二十一类思维题集合暑假必练（综合练习）-2025-2026学年五年级下册数学人教版

**基本信息** 以21类思维专题为框架，通过“概念辨析-方法提炼-变式应用”逻辑链整合数论、代数、几何等模块，突出解题方法系统性与知识迁移性，培养数学思维与应用意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |整除问题|3题|末位/数字和特征法|数论基础，为质数合数等铺垫| |质数与合数|4题|质数判定与性质应用|概念生成→性质推导→实际问题解决| |列方程解应用题|4题|设元技巧与等量关系构建|代数思维从算术到方程的过渡| |长方体正方体|4题|表面积体积公式与切割模型|从基础公式到复杂立体图形分析| |盈亏问题|4题|盈亏模型与转化方法|实际问题抽象为数学模型的典型案例|

五年级数学必练二十一种思维题汇总思维拓展必备 1、 整除问题............................................共3题 2、 质数与合数.........................................共4题 3、 分解质因数.........................................共4题 4、 最大公因数与最小公倍数....................共4题 5、 最值问题.............................................共5题 6、 位置原理.............................................共5题 7、 复杂的周期问题..................................共4题 8、 逻辑推理............................................共4题 9、 长方体，正方体（基础）....................共4题 10、 长方体，正方体（提高）....................共4题 11、 巧求面积.........................................共4题 12、 列方程解应用题（方法详解）..........共4题 13、 列方程解应用题（分数应用题）.......共4题 14、 列方程解应用题（行程应用题）.......共4题 15、 归一问题.........................................共4题 16、 归总问题.........................................共4题 17、 盈亏问题（基础）...........................共4题 18、 盈亏问题（提高）...........................共4题 19、 假设法解应用题..............................共4题 20、 分数应用题（提高）.......................共4题 21、 概率问题（提高）........................共4题 一、整除问题 1. 下面有9个自然数：15，35，80，152，651，434，4375，9064，24125。在这些自然数中，请问： 被2整除的有（ ）；被3整除的有（ ）； 被4整除的有（ ）； 被5整除的有（ ）； 被8整除的有（ ）。 2. 一个三位数 的十位数字未知，请分别根据下列要求找出“□”中合适的取值： (1) 如果要求这个三位数能被3整除，“□”可能等于多少？ (2) 如果要求这个三位数能被4整除，“□”可能等于多少？ (3) 这个三位数有没有可能同时被3和4整除？如果有可能，“□”可能等于多少？ 3. 是一个四位数，数学老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9，11，8整除。”问：数学老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？ 二、质数与合数 1. 一个两位质数，它的个位和十位上的两个数字相差6，那么这个两位数可能是多少？ 2. 两个两位质数的和是30，那么这两个质数的积最大是多少？ 3.一个两位质数的两个数字交换位置后，仍然是一个质数，请写出所有这样的质数。 4. 两个质数的和是25，这两个质数各是多少？ 三、分解质因数 1. 请把下面的数分解质因数： (1) 210 (2) 450 2. 三个自然数的乘积为84，其中两个数的和正好等于另一个数。求这三个数。 3. 三个连续自然数的积等于39270，这三个连续自然数的和等于多少？ 4. a.b、c是三个不同的质数，且 a × b × c = 110，那么这三个质数的和是多少？ 四、最大公因数与最小公倍数 1. 计算下面各组数的最大公因数与最小公倍数。 (1) 6,9 (2) 6,18 (3) 70,80 (4) 28,44,260 2. 教师节到了，校工会买了320个苹果、240个橘子、200个香蕉来慰问退休老职工。请问：这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，苹果、橘子、香蕉各有多少个？ 3. 张阿姨把225个苹果、350个梨和150个橘子平均分给小朋友们，最后剩下9个苹果、26个梨和6个橘子没分出去。请问：每个小朋友分了多少个苹果？ 4. 墨莫和小高在黑板上各写了一个自然数，它们的最大公约数是42，最小公倍数是168。那么这两个数的和是多少？ 五、最值问题 1. 两个自然数的和是19，这两个数的乘积最大是多少？ 2. 阿雅用26根1厘米长的小木棍围成一个长方形，这个长方形的面积最大是多少？ 3. 两个自然数的积是54，这两个数的和最小是多少？ 4. 若干根1厘米长的小木棍摆一个长方形，规定长方形的面积是24平方厘米。如果要求用去的小木棍最少，那么用去的小木棍的总长度是多少厘米？ 5. 用1、2、3、4、5、6、7、8这8个数字组成两个四位数，要使这两个四位数的乘积最大，那么这两个四位数各是多少？ 六、位值原理 1. 一个两位数等于它数字和的5倍，求这个两位数。 2. 一个四位数，在它的个位后面再添上数字“0””可以得到一个五位数，这个五位数与四位数的和等于24684，这个四位数是多少？ 3. 把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数，新数与原数的和恰好是某个自然数的平方。请问：这个和是多少？ 4. 如果 488...84（中间有 n 个8）是9的倍数，那么 n 最小是几？ 七、复杂的周期问题 1. 在一根绳子上依次穿2颗红珠、3颗白珠、5颗黑珠，并按此方式重复，如果从头开始一共穿了77颗珠子，那么这77颗珠子中白珠比黑珠少多少颗？ 2. 伸出右手，然后从大拇指起数数，当数到200的时候，正好数到哪根手指？ （如图：从大拇指开始，依次数到小指再返回） 3. 2010年6月1日是星期二，2010年8月1日是星期几？ 4. 如图所示，用红、黄、蓝3种颜色的彩笔，按规律给表格染色。第20行和第30列交叉处的方格所染的是什么颜色？ （表格按行循环：红黄蓝红黄…） 八、逻辑推理 1. 甲、乙、丙三位老师每人教语文、数学和英语中的一科。已知： (1) 甲老师不教英语； (2) 教英语的是一名男老师； (3) 丙是一位女老师，她和数学老师是好朋友。 请判断：甲老师教（ ） ，乙老师教（ ） ，丙老师教（ ） 。 2. 甲、乙、丙三人进行象棋比赛，并决出了一、二、三名。已知： (1) 甲比乙的名次靠前； (2) 丙喜欢踢足球； (3) 乙每天骑自行车上班； (4) 第二名不会骑自行车，也不喜欢踢足球。 请判断：第一名是（ ），第二名是（ ），第三名是（ ）。 3. 在一次跳远比赛前，天天、阿雅和皮皮三名选手预测比赛名次。 天天说：“我肯定得第一。” 阿雅说：“我不可能得第一。” 皮皮说：“我比天天跳得远。” 比赛结束后，只有一名选手的预测是正确的，而且三人没有并列名次。这次比赛谁得了第一名？ 3. 小猫、小狗和小猪进行百米赛跑。赛后问三只小动物谁是第一名，小猫说：“我第一。”小狗说：“我第一。”小猪说：“我和小狗都不是第一。””三只小动物中只有一只小动物说的是真话。这次比赛谁得了第一名？ 九、长方体、正方体（基础） 1. (1) 一个长方体的长、宽、高分别为5厘米、2厘米和3厘米，该长方体的表面积为多少平方厘米？ (2) 一个正方体的表面积为96平方米，该正方体的棱长为多少米？ 2. 如图，在一个长、宽、高分别为5分米、6分米、5分米的长方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个立体图形的表面积。 （图示：长方体上方居中放置小正方体） 3. (1) 一个长方体的长、宽、高分别是2分米、3分米和5分米，这个长方体的体积是多少立方分米？ (2) 一个正方体的棱长为4分米，这个正方体的体积是多少立方分米？ 4. 如图（单位：分米），在一个棱长为10的正方体上截去一个长为8、宽为3、高为2的小长方体，那么剩下的几何体的体积是多少？ 十、长方体、正方体（提高） 1. 如图，一个正方体木块的棱长是12米，将它平行于上、下面切一刀，平行于左、右面切两刀，平行于前、后面切三刀，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？ 2. 如图，有一个棱长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个棱长为3厘米的小正方体后，表面积变为多少平方厘米？ 3. 如图，一个正方体被切成36个完全相同的小长方体，这些小长方体的表面积之和是500平方厘米，那么原正方体的体积是多少立方厘米？ 4. 如图，一个底面长20分米、宽8分米、高15分米的长方体水池，里面放着一个棱长为4分米的正方体铁块（完全浸没），此时水面的高度是10分米。如果把铁块从水池中拿出，水面高度会变为几分米？ 十一、巧求面积 1. 如图，校园中间有个正方形花坛，花坛的四周铺了1米宽的水泥路。如果水泥路的总面积是24平方米，那么花坛的面积是几平方米？ 2. 如图，长方形ABCD的面积是60平方厘米，三角形ABE的面积是18平方厘米，三角形DEC的面积是多少平方厘米？ 3. 如图，在长方形ABCD中，三角形EBC的面积是30cm2，三角形ABE的面积是10cm2，平行四边形ECFD的面积是多少平方厘米？ 4. 如图，平行四边形的底边长为15厘米，这条边上的高为6厘米，一条线段将此平行四边形分成了两部分，它们的面积相差18平方厘米，请问：梯形的上底是多少厘米？ 十二、列方程解应用题——方法讲解 1. 有甲、乙、丙三所小学的同学来参加“幼苗杯”数学邀请赛，其中甲校参赛人数比乙校多5人，比丙校多7人。如果乙、丙两校一共有40人参加比赛，那么甲学校有多少人参加比赛？ 2. 刘老师给大家布置了若干道数学题作为寒假作业，寒假快结束的时候，墨莫已经做完48道，萱萱则做完40道。如果萱萱未做的题数是墨莫的3倍，那么老师一共布置了多少道题？ 3. 鸡兔同笼，鸡的只数是兔的3倍，一共有120条腿。鸡和兔各有多少只？ 4. 在一个减法算式里，被减数、减数与差的和是240，减数是差的5倍。则减数是多少？ 十三、列方程解应用题——分数应用题 1. 某校参加数学竞赛的女生比男生多28人，男生全部得优，女生的 得优，男、女生得优的一共有42人，男、女生参赛的各有多少人？ 2. 六年级甲班比乙班少4人，甲班有 的人、乙班有 的人参加课外数学组，两个班参加课外数学组的共有29人，甲、乙两班共有多少人？ 3. 某小学去年参加无线电小组的同学比参加航模小组的同学多5人。今年参加无线电小组的同学减少 ，参加航模小组的人数减少 ，这样，两个组的同学一样多。去年两个小组各有多少人？ 5. 某车间昨天生产的甲种零件比乙种零件多700个。今天生产的甲种零件比昨天少 ，生产的乙种零件比昨天增加 ，两种零件共生产了2065个。昨天两种零件共生产了多少个？ 十四、列方程解应用题——行程应用题 1. A、B两地相距960千米，甲、乙两辆汽车分别从两地同时出发，相向开出，6小时后两车相遇；已知甲车的速度是乙车的1.5倍。求甲、乙两车的速度各是多少？ 2. 甲乙二人从相距100千米的两地出发相向而行，他们在出发的5小时后相遇，已知甲比乙每小时多行2千米，求两人的速度。 3. 甲乙从相距100千米的两地相向而行，甲先出发1小时，他们在乙出发4小时后相遇，已知甲比乙每小时多行2km，求两人的速度。 4. 张老师从家步行去学校，如果每分钟走25米，可以按预定时间到达学校，如果每分钟走20米，则比预定时间迟到10分钟，求张老师家离学校的距离。 十五、归一问题 1. 3个和尚3天喝3桶水，9个和尚9天喝几桶水？ 2. 3个和尚4天喝5桶水，几个和尚8天喝20桶水？ 3. 2辆卡车7趟可以运送56吨沙土。现在增加了3辆相同的卡车，在运输效率不变的情况下，这些卡车4趟可以运送多少吨沙土？ 4. 5辆大卡车7次运煤140吨，4辆小卡车8次运煤48吨。现有煤77吨，用一辆大卡车和2辆小卡车同时运，几次可以运完？ 十六、归总问题 1. 修一段路，原计划12人12天完成，现在要提前3天完成，需要增加多少人？ 2. 修一条公路，预计8个工人36天可以完成，修了2天后，因为下了2天雨就停工2天，若在12天内完成，那还需要增加多少个工人？ 3. 修一条公路，原计划60人工作，80天完成，现在工作20天后，又增加了15人，这样剩下的部分再用几天可以完成？ 4. 3条大船4条小船一次一共运了24只熊猫。9条大船5条小船一次一共运了51只熊猫。每条小船和大船一次分别运几只熊猫？ 十七、盈亏问题（基础） 1. 小猪分苹果，如果每只小猪分9个苹果，还剩下40个苹果；如果每只小猪分12个，就只剩下10个苹果。那么一共有多少只小猪？一共有多少个苹果？ 2. 老师给学生发笔记本，如果每人发8本，还少24本；如果每人发6本，还少10本。那么一共有多少名学生？一共有多少本笔记本？ 3. 老师拿来一些香蕉，分给每个学生5根之后，还少10根。每个人6根，还少20根。问：一共有多少个学生？一共有几根香蕉？ 4. 大象分香蕉，如果每只大象分5根，还多70根香蕉；如果每只大象分9根，还少10根香蕉。那么一共有多少只大象？一共有多少根香蕉？ 十八、盈亏问题（提高） 1. 学生去露营，若每个帐篷住4人，还少4个帐篷；若每个帐篷住7人，就多出2个帐篷。那么一共有多少个帐篷？一共有多少名学生？ 2. 小白兔分萝卜，如果每只小白兔分2个，还剩下12个萝卜；如果兔子少2只，每只兔子就可以多分2个胡萝卜。那么一共有几只小白兔，几个萝卜？ 3. 小明计划在若干天内完成一本习题集，如果他每天做5道题，那么最后两天每天要做10道题才能完成；如果他每天做6道题，恰好可以提前一天完成。请问：这本习题集中共有多少道题？ 4. 学生去植树，如果每人种2棵树，还多10棵树；如果其中2人各种3棵，其余的人各种4棵，就恰好种完所有的树。那么一共有多少名学生？一共有多少棵树？ 十九、假设法解应用题 1. 面值是2元、5元的人民币共11张，共40元。面值是2元、5元的人民币各有多少张？ 2. 张老师玩投飞镖比赛，规定每中一次记10分，脱靶一次倒扣6分。张老师投了10次，共得了20分，请问张老师中了几次？ 3. 我国明代的《算法统宗》中记载有一个“和尚分馒头”的问题：大和尚与小和尚共100名，分配100个馒头，大和尚每人给3个，小和尚每3人给1个。问大小和尚各有多少人？ 4. 1个大人一餐吃2个面包，2个小孩一餐吃1个面包，大人和小孩共有33人，一餐刚好吃33个面包。问：有多少个小孩？ 二十、分数应用题（提高） 1. 图书馆有600本故事书需要运走，第一天运走了全部的 ，第二天运走了剩下的 ，最后还剩下多少本书没运走？ 2. 一根木杆，第一次截去了全长的 ，第二次截去了剩下的 。 (1) 还剩下全长的几分之几？ (2) 若这时剩下木杆的长为28厘米，问：木杆原来的长为多少厘米？ 3. 一根木杆，第一次截去了全长的 ，第二次截去了剩下的 多5厘米，还剩下40厘米。问：木杆原来的长是多少厘米？ 4. 甲数是乙数的 ，乙数是丙数的 ，甲、乙、丙三个数的和是152，甲、乙、丙三个数各是多少？ 二十一、概率问题（提高） 1. 在数学兴趣小组中有女生5名，男生3名，从中随机选取3个小朋友去比赛，请问： (1) 选出3个女生的概率是多少？ (2) 选出1个女生，2个男生的概率是多少？ (3) 女生中小红一定会参加比赛，剩下的选择1个男生和1个女生的概率是多少？ 2. 一个袋中装有2个红球，3个蓝球和5个白球，它们除颜色外完全相同，现在从中任意摸出两个球： (1) 颜色一样的概率是多少？ (2) 摸出一个红球，一个白球的概率是多少？ (3) 不摸出白球的概率是多少？ 3. 3个女生，5个男生随机站成一排拍照，请问： (1) 女生站在一起的概率是多少？ (2) 女生互不相邻的概率是多少？ (3) 王刚站在边缘的概率是多少？ 【参考答案】 一、整除问题 1.下面有9个自然数：15，35，80，152，651，434，4375，9064，24125。在这些自然数中，请问： 被2整除的有（  ）；被3整除的有（  ）； 被4整除的有（  ）；被5整除的有（  ）； 被8整除的有（  ）。 ✅ 答案 被2整除：80，152，434，9064 被3整除：15，651 被4整除：80，152，9064 被5整除：15，35，80，4375，24125 被8整除：80，152，9064 解析 ① 偶数能被2整除：看个位 0,2,4,6,8。 ② 各位数字之和能被3整除：15→1+5=6，651→6+5+1=12。 ③ 末两位能被4整除：80,52,64。 ④ 末位是0或5能被5整除。 ⑤ 末三位能被8整除：80→080，152→152，9064→064=64。 2.一个三位数 6☑4 的十位数字未知，请分别根据下列要求找出“□”中合适的取值： (1) 如果要求这个三位数能被3整除，“□”可能等于多少？ (2) 如果要求这个三位数能被4整除，“□”可能等于多少？ (3) 这个三位数有没有可能同时被3和4整除？如果有可能，“□”可能等于多少？ ✅ 答案 (1) □ = 2，5，8 (2) □ = 0，2，4，6，8 (3) 有可能，□ = 2，8 📘 解析 (1) 6+□+4 = 10+□ 能被3整除，□=2,5,8。 (2) 末两位 □4 能被4整除，□=0,2,4,6,8。 (3) 取交集 {2,5,8} ∩ {0,2,4,6,8} = {2,8}。 3.173□ 是一个四位数，数学老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9，11，8整除。”问：数学老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？ ✅ 答案21 📘 解析 ① 能被9整除：1+7+3+□ = 11+□，□=7（18）； ② 能被11整除：(1+3)−(7+□) = −3−□，□=8（−11）； ③ 能被8整除：末三位73□，736÷8=92，□=6； ④ 7+8+6 = 21。 二、质数与合数质数判定 1.一个两位质数，它的个位和十位上的两个数字相差6，那么这个两位数可能是多少？ ✅ 答案 17，71 📘 解析 两位质数中，个位与十位差6:17（7−1=6），71（7−1=6）。 2.两个两位质数的和是30，那么这两个质数的积最大是多少？ ✅ 答案 221 📘 解析 30 = 11+19 = 13+17，积分别为 209 和 221，最大为 221（13×17）。 3.一个两位质数的两个数字交换位置后，仍然是一个质数，请写出所有这样的质数。 ✅ 答案 11，13，17，31，37，71，73，79，97 📘 解析 两位质数中，交换后仍为质数的有：11，13↔31，17↔71，37↔73，79↔97。 4.两个质数的和是25，这两个质数各是多少？ ✅ 答案 2 和 23 📘 解析 25是奇数，两个质数中必有一个是2，另一个为23，且23是质数。 三、分解质因数质因数分解 1.请把下面的数分解质因数： (1) 210 (2) 450 ✅ 答案 (1) 210 = 2×3×5×7 (2) 450 = 2×3²×5² 2.三个自然数的乘积为84，其中两个数的和正好等于另一个数。求这三个数。 ✅ 答案 3，4，7 📘 解析 84 = 3×4×7，且 3+4=7，满足条件。 3.三个连续自然数的积等于39270，这三个连续自然数的和等于多少？ ✅ 答案 102 📘 解析 39270 = 33×34×35，和 = 33+34+35 = 102。 4.a、b、c是三个不同的质数，且 a×b×c = 110，那么这三个质数的和是多少？ ✅ 答案 18 📘 解析 110 = 2×5×11，和 = 2+5+11 = 18。 四、最大公因数与最小公倍数GCD · LCM 1.计算下面各组数的最大公因数与最小公倍数。 (1) 6,9 (2) 6,18 (3) 70,80 (4) 28,44,260 ✅ 答案 (1) gcd=3, lcm=18 (2) gcd=6, lcm=18 (3) gcd=10, lcm=560 (4) gcd=4, lcm=4004 2.教师节到了，校工会买了320个苹果、240个橘子、200个香蕉来慰问退休老职工。请问：这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，苹果、橘子、香蕉各有多少个？ ✅ 答案 最多40份，每份：苹果8个，橘子6个，香蕉5个 📘 解析 gcd(320,240,200)=40，每份苹果320÷40=8，橘子240÷40=6，香蕉200÷40=5。 3.张阿姨把225个苹果、350个梨和150个橘子平均分给小朋友们，最后剩下9个苹果、26个梨和6个橘子没分出去。请问：每个小朋友分了多少个苹果？ ✅ 答案 6个 📘 解析 分析：苹果216，梨324，橘子144。gcd(216,324,144)=36，每个小朋友分苹果216÷36=6个。 4.墨莫和小高在黑板上各写了一个自然数，它们的最大公约数是42，最小公倍数是168。那么这两个数的和是多少？ ✅ 答案 210 📘 解析 设两数为42a，42b，gcd(a,b)=1，42ab=168 → ab=4，a=1,b=4，两数为42和168，和=210。 五、最值问题最大 · 最小 1.两个自然数的和是19，这两个数的乘积最大是多少？ ✅ 答案 90 📘 解析 两数越接近积越大，9×10=90。 2.阿雅用26根1厘米长的小木棍围成一个长方形，这个长方形的面积最大是多少？ ✅ 答案 42 平方厘米 📘 解析 周长26，长+宽=13，面积最大时6×7=42。 3.两个自然数的积是54，这两个数的和最小是多少？ ✅ 答案 15 📘 解析 54=6×9，和=15；其他组合和更大。 4.若干根1厘米长的小木棍摆一个长方形，规定长方形的面积是24平方厘米。如果要求用去的小木棍最少，那么用去的小木棍的总长度是多少厘米？ ✅ 答案 20 厘米 📘 解析 面积24，长宽取4和6时周长最小，2×(4+6)=20。 5.用1、2、3、4、5、6、7、8这8个数字组成两个四位数，要使这两个四位数的乘积最大，那么这两个四位数各是多少？ ✅ 答案 8531 和 7642 📘 解析 两数尽量接近且高位尽量大，8531×7642 最大。 六、位值原理数位推理 1.一个两位数等于它数字和的5倍，求这个两位数。 ✅ 答案 45 📘 解析 10a+b=5(a+b) → 5a=4b，a=4,b=5，两位数为45。 2.一个四位数，在它的个位后面再添上数字“0”可以得到一个五位数，这个五位数与四位数的和等于24684，这个四位数是多少？ ✅ 答案 2244 📘 解析 设四位数为x，10x+x=24684 → 11x=24684 → x=2244。 3.把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数，新数与原数的和恰好是某个自然数的平方。请问：这个和是多少？ ✅ 答案 121 📘 解析 设两位数为10a+b，新数为10b+a，和=11(a+b)，且为平方数，a+b=11，和=121。 4.如果 488...84（中间有 n 个8）是9的倍数，那么 n 最小是几？ ✅ 答案 7 📘 解析 数字和 = 4+8n+8+4 = 8n+16 = 8(n+2)，能被9整除需 n+2 是9的倍数，n最小为7。 七、复杂的周期问题周期规律 1.在一根绳子上依次穿2颗红珠、3颗白珠、5颗黑珠，并按此方式重复，如果从头开始一共穿了77颗珠子，那么这77颗珠子中白珠比黑珠少多少颗？ ✅ 答案 13颗 📘 解析 周期10颗：2红+3白+5黑。77=7×10+7，白珠=7×3+3=24，黑珠=7×5+2=37，差=13。 2.伸出右手，然后从大拇指起开始数数，当数到200的时候，正好数到哪根手指？ ✅ 答案 大拇指 📘 解析 周期为8（大拇指→小指→大拇指），200÷8=25余0，对应大拇指。 3.2010年6月1日是星期二，2010年8月1日是星期几？ ✅ 答案 星期日 📘 解析 6月30天+7月31天=61天，61÷7=8余5，星期二+5=星期日。 4.如图所示，用红、黄、蓝3种颜色的彩笔，按规律给表格染色。第20行和第30列交叉处的方格所染的是什么颜色？ ✅ 答案 蓝色 📘 解析 每行按红黄蓝循环，第30列：30÷3=10余0 → 蓝色。 八、逻辑推理判断 1.甲、乙、丙三位老师每人教语文、数学和英语中的一科。已知：(1)甲不教英语；(2)教英语的是一名男老师；(3)丙是一位女老师，她和数学老师是好朋友。请判断：甲老师教（ ），乙老师教（ ），丙老师教（ ）。 ✅ 答案 甲教数学，乙教英语，丙教语文 📘 解析 丙是女老师且不教英语、不教数学 → 丙教语文；甲不教英语且不教语文 → 甲教数学；乙教英语。 2.甲、乙、丙三人进行象棋比赛，并决出了一、二、三名。已知：(1)甲比乙的名次靠前；(2)丙喜欢踢足球；(3)乙每天骑自行车上班；(4)第二名不会骑自行车，也不喜欢踢足球。请判断：第一名是（ ），第二名是（ ），第三名是（ ）。 ✅ 答案 第一名丙，第二名甲，第三名乙 📘 解析 乙骑自行车、丙喜欢足球，所以乙和丙都不是第二名 → 甲是第二名；甲比乙靠前，乙是第三名，丙是第一名。 3.在一次跳远比赛前，天天、阿雅和皮皮三名选手预测比赛名次。天天说：“我肯定得第一。”阿雅说：“我不可能得第一。”皮皮说：“我比天天跳得远。”比赛结束后，只有一名选手的预测是正确的，而且三人没有并列名次。这次比赛谁得了第一名？ ✅ 答案 阿雅 📘 解析 只有一人正确：若天天第一则天天和阿雅都正确（矛盾）；若皮皮第一则阿雅和皮皮都正确（矛盾）；若阿雅第一，天天错，阿雅错，皮皮对（唯一正确），所以阿雅第一。 4.小猫、小狗和小猪进行百米赛跑。赛后问三只小动物谁是第一名，小猫说：“我第一。”小狗说：“我第一。”小猪说：“我和小狗都不是第一。”三只小动物中只有一只小动物说的是真话。这次比赛谁得了第一名？ ✅ 答案 小狗 📘 解析 若小猫第一：小猫真，小猪真（2真，矛盾）；若小狗第一：小猫假，小狗真，小猪假（1真，满足）；若小猪第一：三人都假（0真，矛盾）。所以小狗第一。 九、长方体、正方体（基础）表面积 · 体积 1.(1) 一个长方体的长、宽、高分别为5厘米、2厘米和3厘米，该长方体的表面积为多少平方厘米？ (2) 一个正方体的表面积为96平方米，该正方体的棱长为多少米？ ✅ 答案 (1) 62 平方厘米   (2) 4 米 📘 解析 (1) 2(5×2+5×3+2×3)=2(10+15+6)=62。 (2) 6a²=96 → a²=16 → a=4. 2.如图，在一个长、宽、高分别为5分米、6分米、5分米的长方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个立体图形的表面积。 ✅ 答案 234 平方分米 📘 解析 长方体表面积 2(5×6+5×5+6×5)=170，正方体表面积 6×4²=96，接触面积 4×4=16，总面积=170+96−2×16=234。 3.(1) 一个长方体的长、宽、高分别是2分米、3分米和5分米，这个长方体的体积是多少立方分米？ (2) 一个正方体的棱长为4分米，这个正方体的体积是多少立方分米？ ✅ 答案 (1) 30 立方分米   (2) 64 立方分米 📘 解析 (1) 2×3×5=30。 (2) 4³=64. 4.如图（单位：分米），在一个棱长为10的正方体上截去一个长为8、宽为3、高为2的小长方体，那么剩下的几何体的体积是多少？ ✅ 答案 952 立方分米 📘 解析 10³ − 8×3×2 = 1000 − 48 = 952。 十、长方体、正方体（提高）切割 · 挖洞 1.如图，一个正方体木块的棱长是12米，将它平行于上、下面切一刀，平行于左、右面切两刀，平行于前、后面切三刀，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？ ✅ 答案 2592 平方米 📘 解析 共切1+2+3=6刀，每刀增加2个12×12的面，增加12×12²=1728，原表面积6×12²=864，总和=864+1728=2592。 2.如图，有一个棱长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个棱长为3厘米的小正方体后，表面积变为多少平方厘米？ ✅ 答案 2454 平方厘米 📘 解析 原表面积 6×20²=2400。角上挖不变；棱上挖增加2×3²=18；面上挖增加4×3²=36；总计 2400+18+36=2454。 3.如图，一个正方体被切成36个完全相同的小长方体，这些小长方体的表面积之和500平方厘米，那么原正方体的体积是多少立方厘米？ ✅ 答案 125 立方厘米 📘 解析 36=3×3×4，切法对应m+n+p=10。表面积和=2a²(m+n+p)=500 → 20a²=500 → a²=25 → a=5，体积=125。 4.如图，一个底面长20分米、宽8分米、高15分米的长方体水池，里面放着一个棱长为4分米的正方体铁块（完全浸没），此时水面的高度是10分米。如果把铁块从水池中拿出，水面高度会变为几分米？ ✅ 答案 9.6 分米 📘 解析 铁块体积4³=64，水面下降64÷(20×8)=0.4，新高度10−0.4=9.6。 十一、巧求面积模型 1.如图，校园中间有个正方形花坛，花坛的四周铺了1米宽的水泥路。如果水泥路的总面积是24平方米，那么花坛的面积是几平方米？ ✅ 答案 25 平方米 📘 解析 设花坛边长a，(a+2)²−a²=24 → 4a+4=24 → a=5，面积25。 2.如图，长方形ABCD的面积是60平方厘米，三角形ABE的面积是18平方厘米，三角形DEC的面积是多少平方厘米？ ✅ 答案 12 平方厘米 📘 解析 △ABE+△DEC = 长方形面积的一半 = 30，△DEC=30−18=12。 3.如图，在长方形ABCD中，三角形EBC的面积是30cm²，三角形ABE的面积是10cm²，平行四边形ECFD的面积是多少平方厘米？ ✅ 答案 30 平方厘米 📘 解析 平行四边形ECFD与△EBC同底等高，面积相等，为30。 4.如图，平行四边形的底边长为15厘米，这条边上的高为6厘米，一条线段将此平行四边形分成了两部分，它们的面积相差18平方厘米，请问：梯形的上底是多少厘米？ ✅ 答案 3 厘米 📘 解析 设梯形上底x，面积差 = (x+15)×6/2 − (15−x)×6/2 = 6x = 18 → x=3。 十二、列方程解应用题——方法讲解方程建模 1.有甲、乙、丙三所小学的同学来参加“幼苗杯”数学邀请赛，其中甲校参赛人数比乙校多5人，比丙校多7人。如果乙、丙两校一共有40人参加比赛，那么甲学校有多少人参加比赛？ ✅ 答案 26 人 📘 解析 甲=乙+5=丙+7，乙+丙=40 → 乙=甲−5，丙=甲−7 → 2甲−12=40 → 甲=26。 2.刘老师给大家布置了若干道数学题作为寒假作业，寒假快结束的时候，墨莫已经做完48道，萱萱则做完40道。如果萱萱未做的题数是墨莫的3倍，那么老师一共布置了多少道题？ ✅ 答案 52 道 📘 解析 设总题数x，x−40=3(x−48) → x−40=3x−144 → 2x=104 → x=52。 3.鸡兔同笼，鸡的只数是兔的3倍，一共有120条腿。鸡和兔各有多少只？ ✅ 答案 鸡36只，兔12只 📘 解析 设兔x只，鸡3x只，4x+2×3x=10x=120 → x=12，鸡36。 4.在一个减法算式里，被减数、减数与差的和是240，减数是差的5倍。则减数是多少？ ✅ 答案 100 📘 解析 被减数=减数+差=6差，6差+5差+差=12差=240 → 差=20，减数=100。 十三、列方程解应用题——分数应用题分数方程 1.某校参加数学竞赛的女生比男生多28人，男生全部得优，女生的3/4得优，男、女生得优的一共有42人，男、女生参赛的各有多少人？ ✅ 答案 男生12人，女生40人 📘 解析 设男生x，女生x+28，x + 3/4(x+28)=42 → 7x/4+21=42 → x=12，女生40。 2.六年级甲班比乙班少4人，甲班有1/3的人、乙班有1/4的人参加课外数学组，两个班参加课外数学组的共有29人，甲、乙两班共有多少人？ ✅ 答案 100 人 📘 解析 设甲班x，乙班x+4，x/3+(x+4)/4=29 → 7x+12=348 → x=48，乙52，共100。 3.某小学去年参加无线电小组的同学比参加航模小组的同学多5人。今年参加无线电小组的同学减少1/5，参加航模小组的人数减少1/10，这样，两个组的同学一样多。去年两个小组各有多少人？ ✅ 答案 航模40人，无线电45人 📘 解析 设航模x，无线电x+5，(x+5)×4/5 = x×9/10 → 8(x+5)=9x → x=40，无线电45。 4.某车间昨天生产的甲种零件比乙种零件多700个。今天生产的甲种零件比昨天少1/10，生产的乙种零件比昨天增加3/20，两种零件共生产了2065个。昨天两种零件共生产了多少个？ ✅ 答案 2100 个 📘 解析 设昨天乙x，甲x+700，(x+700)×9/10 + x×23/20 = 2065 → 41x/20 + 630 = 2065 → x=700，昨天共2100。 十四、列方程解应用题——行程应用题行程方程 1.A、B两地相距960千米，甲、乙两辆汽车分别从两地同时出发，相向开出，6小时后两车相遇；已知甲车的速度是乙车的1.5倍。求甲、乙两车的速度各是多少？ ✅ 答案 甲96千米/时，乙64千米/时 📘 解析 设乙速x，甲速1.5x，6(x+1.5x)=960 → 15x=960 → x=64，甲96。 2.甲乙二人从相距100千米的两地出发相向而行，他们在出发的5小时后相遇，已知甲比乙每小时多行2千米，求两人的速度。 ✅ 答案 甲11千米/时，乙9千米/时 📘 解析 设乙速x，甲速x+2，5(x+x+2)=100 → 10x+10=100 → x=9，甲11。 3.甲乙从相距100千米的两地相向而行，甲先出发1小时，他们在乙出发4小时后相遇，已知甲比乙每小时多行2km，求两人的速度。 ✅ 答案 甲12千米/时，乙10千米/时 📘 解析 设乙速x，甲速x+2，甲走5小时，乙走4小时：5(x+2)+4x=100 → 9x=90 → x=10，甲12。 4.张老师从家步行去学校，如果每分钟走25米，可以按预定时间到达学校，如果每分钟走20米，则比预定时间迟到10分钟，求张老师家离学校的距离。 ✅ 答案 1000 米 📘 解析 设距离x，x/20 − x/25 = 10 → x/100=10 → x=1000。 十五、归一问题归一法 1.3个和尚3天喝3桶水，9个和尚9天喝几桶水？ ✅ 答案 27 桶 📘 解析 1个和尚1天喝1/3桶，9个和尚9天喝9×9×1/3=27桶。 2.3个和尚4天喝5桶水，几个和尚8天喝20桶水？ ✅ 答案 6 个 📘 解析 1个和尚1天喝5/12桶，8天喝20桶需要20÷(8×5/12)=6个。 3.2辆卡车7趟可以运送56吨沙土。现在增加了3辆相同的卡车，在运输效率不变的情况下，这些卡车4趟可以运送多少吨沙土？ ✅ 答案 80 吨 📘 解析 1辆1趟运4吨，5辆4趟运5×4×4=80吨。 4.5辆大卡车7次运煤140吨，4辆小卡车8次运煤48吨。现有煤77吨，用一辆大卡车和2辆小卡车同时运，几次可以运完？ ✅ 答案 11 次 📘 解析 大车1次4吨，小车1次1.5吨，1大+2小一次运4+3=7吨，77÷7=11次。 十六、归总问题总量不变 1.修一段路，原计划12人12天完成，现在要提前3天完成，需要增加多少人？ ✅ 答案 4 人 📘 解析 总工作量144人天，9天完成需16人，增加4人。 2.修一条公路，预计8个工人36天可以完成，修了2天后，因为下了2天雨就停工2天，若在12天内完成，那还需要增加多少个工人？ ✅ 答案15 人 📘 解析 总工作量288人天，修2天用16人天，剩余272，需12天完成每天23人，增加15人。 3.修一条公路，原计划60人工作，80天完成，现在工作20天后，又增加了15人，这样剩下的部分再用几天可以完成？ ✅ 答案48 天 📘 解析 总工作量4800人天，20天用1200，剩3600，75人需48天。 4.3条大船4条小船一次一共运了24只熊猫。9条大船5条小船一次一共运了51只熊猫。每条小船和大船一次分别运几只熊猫？ ✅ 答案大船4只，小船3只 📘 解析 3x+4y=24，9x+5y=51 → 相减得 −7y=−21 → y=3，x=4。 十七、盈亏问题（基础）盈亏模型 1.小猪分苹果，如果每只小猪分9个苹果，还剩下40个苹果；如果每只小猪分12个，就只剩下10个苹果。那么一共有多少只小猪？一共有多少个苹果？ ✅ 答案10只小猪，130个苹果 📘 解析 9x+40=12x+10 → 3x=30 → x=10，苹果130。 2.老师给学生发笔记本，如果每人发8本，还少24本；如果每人发6本，还少10本。那么一共有多少名学生？一共有多少本笔记本？ ✅ 答案7名学生，32本笔记本 📘 解析 8x−24=6x−10 → 2x=14 → x=7，笔记本32。 3.老师拿来一些香蕉，分给每个学生5根之后，还少10根。每个人6根，还少20根。问：一共有多少个学生？一共有几根香蕉？ ✅ 答案10名学生，40根香蕉 📘 解析 5x−10=6x−20 → x=10，香蕉40。 4.大象分香蕉，如果每只大象分5根，还多70根香蕉；如果每只大象分9根，还少10根香蕉。那么一共有多少只大象？一共有多少根香蕉？ ✅ 答案20只大象，170根香蕉 📘 解析 5x+70=9x−10 → 4x=80 → x=20，香蕉170。 十八、盈亏问题（提高）复杂盈亏 1.学生去露营，若每个帐篷住4人，还少4个帐篷；若每个帐篷住7人，就多出2个帐篷。那么一共有多少个帐篷？一共有多少名学生？ ✅ 答案10个帐篷，56名学生 📘 解析 4(x+4)=7(x−2) → 4x+16=7x−14 → 3x=30 → x=10，学生56。 2.小白兔分萝卜，如果每只小白兔分2个，还剩下12个萝卜；如果兔子少2只，每只兔子就可以多分2个胡萝卜。那么一共有几只小白兔，几个萝卜？ ✅ 答案10只兔子，32个萝卜 📘 解析 2x+12=4(x−2) → 2x+12=4x−8 → 2x=20 → x=10，萝卜32。 3.小明计划在若干天内完成一本习题集，如果他每天做5道题，那么最后两天每天要做10道题才能完成；如果他每天做6道题，恰好可以提前一天完成。请问：这本习题集中共有多少道题？ ✅ 答案90 道 📘 解析 设计划x天，5(x−2)+20=6(x−1) → 5x+10=6x−6 → x=16，题数90。 4.学生去植树，如果每人种2棵树，还多10棵树；如果其中2人各种3棵，其余的人各种4棵，就恰好种完所有的树。那么一共有多少名学生？一共有多少棵树？ ✅ 答案6名学生，22棵树 📘 解析 2x+10=2×3+4(x−2)=4x−2 → 2x=12 → x=6，树22。 十九、假设法解应用题假设法 1.面值是2元、5元的人民币共11张，共40元。面值是2元、5元的人民币各有多少张？ ✅ 答案2元5张，5元6张 📘 解析 设2元x张，5元y张，x+y=11，2x+5y=40 → 2(11−y)+5y=40 → y=6，x=5。 2.张老师玩投飞镖比赛，规定每中一次记10分，脱靶一次倒扣6分。张老师投了10次，共得了20分，请问张老师中了几次？ ✅ 答案5 次 📘 解析 设中x次，10x−6(10−x)=20 → 16x−60=20 → x=5。 3.我国明代的《算法统宗》中记载有一个“和尚分馒头”的问题：大和尚与小和尚共100名，分配100个馒头，大和尚每人给3个，小和尚每3人给1个。问大小和尚各有多少人？ ✅ 答案大和尚25人，小和尚75人 📘 解析 设大和尚x，小和尚100−x，3x+(100−x)/3=100 → 9x+100−x=300 → x=25，小75。 4.1个大人一餐吃2个面包，2个小孩一餐吃1个面包，大人和小孩共有33人，一餐刚好吃33个面包。问：有多少个小孩？ ✅ 答案22 个 📘 解析 设大人x，小孩33−x，2x+(33−x)/2=33 → 4x+33−x=66 → x=11，小孩22。 二十、分数应用题（提高）分数递推 1.图书馆有600本故事书需要运走，第一天运走了全部的1/3，第二天运走了剩下的1/4，最后还剩下多少本书没运走？ ✅ 答案300 本 📘 解析 第一天剩400，第二天运100，剩300。 2.一根木杆，第一次截去了全长的1/3，第二次截去了剩下的1/4。 (1) 还剩下全长的几分之几？ (2) 若这时剩下木杆的长为28厘米，问：木杆原来的长为多少厘米？ ✅ 答案(1) 1/2   (2) 56 厘米 📘 解析 (1) (1−1/3)(1−1/4)=2/3×3/4=1/2。 (2) 28÷1/2=56. 3.一根木杆，第一次截去了全长的1/3，第二次截去了剩下的1/4多5厘米，还剩下40厘米。问：木杆原来的长是多少厘米？ ✅ 答案90 厘米 📘 解析 设原长x，第一次剩2x/3，第二次截 x/6+5，剩余 x/2−5=40 → x=90。 4.甲数是乙数的5/6，乙数是丙数的3/4，甲、乙、丙三个数的和是152，甲、乙、丙三个数各是多少？ ✅ 答案甲40，乙48，丙64 📘 解析 甲=5/8丙，乙=3/4丙，甲乙丙和=19/8丙=152 → 丙=64，乙=48，甲=40。 二十一、概率问题（提高）组合概率 1.在数学兴趣小组中有女生5名，男生3名，从中随机选取3个小朋友去比赛，请问： (1) 选出3个女生的概率是多少？ (2) 选出1个女生，2个男生的概率是多少？ (3) 女生中小红一定会参加比赛，剩下的选择1个男生和1个女生的概率是多少？ ✅ 答案(1) 5/28   (2) 15/56   (3) 4/7 解析 总选法C(8,3)=56。 (1) C(5,3)/56=10/56=5/28. (2) C(5,1)C(3,2)/56=15/56. (3) 小红必选，从剩余4女中选1，3男中选1，C(4,1)C(3,1)/C(7,2)=12/21=4/7。 2.一个袋中装有2个红球，3个蓝球和5个白球，它们除颜色外完全相同，现在从中任意摸出两个球： (1) 颜色一样的概率是多少？ (2) 摸出一个红球，一个白球的概率是多少？ (3) 不摸出白球的概率是多少？ ✅ 答案(1) 14/45   (2) 2/9   (3) 2/9 📘 解析 总C(10,2)=45。 (1) [C(2,2)+C(3,2)+C(5,2)]/45=(1+3+10)/45=14/45. (2) C(2,1)C(5,1)/45=10/45=2/9. (3) 从5个非白球中摸2个：C(5,2)/45=10/45=2/9。 3.3个女生，5个男生随机站成一排拍照，请问： (1) 女生站在一起的概率是多少？ (2) 女生互不相邻的概率是多少？ (3) 王刚站在边缘的概率是多少？ ✅ 答案(1) 3/28   (2) 5/14   (3) 1/4 📘 解析 总排列8！。 (1) 女生捆绑：6!×3!8!=4320/40320=3/28. (2) 先排男生5!，6空位选3放女生：5!×C(6,3)×3!8!=14400/40320=5/14. (3) 王刚在左或右：2÷8=2/8=1/4。 学科网（北京）股份有限公司 $