·周测）给出如图所示的程序．当输入的值为1时，输出的值为1；当输入的值为时，输出的值为．故当输入的值为0.5时，输出的值为_________． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·四川成都·期中）在计算机上可以设置运算程序，输入一组数据，计算机就会呈现运算结果，就好像一个“数值转换机”．上面是一组“数值转换机”，若输出的数为15．则输入的数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式题3-3】.（25-26七年级上·宁夏银川·期末）小华和小丽玩一个数字游戏，小华说：“你在心里任意想一个数，按以下步骤操作后，告诉我结果，我就会立马知道你心里想的是什么．”你明白其中的道理吗？让我们和小丽一起来揭秘吧． (1)如果小丽心里想的是，那么她最终得到的结果是 ． (2)如果小丽告诉小华她最终得到的结果是，那么小华会告诉小丽心里想的数是 ． (3)小丽又换了几个她最终得到的结果告诉小华，小华都能立马说出她心中想的数字，请你揭示其中的奥秘． 【培优提升题型】 【题型4】运用乘法分配律的简便运算 1.核心知识点 乘法分配律的正用与逆用；分数、小数的混合运算 2.解题方法技巧 ①正用分配律：括号外的数分别乘括号内各项，消去分母或小数，简化计算； ②逆用分配律：提取各项的公因数，将剩余部分合并后再计算； ③接近整十、整百的数可拆成整十/整百数与一个数的和差，再用分配律。 【例题4】.（25-26七年级上·湖南株洲·期末）计算：________． 【变式题4-1】.（25-26七年级上·广东汕头·期末）如图是嘉淇对一道题的解题过程，下列判断正确的是（   ） ……第①步 ……第②步 ．……第③步 A．第①步运用了乘法交换律 B．第②步运用了乘法对加法的分配律，但结果错误 C．第②步的运算结果正确 D．第③步的结果是本题的正确结果 【变式题4-2】.（2026·河北沧州·二模）洪洪在计算的过程中产生了如下两种简便计算思路： 思路一： 解：原式 思路二： 解：原式 = (1)在思路一中的“□”内填上合适的数，并完成计算； (2)在思路二中的“○”内填上“”“”、“×”、或“÷”中的一个运算符号，使得运算过程正确．并完成计算． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·河北保定·期末）学习了有理数乘法后，王老师给同学们布置了一道数学题：计算．看谁算得又快又正确．嘉嘉、淇淇和媛媛的解法如下： 嘉嘉：原式； 淇淇：原式； 媛媛：原式． (1)淇淇和媛媛的解法都运用了拆项法，即把一个数拆成两个数的和或两个数的差，然后再运用有理数的运算律进行计算，可使计算简便，她们运用的运算律是（     ） A．乘法交换律        B．乘法结合律 C．乘法对加法的分配律    D．加法结合律 (2)请你选择以上三种解法中的一种计算的值． 【题型5】有理数混合运算的生活情境应用 1.核心知识点 有理数混合运算的实际意义；数学建模思想 2.解题方法技巧 ①读懂题意，提取数量关系，明确各数据对应的运算意义； ②阶梯计费、促销优惠类问题分段计算，注意各段的计费标准； ③计算结果结合实际情境验证，确保答案符合现实意义。 【例题5】.（25-26七年级上·云南昆明·期中）中国航天员科研训练中心研发的“太空菜园”装置，在“天宫二号”进行生菜在轨培养试验成功后，某科技小组设计了一个微型种植舱模型．将该模型抽象出来的几何图形如图所示，整个种植舱由圆柱形生长舱和圆锥形营养舱组成，总高度为80厘米，营养舱的高度为总高度的，生长舱与营养舱的底面圆周长均为厘米．（备注：，结果保留） (1)营养舱的高度为__________厘米，底面半径为__________厘米； (2)求该微型种植舱模型的体积． 【变式题5-1】.（25-26七年级上·湖南衡阳·开学考试）王明准备改造自己的房间，想让它更智能、更舒适． (1)王明想给正方形的书房地面铺设带有感应功能的方砖，用边长的方砖铺地正好需36块．改用边长的方砖需多少块？ (2)为了营造氛围，王明需要购买30个可调光调色的智能灯泡．现有甲、乙两家商城在销售，灯泡的单价都是10元．但两家商场的优惠活动不同： 甲商城：打8折销售            乙商城：购物每满200元，立减30元现金 王明想尽量节省费用，他应该选择哪家商场购买？为什么？（请写出计算过程） 【变式题5-2】.（25-26七年级上·广西河池·期末）某班计划开展团建活动，了解到多数同学都喜欢吃哈密瓜．于是班级采购小组到市场调查，发现华星超市在搞促销活动，其中有一批大小差不多的哈密瓜也在促销．促销员说：这些瓜每个重量大约都在5斤左右，之前卖3.5元一斤的，现在搞活动全部卖15元一个．采购小组商量后买了10个回来．验货小组想知道这次购买的10个瓜的实际重量，于是将10个瓜逐个称重，以5斤为标准，超过记为正，不足记为负，记录结果如下：，，，，，，，，，．问： (1)最重的瓜比最轻的瓜重多少斤？ (2)该班采购的10个哈密瓜实际总重量为多少斤？ (3)如果按原价购买这10个瓜需付多少元？该班此次购买省了多少元？ 【变式题5-3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）综合探究 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法． 如图1所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推… ① ② ③ 阴影面积 面积 (1)根据图形填写上表； (2)计算：；（请写出计算过程） (3)类比：小华在计算时利用了如图2所示的正方形模型． 设正方形的面积为1，第1次分割，把正方形的面积三等分，阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为；… ①第n次分割后，空白部分的面积是______． ②由此计算的值． ① ② ③ 阴影面积 面积 【题型6】新定义运算中的混合运算 1.核心知识点 新定义规则的理解；有理数混合运算的综合运用 2.解题方法技巧 ①准确解读新运算的规则，将新运算转化为常规的四则与乘方运算； ②多层新运算按从内到外的顺序逐层计算，每一步严格遵循定义规则； ③含参数的新定义方程，代入规则整理后，按常规方程求解。 【例题6】.（25-26七年级下·江苏苏州·期中）定义一种运算：．例如：．那么______． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·江苏连云港·期中）在有理数范围内，定义一种新运算“”：，例如：，则 __________． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·湖南长沙·期中）在数学中，有一个著名的“冰雹猜想”（又称Collatz猜想），它定义了一种运算：对于正整数n，如果n是偶数，则将它变为；如果n是奇数，则将它变为；如此重复运算，最终都会得到1．定义从正整数n开始到第一次得到1的运算次数叫做n的“冰雹步数”．例如：从5开始，运算过程为：5→16→8→4→2→1共进行了5次运算，则5的“冰雹步数”为5．那么，以下四个数中，冰雹步数最大的是（   ） A．3 B．6 C．13 D．20 【变式题6-3】.（25-26七年级上·陕西榆林·期末）定义一种新运算：对于任意有理数、，都满足．例如：． (1)求的值； (2)已知，求有理数的值． 【压轴素养题型】 【题型7】循环规律型程序运算 1.核心知识点 程序流程图运算；周期规律的探究 2.解题方法技巧 ①先按程序计算前几次的输出结果，找出循环周期； ②用总次数除以周期，根据余数判断对应周期内的第几个结果； ③注意循环起始位置，避免因起始项计数错误导致规律判断失误。 【例题7】.（25-26六年级下·四川成都·期中）在如图的运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为，，则第4次输出的结果为__________． 【变式题7-1】.（2026·陕西榆林·模拟预测）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序，第1次计算输出的结果是1，第2次计算输出的结果是,…，这样计算下去，第7次计算输出的结果是_____． 【变式题7-2】.（25-26九年级下·河北石家庄·开学考试）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为50，我们发现第1次输出的结果为25，第2次输出的结果为32，…，则第次输出的结果是__________． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·河南郑州·期末）在学习完有理数的混合运算后，小明和同学一起编制了如下一个运算程序：一开始输入一个非零自然数，当为偶数时，就用除以，得到一个新的自然数；当为奇数时，我们先把乘以后，其结果再加上，这样也能得到一个新的自然数．把第一次运算后得到的新的自然数再次代入程序中，按上述法则继续运算，并不断重复这个运算程序次，直到运算的结果第一次为时，终止此程序，我们就称是自然数的熵．例如自然数时，则第一次运算，第二次运算，第三次运算，这样经过次运算后结果第一次为，则称的熵．若输入自然数，则自然数的熵_________． 【题型8】图形规律中的混合运算 1.核心知识点 图形计数规律；数列求和与混合运算 2.解题方法技巧 ①计算前几个图形的对应数量，分析增量规律，推导第个图形的通用表达式； ②求和类问题可利用裂项相消、等差数列求和等方法简化计算； ③代入验证：将代入通项公式，验证是否与图形数量一致。 【例题8】.（25-26七年级上·重庆合川·期末）利用圆点按如图所示的规律拼图，其中第①个图中有个圆点，第②个图中有个圆点，第③个图中有个圆点，第④个图中有个圆点，……，按照这一规律，第⑦个图中的圆点数为（   ） A．43 B．39 C．34 D．30 【变式题8-1】.（25-26七年级上·广东梅州·期中）阅读材料，根据材料回答： 例1： ． 例2： (1)由上面的材料可总结出一个规律：（用字母表示）______； (2)仿照上面材料或规律计算：； (3)根据（1）的规律计算：． 【变式题8-2】.（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）观察下面每个图形中圆圈的总个数，也可以用相对应算式表达． ①； ②； ③； ④； ．．．．．． (1)根据你发现的规律填空：（___________）=___________2； (2)根据上面规律，计算： ___________；（直接填结果） (3)根据上面规律，计算：．（要写必要的计算过程） 【变式题8-3】.（25-26七年级上·江西吉安·期中）【规律探索】 观察如图的各图形，我们会发现： 图①空白部分小正方形的个数是， 图②空白部分小正方形的个数是， 图③空白部分小正方形的个数是_____； （1）请补充图③中得到的算式； （2）像这样继续排列下去请你再写出一道算式： ； 你会发现这些算式存在一个规律：请归纳 （用含有字母n的算式表示，其中n为正整数）； 【问题解决】 （3）运用这个规律计算：． 易错点 1、运算顺序混乱：忽略乘方的最高优先级，先算加减后算乘除；同级运算不按从左到右顺序，随意跳步计算。 2、符号频繁出错：去括号时忽略括号前的负号，漏变符号；乘方运算中混淆与的底数与符号。 3、运算律误用：乘法分配律漏乘括号内的部分项；逆用分配律时提取公因数不彻底，导致计算错误。 4、程序运算失误：循环运算时次数计数错误；判断条件理解偏差，导致提前或延后输出结果。 重点 1、有理数混合运算的顺序规则，能规范、准确地进行含乘方、多重括号的混合运算。 2、灵活运用运算律进行简便计算，提升运算效率与准确率。 3、运用有理数混合运算解决生活情境、数字游戏、程序运算等常见题型。 难点 1、简便运算技巧的灵活选择，尤其是乘方背景下的简便运算与裂项求和类问题。 2、规律探究、方案优化类综合题型的分析思路与数学建模方法。 一、单选题 1．是的（     ） A．2倍 B．3倍 C．6倍 D．9倍 2．下列各组数中，其值相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．我们常用的十进制数，如，我国古代易经一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在如下排列的绳子上打结，并采用七进制（如），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（   ）天． A． B． C． D． 二、填空题 4．计算：______． 5．定义新运算：，例如：☆，则_____． 6．进位制中“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数（十进制数一般不标）． 表示进制数从右起，第一位为，第二位为，第三位为．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，例如：十进制数；二进制数． （1）二进制数转换为十进制数等于__________； （2）十进制数862转换为八进制数为__________． 三、解答题 7．计算 (1)； (2)； (3)． 8．计算及列式计算： (1)计算：； (2)现有4张卡片，上面分别写有不同的有理数，请按照下面的要求列式计算： 用最大的有理数减去最小的有理数，所得的差除以剩余两张卡片上数字的和． 9．下面是学习《有理数》时，数学老师出示的问题和两名同学的解答过程． 计算： 嘉嘉： 解：原式  第一步   第二步   第三步   第四步 琪琪： 解：原式  第一步   第二步   第三步   第四步 (1)请指出两名同学的错误分别在第几步； (2)请你写出正确的解答过程． 10．综合与实践 【实践主题】估计某款空心卷筒缎带展开的总长度． 【实践背景】欢欢与乐乐在用某款缎带包扎礼品时，计划在不把缎带全部展开的情况下，分别用不同的方法估计已使用过的两卷不同的空心卷筒缎带还有多长？ 【方法一：称重法】 欢欢用电子秤称出整卷缎带（含中心纸筒，如图1）的总质量，并称出同款已用完全部缎带后的中心纸筒的质量． （1）已知缎带净重总质量中心纸筒的质量，则这卷缎带的净重m是________g； （2）剪下一段长度为的缎带，称出其质量．假设这卷缎带质地均匀，则欢欢的这卷缎带在剪下1米之前的总长度大约是多少米？ 【方法二：等体积法】 一卷空心卷筒缎带未展开时可近似为“空心圆柱”状，底面可看作圆环，如图2，乐乐测得外直径为，内直径为（不包括中心纸筒）．然后展开一小段缎带，展开后缎带可近似为“薄长方体”状（如图3）．由于一层缎带太薄，无法精确测量，为了减小测量误差，乐乐将展开的这一小段缎带平整折叠成20层，经过多次测量取平均值后，得到20层缎带的总厚度为． （3）为了估计这卷缎带长度，可先求出每层缎带的厚度d为________； （4）若这卷缎带厚度均匀，则乐乐的这卷缎带的总长度大约是多少米？（π的值取3） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $