2.1等式的性质与不等式的性质（2026年初升高数学预习过关检测人教A版必修第一册）

**基本信息** 聚焦初升高衔接阶段不等式性质的系统性掌握，通过分层题型构建"概念理解-性质应用-实际建模"的完整认知链，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|选择1-8、多选9-11|判断不等式正误，辨析性质条件|从实数大小关系切入，建立不等式基本性质的逻辑认知| |性质应用|填空12-14、解答16-18|比较大小、范围求解，强化推理|通过作差法、特殊值法等，深化性质的灵活应用| |实际建模|解答15、19|糖水不等式证明、平均速度比较|将生活情境抽象为数学模型，体现数学眼光与表达|

2.1等式的性质与不等式的性质（2026年初升高必修一数学预习过关检测） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.如果a＜0，b＞0，那么下列不等式中一定正确的是（　　） A.＜　　　　　　B.＜ C.a2＜b2 D.｜a｜＞｜b｜ 2．下列选项正确的是（ ） A．a与b的差不是正数用不等式表示为a-b<0 B．a的绝对值不超过3用不等式表示为a≤3 C．(x-3)2<(x-2)(x-4) D．x2+y2+1>2(x+y-1) 3．下列结论正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．实数､､满足且，则下列关系成立的是（ ） A． B． C． D． 5．若，则下列不等式中，不能成立的是（ ） A． B． C． D． 6.设a＜b＜0，则下列不等式中不一定成立的是（　　） A.＞ B.ac＜bc C.｜a｜＞－b D.＞ 7.若a，b，c∈R且a＞b＞c，则下列不等式一定成立的是（　　） A.ac2＞bc2 B.a2＞b2＞c2 C.＜ D.a＋b＞2c 8、【人教A版必修一习题2.1第8题】下列不等式中成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．已知均为实数，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若则 D．若则 10．已知实数，满足，，则( ). A. B. C. D. 11．若，则下列不等式中一定不成立的是（ ） A． B． C． D． 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 12．已知，则_______．（用“>”或“<”填空） 13．糖水不等式：成立的实数是有条件限制的，使糖水不等式：不成立的的值可以是 .（只需填满足题意的一个值即可） 14．【人教A版必修一第2.1节练习第2题】用不等号“>”或“<”填空: (1)如果,,那么______; (2)如果,,那么____; (3)如果,那么____; (4)如果,那么____. 四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．【人教A版必修一习题2.1第10题】已知b克糖水中含有a克糖，再添加m克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立. 16、已知“,”，求的取值范围． 17．已知，且．(1)求证：；(2)求证：． 18、【人教A版必修一习题2.1第3题】 比较下列各组中两个代数式的大小： （1）与； （2）与； （3）当时，与； （4）与. 19．体育课上，小明进行一项趣味测试，在操场上从甲位置出发沿着同一跑道走到乙位置，有两种不同的行走方式(以下).方式一：小明一半的时间以的速度行走，剩余一半时间换为以的速度行走，平均速度为；方式二：小明一半的路程以的速度行走，剩余一半路程换为以的速度行走，平均速度为. （1）试求两种行走方式的平均速度，； （2）比较，的大小. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1等式的性质与不等式的性质（2026年初升高必修一数学预习过关检测） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.如果a＜0，b＞0，那么下列不等式中一定正确的是（　　） A.＜　　　　　　B.＜ C.a2＜b2 D.｜a｜＞｜b｜ 【答案】A　 【详解】∵a＜0，b＞0，∴＜0，＞0，∴＜. 2．下列选项正确的是（ ） A．a与b的差不是正数用不等式表示为a-b<0 B．a的绝对值不超过3用不等式表示为a≤3 C．(x-3)2<(x-2)(x-4) D．x2+y2+1>2(x+y-1) 【答案】D 【详解】A.a与b的差不是正数用不等式表示为a-b≤0，故A错误；B.a的绝对值不超过3用不等式表示为|a|≤3，故B错误；C.(x-3)2-(x-2)(x-4)=1>0，所以(x-3)2>(x-2)(x-4)，故C错误；D.x2+y2+1-2(x+y-1)=(x-1)2+(y-1)2+1>0，所以x2+y2+1>2(x+y-1)，故D正确. 3．下列结论正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A：当时，若取，则有.故A不正确；对于B：当时，取时，有.故B不正确；对于C：当，两边同乘以，则.故C正确； 对于D：当，取时，有.故D不正确. 4．实数､､满足且，则下列关系成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由知，，即；由知，，则，即；综上， 5．若，则下列不等式中，不能成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若，则，即，A成立；，即，B不成立；，C成立；，D成立； 6.设a＜b＜0，则下列不等式中不一定成立的是（　　） A.＞ B.ac＜bc C.｜a｜＞－b D.＞ 【答案】B　 【解析】对于A，因为a＜b＜0，所以＞0，将a＜b两边同乘，则＞，故选项A中不等式一定成立；对于B，只有当c＞0时，选项B中不等式成立，其余情况不成立，则选项B中不等式不一定成立；对于C，｜a｜＝－a＞－b，则选项C中不等式一定成立；对于D，由－a＞－b＞0，可得＞，则选项D中不等式一定成立.故选B. 7.若a，b，c∈R且a＞b＞c，则下列不等式一定成立的是（　　） A.ac2＞bc2 B.a2＞b2＞c2 C.＜ D.a＋b＞2c 【答案】D　 【解析】对于A，当c2＝0时，可得ac2＝bc2，所以ac2＞bc2不一定成立；对于B，例如a＝1，b＝－2，c＝－3，此时a2＜b2＜c2，所以a2＞b2＞c2不一定成立；对于C，例如a＝1，b＝－2时，可得＞，所以＜不一定成立；对于D，由a＞c，b＞c，根据不等式的性质，可得a＋b＞2c，所以不等式a＋b＞2c一定成立.故选D. 8、【人教A版必修一习题2.1第8题】下列不等式中成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【分析】A，如时，，所以该选项错误；BCD，利用作差法比较大小分析得解. 【详解】A. 若，则错误，如时，，所以该选项错误； B. 若，则，所以该选项正确； C. 若，则，所以该选项错误； D. 若，则，所以该选项错误.故选：B 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．已知均为实数，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若则 D．若则 【答案】BC 【详解】若，，则，故A错误；若，，则，化简得，故B正确；若，则，又，则，故C正确； 若，，，，则，，，故D错误； 10．已知实数，满足，，则( ). A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】实数，满足，，由不等式的同向可加性和同向同正可乘性，得，，故，正确；由，得，故错误；由，得，故正确.故选. 11．若，则下列不等式中一定不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于，，所以，所以，所以，故选项一定不成立；对于，不妨取，，则，故选项可能成立；对于，不妨取，，则，故选项可能成立；对于，，故，故选项一定不成立； 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 12．已知，则_______．（用“>”或“<”填空） 【答案】> 【详解】因为,又，， 所以，所以， 13．糖水不等式：成立的实数是有条件限制的，使糖水不等式：不成立的的值可以是 .（只需填满足题意的一个值即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】由，得，即，解得或，则当或时，不等式成立，所以不成立的的值可以是（答案不唯一）.故答案为：（答案不唯一） 14．【人教A版必修一第2.1节练习第2题】用不等号“>”或“<”填空: (1)如果,,那么______; (2)如果,,那么____; (3)如果,那么____; (4)如果,那么____. 【答案】 ①. > ②. < ③. < ④. < 【分析】根据不等式的性质依次填写即可 【详解】(1),.,. (2),.,,. (3),,,,,,即. (4),所以,.于是,即,即.,. 【点睛】本题考查利用不等式性质判断不等关系,熟练掌握不等式性质是解题关键 四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．【人教A版必修一习题2.1第10题】已知b克糖水中含有a克糖，再添加m克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立. 【答案】，证明见解析 【分析】根据添加后的浓度大于之前的浓度，得出，利用作差法证明不等式成立即可. 【详解】时，. 证明如下： ，. 16、已知“,”，求的取值范围． 【答案】 【解析】设，即， 所以解得即， 因为，所以， ① 又因为，所以， ② 由，得，故的取值范围是,. 17．已知，且．(1)求证：；(2)求证：． 【详解】（1）解法1  因为且，所以，且，两边取倒数得，又，则，从而得证． 解法2  因为且，所以，且， 所以，即． （2）因为且，所以，，则，， 由，可得，即，所以，即．综上，． 18、【人教A版必修一习题2.1第3题】 比较下列各组中两个代数式的大小： （1）与； （2）与； （3）当时，与； （4）与. 【答案】（1）. （2）. （3）. （4）. 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】（1）因为，所以. （2）因为，所以. （3）因为，所以当时，. （4）因为， 所以. 19．体育课上，小明进行一项趣味测试，在操场上从甲位置出发沿着同一跑道走到乙位置，有两种不同的行走方式(以下).方式一：小明一半的时间以的速度行走，剩余一半时间换为以的速度行走，平均速度为；方式二：小明一半的路程以的速度行走，剩余一半路程换为以的速度行走，平均速度为. （1）试求两种行走方式的平均速度，； （2）比较，的大小. 【答案】（1），；（2）. 【详解】（1）设方式一中所用时间为t，路程为s.,. 设方式二中所用时间为t，路程为s，则. （2）. 因为，，且，所以，即. 学科网（北京）股份有限公司 $