第四十五讲 导数与函数的零点（一）讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦导数与函数零点核心考点，涵盖复合函数零点换元分层、型零点数形结合、三次函数零点判定等内容，按知识点内在逻辑分层架构，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生突破复合零点分类讨论、极值临界值取舍等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以换元分层法、隐零点代换等策略为特色，如复合函数零点先解外层方程再分析内层交点，培养学生数学思维与几何直观能力。设置必考题型与巩固提升题，精准匹配高考命题规律，助力学生高效掌握零点问题解题通法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

2027届高三数学一轮复习 第四十五讲 导数与函数的零点（一） 【学习目标】1．掌握换元分层法处理复合函数零点问题，能够把多层零点拆分为外层方程根、内层函数交点两步分析，准确匹配根对应的零点总数； 2.能综合处理零点、极值、切线、恒成立多选题，辨析极值点判定、切线条数、零点个数等易混结论 【学习重点】1.复合零点换元模型：，令分层分析零点； 2.型零点：求极值，数形结合由交点数定参数； 【学习难点】 1.复合零点分层讨论，不同根对应交点数量分类，容易漏算、错算零点总数； 2.零点临界值取舍（极值等于 0 时是否可取，开区间 / 闭区间区分）； 必掌握知识点： 一、复合函数零点（换元分层模型） 设复合函数，令，零点分两步分析： 先解方程，得到根； 再分别判断直线与曲线的交点个数； 所有交点总数即为零点个数，根据零点总数限制参数范围。 二、型零点（直线与曲线交点） 函数零点等价于与水平线的交点； 解题步骤：求导→求单调区间→求极大值、极小值、函数趋势； 根据交点数量，确定的取值临界区间，注意极值等于 0 时的边界取舍。 三、三次多项式函数零点判定 设三次函数，有两个不同极值点，记： 3 个不同零点：且； 唯一零点：（全程递减）或（全程递增）； 限定唯一正、负零点：结合函数趋势 + 极值符号综合判断。 四、新定义零点题型（局部奇函数等） 解题核心：根据定义翻译成方程有解； 通用解法：换元简化方程，分离参数，转化为函数值域问题，求参数范围。 五、隐零点代换技巧 若是导函数零点，即，无法解出精确值时：利用消去指数、对数等高次项；代入化简极值，用于证明不等式、求最值。 六、极值点与零点联动证明 已知既是极值点，又是零点，则同时满足；两式相加、作差变形，构造单变量辅助函数，结合单调性证明不等式；两个极值点时可使用韦达定理整体代换。 七、零点问题通用解题方法 分离参数法：，构造新函数求值域，交点数对应参数； 半分离参数：左右两类基础函数，数形结合看交点； 分类讨论法：按参数分界讨论函数单调性、极值； 零点存在定理：区间端点函数值异号则区间内存在零点。 必考题型全归纳: 题型一、换元复合型零点 1．（湖北省武汉市部分重点中学2024-2025学年高二下学期期末联考数学试卷）已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可先求出函数的单调性与极值，再令，将函数的零点问题转化为关于的方程的根的问题，最后结合函数图象求解实数的取值范围． 【详解】已知，其定义域为，则， 令，即，则，解得． 当或时，，，单调递减； 当时，，，单调递增． 所以在处取得极小值，也是最小值，． 令，则，函数恰有个不同的零点， 即方程(e不是方程的根)有两个不同的实数根，， 且其中一个根为，另一个根． 则，解得 .实数的取值范围是．故选：A． 2．（浙江衢州市2025-2026学年高一下学期6月期末数学试题）已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的表达式，先画出函数图象，再令，利用数形结合即可求出函数恰有3个不同的零点时，的取值范围. 【详解】由，可画出函数的图象，如图所示， 易知处的函数值为，即如图中的点，所以， 令，则，由图可知， 当时，与无交点； 当时，与有2个交点； 当时，与有1个交点. 令，则，化简得，解得，， 要使函数恰有3个不同的零点， 则当时，有2个零点，且当时，有1个零点，共3个零点， 满足题意，此时的取值范围为； 或者，当时，有2个零点，且当时，有1个零点，共3个零点， 满足题意，此时的取值范围为， 当时，，此时只有1个零点，不合题意， 综上，函数恰有3个不同的零点时，的取值范围为. 3．（四川省德阳市绵竹市南轩中学2019-2020学年高二第一次月考数学（理）试题）已知函数，若关于x的方程恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用导数求出的单调性和最值，然后画出其图象，然后由可得或，结合图象求解即可. 【详解】因为，所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以 作出的大致图象如下： 因为，所以 所以或，因为有1个根，所以有2个根 所以由的图象可得，解得故选：C 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了数形结合的思想，属于典型题. 题型二、直线与曲线交点型零点 4．（2012届四川省成都外国语学校高三第6次月考理科数学试卷）已知函数，，若在区间内，函数与轴有3个不同的交点，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：∵，∴，∴，∴， ∴，∴当时，，∵函数与x轴有3个不同交点，∴函数与有3个不同的交点， 函数的图像如图所示，直线与相切是一个边界情况，直线过时是一个边界情况，符合题意的直线需要在这2条直线之间， ∵，∴，∴，所以切线方程为，与相同，即，当过点时，，综上可得：，故选C. 考点：1.导数的运算；2.函数图像；3.曲线的切线. 5．（第一部分基础小卷第二周知识特训特训2解析几何与函数导数）已知函数，若方程有两个实数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，令，由的单调性可得，令，求得的最小值，可得a的取值范围. 【详解】方程等价于，即， 设，所以， 又在上单调递增，所以，即， 令，则，所以在单调递减，在单调递增， 所以，又当时，，当时，， 所以要使有两个解，只需，故a的取值范围是．故选：B. 6．（第四章导数与函数的零点专题一由零点存在（个数）求参数（范围））函数恰有两个零点，则实数a的取值范围是______． 【答案】． 【分析】由分类讨论或分离参数法，结合导数、图象以及零点存在性定理来求得的取值范围. 【详解】解法一（分类讨论法）：（要确定函数零点的个数，常常需要研究函数的单调性） ， 令，则或，（我们需要讨论与0和1的大小关系） 当时，，其中，有一个零点，不合题意； 当时，在单调递减，在单调递增，且当时， ；当时，，函数恰有两个零点只需， 即，则；    （当时，我们需要讨论与1的大小关系） 当时，，在单调递增，不合题意； 当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增， 且，故函数不可能有两个零点；    当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增， 且， 故函数不可能有两个零点．    综上所述，． 解法二（半分离参数，数形结合）： 原题即关于x的方程恰有两个不等实根， （着眼于方程左右两边可以看作是类对数函数和二次函数，其图像我们是清楚的， 故进行半分离、构造函数、数形结合处理） 即函数，的图像有两个不同的公共点． 当时，，其中，和的图像有一个交点，不合题意； 当时，，和的图像有一个交点不合题意；      （当时，我们需要讨论与1的大小关系） 当时，，和的图像有一个公共点（易知为切点），不合题意；    当时，和的图像有两个交点（即将上图中红色部分右移）； 当时，和的图像没有公共点（即将上图中红色部分左移）．综上所述，． 解法三（全分离参数，数形结合）： 原题即关于x的方程恰有两个不等实根， 只需研究函数的值域，先研究它的单调性： ， 只需研究取值的正负， ， 只需研究取值的正负，， 而，则在递减，在递增， 又， 故，单调递增， 当时，，， 故单调递增，又， 则在为负，在递减，在为正，在递增， 故，当时，，当时，，故． 故答案为：(-1,0) 注：对于此种办法，我们需要在分离之后预判一下所构造函数的复杂程度，看能否在能力范围内进行研究． 对于此题，就显得有些复杂，但丝毫不会削弱此种方法在研究零点个数等问题的巨大价值． 【点睛】处理复杂函数的零点个数问题时，分类讨论、分离参数（半分离和完全分离）是常用的解题策略．我们需要结合具体问题的结构特征，选择适宜的方法灵活地加以解决．同时，零点存在性定理、数形结合也是求解此类问题时的重要工具. 题型三、三次、多项式函数唯一零点（限定零点符号） 7．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】：当时，，函数有两个零点和，不满足题意，舍去；当时，，令，得或．时，；时，；时，，且，此时在必有零点，故不满足题意，舍去；当时，时，；时，；时，，且，要使得存在唯一的零点，且，只需，即，则，选C． 考点：1、函数的零点；2、利用导数求函数的极值；3、利用导数判断函数的单调性． 8．（广东省揭阳市2016-2017学年高二下学期学业水平考试（期末）数学（理）试）已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合已知条件可知，当时不合题意；当时，根据导函数求出的单调性，并利用的极值和零点存在基本定理讨论的零点是否满足题意即可. 【详解】①当时，，此时有两个零点，不合题意； ②当时，， (i)当时，或；， 故在和上单调递增，在上单调递减， 因为，，则函数在上存在唯一的零点， 因为在R上存在唯一的零点，且，故在无零点， 从而只需的极小值，解得； (ii)当时，或；， 故在和上单调递减，在上单调递增， 因为，，则函数在上存在唯一的零点，无论在上有无零点，都不合题意，综上所述，的取值范围为.故选：D. 题型四、新定义零点题型（局部奇函数） 9．（辽宁省大连市滨城高中联盟2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题）对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数” (1)若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围； (2)若为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据局部奇函数的定义得到存在，使得，然后利用换元法得到，即可得到的范围； （2）将为定义域为R上的“局部奇函数”转化为当时方程有解，然后列不等式求解即可. 【详解】（1）根据局部奇函数的定义，存在，使； ∴，令，令，因为，所以， 设函数，任取， 所以在时单调递减，在时单调递增，，， 所以，，即，所以， 即实数m的取值范围为. （2）根据局部奇函数的定义知，存在，使； ∴； 令，∵，当且仅当时取等号， 即当且仅当时取等号，∴，则：， 可将该式看成关于n的方程，当有解， 设，于是有或， 由， 由，综上得m的取值范围为． 题型五、切线条件 + 函数唯一零点（隐零点综合） 10．（安徽省皖江名校联盟2024届高三上学期第二次联考（10月）数学试题）已知函数，函数.令函数. (1)若曲线与直线相切， ①求实数的值； ②证明：； (2)若函数有且仅有一个零点，证明：. 【答案】(1)①0；②证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先根据切线斜率求切点再根据切点在曲线上求参即可，函数求导函数，结合单调性求出最值即可证明； （2）根据函数有且仅有一个零点，结合的单调性知，再构造函数结合单调性及零点存在定理证明即可. 【详解】（1）设曲线在点处切线是，则， 由于所以，由题意知：，于是； ， 当时，，所以， 即， 当时，，所以，即， 于是，在单调递减，单调递增， 其最小值是，所以，于是原不等式成立 （2）有且只有一个零点， 注意到为上的增函数且值域为， 所以在上有唯一零点， 且.在上为负，上为正，所以为极小值， 又函数有唯一零点，结合的单调性知， 所以，即，即， 即，令， 显然，是的零点， ， 在上为正，上为负， 于是在上单调递减， 注意到， 所以在内有一个零点，在内无零点， 所以的零点一定小于2，从而原命题得证. 【点睛】：对于隐零点范围的证明先构造新函数再结合单调性及零点存在定理证明. 题型六、极值点与零点联动证明（双极值点 、隐零点代换） 11．（甘肃省白银市靖远县第四中学2024-2025学年高三上学期1月高考仿真模拟数学试题）已知函数. (1)若函数有且只有一个零点，求实数的值； (2)已知，证明：当时，只有一个极值点，且； (3)当时，函数，若函数的极值点恰好是函数的零点，记为函数的导函数，证明：. 【详解】（1）. 令，得， 当时，，当时，， 在上单调递增， 在上单调递减，的最大值为. 当时，，当时，， 有且只有一个零点，等价于.； (2)证明：当时，，所以， 令，则在上单调递增， 又 所以只有一个零点，且，使得，即， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以只有一个极值点，且； (3)证明：要证明，即证明. . 令，得， 函数的极值点是， ， 恰好是函数的零点， 即有两个解分别为， ，③ ，④ 由③+④得， 整理得，即. 为函数的导函数，， ， ， 易知在上为增函数， 当时，有最小值，最小值为，所以， 所以. 【分析】（1）利用导数判断出的单调性可得答案； （2）求出，令，判断出只有一个零点使得，即，再根据的单调性可得答案； （3）即证明，根据函数的极值点是求出，且有两个解分别为代入相加求出，求出，代入，再利用其单调性可得答案. 【点睛】：第三问关键点代入相加求出，求出，代入. 巩固提升： 1．（太原市第四十八中学校2021-2022学年高一上学期12月月考数学试题）已知函数，若关于的方程有两个不同的解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为与有两个不同的交点，采用数形结合的方式可求得结果. 【详解】有两个不同解等价于与有两个不同的交点， 作出图象如下图所示， 由图象可知：当时，与有两个不同的交点， 实数的取值范围为.故选：D. 2（多选）．（湖北省鄂北六校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷）已知函数（a为常数），则下列结论正确的有（    ） A．当时，恒成立 B．若有3个零点，则a的取值范围为 C．当时.有唯一零点且 D．当时，是的极值点 【答案】BCD 【分析】根据，可判定A错误；根据题意，转化为与的图象有3个交点，利用导数求得函数的单调性与极值，可判定B正确；当时，得到 ，函数单调递增，结合，可判定C正确；当时，得到，的函数的单调性，结合极值点的定义，可判定D正确. 【详解】对于A中，当时，可得，则，所以A错误； 对于B中，若函数有3个零点，即有三个解， 其中时，显然不是方程的根， 当时，转化为与的图象有3个交点， 又由， 令，解得或；令，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 所以当时，函数取得极小值，极小值为， 又由时，，所以，即实数的取值范围为，所以B正确； 对于C中，当时，， 设，可得， 当时，，在单调递减；当时，，在单调递增， 所以当时，，所以， 所以，所以函数在上单调递增， 又因为，即， 所以有唯一零点且，所以C正确； 对于D中，当时，，可得， 当时，，在单调递减；当时，，在单调递增， 所以是的极小值点，所以D正确. 故选：BCD. 【点睛】：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 3（多选）．（江西省六校2024-2025学年高三下学期第二次联考数学试题）已知函数，是函数的一个极值点，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数在区间上单调递减 C．过点能作两条不同直线与相切 D．函数恰有4个零点 【答案】AB 【分析】求得，根据，可判定A正确；由，利用导数的符号求得函数的单调区间，可判定B错误；设过点且与函数相切的切点为，求得切线方程，列出方程求得的值，可判定C错误；令，作出函数的图象，得到，进而的函数零点的个数，可判定以D正确． 【详解】对于A中，由函数，可得， 因为 是函数的一个极值点，可得， 解得，经检验适合题意，所以A正确； 对于B中，由，令，解得或， 当时，；当时，；当时，， 故在区间上递增，在区间上递减，在区间上递增，所以B正确； 对于C中，设过点且与函数相切的切点为， 则该切线方程为， 由于切点满足直线方程，则， 整理得，解得，所以只能作一条切线，所以C错误； 对于D中，令，则的根有三个，如图所示，， 所以方程有3个不同根，方程和均有1个根， 故有5个零点，所以D错误． 故选：AB．        4（多选）．（山东省青岛市2025-2026学年高三上学期期初调研检测数学试题）已知函数，则（　　） A．若，则为奇函数 B．若，则恰有1个零点 C．若，则方程在上有3038个解 D．若，则为的极小值点 【答案】BCD 【分析】利用奇函数的性质判断A的真假；求导，分析函数的单调性，得到函数的零点，可判断B的真假；结合函数的单调性，利用复合函数单调性的判断方法，判断函数的单调性，再结合函数的周期性，数形结合，可求方程在给定区间内零点的个数，判断C的真假；求导，判断导函数在两侧的符号，判断D的真假. 【详解】对A：当时，，定义域为，因为，所以函数不是奇函数，故A错误； 对B：当时，，. 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以，所以恰有1个零点，故B正确； 对C：当时，，所以. 方程，显然是方程的解. 显然是以为周期的周期函数. 当时，且单调递增，在上单调递增，根据复合函数单调性的判断方式，可得在单调递增，且，； 当时，且单调递减，在上单调递增，根据复合函数单调性的判断方式，可得在单调递减，且； 当时，且单调递减，在上单调递减，根据复合函数单调性的判断方式，可得在单调递增，且； 当时，且单调递增，在上单调递减，根据复合函数单调性的判断方式，可得在单调递减，且. 做函数草图如下： 由图可知，方程在上有3个解. 所以方程在上有个解，在上有2个解， 所以方程在上有个解，故C正确； 对D：当时，， 所以. 当从左侧接近时，，，，所以，所以在左侧单调递减； 当从右侧接近时，，，，所以，所以在右侧单调递增. 所以当时，为的极小值点，故D正确.故选：BCD 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习 第四十五讲 导数与函数的零点（一） 【学习目标】1．掌握换元分层法处理复合函数零点问题，能够把多层零点拆分为外层方程根、内层函数交点两步分析，准确匹配根对应的零点总数； 2.能综合处理零点、极值、切线、恒成立多选题，辨析极值点判定、切线条数、零点个数等易混结论 【学习重点】1.复合零点换元模型：，令分层分析零点； 2.型零点：求极值，数形结合由交点数定参数； 【学习难点】 1.复合零点分层讨论，不同根对应交点数量分类，容易漏算、错算零点总数； 2.零点临界值取舍（极值等于 0 时是否可取，开区间 / 闭区间区分）； 必掌握知识点： 一、复合函数零点（换元分层模型） 设复合函数，令，零点分两步分析： 先解方程，得到根； 再分别判断直线与曲线的交点个数； 所有交点总数即为零点个数，根据零点总数限制参数范围。 二、型零点（直线与曲线交点） 函数零点等价于与水平线的交点； 解题步骤：求导→求单调区间→求极大值、极小值、函数趋势； 根据交点数量，确定的取值临界区间，注意极值等于 0 时的边界取舍。 三、三次多项式函数零点判定 设三次函数，有两个不同极值点，记： 3 个不同零点：且； 唯一零点：（全程递减）或（全程递增）； 限定唯一正、负零点：结合函数趋势 + 极值符号综合判断。 四、新定义零点题型（局部奇函数等） 解题核心：根据定义翻译成方程有解； 通用解法：换元简化方程，分离参数，转化为函数值域问题，求参数范围。 五、隐零点代换技巧 若是导函数零点，即，无法解出精确值时：利用消去指数、对数等高次项；代入化简极值，用于证明不等式、求最值。 六、极值点与零点联动证明 已知既是极值点，又是零点，则同时满足；两式相加、作差变形，构造单变量辅助函数，结合单调性证明不等式；两个极值点时可使用韦达定理整体代换。 七、零点问题通用解题方法 分离参数法：，构造新函数求值域，交点数对应参数； 半分离参数：左右两类基础函数，数形结合看交点； 分类讨论法：按参数分界讨论函数单调性、极值； 零点存在定理：区间端点函数值异号则区间内存在零点。 必考题型全归纳: 题型一、换元复合型零点 1．（湖北省武汉市部分重点中学2024-2025学年高二下学期期末联考数学试卷）已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（浙江衢州市2025-2026学年高一下学期6月期末数学试题）已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围（      ） A． B． C． D． 3．（四川省德阳市绵竹市南轩中学2019-2020学年高二第一次月考数学（理）试题）已知函数，若关于x的方程恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二、直线与曲线交点型零点 4．（2012届四川省成都外国语学校高三第6次月考理科数学试卷）已知函数，，若在区间内，函数与轴有3个不同的交点，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 5．（第一部分基础小卷第二周知识特训特训2解析几何与函数导数）已知函数，若方程有两个实数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（第四章导数与函数的零点专题一由零点存在（个数）求参数（范围））函数恰有两个零点，则实数a的取值范围是______． 题型三、三次、多项式函数唯一零点（限定零点符号） 7．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是 A． B． C． D． 8．（广东省揭阳市2016-2017学年高二下学期学业水平考试（期末）数学（理）试）已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 题型四、新定义零点题型（局部奇函数） 9．（辽宁省大连市滨城高中联盟2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题）对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数” (1)若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围； (2)若为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围． 题型五、切线条件 + 函数唯一零点（隐零点综合） 10．（安徽省皖江名校联盟2024届高三上学期第二次联考（10月）数学试题）已知函数，函数.令函数. (1)若曲线与直线相切， ①求实数的值； ②证明：； (2)若函数有且仅有一个零点，证明：. 题型六、极值点与零点联动证明（双极值点 、隐零点代换） 11．（甘肃省白银市靖远县第四中学2024-2025学年高三上学期1月高考仿真模拟数学试题）已知函数. (1)若函数有且只有一个零点，求实数的值； (2)已知，证明：当时，只有一个极值点，且； (3)当时，函数，若函数的极值点恰好是函数的零点，记为函数的导函数，证明：. 巩固提升： 1．（太原市第四十八中学校2021-2022学年高一上学期12月月考数学试题）已知函数，若关于的方程有两个不同的解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2（多选）．（湖北省鄂北六校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷）已知函数（a为常数），则下列结论正确的有（    ） A．当时，恒成立 B．若有3个零点，则a的取值范围为 C．当时.有唯一零点且 D．当时，是的极值点 3（多选）．（江西省六校2024-2025学年高三下学期第二次联考数学试题）已知函数，是函数的一个极值点，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数在区间上单调递减 C．过点能作两条不同直线与相切 D．函数恰有4个零点 4（多选）．（山东省青岛市2025-2026学年高三上学期期初调研检测数学试题）已知函数，则（　　） A．若，则为奇函数 B．若，则恰有1个零点 C．若，则方程在上有3038个解 D．若，则为的极小值点 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $