·2026年暑假苏科版七年级数学上新生预习手册10《第2章有理数第7节有理数的混合运算》预习讲义

数学臻选·2026年暑假苏科版七年级数学上新生预习手册10 《第2章有理数第7节有理数的混合运算》预习讲义 一．预习目标 ( 1.熟记有理数混合运算的优先级顺序，能区分乘方、乘除、加减、括号的先后运算顺序，规范书写计算步骤。 2.熟练运用加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律简化复杂混合运算，掌握凑整、拆分、约分等简便计算技巧。 3.能结合相反数、倒数、绝对值、非负性（平方+绝对值=0）等综合条件列式计算，读懂程序框图类列式计算题。 4.规避乘方符号易错点、去括号变号错误、同级运算顺序颠倒等常见失分问题，可独立完成江苏地市县区期中期末同类型考题。 5.能解决含多层括号、分数小数互化、符号连续变换的综合运算大题。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.有理数混合运算标准运算顺序； 2.乘法分配律在分数混合运算中的简便用法； 3.-a 2 与(-a) 2 在混合运算中的符号判定； 4.多层括号由内向外逐层去括号计算。 （二）难点 1.多重括号+乘方+绝对值的嵌套式综合运算； 2.逆用乘法分配律提取公因数简化计算； 3.根据文字描述、计算程序框图列代数式并求值； 4.结合相反数、倒数、绝对值的条件型求值大题。 ) 三．自主探究 （一）有理数混合运算固定运算顺序 1.有理数的混合运算法则： （1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 2.要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用： （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－6）]=－6， －[+（－5）]=5． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中 的符号，例如：（－3）×（－2）×（－4）=－24而（－3）×（－2）×4=24 （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如：（-2）2=4， （-5）3=-125 （二）五大运算律（简便计算核心） 1.加法交换律：a+b=b+a 2.加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 3.乘法交换律：ab=ba 4.乘法结合律：(ab)c=a(bc) 5.乘法分配律：a(b+c)=ab+ac；逆用：ab+ac=a(b+c)（考试高频考点） （三）必记易错规则 1.乘方优先：只要式子中有乘方，必须最先计算； 2.-22=-4，底数仅为2；(-2)2=4，底数是-2； 3.去括号法则：括号前是负号，括号内每一项全部变号；括号前正号，括号内不变号； 4.分数与小数混合运算：优先统一成分数约分计算，减少小数计算误差。 （四）常见条件翻译（大题必考） 1.a、b互为相反数 a+b=0 2.c、d互为倒数 cd=1 3.|x|=m(m>0) x=m 或 x=-m 4.A2+|B|=0 A=0，B=0（平方、绝对值均为非负数） 四．经典例题 例1.（2024 泰州姜堰区期中）计算-22+(-3)3的结果是（ ） A. -17 B. -13 C. 13 D. 17 【答案】：A 【解析】：先算乘方：-22=-4，(-3)3=-27；再相加：-4+(-27)=-17。 例2.（2025 南通海安市期末）下列运算步骤正确的是（ ） A. 18÷(-3)×2=18÷(-6)=-3 B. -3-2×5=-5×5=-25 C. (-8)×(\frac12-\frac14)=-4-2=-6 D. -14-(1-0.5)×=- 【答案】：D 【解析】：A同级运算从左到右，应先除后乘；B先乘后减；C分配律漏变号，应为-4+2；D计算正确。 例3.（2026 盐城阜宁县一模）若(x-3)2+|y+1|=0，则2x-3y的值为（ ） A. 3 B. 9 C. -3 D. -9 【答案】：B 【解析】：平方与绝对值非负，相加为0则x-3=0，y+1=0，即x=3，y=-1；代入6+3=9。 例4.（2025 宿迁泗阳县月考）用分配律计算(-24)×(-+)，正确展开式是（ ） A. -24× -24× +24× B. -24× +24× -24× C. -24× -24× -24× D. 24× -24× +24× 【答案】：B 【解析】：括号前为-24，乘进括号内每一项，负负得正，正负得负。 例5.（2024 苏州吴中区期中）-14+(-2)3÷4=____。 【答案】：-3 【解析】：-1+(-8)÷4=-1-2=-3。 例6.（2025 无锡江阴市期末）12×(-)=____。 【答案】：-1 【解析】：分配律：12×-12×=3-4=-1。 例7.（2024 常州武进区联考）输入x=-2，按程序：x→平方→-4→÷2，输出结果____。 【答案】：0 【解析】：[(-2)2-4]÷2=(4-4)÷2=0。 例8.（2024 扬州邗江区期中）规范计算下列混合运算： (1) -32+5×(-6)-(-4)2÷(-8) (2) (-+)×(-36) (3) -12025-(1-0.5)××[2-(-3)2] 【答案】(1) 原式=-9-30-16÷(-8)=-39+2=-37 (2) 原式=×(-36)-×(-36)+×(-36)=-28+30-27=-25 (3) 原式=-1-××(2-9)=-1-×(-7)=-1+= 【解析】：(1) 先算乘方，再乘除，最后加减，注意负号运算。(2)乘法分配律直接约分，避免通分。(3) -1奇次幂为-1，先算最内层括号乘方。 例9.（2025 淮安涟水县期末）已知m、n互为相反数，p、q互为倒数，|k|=4。 (1) 直接写出m+n、pq的值； (2) 求代数式-2025pq+k2的值。 【答案】(1) m+n=0，pq=1； (2) 代入：原式=0 -2025×1+×16=-2025+4=-2021 【解析】：k2无论k=4或-4，结果均为16，无需分类讨论。 例10.已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|＝5．求4（a+b﹣2）+（﹣cd）2025﹣3m的值． 【答案】-24或6 【解析】因为a，b互为相反数，得到a+b=0，因为c，d互为倒数，得到(-cd)=-1，因为|m|＝5，m=5或-5，原式1=4×(0-2)+(-1)2025-3×5=-8-1-15=-24，原式2=4×(0-2)+(-1)2025-3×(-5)=-8-1+15=6 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2024 盐城射阳县期中）计算4-(-2)2÷2结果是（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】：B 【解析】：乘方→除法→减法，4-4÷2=2。 2.（2025 镇江丹徒区联考）下列式子可使用乘法分配律简便计算的是（ ） A. 12×8×0.125 B. (-8)+9+(-2) C. 36×(+-) D. 25×17×4 【答案】：C 【解析】：A、D用乘法结合律；B用加法结合律；C符合分配律a(b+c+d)形式。 3.（2025 淮安清江浦区月考）-12+(-1)3=（ ） A. -2 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】：A 【解析】：-1+(-1)=-2，区分两个乘方底数。 4.（2024 连云港海州区期中）计算(-12)÷(-)正确结果是（ ） A. -72 B. -6 C. 6 D. 72 【答案】：A 【解析】：先算括号内，-12÷=-72，禁止拆分除法分配。 5.（2026 徐州铜山区一模）若|a-2|+(b+3)2=0，则ba=（ ） A. -9 B. 9 C. -6 D. 6 【答案】：B 【解析】：a=2，b=-3，(-3)2=9。 6.（2025 泰州兴化市期末）运算顺序与其余三项不同的是（ ） A. 3×(5-2) B. 10-6÷2 C. (-4)+8×3 D. 22-5 【答案】：A 【解析】：A先括号内减法；其余三项均先高级运算（乘除/乘方），后加减。 7、数学上有很多著名的猜想，“奇偶归一猜想”就是其中之一，它至今未被证明，但研究发现，对于任意一个小于7×1011的正整数，如果是奇数，则乘3加1；如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1．对任意正整数m，按照上述规则，恰好实施5次运算结果为1的m所有可能取值的个数为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】：D 【解析】：如果实施5次运算结果为1，则变换中的第6项一定是1，则变换中的第5项一定是2，则变换中的第4项一定是4，则变换中的第3项可能是1，也可能是8．此处第3项若是1，则计算结束，所以1不符合条件，第三项只能是8．则变换中的第2项只能是16．第1项是32或5，则m的所有可能取值为32或5，一共2个，故选：D． 8、已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费13元；超过5千克的部分每千克加收2元．圆圆在该快递公司寄一件8千克的物品，需要付费（　　） A．17元 B．19元 C．21元 D．23元 【答案】：B 【解析】：根据题意得：13+（8﹣5）×2＝13+6＝19（元）．则需要付费19元．故选：B． （二）填空题 9.（2024 宿迁沭阳县期中）(-8)×（-)=____。 【答案】：2 【解析】：-8× +8×=-2+4=2。 10.（2025 苏州昆山市月考）-23+|-6|=____。 【答案】：-2 【解析】：-8+6=-2。 11.（2026 盐城大丰区二模）36×-36×=____。 【答案】：8 【解析】：逆用分配律36×=8。 12.（2024 无锡惠山区期中）输入x=3，程序：x×2-5，输出____。 【答案】：1 【解析】：6-5=1。 13.（2025 南通如皋市期末）(-1)100×(-2)3=____。 【答案】：-8 【解析】：1×(-8)=-8。 14.（2024 扬州宝应县期中）若a、b互为倒数，则ab-5=____。 【答案】：-4 【解析】：ab=1，1-5=-4。 15．对于任意有理数a，b，规定一种新的运算：a*b＝a2＋b2－a－b＋1，则(－3)*5＝_ __． 【答案】33 【解析】(－3)*5＝(－3)2＋52－(－3)－5＋1＝9＋25＋3－5＋1＝33. 16．十进制的自然数可以写成2的乘方的降幂的式子，如：19(10)＝16＋2＋1＝1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＝10011(2)，即十进制的数19对应二进制的数10011.按照上述规则，十进制的数413对应二进制的数是__ _． 【答案】 110011101 【解析】413(10)＝256＋128＋16＋8＋4＋1＝1×28＋1×27＋0×26＋0×25＋1×24＋1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝110011101(2)． （三）解答题 17.（2024 常州天宁区期中）脱式计算： (1) -5+(-2)4-(-18)÷3 (2) (-+-)×(-16) (3) -14-(1-0.2)÷×[(-2)2-6] 解：(1) 先乘方、除法，后加减，原式=-5+16+6=17； (2) 分配律逐项相乘约分，原式=8-12+10=6。 (3) 原式=-1-××(4-6)=-1-×(-2)=-1+=。 18.（2025 镇江京口区联考）已知x是最小正整数，y是最大负整数，|z|=3。 (1) 求x、y的值； (2) 计算x-y-z2。 解：(1) 最小正整数x=1，最大负整数y=-1； (2) z2=9，原式1-(-1)-9=2-9=-7。 19.（2026 连云港赣榆区一模）某冷库初始温度-4℃，每小时降温3℃；同时另一个制冷设备每小时升温1℃。 (1) 2小时后冷库温度变化了多少℃？ (2) 2小时后冷库实际温度是多少？ (3) 几小时后冷库温度降到-20℃？ 解：(1) 每小时净降温3-1=2℃，2小时变化-4℃； (2) -4 + 2×(-2)=-8（℃）； (3) 设t小时：-4-2t=-20，解得t=8小时。 20.阅读材料，思考后请试着完成计算： 大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1＋2＋3＋…＋100＝？经过研究，这个问题的一般性结论是1＋2＋3＋…n＝n(n＋1)，其中n是正整数． 现在我们来研究一个类似的问题：1×2＋2×3＋…n(n＋1)＝？ 观察下面三个特殊的等式： 1×2＝(1×2×3－0×1×2)； 2×3＝(2×3×4－1×2×3)； 3×4＝(3×4×5－2×3×4)． 将这三个等式的两边相加，可以得到1×2＋2×3＋3×4＝×3×4×5＝20. 读完这段材料，请计算： (1)1×2＋2×3＋…＋100×101； (2)1×2＋2×3＋…＋2023×2024. 解：(1)1×2＋2×3＋…＋100×101 ＝(1×2×3－0×1×2)＋(2×3×4－1×2×3)＋…＋(100×101×102－99×100×101) ＝(100×101×102－0×1×2)＝343400. (2)同理于(1)，原式＝(2023×2024×2025－0×1×2)＝2763822600. 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2024 苏州相城区期中）计算-32÷(-)2结果是（ ） A. -81 B. -9 C. 9 D. 81 【答案】：A 【解析】：-9 ÷ = -9×9=-81，两处乘方底数均不可随意加括号。 2.（2025 无锡新吴区期末）下列计算正确的是（ ） A. -2÷×3=-2 B. -1-1=0 C. (-2)3=-8 D. |-3|=-3 【答案】：C 【解析】：A从左往右算-18；B结果-2；D绝对值为3；C正确。 3.（2026 盐城东台市三模）若(a+1)2+|b-2|=0，则ab为（ ） A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 【答案】：B 【解析】：非负和为0得a=-1,b=2，(-1)2=1。 4.（2024 泰州高港区期中）用简便方法计算99×(-15)最合适的变形是（ ） A. (100-1)×(-15) B. (90+9)×(-15) C. (100+1)×(-15) D. 99×(-10-5) 【答案】：A 【解析】：凑整100，用分配律展开-1500+15，计算最简单。 5.（2025 宿迁泗洪县月考）18-6÷(-2)×(-)结果是（） A. 17 B. 19 C. 16 D. 20 【答案】：A 【解析】：乘除同级从左至右：6÷(-2)=-3，-3×(-)=1，18-1=17。 6.（2025 南通通州区期末）式子-2×(3-5)+(-4)2的运算顺序是（ ） A. 乘方→乘法→括号内减法→加法 B. 括号减法→乘方→乘法→加法 C. 括号减法→乘法→乘方→加法 D. 乘法→括号减法→乘方→加法 【答案】：B 【解析】：先括号，再乘方，再乘除，最后加减。 7.（2026 徐州贾汪区二模）n为正整数，则(-1)2n-(-1)2n+1=（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. -2 【答案】：C 【解析】：2n偶次幂=1，2n+1奇次幂=-1，1-(-1)=2。 8.（2024 镇江扬中市月考）已知ab<0，a+b>0，则下列正确的是（ ） A. a、b同为正 B. a、b同为负 C. 一正一负，正数绝对值更大 D. 一正一负，负数绝对值更大 【答案】：C 【解析】：ab<0说明异号；和为正，正数绝对值更大。 9、生活中常用的十进制是用0-9这十个数字来表示数，满十进一，例：12＝1×10+2，212＝2×10×10+1×10+2；计算机也常用十六进制来表示字符代码，它是用0-F来表示0-15，满十六进一，它与十进制对应的数如表： 十进制 0 1 2 … 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 … 十六进制 0 1 2 … 8 9 A B C D E F 10 11 … 例：十六进制2B对应十进制的数为2×16+11＝43，10C对应十进制的数为1×16×16+0×16+12＝268，那么十六进制中14E对应十进制的数为（　） A．28 B．62 C．238 D．334 【答案】：D 【解析】：由题意得14E＝1×16×16+4×16+14＝334．故选：D． 10、按图的程序计算，若x为任意整数，则输出的所有结果中，出现次数最多的结果是（　） A．﹣5 B．﹣7 C．﹣9 D．﹣13 【答案】：C 【解析】：当x取负整数时，均能输出结果且互不相同，x＝﹣1时，输出的结果为﹣9，x＝﹣2时，输出的结果为﹣11，x＝﹣3时，输出的结果为﹣13，•••，x＝0时，输出的结果为﹣7，x＝1时，输出的结果为﹣5，x＝2时，输出的结果为﹣13，x＝3时，输出的结果为﹣9，x＝4时，输出的结果为﹣5，x＝5时，输出的结果为﹣9，x＝6时，输出的结果为﹣9，当x≥7的整数时，均不能输出结果．综上，出现次数最多的结果是﹣9，故选：C． （二）填空题 11.（2025 常州金坛区期末）(-0.25)2026×42026=____。 【答案】：1 【解析】：逆用积的乘方：(-0.25×4)2026=(-1)2026=1。 12.（2024 淮安洪泽区一模）-×8+×(-16)=____。 【答案】：-14 【解析】：-6-8=-14。 13.（2026 盐城建湖县二模）36÷(-)=____。 【答案】：216 【解析】：括号内，36÷=216，除法不可拆分分配。 14.（2025 连云港东海县联考）若|m|=5，n2=4，且m+n<0，则m=____。 【答案】：-5 【解析】：m=±5，n=±2；和小于0，m必为-5。 15.（2024 泰州靖江期末）-110+(-2)3×=____。 【答案】：-3 【解析】：-1+(-8)×=-1-2=-3。 16.（2025 苏州张家港期中）程序输入x=-4：(x+3)×(-2)，输出____。 【答案】：2 【解析】：(-4+3)×(-2)=(-1)×(-2)=2。 17.（2024 宿迁宿城区期中）24×-24×=____。 【答案】：11 【解析】：20-9=11。 18.（2025 扬州广陵区期末）若a相反数是本身，b倒数是本身，则a+b=____。 【答案】：1或-1 【解析】：相反数是自身的数a=0；倒数是自身b=1或-1，和为1或-1。 19、如图，某学校“桃李餐厅”把WIFI密码做成了数学题．小红在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络．那么她输入的密码是 　 　． 【答案】244872 【答案】由三个等式，得到规律：5*3⊕6＝301848可知：5×6 3×6 6×（5+3），2*6⊕7＝144256可知：2×7 6×7 7×（2+6），9*2⊕5＝451055可知：9×5 2×5 5×（9+2）， ∴4*8⊕6＝4×6 8×6 6×（4+8）＝244872．故答案为：244872． 20、已知a，b，c，d表示4个不同的正整数，满足a+b2+c3+d4＝90，其中d＞1，则a+2b+3c+4d的最大值是 　 　． 【答案】81 【解析】∵a，b，c，d表示4个不同的正整数，且a+b2+c3+d4＝90，其中d＞1，∴d4＜90，则d＝2或3，c3＜90，则c＝1，2，3或4，b2＜90，则b＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，a＜90，则a＝1，2，3，…，89，∴4d≤12，3c≤12，2b≤18，a≤89，∴要使得a+2b+3c+4d取得最大值，则a取最大值时，a＝90﹣（b2+c3+d4）取最大值，∴b，c，d要取最小值，则d取2，c取1，b取3，∴a的最大值为90﹣（32+13+24）＝64，∴a+2b+3c+4d的最大值是64+2×3+3×1+4×2＝81，故答案为：81． （三）解答题 21.（2024 无锡宜兴市联考）脱式简便计算： (1) -99×36 (2) -14-×[2-(-3)2] (3) (-36)×(-+) 解：(1) 拆分带分数凑整简便运算，原式=(-100+)×36=-3600+=-3599； (2) 严格遵循先乘方再括号，原式=-1-×(2-9)=-1+=； (3) 乘法分配律逐项相乘约分，原式=-18+20-21=-19。 22.（2026 常州金坛区三模） 某股民上周五以每股10元买入1000股，本周股价每日涨跌：周一+0.2，周二-0.3，周三+0.1，周四-0.5，周五+0.4。 (1) 周五收盘时每股股价为多少元？ (2) 若周五全部卖出，不计手续费，盈利多少元？ 解：(1) 10+0.2-0.3+0.1-0.5+0.4=9.9（元）； (2) 每股亏损10-9.9=0.1（元），总盈亏：-0.1×1000=-100（元）（亏损100元）。 23.（2024 镇江京口区期末）定义新运算：a★b = a2 - 2b。 (1) 计算3★(-2)； (2) 若(-2)★x=10，求x； (3) 计算(-1)★(2★3)。 解：(1)按定义代入公式，3★(-2)= 32 -2×(-2)=9+4=13； (2) (-2)2-2x=10 → 4-2x=10，解得x=-3； (3) 先算内层2★3=4-6=-2，再算-1★(-2)=1-2×(-2)=5；新运算有括号优先算括号内。 24．（8分）我们定义一种新运算：a*b＝a2﹣b+ab．例如：1*2＝12﹣2+1×2＝1 （1）求2*3的值． （2）求（﹣2）*[2*（﹣3）]的值． 解：（1）原式＝22﹣3+2×3＝4﹣3+6＝1+6＝7； （2）原式＝（﹣2）*[22﹣（﹣3）+2×（﹣3）]＝（﹣2）*[4+3﹣6]＝（﹣2）*1＝（﹣2）2﹣1+（﹣2）×1＝4﹣1﹣2＝1． 25．（12分）阅读以下内容，完成下列题目． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫❈（加乘）运算．”然后他写出了一些按照❈（加乘）运算的法则进行运算的算式：（+5）❈（+2）＝+7；（﹣3）❈（﹣5）＝+8；（﹣3）❈（+4）＝﹣7；（+5）❈（﹣6）＝﹣11；0❈（+8）＝|+8|＝8；（﹣6）❈0＝|﹣6|＝6． 小颖看了这些算式后说：“我知道你定义的❈（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也看明白了吗？请完成下列问题： （1）请联想回顾有理数运算法则，归纳❈（加乘）运算的运算法则：　 　； （2）计算：（﹣2）❈[0❈（﹣4）]＝　 　．（括号的作用同在有理数运算中的作用） （3）我们知道加法有交换律和结合律，请你判断加法交换律在❈（加乘）运算中是否适用？并举例验证． 解：（1）由题意可得：归纳❈（加乘）运算的运算法则：①两数进行❈（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；②特别地，0和任何数进行❈（加乘）运算，或任何数和0进行❈（加乘）运算，都等于这个数的绝对值； 故答案为：①两数进行❈（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；②特别地，0和任何数进行❈（加乘）运算，或任何数和0进行❈（加乘）运算，都等于这个数的绝对值； （2）（﹣2）❈[0❈（﹣4）]＝（﹣2）❈4＝﹣6，故答案为：﹣6； （3）加法交换律和加法结合律在有理数的❈（加乘）运算中适用． 由❈（加乘）运算的运算法则可知：（+5）❈（+2）＝+7，（+2）❈（+5）＝+7，所以（+5）❈（+2）＝（+2）❈（+5），即加法交换律在有理数的❈（加乘）运算中适用． 26．（12分）【概念学习】 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”，一般地把（a≠0）写作aⓝ，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：2②＝　 　；（﹣）③＝　 　； 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：（﹣3）⑤＝　 　，（）⑥＝　 　． （3）算一算：122÷（﹣）④×（﹣2）⑥﹣（﹣）⑥÷33． 解：【初步探究】（1）2②＝2÷2＝1，（﹣）③＝（﹣）÷（﹣）÷（﹣）＝﹣2， 故答案为：1，﹣2； 【深入思考】（2）（﹣3）⑤＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝（﹣3）×（﹣）×（﹣）×（﹣）×（﹣）＝（﹣）3， （）⑥＝÷÷÷÷÷＝×5×5×5×5×5＝54，故答案为：（﹣）3，54； （3）122÷（﹣）④×（﹣2）⑥﹣（﹣）⑥÷33＝144÷（﹣3）2×（﹣）4﹣（﹣3）4÷27＝144÷9×﹣81÷27＝16×﹣3＝1﹣3＝﹣2． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026年暑假苏科版七年级数学上新生预习手册10 《第2章有理数第7节有理数的混合运算》预习讲义 一．预习目标 ( 1.熟记有理数混合运算的优先级顺序，能区分乘方、乘除、加减、括号的先后运算顺序，规范书写计算步骤。 2.熟练运用加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律简化复杂混合运算，掌握凑整、拆分、约分等简便计算技巧。 3.能结合相反数、倒数、绝对值、非负性（平方+绝对值=0）等综合条件列式计算，读懂程序框图类列式计算题。 4.规避乘方符号易错点、去括号变号错误、同级运算顺序颠倒等常见失分问题，可独立完成江苏地市县区期中期末同类型考题。 5.能解决含多层括号、分数小数互化、符号连续变换的综合运算大题。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.有理数混合运算标准运算顺序； 2.乘法分配律在分数混合运算中的简便用法； 3.-a 2 与(-a) 2 在混合运算中的符号判定； 4.多层括号由内向外逐层去括号计算。 （二）难点 1.多重括号+乘方+绝对值的嵌套式综合运算； 2.逆用乘法分配律提取公因数简化计算； 3.根据文字描述、计算程序框图列代数式并求值； 4.结合相反数、倒数、绝对值的条件型求值大题。 ) 三．自主探究 （一）有理数混合运算固定运算顺序 1.有理数的混合运算法则： （1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 2.要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用： （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－6）]=－6， －[+（－5）]=5． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中 的符号，例如：（－3）×（－2）×（－4）=－24而（－3）×（－2）×4=24 （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如：（-2）2=4， （-5）3=-125 （二）五大运算律（简便计算核心） 1.加法交换律：a+b=b+a 2.加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 3.乘法交换律：ab=ba 4.乘法结合律：(ab)c=a(bc) 5.乘法分配律：a(b+c)=ab+ac；逆用：ab+ac=a(b+c)（考试高频考点） （三）必记易错规则 1.乘方优先：只要式子中有乘方，必须最先计算； 2.-22=-4，底数仅为2；(-2)2=4，底数是-2； 3.去括号法则：括号前是负号，括号内每一项全部变号；括号前正号，括号内不变号； 4.分数与小数混合运算：优先统一成分数约分计算，减少小数计算误差。 （四）常见条件翻译（大题必考） 1.a、b互为相反数 a+b=0 2.c、d互为倒数 cd=1 3.|x|=m(m>0) x=m 或 x=-m 4.A2+|B|=0 A=0，B=0（平方、绝对值均为非负数） 四．经典例题 例1.（2024 泰州姜堰区期中）计算-22+(-3)3的结果是（ ） A. -17 B. -13 C. 13 D. 17 例2.（2025 南通海安市期末）下列运算步骤正确的是（ ） A. 18÷(-3)×2=18÷(-6)=-3 B. -3-2×5=-5×5=-25 C. (-8)×(\frac12-\frac14)=-4-2=-6 D. -14-(1-0.5)×=- 例3.（2026 盐城阜宁县一模）若(x-3)2+|y+1|=0，则2x-3y的值为（ ） A. 3 B. 9 C. -3 D. -9 例4.（2025 宿迁泗阳县月考）用分配律计算(-24)×(-+)，正确展开式是（ ） A. -24× -24× +24× B. -24× +24× -24× C. -24× -24× -24× D. 24× -24× +24× 例5.（2024 苏州吴中区期中）-14+(-2)3÷4=____。 例6.（2025 无锡江阴市期末）12×(-)=____。 例7.（2024 常州武进区联考）输入x=-2，按程序：x→平方→-4→÷2，输出结果____。 例8.（2024 扬州邗江区期中）规范计算下列混合运算： (1) -32+5×(-6)-(-4)2÷(-8) (2) (-+)×(-36) (3) -12025-(1-0.5)××[2-(-3)2] 例9.（2025 淮安涟水县期末）已知m、n互为相反数，p、q互为倒数，|k|=4。 (1) 直接写出m+n、pq的值； (2) 求代数式-2025pq+k2的值。 例10.已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|＝5．求4（a+b﹣2）+（﹣cd）2025﹣3m的值． 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2024 盐城射阳县期中）计算4-(-2)2÷2结果是（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 2.（2025 镇江丹徒区联考）下列式子可使用乘法分配律简便计算的是（ ） A. 12×8×0.125 B. (-8)+9+(-2) C. 36×(+-) D. 25×17×4 3.（2025 淮安清江浦区月考）-12+(-1)3=（ ） A. -2 B. 0 C. 1 D. 2 4.（2024 连云港海州区期中）计算(-12)÷(-)正确结果是（ ） A. -72 B. -6 C. 6 D. 72 5.（2026 徐州铜山区一模）若|a-2|+(b+3)2=0，则ba=（ ） A. -9 B. 9 C. -6 D. 6 6.（2025 泰州兴化市期末）运算顺序与其余三项不同的是（ ） A. 3×(5-2) B. 10-6÷2 C. (-4)+8×3 D. 22-5 7、数学上有很多著名的猜想，“奇偶归一猜想”就是其中之一，它至今未被证明，但研究发现，对于任意一个小于7×1011的正整数，如果是奇数，则乘3加1；如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1．对任意正整数m，按照上述规则，恰好实施5次运算结果为1的m所有可能取值的个数为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 8、已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费13元；超过5千克的部分每千克加收2元．圆圆在该快递公司寄一件8千克的物品，需要付费（　　） A．17元 B．19元 C．21元 D．23元 （二）填空题 9.（2024 宿迁沭阳县期中）(-8)×（-)=____。 10.（2025 苏州昆山市月考）-23+|-6|=____。 11.（2026 盐城大丰区二模）36×-36×=____。 12.（2024 无锡惠山区期中）输入x=3，程序：x×2-5，输出____。 13.（2025 南通如皋市期末）(-1)100×(-2)3=____。 14.（2024 扬州宝应县期中）若a、b互为倒数，则ab-5=____。 15．对于任意有理数a，b，规定一种新的运算：a*b＝a2＋b2－a－b＋1，则(－3)*5＝_ __． 16．十进制的自然数可以写成2的乘方的降幂的式子，如：19(10)＝16＋2＋1＝1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＝10011(2)，即十进制的数19对应二进制的数10011.按照上述规则，十进制的数413对应二进制的数是__ _． （三）解答题 17.（2024 常州天宁区期中）脱式计算： (1) -5+(-2)4-(-18)÷3 (2) (-+-)×(-16) (3) -14-(1-0.2)÷×[(-2)2-6] 18.（2025 镇江京口区联考）已知x是最小正整数，y是最大负整数，|z|=3。 (1) 求x、y的值； (2) 计算x-y-z2。 19.（2026 连云港赣榆区一模）某冷库初始温度-4℃，每小时降温3℃；同时另一个制冷设备每小时升温1℃。 (1) 2小时后冷库温度变化了多少℃？ (2) 2小时后冷库实际温度是多少？ (3) 几小时后冷库温度降到-20℃？ 20.阅读材料，思考后请试着完成计算： 大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1＋2＋3＋…＋100＝？经过研究，这个问题的一般性结论是1＋2＋3＋…n＝n(n＋1)，其中n是正整数． 现在我们来研究一个类似的问题：1×2＋2×3＋…n(n＋1)＝？ 观察下面三个特殊的等式： 1×2＝(1×2×3－0×1×2)； 2×3＝(2×3×4－1×2×3)； 3×4＝(3×4×5－2×3×4)． 将这三个等式的两边相加，可以得到1×2＋2×3＋3×4＝×3×4×5＝20. 读完这段材料，请计算： (1)1×2＋2×3＋…＋100×101； (2)1×2＋2×3＋…＋2023×2024. 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2024 苏州相城区期中）计算-32÷(-)2结果是（ ） A. -81 B. -9 C. 9 D. 81 2.（2025 无锡新吴区期末）下列计算正确的是（ ） A. -2÷×3=-2 B. -1-1=0 C. (-2)3=-8 D. |-3|=-3 3.（2026 盐城东台市三模）若(a+1)2+|b-2|=0，则ab为（ ） A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 4.（2024 泰州高港区期中）用简便方法计算99×(-15)最合适的变形是（ ） A. (100-1)×(-15) B. (90+9)×(-15) C. (100+1)×(-15) D. 99×(-10-5) 5.（2025 宿迁泗洪县月考）18-6÷(-2)×(-)结果是（） A. 17 B. 19 C. 16 D. 20 6.（2025 南通通州区期末）式子-2×(3-5)+(-4)2的运算顺序是（ ） A. 乘方→乘法→括号内减法→加法 B. 括号减法→乘方→乘法→加法 C. 括号减法→乘法→乘方→加法 D. 乘法→括号减法→乘方→加法 7.（2026 徐州贾汪区二模）n为正整数，则(-1)2n-(-1)2n+1=（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. -2 8.（2024 镇江扬中市月考）已知ab<0，a+b>0，则下列正确的是（ ） A. a、b同为正 B. a、b同为负 C. 一正一负，正数绝对值更大 D. 一正一负，负数绝对值更大 9、生活中常用的十进制是用0-9这十个数字来表示数，满十进一，例：12＝1×10+2，212＝2×10×10+1×10+2；计算机也常用十六进制来表示字符代码，它是用0-F来表示0-15，满十六进一，它与十进制对应的数如表： 十进制 0 1 2 … 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 … 十六进制 0 1 2 … 8 9 A B C D E F 10 11 … 例：十六进制2B对应十进制的数为2×16+11＝43，10C对应十进制的数为1×16×16+0×16+12＝268，那么十六进制中14E对应十进制的数为（　） A．28 B．62 C．238 D．334 10、按图的程序计算，若x为任意整数，则输出的所有结果中，出现次数最多的结果是（　） A．﹣5 B．﹣7 C．﹣9 D．﹣13 （二）填空题 11.（2025 常州金坛区期末）(-0.25)2026×42026=____。 12.（2024 淮安洪泽区一模）-×8+×(-16)=____。 13.（2026 盐城建湖县二模）36÷(-)=____。 14.（2025 连云港东海县联考）若|m|=5，n2=4，且m+n<0，则m=____。 15.（2024 泰州靖江期末）-110+(-2)3×=____。 16.（2025 苏州张家港期中）程序输入x=-4：(x+3)×(-2)，输出____。 17.（2024 宿迁宿城区期中）24×-24×=____。 18.（2025 扬州广陵区期末）若a相反数是本身，b倒数是本身，则a+b=____。 19、如图，某学校“桃李餐厅”把WIFI密码做成了数学题．小红在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络．那么她输入的密码是 　 　． 20、已知a，b，c，d表示4个不同的正整数，满足a+b2+c3+d4＝90，其中d＞1，则a+2b+3c+4d的最大值是 　 　． （三）解答题 21.（2024 无锡宜兴市联考）脱式简便计算： (1) -99×36 (2) -14-×[2-(-3)2] (3) (-36)×(-+) 22.（2026 常州金坛区三模） 某股民上周五以每股10元买入1000股，本周股价每日涨跌：周一+0.2，周二-0.3，周三+0.1，周四-0.5，周五+0.4。 (1) 周五收盘时每股股价为多少元？ (2) 若周五全部卖出，不计手续费，盈利多少元？ 23.（2024 镇江京口区期末）定义新运算：a★b = a2 - 2b。 (1) 计算3★(-2)； (2) 若(-2)★x=10，求x； (3) 计算(-1)★(2★3)。 24．（8分）我们定义一种新运算：a*b＝a2﹣b+ab．例如：1*2＝12﹣2+1×2＝1 （1）求2*3的值． （2）求（﹣2）*[2*（﹣3）]的值． 25．（12分）阅读以下内容，完成下列题目． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫❈（加乘）运算．”然后他写出了一些按照❈（加乘）运算的法则进行运算的算式：（+5）❈（+2）＝+7；（﹣3）❈（﹣5）＝+8；（﹣3）❈（+4）＝﹣7；（+5）❈（﹣6）＝﹣11；0❈（+8）＝|+8|＝8；（﹣6）❈0＝|﹣6|＝6． 小颖看了这些算式后说：“我知道你定义的❈（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也看明白了吗？请完成下列问题： （1）请联想回顾有理数运算法则，归纳❈（加乘）运算的运算法则：　 　； （2）计算：（﹣2）❈[0❈（﹣4）]＝　 　．（括号的作用同在有理数运算中的作用） （3）我们知道加法有交换律和结合律，请你判断加法交换律在❈（加乘）运算中是否适用？并举例验证． 26．（12分）【概念学习】 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”，一般地把（a≠0）写作aⓝ，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：2②＝　 　；（﹣）③＝　 　； 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：（﹣3）⑤＝　 　，（）⑥＝　 　． （3）算一算：122÷（﹣）④×（﹣2）⑥﹣（﹣）⑥÷33． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $