3.3 幂函数-2026年初升高数学预习过关检测人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦幂函数概念-性质-图像的递进式训练，通过辨析、应用、综合题型培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|选择1-3|定义判断/定点问题|从幂函数定义出发，构建概念认知基础| |性质应用|选择4-8/多选9-11|奇偶性/单调性/值域分析|结合指数分类研究函数性质，形成性质判断框架| |图像分析|选择5/填空13|图像识别/象限分布|通过图像特征反推指数特征，建立数形联系| |综合计算|填空12/解答15-19|大小比较/参数求解/不等式应用|整合概念与性质，培养数学运算与问题解决能力|

专题3.10 幂函数（2026年初升高必修一数学预习过关检测） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列函数中是幂函数的是(　　) A．y＝x4＋x2 B．y＝10x C．y＝ D．y＝x＋1 【答案】C 【详解】根据幂函数的定义知，y＝是幂函数，y＝x4＋x2，y＝10x，y＝x＋1都不是幂函数． 2．下列函数是奇函数，且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数和指数函数的图象和性质即可逐个选项判断. 【详解】反比例函数，，所以A错误；是奇函数，且在上单调递增，B正确；，不是奇函数，C错；，因为，所以不是奇函数，D错. 3．函数的图像恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的性质，令，可得定点的横坐标，然后利用幂函数的性质求定点的纵坐标． 【详解】令，即时， ，图像恒过定点．故选：B. 4．已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的是（ ） A．是偶函数 B．在定义域上是单调递增函数 C．的值域为 D．在定义域内有最大值 【答案】B 【详解】设，则，解得，，的定义域为，故A错误；可得在定义域上是单调递增函数，故B正确；值域为，故C错误；故在定义域内没有最大值，故D错误. 5.图中、、为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（ ） A．、3、 B．、3、 C．、、3 D．、、3 【答案】D 【详解】由题意得，根据幂函数的图象与性质可知，，所以解析式中指数的值依次可以是， 6．关于幂函数的图像，下列说法正确的是（    ） A．幂函数图像恒过原点 B．存在，使得幂函数图像过第四象限 C．存在，使得幂函数为非奇非偶函数 D．当时，幂函数图像恒在轴上方 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义和性质，对各个选项的正确性进行判断，从而得出结论. 【详解】若的图像不过原点，A错误； 对于幂函数，当时，恒成立，因此函数图像不过第四象限，B错误； 当时，的定义域为，且在上单调递增，为非奇非偶函数，C正确；当时，的图像过第一、三象限，D错误．故选：C. 7．幂函数的图像经过（    ），且在第一象限内（    ） A．第一、二象限    单调递减 B．第一、三象限    单调递减 C．第一、二象限    单调递增 D．第一、三象限    单调递增 【答案】C 【详解】幂函数的定义域为，由，得函数是偶函数，其图像关于轴对称，又，则该函数图像在轴及上方，而，则函数在上单调递增，所以幂函数的图像经过第一、二象限，且在第一象限内单调递增.故选：C 8．已知幂函数（为常数）的图像经过点，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据解得，继而确定的定义域与单调性，再结合定义域与单调性，解不等式即可. 【详解】∵幂函数的图像经过点，，解得， 故，.因为，故在定义域上单调递增， 故由，可得解得.故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知幂函数，则( ). A. B. 的定义域为 C. D. 将函数的图象向左平移1个单位长度得到函数的图象 【答案】BC 【解析】由幂函数的定义可知，所以，所以，故错误；由可知其定义域为，故正确；为奇函数，所以，故正确； 将的图象向左平移1个单位长度得到函数的图象，故错误.故选. 10．已知幂函数，的图像关于y轴对称，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】BD 【分析】由题意得到的值，从而得到函数，由函数的奇偶性和单调性比较的大小关系即可判断A、B、C选项；同样，借助函数的单调性得到的大小关系，借助函数的奇偶性即可得到的大小关系，判断D选项. 【详解】幂函数，的图像关于y轴对称，则，则，，在上单调递减，于是有，则A错误，B正确，C错误；若，则，∵，，即成立．故D正确．故选：BD. 11．已知幂函数的图像过，下列说法正确的是（    ） A．且 B．是奇函数 C．在定义域内是减函数 D．的值域是 【答案】ABD 【分析】根据幂函数的定义和性质判断各项即可. 【详解】因为幂函数的图像过，所以，解得，A正确；所以，定义域为，因为，所以是奇函数，B正确；在和上各自单调递减，但在整个定义域上不是减函数，C错误；根据幂函数的性质可知，的值域为，D正确.故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知幂函数f（x）的图象过点，则f（x－3x2）的定义域为________． 答案： 解析：设幂函数的解析式为f（x）＝xa，则f（8）＝8a＝＝，故a＝－， 则f（x）＝x，所以f（x）的定义域为（0，＋∞），故x－3x2>0，解得0<x<. 13．已知幂函数（）的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值为______. 【答案】 【详解】因为是幂函数，，解得或1，当时，是偶函数，关于轴对称，在单调递增，不符合题意，当时，是偶函数，关于轴对称，在单调递减，符合题意，. 14．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】因为函数在上单调递减，所以，解得．又，所以，2．又函数的图象关于轴对称，所以为偶数，所以．因为函数在和上单调递减，由，得或或，解得：或，所以实数的取值范围是． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．比较下列各组数的大小． （1）－1与－1； （2）（a＋1）3与a3； （3）3与3.1； （4）1.2，0.9，. 解：（1）函数y＝x－1在（－∞，0）上单调递减，∵－<－，∴－1>－1. （2）函数y＝x3在R上为增函数，∵a＋1>a，∴（a＋1）3>a3. （3）函数y＝x在（0，＋∞）上为减函数．∵3<3.1，∴3>3.1. （4）0.9＝，＝1.1.∵1.2>>1.1，且y＝x在[0，＋∞）上单调递增， ∴1.2>>1.1，即1.2>0.9>. 16．已知函数f（x）＝（2m2－m）x2m＋3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称． （1）求实数m的值； （2）若不等式（a－1）m<（2a－3）m成立，求实数a的取值范围． 解：（1）因为函数f（x）＝（2m2－m）x2m＋3是幂函数， 则2m2－m＝1，即2m2－m－1＝0，解得m＝－或m＝1. 当m＝－时，f（x）＝x2为偶函数，满足题意； 当m＝1时，f（x）＝x5为奇函数，不满足题意． 综上所述，实数m的值为－. （2）设函数g（x）＝xm＝x＝，则函数g（x）在定义域（0，＋∞）上单调递减．由（a－1）m<（2a－3）m可得解得<a<2，所以实数a的取值范围为. 17．已知幂函数的图像关于轴对称，且在上单调递减. (1)求的值； (2)已知实数满足不等式，求实数的取值范围. 【答案】(1)1；(2) 【分析】（1）由幂函数的单调性和图像的对称性确定指数取值范围即可求解； （2）由幂函数的单调性列出不等式求解即可. 【详解】（1）由幂函数在上单调递减，可得， 即，因为，所以或，又幂函数的图像关于轴对称，时，满足题意；时，不满足题意， 所以. （2） 由（1）可得，所以，又幂函数在和上单调递减，可得：或或， 解得：或或空集，综上，实数的取值范围是. 18．若点（，2）在幂函数f（x）的图象上，点在幂函数g（x）的图象上． （1）求f（x）和g（x）的解析式； （2）定义h（x）＝求函数h（x）的最大值及单调区间． 解：（1）设f（x）＝xα，因为点（，2）在幂函数f（x）的图象上，所以（）α＝2， 解得α＝2，即f（x）＝x2.设g（x）＝xβ，因为点在幂函数g（x）的图象上， 所以2β＝，解得β＝－1，即g（x）＝x－1. （2）在同一平面直角坐标系中画出函数f（x）＝x2和g（x）＝x－1的图象，可得函数h（x）的图象如图所示．由题意及图象可知 h（x）＝根据函数h（x）的解析式及图象可知， 函数h（x）的最大值为1，单调递增区间为（0，1]， 单调递减区间为（－∞，0）和（1，＋∞）． 19．已知幂函数为定义域上的奇函数． (1)求实数的值； (2)求不等式的解集； (3)当时，解关于的不等式． 【答案】(1) (2) (3)答案见详解 【分析】（1）根据幂函数的定义和性质求出；（2）由（1）将代入运算求解；（3）将代入，不等式变为，，，分和讨论求解. 【详解】（1）由幂函数可得，，解得或， 当时，，又，且， 所以为奇函数，符合题意；当时，，，此时为偶函数，综上，. （2）由（1），，所以不等式为，等价于， 或，所以不等式的解集为. （3）由（1），，不等式可变为，，， 当时，不等式为，解得且； 当时，不等式为，其对应方程的两根为， 若，即，不等式的解集为， 若，即，不等式的解集为， 若，即，不等式的解集为， 综上，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.10 幂函数（2026年初升高必修一数学预习过关检测） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列函数中是幂函数的是(　　) A．y＝x4＋x2 B．y＝10x C．y＝ D．y＝x＋1 2．下列函数是奇函数，且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 3．函数的图像恒过定点（    ） A． B． C． D． 4．已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的是（ ） A．是偶函数 B．在定义域上是单调递增函数 C．的值域为 D．在定义域内有最大值 5.图中、、为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（ ） A．、3、 B．、3、 C．、、3 D．、、3 6．关于幂函数的图像，下列说法正确的是（    ） A．幂函数图像恒过原点 B．存在，使得幂函数图像过第四象限 C．存在，使得幂函数为非奇非偶函数 D．当时，幂函数图像恒在轴上方 7．幂函数的图像经过（    ），且在第一象限内（    ） A．第一、二象限    单调递减 B．第一、三象限    单调递减 C．第一、二象限    单调递增 D．第一、三象限    单调递增 8．已知幂函数（为常数）的图像经过点，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知幂函数，则( ). A. B. 的定义域为 C. D. 将函数的图象向左平移1个单位长度得到函数的图象 10．已知幂函数，的图像关于y轴对称，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 11．已知幂函数的图像过，下列说法正确的是（    ） A．且 B．是奇函数 C．在定义域内是减函数 D．的值域是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知幂函数f（x）的图象过点，则f（x－3x2）的定义域为________． 13．已知幂函数（）的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值为______. 14．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．比较下列各组数的大小． （1）－1与－1； （2）（a＋1）3与a3； （3）3与3.1； （4）1.2，0.9，. 16．已知函数f（x）＝（2m2－m）x2m＋3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称． （1）求实数m的值； （2）若不等式（a－1）m<（2a－3）m成立，求实数a的取值范围． 17．已知幂函数的图像关于轴对称，且在上单调递减. (1)求的值； (2)已知实数满足不等式，求实数的取值范围. 18．若点（，2）在幂函数f（x）的图象上，点在幂函数g（x）的图象上． （1）求f（x）和g（x）的解析式； （2）定义h（x）＝求函数h（x）的最大值及单调区间． 19．已知幂函数为定义域上的奇函数． (1)求实数的值； (2)求不等式的解集； (3)当时，解关于的不等式． 学科网（北京）股份有限公司 $