专题18 幂函数与函数应用（重难点突破）-【课后辅导专用】2022年初升高暑期数学精品讲义

专题18 幂函数与函数的应用 一、思维导图 二、考点梳理 考点一 幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 考点2 函数的应用（一） 1、（1）．一次函数模型的实际应用 一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则． （2）．一次函数的最值求解 一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值． 2、 二次函数模型的解析式为gx＝ax2＋bx＋ca≠0.在函数建模中，它占有重要的地位.在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答. 3、（1）．分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏． （2）．分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集． （3）．分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论． 考点3 函数的应用（二） 二分法求方程的根的近似值 1、 二分法的概念 对于在区间上连续不断且 的函数，通过不断地函数的零点所在的区间 ，使区间的两个端点 ，进而得到零点近似值的方法叫二分法，由函数的零点与相应方程的根的关系，可用二分法来求 。2、用二分法求函数 零点近似值的步骤（给定精确度） （1）确定区间，使 。 （2）求区间的中点， 。 （3）计算 1 若，则 2 若，则令（此时零点 ）； 3 若则令（此时零点 ）； （4）继续实施上述步骤，直到区间 ，函数的零点总位于区间 上，当和按照给定精度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止。这时函数的近似零点满足给定的精确度。 方程的根与函数的零点 1.对于函数,我们把使的实数x叫做函数 的 . 2.函数的零点就是方程 的 ，也就是函数 的图像与x轴的交点的 . 3.方程 有实根函数的图像与x轴有 函数 有 . 4.函数零点的存在性的判定方法 5.如果函数在[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 0，那么在区间（a,b）内有零点，即存在，使得 0，这个c就是方程的根. 三、题型突破 重难点题型突破1 求幂函数的解析式 幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足： (1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1. 例1．(1)、（2022·河南·高二期末（文））若幂函数在上单调递减，则（       ） A．或2 B．2 C． D． (2)、（2022·辽宁·瓦房店市高级中学高二期末）已知幂函数的图象过点，则______． 【变式训练1-1】、（2020·河北沧州·）已知幂函数经过点，则＝________，不等式的解集为________. 【变式训练1-2】、（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象经过点，则的值为___． 重难点题型突破2 幂函数的图像及其性质的应用 幂函数的图像及其性质的应用 1．幂函数y=xα的图象与性质，由于α值的不同而比较复杂，一般从两个方面考查： ①α的正负：当α>0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立． ②幂函数的指数与图象特征的关系 当α≠0，1时，幂函数y=xα在第一象限的图象特征如下： α α>1 0<α<1 α<0 图象 特殊点 过(0，0)，(1，1) 过(0，0)，(1，1) 过(1，1) 凹凸性 下凸 上凸 下凸 单调性 递增 递增 递减 举例 y=x2 、 例2、（2020·全国高三专题练习）已知幂函数y＝xn，y＝xm，y＝xp的图象如图，则(　　) A．m＞n＞p B．m＞p＞n C．n＞p＞m D．p＞n＞m 【变式训练2-1】．（2022·四川省绵阳南山中学高二期末（文））幂函数y＝（m∈Z）的图象如图所示，则实数m的值为________. 2．利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧： 结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比