3.7 利用导数研究函数零点 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦高考函数零点与导数新定义核心考点，按数形结合法、函数性质法、构造函数法及压轴新定义问题分层架构，通过考点梳理、方法指导、真题精讲与分层练习，帮助学生构建从基础到综合的解题体系，突破函数零点判断及交汇问题难点。 资料以数学思维与创新意识为导向，如数形结合法中引导学生分析函数单调性、极值及变化趋势，新定义问题通过概念转化培养数学语言表达。设置基础巩固与能力提升练习，配合即时反馈，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供精准教学支持。

3．7　利用导数研究函数零点 函数零点问题在高考中占有很重要的地位，主要涉及判断函数零点的个数或范围．高考常考查基本初等函数、三次函数与复合函数的零点问题，以及函数零点与其他知识的交汇问题． 考点一　数形结合法研究函数零点　重难考点　师生共研 已知函数f(x)＝ax－ln x－2. (1)当a＝1时，求函数f(x)的极值； (2)讨论函数f(x)的零点个数． [解析]　(1)当a＝1时，f(x)＝x－ln x－2， f′(x)＝1－＝， 令f′(x)<0，则0<x<1；令f′(x)>0，则x>1，故函数f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)， 所以当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝1－ln 1－2＝－1，无极大值． (2)令f(x)＝ax－ln x－2＝0，因为x>0，所以a＝，记g(x)＝， 则f(x)的零点个数，即为直线y＝a 与y＝g(x) 图象的交点个数，g′(x)＝， 令g′(x)>0，则0<x<；令g′(x)<0，则x>，故g(x) 在上单调递增，在上单调递减，从而g(x)max＝g＝e，当时，；当时，，作出函数y＝g(x)的大致图象如图， 因此当a>e时，直线y＝a 与y＝g(x)的图象没有交点； 当a＝e或a≤0时，直线y＝a 与y＝g(x)的图象有1个交点； 当0<a<e时，直线y＝a 与y＝g(x)的图象有2个交点． 综上，当a>e时，函数f(x)没有零点； 当a＝e或a≤0时，函数f(x)有1个零点； 当0<a<e时，函数f(x)有2个零点． 在借助函数图象研究函数零点问题时，要准确画出函数的图象，不仅要研究函数的单调性与极值的情况，还要关注函数值的正负以及变化趋势，把函数图象与x轴有无交点，哪一区间在x轴上方，哪一区间在x轴下方等情况分析清楚，这样才能准确地研究直线与图象交点的个数情况． 已知函数f(x)＝xe2x－ax3. (1)求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)当a≥16时，证明：函数f(x)在(0，＋∞)上有两个不同的零点． (1)解析　因为f(x)＝xe2x－ax3(a∈R)，则f′(x)＝(2x＋1)e2x－3ax2， 所以f(1)＝e2－a，f′(1)＝3e2－3a， 所以曲线f(x) 在点(1，f(1))处的切线方程为 y－(e2－a)＝(3e2－3a)(x－1)， 即y＝3(e2－a)x－2(e2－a). (2)证明　当a≥16，且当x>0时， 由f(x)＝xe2x－ax3＝0，可得a＝. 令g(x)＝，其中x>0，则f(x)的零点个数，即为直线y＝a 与y＝g(x) 图象的交点个数，g′(x)＝，令g′(x)＝0，可得x＝1，当x 变化时，g′(x)与g(x)的变化情况如下表所示： x (0，1) 1 (1，＋∞) g′(x) － 0 ＋ g(x) 单调递减 e2 单调递增 所以函数g(x)的极小值即最小值为g(x)min＝g(1)＝e2<16，作出y＝g(x)的大致图象，如图所示，由图可知，当a≥16时，直线y＝a 与函数g(x)＝在(0，＋∞)上的图象有两个不同的交点，所以，函数f(x) 在(0，＋∞)上有两个不同的零点． 考点二　利用函数性质研究函数零点　重难考点　师生共研 已知函数f(x)＝ln x－x2＋x(a>0). (1)若a＝1，求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若函数f(x)在定义域上有唯一零点，求实数a的值． [解析]　(1)当a＝1时，f(x)＝ln x－x2＋x， f(1)＝－＋1＝， f′(x)＝－x＋1，f′(1)＝1， 所以函数f(x) 在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝x－1，即2x－2y－1＝0. (2)f(x)＝ln x－x2＋x(a>0)在定义域上有唯一零点，所以方程ln x－x2＋x＝0，即x2－2a ln x－2ax＝0在(0，＋∞)上有唯一实数解． 设g(x)＝x2－2a ln x－2ax， 则g′(x)＝. 令g′(x)＝0，即x2－ax－a＝0. 因为a>0，x>0，所以x2－ax－a＝0的两个根分别为x1＝<0(舍去)，x2＝. 当x∈(0，x2)时，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当x∈(x2，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增， 所以当x＝x2时，g(x)取得最小值g. 要使g(x) 在(0，＋∞)上有唯一零点， 则即 所以2a ln x2＋ax2－a＝0， 因为a>0，所以2ln x2＋x2－1＝0.(*) 设函数h(x)＝2ln x＋x－1，易知h(x)是增函数，所以h(x)至多有一解． 因为h(1)＝0，所以方程(*)的解为x2＝1，即＝1，解得a＝. 利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件． 已知函数f(x)＝－2(a＞0)，判断函数f(x)在x∈(0，π)上的零点个数，并说明理由． 解析　因为x∈(0，π)，所以sin x＞0，所以f(x)＝－2＝0，可化为x2－a－2sin x＝0， 设g(x)＝x2－a－2sin x，则g′(x)＝2x－2cos x， 设h(x)＝2x－2cos x，h′(x)＝2＋2sin x＞0， 可得h(x)即g′(x)在(0，π)上单调递增， 又g′(0)＝－2＜0，g′＝π＞0， 所以存在x0∈，使得g′(x0)＝0，当x∈(0，x0)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减；当x∈(x0，π)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增， 又因为g(0)＝－a＜0，当g(π)＝π2－a＞0，即0＜a＜π2时，g(x)有唯一零点在(x0，π)上， 当g(π)＝π2－a≤0，即a≥π2时，g(x)在(0，π)上无零点． 综上可得，当0＜a＜π2时，函数f(x)在(0，π)上有唯一零点； 当a≥π2时，函数f(x)在(0，π)上没有零点． 考点三　构造函数法研究函数的零点　重难考点　师生共研 已知a＞0且a≠1，函数f(x)＝(x＞0).若曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围． [解析]　曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点， 可转化为方程＝1(x＞0)有两个不同的解， 即方程＝有两个不同的解． 设g(x)＝(x＞0)， 则g′(x)＝(x＞0)， 令g′(x)＝＝0，得x＝e， 当0＜x＜e时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增， 当x＞e时，g′(x)＜0，函数g(x)单调递减， 故g(x)max＝g(e)＝， 且当x＞1时，g(x)∈，又g(1)＝0， 所以0＜＜，所以a＞1且a≠e， 故a的取值范围为(1，e)∪(e，＋∞). (1)涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围． (2)解决此类问题的关键是构造函数，将函数零点(方程的根)、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法． 已知函数f(x)＝ax－ax(a>1)，且f(x)在[1，2]上有两个零点，则a的取值范围为(　　) A．(1，2] B．(1，e) C．[2，e) D．(e，e2] 解析　令f(x)＝0，得ax＝ax，则x ln a＝ln x＋ln a， 令g(x)＝x ln a－ln x－ln a，则g(x)在[1，2]上有两个零点，显然g(1)＝0.易得g′(x)＝ln a－，显然g′(x)在[1，2]上单调递增， 所以ln a－1≤g′(x)≤ln a－，当ln a－1≥0或ln a－≤0，即a≥e或1<a≤时，g(x)在[1，2]上单调递增或单调递减，即函数g(x)在[1，2]上只有一个零点1，不满足要求，因此<a<e，此时若1≤x<，则g′(x)<0，若<x≤2，则g′(x)>0，则函数g(x)在上单调递减，在上单调递增，则g(x)min＝g<g(1)＝0， 要使函数g(x)在[1，2]上有两个零点，当且仅当g(x)在上有一个零点，即有g(2)＝ln a－ln 2≥0，解得a≥2，所以2≤a<e. 综上，a的取值范围为[2，e).故选C. 答案　C 1．已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0. (1)求f(x)的单调区间； (2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围． 解析　(1)由题意得f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)， 当a＜0时，f′(x)＞0恒成立． 当a＞0时，由f′(x)＞0，解得x＜－或x＞， 由f′(x)＜0，解得－＜x＜. ∴当a＜0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞). 当a＞0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)，单调递减区间为(－，). (2)∵f(x)在x＝－1处取得极值， ∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0， ∴a＝1，∴f(x)＝x3－3x－1，则f′(x)＝3x2－3， 由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1. 由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3. ∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合如图所示的f(x)的图象可知，实数m的取值范围是(－3，1). 2．设k∈R，函数f(x)＝ln x－kx. (1)若k＝2，求曲线y＝f(x)在P(1，－2)处的切线方程； (2)若f(x)无零点，求实数k的取值范围． 解析　(1)在区间(0，＋∞)上，f′(x)＝－k＝，当k＝2时，f′(1)＝1－2＝－1，f(1)＝－2， 则切线方程为y－(－2)＝－(x－1)，即x＋y＋1＝0. (2)①若k＜0，则f′(x)＞0，f(x)是区间(0，＋∞)上的增函数． 因为f(1)＝－k＞0，f(ek)＝k－kek＝k(1－ek)＜0， 所以f(1)f(ek)＜0，函数f(x)在区间(0，＋∞)上有唯一零点，不符合题意； ②若k＝0，f(x)＝ln x有唯一零点x＝1，不符合题意； ③若k＞0，令f′(x)＝0，得x＝， 在区间上，f′(x)＞0，函数f(x)是增函数； 在区间上，f′(x)＜0，函数f(x)是减函数， 故在区间(0，＋∞)上，f(x)的极大值为 f＝ln －1＝－ln k－1， 由于f(x)无零点，所以f＝－ln k－1＜0， 解得k＞， 故所求实数k的取值范围是. 3．已知函数f(x)＝eax－x. (1)若a＝2，求f(x)在(1，f(1))处的切线方程； (2)讨论f(x)的零点个数． 解析　(1)若a＝2，则f(x)＝e2x－x，f′(x)＝2e2x－1. 又f(1)＝e2－1，切点为(1，e2－1)， 曲线y＝f(x)在(1，f(1))处切线的斜率k＝f′(1)＝2e2×1－1＝2e2－1， 故所求切线方程为y－(e2－1)＝(2e2－1)(x－1)，即y＝(2e2－1)x－e2. (2)由题得f′(x)＝aeax－1. 当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在R上单调递减， 又f(0)＝1>0，f(1)＝ea－1≤0. 故f(x)存在一个零点，此时f(x)零点个数为1. 当a>0时，令f′(x)<0得x<－，令f′(x)>0得x>－， 所以f(x)在上单调递减，在上单调递增． 故f(x)的最小值为f＝. 当a＝时，f(x)的最小值为0，此时f(x)有一个零点． 当a>时，f(x)的最小值大于0，此时f(x)没有零点． 当0<a<时，f(x)的最小值小于0，f(－1)＝e－a＋1>0， f＝<0，x→＋∞时，f(x)→＋∞，此时f(x)有两个零点． 综上，当a≤0或a＝时，f(x)有一个零点； 当0<a<时，f(x)有两个零点； 当a>时，f(x)没有零点． 4．已知函数f(x)＝ex sin x．(e是自然对数的底数) (1)求f(x)的单调递减区间； (2)若函数g(x)＝f(x)－2x，证明g(x)在(0，π)上只有两个零点．(参考数据：e≈4.8) (1)解析　∵f(x)＝ex sin x ，定义域为R. ∴f′(x)＝ex(sin x＋cos x)＝ex sin .由f′(x)<0得sin <0，解得2kπ＋<x<2kπ＋，k∈Z. ∴f(x)的单调递减区间为(k∈Z). (2)证明　∵g′(x)＝ex(sin x＋cos x)－2， ∴g″(x)＝2ex cos x(g″(x)是g′(x)的导函数). ∵x∈(0，π)，∴当x∈时，g″(x)>0；当x∈时，g″(x)<0. ∴g′(x)在上单调递增，在上单调递减， 又g′(0)＝1－2<0，g′＝e－2>0，g′(π)＝－eπ－2<0， ∴g′(x)在(0，π)上图象大致如图． ∴∃x1∈，x2∈，使得g′(x1)＝0，g′(x2)＝0， 且当x∈(0，x1)或x∈(x2，π)时，g′(x)<0；当x∈(x1，x2)时，g′(x)>0. ∴g(x)在(0，x1)和(x2，π)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增．∵g(0)＝0， ∴g(x1)<0.∵g＝e－π>0， ∴g(x2)>0.又g(π)＝－2π<0，由零点存在定理得，g(x)在(x1，x2)和(x2，π)上各有一个零点， ∴函数g(x)在(0，π)上有两个零点． 高考压轴大题突破1　函数与导数的新定义问题 函数与导数新定义问题主要分两类：一是概念新定义型，主要是以函数新概念为背景，通常考查考生对函数新概念的理解，涉及函数的三要素的理解；二是性质新定义型，主要是以函数新性质为背景，重点考查考生灵活应用函数性质的能力，涉及函数的各种相关性质的拓展延伸． 考点一　概念新定义型　重难考点　师生共研 定义：如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，那么称d(A，B)＝＋为A，B两点间的曼哈顿距离． (1)已知点N1，N2分别在直线x－2y＝0，2x－y＝0上，点M(0，2)与点N1，N2的曼哈顿距离分别为d，d，求d和d(M，N2)的最小值； (2)已知点N是直线x＋k2y＋2k＋1＝0上的动点，点M(0，2)与点N的曼哈顿距离d的最小值记为f(k)，求f(k)的最大值； (3)已知点M，点N(m，n)(k，m，n∈R，e是自然对数的底数)，当k≤1时，d的最大值为f，求f的最小值． [解析]　(1)d＝＋＝＋＝ 则d≥2，即d的最小值为2； d＝|x|＋|y－2|＝|x|＋|2x－2|＝ 则d≥1，即d的最小值为1. (2)当k2≥1时，d＝＋， 点为直线x＋k2y＋2k＋1＝0上一动点， 则当k2≥1时，d(M，N)＝|x|＋≥＋≥， 即f(k)＝； 当k2<1时，d＝＋≥＋≥， 即f(k)＝； 所以f(k)＝又当k≥1时，≤5， 当0<k<1时，<5， 所以f(k)的最大值为5. (3)令x＝ek，则kek＝x ln x，0<x≤e， d(M，N)＝|ek－m|＋|kek－n|＝max{|x＋x ln x－m－n|，|x－x ln x－m＋n|}， 令g(x)＝x＋x ln x，0<x≤e，则g′(x)＝2＋ln x>0在区间上成立， 则g(x)在区间上单调递增， 则－＝g≤g(x)≤g(e)＝2e， 令h(x)＝x－x ln x，0<x≤e，则h′(x)＝－ln x<0在区间上成立， 则h(x)在区间上单调递减，则0＝h(e)≤h(x)≤h(1)＝1， 所以f＝max， 所以f≥max＝e＋， 当m＋n＝e－且－<n<e－时，取最小值，f的最小值为e＋. 定义：双曲余弦函数cos h(x)＝，双曲正弦函数sin h(x)＝. (1)求函数y＝cos h(2x)＋sin h(x)的最小值； (2)若函数f(x)＝log9在R上的最小值为－1，求正实数a的值； (3)求证：对任意实数k，关于x的方程＝kx＋总有实根． (1)解析　依题意有y＝cos h(2x)＋sin h(x) ＝＋ ＝2＋＋1， 令t＝ex－e－x， 则y＝t2＋t＋1＝2＋. 因为t＝ex－e－x在R上单调递增， 当x趋近于－∞时，t趋近于－∞，当x趋近于＋∞时，t趋近于＋∞， 所以t∈R，所以当t＝－，即ex＝时， 函数y＝cos h(2x)＋sin h(x)有最小值. (2)解析　函数f(x)＝log9[cos h(2x)－a sin h(x)]在R上的最小值为－1， 即函数y＝cos h(2x)－a sin h(x)有最小值. 因为y＝cos h(2x)－a sin h(x)＝－＝2－＋1 令t＝ex－e－x，则y＝t2－t＋1＝2－＋1， 因为最小值为，所以－＋1＝，解得a＝±， 所以正实数a的值为. (3)证明　令p(x)＝，定义域为R， 则p(x)＝＝＝1－， 又p＝＝＝－p(x)， 所以p(x)是奇函数， 因为y＝e2x是R上的增函数， 所以p(x)＝1－在R上单调递增，且当x趋近于＋∞时，p(x)趋近于1， 所以函数p(x)在R上的值域为(－1，1)，直线y＝kx＋过定点， 如图所示，无论k取任何实数，直线y＝kx＋与函数p(x)的图象都有交点， 即对任意实数k，关于x的方程＝kx＋总有实根． 考点二　性质新定义型　重难考点　师生共研 对于函数f(x)，若存在实数x0满足f＝x0，则称x0为函数f(x)的一个不动点．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋3，其中a，b∈R. (1)当a＝0时， (ⅰ)求f(x)的极值点； (ⅱ)若存在x0既是f(x)的极值点，又是f(x)的不动点，求b的值； (2)若f(x)有两个相异的极值点x1，x2，试问：是否存在a，b使得x1，x2均为f(x)的不动点？证明你的结论． [解析]　(1)(ⅰ)当a＝0时，f(x)＝x3＋bx＋3，f′(x)＝3x2＋b. 当b≥0时，f′(x)≥0恒成立，f(x)在R上递增，没有极值点． 当b<0时，令f′(x)＝0. 解得x1＝－，x2＝， 则在区间，上，f′(x)>0，f(x)单调递增； 在区间上，f′(x)<0，f(x)单调递减， 所以f(x)的极大值点为－，极小值点为 . (ⅱ)若x0既是f(x)的极值点，又是f(x)的不动点， 则即 即b＝－3x，代入x＋bx0＋3＝x0 得 x－3x＋3＝x0， 2x＋x0－3＝0，2＋x0－1＝0， 2(x0－1)(x＋x0＋1)＋x0－1＝0， (x0－1)(2x＋2x0＋3)＝0， ＝0，所以x0＝1， 则b＝－3x＝－3. (2)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋3， f′(x)＝3x2＋2ax＋b， f(x)有两个相异的极值点x1，x2，也即f′(x)＝3x2＋2ax＋b有两个不同的零点x1，x2， 所以Δ＝4a2－12b>0，a2－3b>0　①， x1＋x2＝－，x1·x2＝. 依题意，若x1，x2是f(x)的不动点， 则两式相减得x－x＋a＋b＝x1－x2， 即x＋x1x2＋x＋a＋b－1＝0， 即2－x1x2＋a＋b－1＝0， 所以－－＋b－1＝0，a2－3b＝－，这与①矛盾， 所以不存在符合题意的a，b. 给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，f″(x)是函数f′(x)的导函数，若方程f″(x)＝0有实数解x＝x0，则称为函数y＝f(x)的“拐点”．经研究发现所有的三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d都有“拐点”，且该“拐点”也是函数y＝f(x)图象的对称中心． (1)若函数f(x)＝x3＋3x2－9x－1，求函数f(x)图象的对称中心； (2)已知函数g(x)＝2mx3＋x2＋x－＋1，其中m>0. ①求g(x)的拐点； ②若g(x1)＋g(x2)＝2，求证：0<x1<<x2. (1)解析　因为f(x)＝x3＋3x2－9x－1，所以f′(x)＝3x2＋6x－9， 所以f″(x)＝6x＋6.令f″(x)＝0，解得x＝－1，又f(－1)＝－1＋3＋9－1＝10， 所以函数f(x)的“拐点”为， 所以函数f(x)图象的对称中心为. (2)①解析　因为g(x)＝2mx3＋x2＋x－＋1，m>0， 所以g′(x)＝6mx2＋6x＋2x＋， g″(x)＝12mx＋12ln －12＝0，即mx－1＋ln ＝0， 令h(x)＝x＋ln x－1，则h′(x)＝1＋>0在(0，＋∞)上恒成立， 所以h(x)＝x＋ln x－1在(0，＋∞)上单调递增，又h(1)＝0， 由零点存在定理知，h(x)＝x＋ln x－1有唯一的零点x＝1， 所以mx＝1，即x＝，当x＝时，g＝－＋－＋1＝1， 所以g(x)的拐点为. ②证明　由①可知，g″(x)＝12mx＋12ln －12在(0，＋∞)上单调递增，g″＝0， ∴当x∈时，g″(x)<0；当x∈时，g″(x)>0， ∴g′(x)在上单调递减，在上单调递增， 又g′＝＋－＝0， ∴g′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又g＝1，g(x1)＋g(x2)＝2， 所以0<x1<<x2. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3．7　利用导数研究函数零点 函数零点问题在高考中占有很重要的地位，主要涉及判断函数零点的个数或范围．高考常考查基本初等函数、三次函数与复合函数的零点问题，以及函数零点与其他知识的交汇问题． 考点一　数形结合法研究函数零点　重难考点　师生共研 已知函数f(x)＝ax－ln x－2. (1)当a＝1时，求函数f(x)的极值； (2)讨论函数f(x)的零点个数． 在借助函数图象研究函数零点问题时，要准确画出函数的图象，不仅要研究函数的单调性与极值的情况，还要关注函数值的正负以及变化趋势，把函数图象与x轴有无交点，哪一区间在x轴上方，哪一区间在x轴下方等情况分析清楚，这样才能准确地研究直线与图象交点的个数情况． 已知函数f(x)＝xe2x－ax3. (1)求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)当a≥16时，证明：函数f(x)在(0，＋∞)上有两个不同的零点． 考点二　利用函数性质研究函数零点　重难考点　师生共研 已知函数f(x)＝ln x－x2＋x(a>0). (1)若a＝1，求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若函数f(x)在定义域上有唯一零点，求实数a的值． 利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件． 已知函数f(x)＝－2(a＞0)，判断函数f(x)在x∈(0，π)上的零点个数，并说明理由． 考点三　构造函数法研究函数的零点　重难考点　师生共研 已知a＞0且a≠1，函数f(x)＝(x＞0).若曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围． (1)涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围． (2)解决此类问题的关键是构造函数，将函数零点(方程的根)、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法． 已知函数f(x)＝ax－ax(a>1)，且f(x)在[1，2]上有两个零点，则a的取值范围为(　　) A．(1，2] B．(1，e) C．[2，e) D．(e，e2] 1．已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0. (1)求f(x)的单调区间； (2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围． 2．设k∈R，函数f(x)＝ln x－kx. (1)若k＝2，求曲线y＝f(x)在P(1，－2)处的切线方程； (2)若f(x)无零点，求实数k的取值范围． 3．已知函数f(x)＝eax－x. (1)若a＝2，求f(x)在(1，f(1))处的切线方程； (2)讨论f(x)的零点个数． 4．已知函数f(x)＝ex sin x．(e是自然对数的底数) (1)求f(x)的单调递减区间； (2)若函数g(x)＝f(x)－2x，证明g(x)在(0，π)上只有两个零点．(参考数据：e≈4.8) 高考压轴大题突破1　函数与导数的新定义问题 函数与导数新定义问题主要分两类：一是概念新定义型，主要是以函数新概念为背景，通常考查考生对函数新概念的理解，涉及函数的三要素的理解；二是性质新定义型，主要是以函数新性质为背景，重点考查考生灵活应用函数性质的能力，涉及函数的各种相关性质的拓展延伸． 考点一　概念新定义型　重难考点　师生共研 定义：如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，那么称d(A，B)＝＋为A，B两点间的曼哈顿距离． (1)已知点N1，N2分别在直线x－2y＝0，2x－y＝0上，点M(0，2)与点N1，N2的曼哈顿距离分别为d，d，求d和d(M，N2)的最小值； (2)已知点N是直线x＋k2y＋2k＋1＝0上的动点，点M(0，2)与点N的曼哈顿距离d的最小值记为f(k)，求f(k)的最大值； (3)已知点M，点N(m，n)(k，m，n∈R，e是自然对数的底数)，当k≤1时，d的最大值为f，求f的最小值． 定义：双曲余弦函数cos h(x)＝，双曲正弦函数sin h(x)＝. (1)求函数y＝cos h(2x)＋sin h(x)的最小值； (2)若函数f(x)＝log9在R上的最小值为－1，求正实数a的值； (3)求证：对任意实数k，关于x的方程＝kx＋总有实根． 考点二　性质新定义型　重难考点　师生共研 对于函数f(x)，若存在实数x0满足f＝x0，则称x0为函数f(x)的一个不动点．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋3，其中a，b∈R. (1)当a＝0时， (ⅰ)求f(x)的极值点； (ⅱ)若存在x0既是f(x)的极值点，又是f(x)的不动点，求b的值； (2)若f(x)有两个相异的极值点x1，x2，试问：是否存在a，b使得x1，x2均为f(x)的不动点？证明你的结论． 给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，f″(x)是函数f′(x)的导函数，若方程f″(x)＝0有实数解x＝x0，则称为函数y＝f(x)的“拐点”．经研究发现所有的三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d都有“拐点”，且该“拐点”也是函数y＝f(x)图象的对称中心． (1)若函数f(x)＝x3＋3x2－9x－1，求函数f(x)图象的对称中心； (2)已知函数g(x)＝2mx3＋x2＋x－＋1，其中m>0. ①求g(x)的拐点； ②若g(x1)＋g(x2)＝2，求证：0<x1<<x2. 学科网（北京）股份有限公司 $