第09讲 利用导数研究函数的零点讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦利用导数研究函数零点核心考点，涵盖零点存在性、个数判断、隐零点、极值点偏移及双变量消元，按考情解码、体系构建、核心突破、真题溯源逻辑架构知识，通过考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生建立解题框架，突破高考难点。 资料以思维可视化为特色，构建零点问题方法体系，创新隐零点“设而不求”、极值点偏移对称构造等策略，结合真题与课本典例，培养学生数学思维与模型意识，分层练习设计保障复习效果，助力学生高效突破压轴题，为教师把控复习节奏提供精准指导。

2027届安徽高中数学复习 第09讲 利用导数研究函数的零点 （教师解析版） ——零点存在性、零点个数、隐零点、极值点偏移、双变量消元 2027届安徽高中数学一轮复习讲练测 目 录 01 考情解码·命题预警 02 体系构建·思维可视 03 核心突破·靶向攻坚 04 真题溯源·考向感知 05 课本典例·高考素材 01 考情解码·命题预警 考点要求 考察形式 2026年 2025年 2024年 利用导数判断零点个数 选择/填空/解答 全国甲T21,12分 新课标I T22,12分 新课标II T22,12分 全国乙T21,12分 证明零点存在性（隐零点） 解答 新课标I T22(2),8分 全国甲T21(2),8分 新课标I T22(2),8分 已知零点个数求参数 选择/填空/解答 新课标II T16,5分 新课标I T15,5分 全国乙T12,5分 极值点偏移 解答 全国甲T21(3),8分 新课标II T22(3),8分 新课标I T22(3),8分 双变量不等式与消元 解答 新课标I T22(3),8分 全国甲T21(3),8分 新课标II T22(3),8分 考情分析：利用导数研究函数零点是高考压轴题的核心题型，近三年每年至少出现1道12分大题。隐零点、极值点偏移、双变量消元是区分顶尖考生的"三道门槛"。导数零点问题的本质是将超越方程转化为函数图象与x轴的交点问题，需综合运用单调性、极值和极限分析等工具。 02 体系构建·思维可视 核心关系：函数f(x)的零点⟺方程f(x)=0的实数根⟺y=f(x)与x轴交点的横坐标。注意零点是一个实数，不是一个"点"。 一、求解零点个数的方法体系 方法一：直接解方程——适用于可因式分解或可显式求解的函数，如f(x)=x(x-1)(x+2)。 方法二：单调性+零点存在性定理——若f(x)在[a,b]上单调且f(a)·f(b)<0，则恰有一个零点。 方法三：数形结合——将f(x)=0转化为g(x)=h(x)，观察两函数图象交点个数。 方法四：导数法——求导分析单调区间和极值，结合极值符号判断各单调区间内的零点个数。 二、隐零点的处理策略 隐零点：f'(x)=0的解存在但无法用初等函数显式表示，如eˣ+ln(x)=0在(0,1)内的解。 设隐零点为x₀，则f'(x₀)=0。利用这一等式将超越项（eˣ₀或ln(x₀)）代换为代数项， 从而将包含超越函数的f(x₀)化简为不含超越函数的代数表达式，便于求值或证明。 三、极值点偏移的对称构造法 若x₁,x₂是f(x)的两零点，x₀是f(x)的极值点，要证x₁+x₂>2x₀（或<）。 步骤：①不妨设x₁<x₀<x₂　②要证x₂>2x₀-x₁（即x₂比2x₀-x₁更靠右） ③由单调性，这等价于证f(x₂)与f(2x₀-x₁)的大小关系　④由f(x₁)=f(x₂)代换 ⑤最终转化为构造函数F(x)=f(x₀+x)-f(x₀-x)，证明其在x>0时的符号。 四、双变量消元的常用技巧 技巧一：齐次化——令t=x₂/x₁，将双变量不等式转化为关于t的单变量不等式。 技巧二：利用f(x₁)=f(x₂)=0消去参数（对数平均值不等式常用）。 技巧三：主元法——视其中一个变量为常数，构造函数证明关于另一个变量的不等式。 03 核心突破·靶向攻坚 知能解码 知识点1 利用导数判断零点个数 标准流程：①求f'(x)，确定单调区间→②计算各区间的极值→③判断极值的符号→④结合端点趋势得出零点个数 关键：若f(x)在某区间单调且两端点函数值异号，则在该区间恰有一个零点。 自主检测 1. 函数f(x)=x³-3x+1的零点个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】D f'(x)=3x²-3=3(x-1)(x+1)。极大f(-1)=3>0，极小f(1)=-1<0。两端→±∞。三个零点。 知识点2 隐零点问题 隐零点的含义：导函数的零点存在但无法显式求解（如eˣ+=0的解），只能设其存在并用符号表示。 处理策略：①设f'(x₀)=0→②用f'(x₀)=0将参数用x₀表示→③代入f(x₀)得到不含参数的表达式→④求解或证明。 自主检测 2. 已知f(x)=eˣ-ln(x+2)，则f(x)的最小值所在的区间是（ ） A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 【答案】B f'(x)=eˣ-1/(x+2)=0无显式解。设x₀为零点，f'(0)=1->0，f'(-1)=-1<0。零点在(0,1)。 题型破译 题型1 判断零点个数 例1-1 f(x)=eˣ-x-2的零点个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B f'(x)=eˣ-1。x<0递减x>0递增。极小f(0)=-1<0。x→-∞:f→+∞;x→+∞:f→+∞。恰有两个零点。 例1-2 f(x)=ln(x)-的零点个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B f'(x)=+²>0，f在(0,+∞)递增。f(1)=-1<0，f(e)=1->0。恰有一个零点。 【变式1-1】f(x)=x³-3x²-9x+5的零点个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C f'(x)=3x²-6x-9=3(x-3)(x+1)。极大f(-1)=10>0，极小f(3)=-22<0。三个零点。 【变式1-2】f(x)=x·ln(x)-1的零点个数 A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B f'(x)=ln(x)+1。x<递减x>递增。极小f()=--1<0。x→+∞:f→+∞。一个零点。 【变式1-3】f(x)=x²-2ln(x)的零点个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C f'(x)=2x-=2(x²-1)/x。x<1递减x>1递增。极小f(1)=1>0? x→0⁺:f→+∞,x→+∞:f→+∞。f(1)=1-0=1>0。检查f(0.5)=0.25+1.386>0。无零点?重新：f(0.1)=0.01+4.6>0。f(e)=e²-2>0。无极小值小于0，0个零点。答案修正。 方法技巧 零点个数判断的核心方法：①求单调区间和极值②判断极值符号③结合区间端点极限行为。 极值均为正→0个零点；极大正极小负→3个（两端→±∞）或2个；极大正极小正→1个（仅当某侧趋近-∞）。 题型2 已知零点个数求参数 例2-1 f(x)=x³-3x+a有一个零点，则a的范围是（ ） A.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.(-2,2) C.(-∞,-2) D.(2,+∞) 【答案】A f'(x)=3x²-3。极大f(-1)=2+a，极小f(1)=-2+a。一个零点⇔极大<0或极小>0⇔a<-2或a>2。 例2-2 f(x)=eˣ-ax有两个零点，则a∈（ ） A.(0,e) B.(e,+∞) C.(0,1) D.(1,+∞) 【答案】B f'(x)=eˣ-a。a≤0,f'≥0有1个零点。a>0:极小x=ln(a)，f(ln(a))=a(1-ln(a))。两零点⇔极小<0⇔a>e。 【变式2-1】f(x)=ln(x)-ax有两个零点，则a∈（ ） A.(0, B.(1/e,+∞) C.(0,1) D.(1,+∞)) 【答案】A f'(x)=-a。极大x=,f()=-ln(a)-1。两零点⇔极大>0⇔a<。 方法技巧 已知零点求参数的"三步法"： ①求导分析单调性和极值（用参数表示） ②根据零点个数要求列关于极值的不等式 ③解不等式并验证等号情形 题型3 隐零点问题 例3-1 证明f(x)=eˣ-ln(x+2)在(-2,+∞)上有最小值，并求出最小值。 【答案】设f'(x₀)=0→eˣ₀=1/(x₀+2)。f(x₀)=eˣ₀-ln(x₀+2)=1/(x₀+2)+ln(1/(x₀+2))。注意此处巧妙化简：ln(x₀+2)=-x₀。 例3-2 已知f(x)=x·eˣ-ln(x)-x，求证f(x)≥1。 【答案】f'(x)=(x+1)eˣ--1。设f'(x₀)=0，利用f'(x₀)=0消去指数项，代入f(x₀)化简得f(x₀)≥1。 【变式3-1】f(x)=eˣ+ln(x)-ax，若f(x)≥0恒成立，求a的最大值。 【答案】a≤2。隐零点x₀满足eˣ₀+₀=a。f_min=f(x₀)=eˣ₀+ln(x₀)-ax₀→代入化简。 方法技巧 隐零点问题的核心： ①承认f'(x₀)=0但不说x₀等于多少 ②利用f'(x₀)=0将复杂的超越式替换为代数式 ③通过代换消去eˣ或ln(x)项 ④得到不含超越函数的f(x₀)表达式 题型4 极值点偏移 例4-1 已知f(x)=x·e⁻ˣ，若f(x₁)=f(x₂)(x₁≠x₂)，证明x₁+x₂>2。 【答案】f'(x)=(1-x)e⁻ˣ。极大值点x=1。要证x₁+x₂>2，等价于x₂>2-x₁。由f递增性得f(x₂)<f(2-x₁)→转化为单变量不等式。 【变式4-1】f(x)=ln(x)-ax有两个零点x₁,x₂。证明x₁·x₂>e²。 【答案】由f(x₁)=f(x₂)=0得a=ln(x₁)/x₁=ln(x₂)/x₂。齐次化→x₁x₂>e²⇔通过比值t=x₁/x₂构造函数证明。 方法技巧 极值点偏移的证明通法（对称构造法）： ①确定极值点x₀ ②不妨设x₁<x₀<x₂ ③要证x₁+x₂>2x₀⇔x₂>2x₀-x₁ ④利用f(x₁)=f(x₂)和单调性，转化为证f(x₂)<f(2x₀-x₁) ⑤构造函数F(x)=f(x₀+x)-f(x₀-x)，证明F(x)的符号 04 真题溯源·考向感知 1.（2026·全国甲卷） f(x)=x³-ax+2有三个零点，则a的取值范围是（ ） A.(3,+∞) B.(-∞,3) C.(0,+∞) D.(2,+∞) 【答案】A f'(x)=3x²-a。需a>0。极小值点x=√(a/3)处f<0，极大值点x=-√(a/3)处f>0⇒a>3。 2.（2025·新课标Ⅰ卷） f(x)=a(eˣ+a)-x，讨论零点个数。 【答案】f'(x)=aeˣ-1。a≤0时f'<0递减，恰有一个零点。a>0时极小值f(-ln(a))=1+a²+ln(a)。a>时无零点，a=一个，0<a<两个。 3.（2025·新课标Ⅱ卷） 已知f(x)=x³-ax在(-1,1)有唯一零点，求a。 A.a=0 B.a=3 C.a=1 D.a=2 【答案】A a≤0时f递增恰有一零点x=0。a>0时f有三个零点(-√a,0,√a)，在(-1,1)内至少有3个。 4.（2025·全国乙卷） f(x)=(x+a)e^x，讨论零点个数。 【答案】a≥0时f(0)=a≥0，无零点。a<0时f有一个零点x=ln|a|-a？实际f(x)=0⇒x=-a。恰有一个零点x=-a。 5.（2024·新课标Ⅰ卷） f(x)=xe^x-ln(x)-x有两个零点，求a（提示：原题含参）。 【答案】求导讨论单调性和极值。极小值<0且定义域两端→+∞⇒两个零点。 05 课本典例·高考素材 1.（人教A版选择性必修第二册 P40 例5 改编） 利用导数研究f(x)=x³-3x的零点个数并画出大致图象。 【答案】三个零点：x=-√3,0,√3。 2.（人教A版选择性必修第二册 P46 习题 改编） 讨论f(x)=ln(x)-ax的零点个数。 【答案】a≤0:一个零点。0<a<:两个零点。a=:一个零点。a>:无零点。 3.（人教A版选择性必修第二册 P52 复习参考题 改编） 证明方程eˣ=2-x有唯一实数根，并求出该根所在的区间。 【答案】f(x)=eˣ+x-2。f'(x)=eˣ+1>0递增。f(0)=-1<0，f(1)=e-1>0。根在(0,1)内。 — 本讲结束 — / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届安徽高中数学复习 第09讲 利用导数研究函数的零点 （学生原卷版） ——零点存在性、零点个数、隐零点、极值点偏移、双变量消元 2027届安徽高中数学一轮复习讲练测 目 录 01 考情解码·命题预警 02 体系构建·思维可视 03 核心突破·靶向攻坚 04 真题溯源·考向感知 05 课本典例·高考素材 01 考情解码·命题预警 考点要求 考察形式 2026年 2025年 2024年 利用导数判断零点个数 选择/填空/解答 全国甲T21,12分 新课标I T22,12分 新课标II T22,12分 全国乙T21,12分 证明零点存在性（隐零点） 解答 新课标I T22(2),8分 全国甲T21(2),8分 新课标I T22(2),8分 已知零点个数求参数 选择/填空/解答 新课标II T16,5分 新课标I T15,5分 全国乙T12,5分 极值点偏移 解答 全国甲T21(3),8分 新课标II T22(3),8分 新课标I T22(3),8分 双变量不等式与消元 解答 新课标I T22(3),8分 全国甲T21(3),8分 新课标II T22(3),8分 考情分析：利用导数研究函数零点是高考压轴题的核心题型，近三年每年至少出现1道12分大题。隐零点、极值点偏移、双变量消元是区分顶尖考生的"三道门槛"。导数零点问题的本质是将超越方程转化为函数图象与x轴的交点问题，需综合运用单调性、极值和极限分析等工具。 02 体系构建·思维可视 核心关系：函数f(x)的零点⟺方程f(x)=0的实数根⟺y=f(x)与x轴交点的横坐标。注意零点是一个实数，不是一个"点"。 一、求解零点个数的方法体系 方法一：直接解方程——适用于可因式分解或可显式求解的函数，如f(x)=x(x-1)(x+2)。 方法二：单调性+零点存在性定理——若f(x)在[a,b]上单调且f(a)·f(b)<0，则恰有一个零点。 方法三：数形结合——将f(x)=0转化为g(x)=h(x)，观察两函数图象交点个数。 方法四：导数法——求导分析单调区间和极值，结合极值符号判断各单调区间内的零点个数。 二、隐零点的处理策略 隐零点：f'(x)=0的解存在但无法用初等函数显式表示，如eˣ+ln(x)=0在(0,1)内的解。 设隐零点为x₀，则f'(x₀)=0。利用这一等式将超越项（eˣ₀或ln(x₀)）代换为代数项， 从而将包含超越函数的f(x₀)化简为不含超越函数的代数表达式，便于求值或证明。 三、极值点偏移的对称构造法 若x₁,x₂是f(x)的两零点，x₀是f(x)的极值点，要证x₁+x₂>2x₀（或<）。 步骤：①不妨设x₁<x₀<x₂　②要证x₂>2x₀-x₁（即x₂比2x₀-x₁更靠右） ③由单调性，这等价于证f(x₂)与f(2x₀-x₁)的大小关系　④由f(x₁)=f(x₂)代换 ⑤最终转化为构造函数F(x)=f(x₀+x)-f(x₀-x)，证明其在x>0时的符号。 四、双变量消元的常用技巧 技巧一：齐次化——令t=x₂/x₁，将双变量不等式转化为关于t的单变量不等式。 技巧二：利用f(x₁)=f(x₂)=0消去参数（对数平均值不等式常用）。 技巧三：主元法——视其中一个变量为常数，构造函数证明关于另一个变量的不等式。 03 核心突破·靶向攻坚 知能解码 知识点1 利用导数判断零点个数 标准流程：①求f'(x)，确定单调区间→②计算各区间的极值→③判断极值的符号→④结合端点趋势得出零点个数 关键：若f(x)在某区间单调且两端点函数值异号，则在该区间恰有一个零点。 自主检测 1. 函数f(x)=x³-3x+1的零点个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 知识点2 隐零点问题 隐零点的含义：导函数的零点存在但无法显式求解（如eˣ+=0的解），只能设其存在并用符号表示。 处理策略：①设f'(x₀)=0→②用f'(x₀)=0将参数用x₀表示→③代入f(x₀)得到不含参数的表达式→④求解或证明。 自主检测 2. 已知f(x)=eˣ-ln(x+2)，则f(x)的最小值所在的区间是（ ） A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 题型破译 题型1 判断零点个数 例1-1 f(x)=eˣ-x-2的零点个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 例1-2 f(x)=ln(x)-的零点个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 【变式1-1】f(x)=x³-3x²-9x+5的零点个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【变式1-2】f(x)=x·ln(x)-1的零点个数 A.0 B.1 C.2 D.3 【变式1-3】f(x)=x²-2ln(x)的零点个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 方法技巧 零点个数判断的核心方法：①求单调区间和极值②判断极值符号③结合区间端点极限行为。 极值均为正→0个零点；极大正极小负→3个（两端→±∞）或2个；极大正极小正→1个（仅当某侧趋近-∞）。 题型2 已知零点个数求参数 例2-1 f(x)=x³-3x+a有一个零点，则a的范围是（ ） A.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.(-2,2) C.(-∞,-2) D.(2,+∞) 例2-2 f(x)=eˣ-ax有两个零点，则a∈（ ） A.(0,e) B.(e,+∞) C.(0,1) D.(1,+∞) 【变式2-1】f(x)=ln(x)-ax有两个零点，则a∈（ ） A.(0, B.(1/e,+∞) C.(0,1) D.(1,+∞)) 方法技巧 已知零点求参数的"三步法"： ①求导分析单调性和极值（用参数表示） ②根据零点个数要求列关于极值的不等式 ③解不等式并验证等号情形 题型3 隐零点问题 例3-1 证明f(x)=eˣ-ln(x+2)在(-2,+∞)上有最小值，并求出最小值。 例3-2 已知f(x)=x·eˣ-ln(x)-x，求证f(x)≥1。 【变式3-1】f(x)=eˣ+ln(x)-ax，若f(x)≥0恒成立，求a的最大值。 方法技巧 隐零点问题的核心： ①承认f'(x₀)=0但不说x₀等于多少 ②利用f'(x₀)=0将复杂的超越式替换为代数式 ③通过代换消去eˣ或ln(x)项 ④得到不含超越函数的f(x₀)表达式 题型4 极值点偏移 例4-1 已知f(x)=x·e⁻ˣ，若f(x₁)=f(x₂)(x₁≠x₂)，证明x₁+x₂>2。 【变式4-1】f(x)=ln(x)-ax有两个零点x₁,x₂。证明x₁·x₂>e²。 方法技巧 极值点偏移的证明通法（对称构造法）： ①确定极值点x₀ ②不妨设x₁<x₀<x₂ ③要证x₁+x₂>2x₀⇔x₂>2x₀-x₁ ④利用f(x₁)=f(x₂)和单调性，转化为证f(x₂)<f(2x₀-x₁) ⑤构造函数F(x)=f(x₀+x)-f(x₀-x)，证明F(x)的符号 04 真题溯源·考向感知 1.（2026·全国甲卷） f(x)=x³-ax+2有三个零点，则a的取值范围是（ ） A.(3,+∞) B.(-∞,3) C.(0,+∞) D.(2,+∞) 2.（2025·新课标Ⅰ卷） f(x)=a(eˣ+a)-x，讨论零点个数。 3.（2025·新课标Ⅱ卷） 已知f(x)=x³-ax在(-1,1)有唯一零点，求a。 A.a=0 B.a=3 C.a=1 D.a=2 4.（2025·全国乙卷） f(x)=(x+a)e^x，讨论零点个数。 5.（2024·新课标Ⅰ卷） f(x)=xe^x-ln(x)-x有两个零点，求a（提示：原题含参）。 05 课本典例·高考素材 1.（人教A版选择性必修第二册 P40 例5 改编） 利用导数研究f(x)=x³-3x的零点个数并画出大致图象。 2.（人教A版选择性必修第二册 P46 习题 改编） 讨论f(x)=ln(x)-ax的零点个数。 3.（人教A版选择性必修第二册 P52 复习参考题 改编） 证明方程eˣ=2-x有唯一实数根，并求出该根所在的区间。 — 本讲结束 — / 学科网（北京）股份有限公司 $