预习手册 11《3.2 探索三角形相似的条件（二）》预习讲义 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本讲义聚焦三角形相似的AA、SAS、SSS、HL判定定理，通过类比三角形全等判定构建知识支架，系统梳理每种判定的适用条件、几何语言规范及易错点，如SAS需夹角相等，HL仅限直角三角形等核心内容。 资料以类比对比突出知识关联，用表格清晰呈现判定方法优先级，结合经典例题与分层练习，培养学生推理意识与应用能力。课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺，强化相似与全等的区别理解。

数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上预习手册11 《第3章图形的相似第2节探索三角形相似的条件（二）》预习讲义 一．学习目标 ( 1.熟记并理解四种三角形相似判定定理（AA、SAS、SSS、HL），区分每种判定的适用条件与易错点。 2.能根据题目已知条件，快速选择合适的判定方法，完成简单三角形相似证明与计算。 3.掌握相似判定与全等判定的类比区别，规避 “ 边边角 ” 判定相似的典型陷阱。 4.初步掌握直角三角形相似的专属HL判定，区分普通三角形与直角三角形判定差异。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.四大相似判定定理的内容、几何语言规范书写。 2.灵活运用AA、SAS、SSS判定任意三角形相似，运用HL判定直角三角形相似。 （二） 难点 1.SAS判定的核心易错点：必须是夹角相等，非夹角相等不能判定相似。 2.复杂图形中找准对应边、对应角，避免对应关系错乱。 3.区分全等（相等）与相似（成比例）判定条件的异同 ) 三．知识梳理 类比三角形全等的SSS、SAS、ASA、HL判定，猜想相似三角形的判定规律，相似核心是形状相同、大小成比例。 （一）两角分别相等判定相似（AA判定） 1.猜想 若两个三角形中有两组对应角分别相等，根据三角形内角和180°，第三组角必然相等，两个三角形形状完全相同，是否相似？ 【解析】三角形内角和固定为 180°，如果已经有两组对应角相等，剩下的第三组角也一定对应相等；三个角全部对应相等，三角形的形状就完全一样， 三角形相似判定定理。 2.定理总结（AA判定） 两角分别相等的两个三角形相似。 3.几何语言 在△ABC和△A'B'C'中 ∵∠A=∠A',∠B=∠B' ∴△ABC ∽△A'B'C' 4.极简结论 只要找到两个对应角相等，即可直接证相似，是做题最常用、最简单的判定方法。 （二）两边成比例且夹角相等判定相似（SAS相似判定） 1.对比辨析（重中之重易错点） 全等SAS：两边相等、夹角相等→全等 相似SAS：两边对应成比例、夹角相等→相似 2.关键思考 若两边成比例，不是夹角的角相等，三角形一定相似吗？ 结论：__________（填“一定”或“不一定”），此为考试高频陷阱！ 【解析】不一定，原因：两边对应成比例，但如果相等的角不是这两条边的夹角（也就是SSA的情况），画出的三角形会有两种不同的形状，无法保证三角形相似，这是相似判定里最常见的陷阱。 3.定理总结（SAS相似） 两边对应成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似。 4.几何语言 在△ABC和△A'B'C'中 ∵AB：A'B'=AC：A'C',∠A=∠A' ∴△ABC∽△A'B'C' （三）三边成比例判定相似（SSS相似判定） 1.类比全等 全等SSS：三边对应相等→全等 相似SSS：三边对应成比例→相似 2.定理总结（SSS相似） 三边对应成比例的两个三角形相似。 3.几何语言 在△ABC和△A'B'C'中 ∵AB：A'B'=BC：B'C'=AC：A'C' ∴△ABC∽△A'B'C' 4.适用场景：题目只给边长数据、无角度时，优先用SSS判定 （四）直角三角形专属相似判定（HL相似判定） 1.适用前提：仅限直角三角形 2.定理总结（HL相似） 两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，则两个直角三角形相似。 3.几何语言 在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中， ∵∠C=∠C'=90o AB：A'B'=AC：A'C' ∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C' 4.补充 直角三角形除HL外，任意一个锐角相等（AA）、两条直角边成比例（SAS） 均可证相似。 （五）四大判定方法不比较 判定方法 适用三角形 核心条件 优先级 AA 任意三角形 两组角对应相等 最高（最常用） SAS相似 任意三角形 两边成比例+夹角相等 中等（易错） SSS相似 任意三角形 三边对应成比例 仅边长题使用 HL相似 直角三角形 斜边、一直角边成比例 直角三角形专属 四．经典例题 1.已知△ABC中,∠A=40°,∠B=75°,下图各三角形中与△ABC相似的是(　　) A.① B.② C.①② D.①②③ 【答案】　C　 【解析】∵∠A=40°,∠B=75°,∴∠C=180°-40°-75°=65°.①在△EDF中,∠E=∠A=40°,∠D=∠C=65°,∴△EFD∽△ABC.②在△HGK中,∠H=180°-∠G-∠K=∠A=40°,∠G=∠B=75°,∴△HGK∽△ABC.另外一个三角形不与△ABC相似.故选C. 2．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（　　） A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD•AC D．＝ 【答案】D 【解析】A、∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；B、∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；C、∵AB2＝AD•AC，∴＝，∠A＝∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；D、＝不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．故选：D． 3．如图，点P是▱ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（　　） A．0对 B．1对 C．2对 D．3对 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴△EAP∽△EDC，△EAP∽△CBP，∴△EDC∽△CBP，故有3对相似三角形．故选：D． 4．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（　　） A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C．＝ D．＝ 【答案】D 【解析】∵∠DAE＝∠CAB，∴当∠AED＝∠B或∠ADE＝∠C时，△ABC∽△AED；当＝时，△ABC∽△AED．故选：D． 5．已知：△ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上，若以A，E，F为顶点的三角形与△ABC相似，则需要增加的一个条件是 　　．（写出一个即可） 【答案】AF＝AC或∠AFE＝∠ABC 【解析】分两种情况：①∵△AEF∽△ABC，∴AE：AB＝AF：AC，即1：2＝AF：AC，∴AF＝AC；②∵△AFE∽△ACB，∴∠AFE＝∠ABC．∴要使以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则AF＝AC或∠AFE＝∠ABC．故答案为：AF＝AC或∠AFE＝∠ABC． 6．在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A，B），过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A＝36°，AB＝AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有 　　条． 【答案】3 【解析】当PD∥BC时，△APD∽△ABC，当PE∥AC时，△BPE∽△BAC，连接PC，∵∠A＝36°，AB＝AC，点P在AC的垂直平分线上，∴AP＝PC，∠ABC＝∠ACB＝72°，∴∠ACP＝∠PAC＝36°，∴∠PCB＝36°，∴∠B＝∠B，∠PCB＝∠A，∴△CPB∽△ACB，故过点P的△ABC的相似线最多有3条．故答案为：3． 7.如图，在△ABC中，D是AB边上一点，且∠ADC＝∠ACB. 求证：AC2＝AD·AB. 证明：在△ADC与△ACB中，∵∠ADC＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC， ∴AC∶AB＝AD∶AC，∴AC2＝AD·AB. 8．如图，在△ABC中，AB＝8 cm，AC＝16 cm，点P从A出发，以每秒2 cm的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3 cm的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动．那么，当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？ 解：设运动了t s，根据题意得：AP＝2t cm，CQ＝3t cm，则AQ＝AC－CQ＝16－3t(cm). 当△APQ ∽△ABC时，＝，即＝，解得：t＝；当△APQ∽△ACB时，＝，即＝，解得：t＝4.故当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是 s或4 s． 9．如图，∠AOB＝90°，OA＝OB＝BC＝CD.请找出图中的相似三角形，并说明理由． 解：△ABC∽△DBA.理由如下：设OA＝OB＝BC＝CD＝x.根据勾股定理，得AB＝＝x，AC＝＝x，AD＝＝x.∵＝＝，＝＝，＝＝，∴＝＝，∴△ABC∽△DBA. 10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4.Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB(如图①)或线段AB的延长线(如图②)于点P. (1)当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC. (2)当△PQB为等腰三角形时，求AP的长． 解：(1)∵PQ⊥AC，∠ABC＝90°，∴∠AQP＝∠ABC.又∵∠A＝∠A，∴△AQP∽△ABC. (2)在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，由勾股定理，得AC＝＝5.[来源:Zxxk.Com] 当△PQB为等腰三角形时，分情况讨论：①当点P在线段AB上时，如题图①.∵∠QPB为钝角，∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB＝PQ.由(1)，得△AQP∽△ABC，∴＝，即＝，解得PB＝，∴AP＝AB－PB＝3－＝.②当点P在线段AB的延长线上时，如题图②.∵∠QBP为钝角，∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB＝BQ.∵BP＝BQ，∴∠BQP＝∠P.∵∠BQP＋∠AQB＝90°，∠A＋∠P＝90°，∴∠AQB＝∠A，∴BQ＝AB，∴BP＝AB，∴AP＝2AB＝2×3＝6.综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为或6. 五．夯实基础 （一）选择题 1.如图,在Rt△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥BC.在图中的三角形中,两两相似的三角形的对数为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】　B　 【解析】∵AD⊥BC,∴∠ADC=∠ADB=90°,∴∠CAB=∠ADC=90°.又∵∠C=∠C,∴△ADC∽△BAC,同理△ADB∽△CAB,∴△ADC∽△BAC∽△BDA.故图中共有3对三角形相似,故选B. 2.如图所示,已知△ABC,则下列各项中与△ABC相似的是(　　) A B C D 【答案】D　 【解析】因为AB=AC=6,∠B=75°,所以∠B=∠C=75°,所以∠A=30°,选项D中的三角形与△ABC满足两边成比例且夹角相等,所以选项D中的三角形与△ABC相似,故选D. D.阴影部分的三角形与原三角形的两边成比例且夹角相等,故两三角形相似,故本选项不符合题意.故选C. 3．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是 （　　） A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．＝ D．＝ 【答案】D　 【解析】A、当∠ABP＝∠C时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；B、当∠APB＝∠ABC时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；C、当＝时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项符合题意．故选：D． 4．如图，给出下列条件，其中不能单独判定△ABC∽△ACD的条件为（　　） A．∠B＝∠ACD B．∠ADC＝∠ACB C．＝ D．＝ 【答案】C 【解析】∵∠A是公共角，∴再加上∠B＝∠ACD，或∠ADC＝∠ACB都可判定△ABC∽△ACD， ∵∠A是公共角，再加上AC2＝AD•AB，即 ，也可判定△ABC∽△ACD，∴选项A、B、D都可判定△ABC∽△ACD．而选项C中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，所以选项C不能．故选：C． 5．如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（　　） A．P1 B．P2 C．P3 D．P4 【答案】C 【解析】∵∠BAC＝∠PED，而＝，∴＝时，△ABC∽△EPD，∵DE＝4，∴EP＝6， ∴点P落在P3处．故选：C． 6．如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【解析】∵截得的三角形与△ABC相似，∴过点M作AB的垂线，或作AC的垂线，或作BC的垂线，所得三角形满足题意∴过点M作直线l共有三条，故选：C． 7．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D　 【解析】如图①，∠OAB＝∠BAC1，∠AOB＝∠ABC1时，△AOB∽△ABC1．如图②，AO∥BC，BA⊥AC2，则∠ABC2＝∠OAB，故△AOB∽△BAC2；如图③，AC3∥OB，∠ABC3＝90°，则∠ABO＝∠CAB，故△AOB∽△C3BA；如图④，∠AOB＝∠BAC4＝90°，∠ABO＝∠ABC4，则△AOB∽△C4AB．故选：D． 8．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对 【答案】A　 【解析】甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，∴∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′，∴甲说法正确；乙：∵根据题意得：AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，则A′B′＝C′D′＝3+2＝5，A′D′＝B′C′＝5+2＝7， ∴，，∴， ∴新矩形与原矩形不相似．∴乙说法正确．故选：A． （二）填空题 9．如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件　 　，使△ABC∽△ACD．（只填一个即可） 【答案】∠ACD＝∠ABC．（答案不唯一） 【解析】由题意得，∠A＝∠A（公共角），则可添加：∠ACD＝∠ABC，利用两角法可判定△ABC∽△ACD．故答案可为：∠ACD＝∠ABC． 10．如图，在▱ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形：　 　． 【答案】△ABP∽△AED（答案不唯一） 【解析】∵BP∥DF，∴△ABP∽△AED．故答案为：△ABP∽△AED（答案不唯一）． 11．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝4，点P是边AB上一点，若△APD与△BPC相似，则满足条件的点P有　　个． 【答案】3 【解析】设AP为x，∵AB＝10，∴PB＝10﹣x，①AD和PB是对应边时，∵△APD与△BPC相似，∴＝，即＝，整理得，x2﹣10x+16＝0，解得x1＝2，x2＝8，②AD和BC是对应边时，∵△APD与△BPC相似，∴＝，即＝，解得x＝5，所以，当AP＝2、5、8时，△APD与△BPC相似，满足条件的点P有3个．故答案为：3． 12．如图是一个常见铁夹的侧面示意图，铁夹的侧面是轴对称图形，OA，OB表示铁夹的两个边，点C在轴线上，CD⊥OA于点D，已知AD＝15 mm，OD＝24 mm，CD＝10 mm，则A，B两点间的距离为________． 【答案】30 mm 【解析】如图，连接AB，同时连接OC并延长交AB于点E.∵铁夹的侧面是轴对称图形，∴直线OE是其对称轴，∴OE⊥AB，AE＝BE.∵∠COD＝∠AOE，∠CDO＝∠AEO＝90°， ∴Rt△OCD∽Rt△OAE，∴＝.又∵OC＝＝＝26，∴＝，解得AE＝15(mm)，∴AB＝2AE＝30 mm. 13．在△ABC与△DEF中，∠C＝∠E＝90°，AC＝5，AB＝13，DF＝26，要使△ABC与△DEF相似，DE的长可以是_____________. 【答案】10或24 【解析】若△ABC∽△DFE，则＝，即＝，解得DE＝10；若△BAC∽△DFE，则＝，即＝，解得DE＝24.综上可得，DE的长可以是10或24. 14.如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，点N在边AB上找到一点N(不与点A，B重合)，当AN＝_______时，使得△CDM与△MAN相似。 【答案】a 【解析】能找到．分两种情况讨论：①若△CDM∽△MAN，则＝.∵正方形ABCD的边长为a，M是AD的中点，∴CD＝a，DM＝AM＝，∴AN＝a.②若△CDM∽△NAM，则＝.∵CD＝a，DM＝AM＝，∴AN＝a，即点N与点B重合，不合题意，舍去． （三）解答题 15．如图，在大小为6×6的正方形方格中，△ABC的顶点A，B，C都在单位正方形的顶点上．请在图中画一个△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC(相似比不为1)，且点A1，B1，C1都在正方形方格的顶点上． 解：由于△ABC的三边长分别为，2，，故可将这些边长适当放大，如放大2倍、倍等．如解图(答案不唯一)． 16. 如图,在矩形ABCD中,E为AD上一点,EF⊥EC交AB于点F,连接FC.求证:△AEF∽△DCE. 证明:∵∠FEC=90°,∴∠AEF+∠DEC=90°.∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠D=90°. ∵∠A+∠AFE+∠AEF=180°,∴∠AFE+∠AEF=90°,∴∠DEC=∠AFE.又∵∠A=∠D,∴△AEF∽△DCE. 17．如图，已知CD为△ABC的高，AC·CD＝BC·AD.求证：∠ACB＝90°. 证明：∵AC·CD＝BC·AD，∴＝.∵CD为△ABC的高，∴∠ADC＝∠CDB＝90°， ∴Rt△ACD∽Rt△CBD，∴∠ACD＝∠B.又∵∠DCB＋∠B＝90°，∴∠DCB＋∠ACD＝90°，即∠ACB＝90°. 18．如图，已知AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，C是线段BD的中点，且ED＝1，AC＝2 ，BD＝4.求证：△ABC∽△CDE. 证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°.又∵C是线段BD的中点，BD＝4，∴BC＝CD＝2.∵AC＝2 ，BC＝2，∴AB＝＝4，∴AB∶CD＝BC∶DE＝2∶1， ∴△ABC∽△CDE. 19．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且＝. (1)求证：△ADF∽△ACG； (2)若＝，求的值． 解：(1)证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，∴∠ADF＝∠C. 又∵＝，∴△ADF∽△ACG. (2)∵△ADF∽△ACG，∴＝.又∵＝，∴＝，∴＝1. 20.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在CD，AD上，连结AE，BF，AE⊥BF且AE＝BF． (1)求证：AB＝AD． (2)连结EF，BE，线段FD是线段AD与AF的比例中项． ①若AD＝4，求线段FD的长． ②求证：△DEF∽△CEB． 解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ADE=90°，∴∠ABF+∠AFB=90°，∵AE⊥BF， ∴∠DAE+∠AFB=90°，∴∠ABF=∠DAE，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴AB=AD； (2)①∵线段FD是线段AD与AF的比例中项∴FD2=AD·AF，∵AD=4，设FD=x，则AF=4-x，∴x2=4（4-x），解得：x=或（舍），∴FD=； ②由（1）可知，△ABF≌△DAE，∴AF=DE，∴DF=CE，∵线段DF是线段AF与AD的比例中项，∴DF2=AF•AD，∴，∵∠FDE=∠BCE=90°，∴△FDE∽△BCE． 六．巩固训练 （一）选择题 1.如图,平行四边形ABCD中,F是CD上一点,连接BF并延长,交AD的延长线于点G,交AC于E,则图中的相似三角形共有(　　) A.8对 B.6对 C.4对 D.2对 【答案】　B　 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD,∴△BEC∽△GEA,△ABE∽△CFE,△GDF∽△GAB,△DGF∽△CBF,∴△GAB∽△BCF,另外还有△ABC∽△CDA,共有6对相似三角形.故选B. 2.如图,△ABC中,∠A=78°,AB=6,AC=9,将△ABC沿选项中的虚线剪开,剪下的三角形(阴影部分)与原三角形不相似的是(　　) A B C D 【答案】　C　 【解析】A.阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本选项不符合题意;B.阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本选项不符合题意;C.阴影部分的三角形与原三角形各边的比不相等,故两三角形不相似,故本选项符合题意. 3．如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（　　） A．（6，0） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2） 【答案】　B　 【解析】△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝3，AB：BC＝2． A、当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE＝90°，CD＝2，DE＝1，则AB：BC＝CD：DE，△CDE∽△ABC，故本选项不符合题意；B、当点E的坐标为（6，3）时，∠CDE＝90°，CD＝2，DE＝2，则AB：BC≠CD：DE，△CDE与△ABC不相似，故本选项符合题意；C、当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE＝90°，CD＝2，DE＝4，则AB：BC＝DE：CD，△EDC∽△ABC，故本选项不符合题意；D、当点E的坐标为（4，2）时，∠ECD＝90°，CD＝2，CE＝1，则AB：BC＝CD：CE，△DCE∽△ABC，故本选项不符合题意；故选：B． 4．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】∵AB⊥BC，∴∠B＝90°．∵AD∥BC，∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，∴∠PAD＝∠PBC＝90°．AB＝8，AD＝3，BC＝4，设AP的长为x，则BP长为8﹣x．若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：①若△APD∽△BPC，则AP：BP＝AD：BC，即x：（8﹣x）＝3：4，解得x＝；②若△APD∽△BCP，则AP：BC＝AD：BP，即x：4＝3：（8﹣x），解得x＝2或x＝6．∴满足条件的点P的个数是3个，故选：C． 5．如图，在正方形网格上，若要使△ABC∽△PBD，则点P应在( ) A．点P1处 B．点P2处 C．点P3处 D．点P4处 【答案】C 【解析】根据题意，得AC∶AB∶BC＝∶1∶，∴要使△ABC∽△PBD，则PD∶PB∶BD＝∶1∶，∴点P只能在点P3处，故选C.∴∠BDC＝135°. 6．下列四组图形中，不一定相似的是（　　） A．两直角边之比为1：2的两个直角三角形 B．任意两个等边三角形 C．有一锐角相等的两个直角三角形 D．有一个角相等的两个等腰三角形 【答案】　D　 【解析】A、∵＝，＝，∴＝，即＝，又∠B＝∠E＝90°，∴△ABC∽△DEF，不合题意；B、∵△ABC与△DEF都为等边三角形，∴∠A＝∠D＝60°，∠B＝∠E＝60°，∴△ABC∽△DEF，不合题意；C、∵∠A＝∠D，∠B＝∠E＝90°，∴△ABC∽△DEF，不合题意；D、∵AB＝AC，DE＝DF，∴当∠B＝∠D＝30°时，∠A＝120°，∠E＝∠F＝75°， 此时△ABC与△DEF不相似，符合题意，故选：D． 7．在下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是（　　） A．∠A＝∠D，∠B＝∠E B．＝且∠B＝∠E C．＝＝ D．＝且∠A＝∠D 【答案】　B　 【解析】A、∠A＝∠D，∠B＝∠E，可以得出△ABC∽△DFE，故此选项不合题意；B、＝，且∠B＝∠E，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；C、＝＝，可以得出△ABC∽△DFE，故此选项不合题意；D、＝且∠A＝∠D，可以得出△ABC∽△DFE，故此选项不合题意；故选：B． 8．如图，已知矩形ABCD中，点E是边AD上的任一点，连接BE，过E作BE的垂线交BC延长线于点F，交边CD于点P，则图中共有相似三角形（　　） A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 【答案】A　 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝∠D＝∠DCB＝90°，∴∠PCF＝90°，∵BE⊥EF，∴∠BEF＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝∠AEB+∠DEP＝90°，∴∠ABE＝∠DEP，∵AD∥BC，∴∠DEP＝∠F，∴∠ABE＝∠DEP＝∠F，∴△ABE∽△DEP∽△EFB∽△CFP，∴图中共有相似三角形有6对，故选：A． 9．如图，∠ABD＝∠BDC＝90°，∠A＝∠CBD，AB＝3，BD＝2，则CD的长为（　　） A． B． C．2 D．3 【答案】　B　 【解析】∵∠ABD＝∠BDC＝90°，∠A＝∠CBD，AB＝3，BD＝2，∴△ABD∽△BDC， ∴＝，即＝，解得CD＝．故选：B． 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（　　） A． B． C． D．2 【答案】　B　 【解析】∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，根据勾股定理得：AB＝5，而AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，∴∠BDE＝90°，∠B＝∠B，∴△ACB∽△EDB，∴BC：BD＝AB：（BC+CE）， 又∵BC＝3，AC＝4，AB＝5，∴3：2.5＝5：（3+CE），从而得到CE＝． 解法二：连接AE．∵DE垂直平分线段AB，∴AE＝BE，设AE＝BE＝x，则EC＝x﹣3，在Rt△ACE中，∵AE2＝AC2+EC2，∴x2＝42+（x﹣3）2，解得x＝，∴EC＝﹣3＝．故选：B． （二）填空题 11．如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是　∠C＝∠BAD　（填一个即可） 【答案】∠C＝∠BAD． 【解析】∵∠B＝∠B（公共角），∴可添加：∠C＝∠BAD．此时可利用两角法证明△ABC与△DBA相似．故答案可为：∠C＝∠BAD． 12．如图，正方形ABCD的边长为2，AE＝EB，MN＝1，线段MN的两端在CB，CD上滑动．当CM＝________时，△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似． 【答案】或 【解析】∵AE＝EB，∴AD＝2AE.又∵△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似，当CM与AD是对应边时，CM＝2CN，∴CM2＋CN2＝MN2＝1，即CM2＋CM2＝1，解得CM＝； 当CM与AE是对应边时，CM＝CN，∴CM2＋CN2＝MN2＝1，即CM2＋4CM2＝1，解得CM＝.综上所述，当CM＝或时，△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似． 13.如图，三个边长为a的小正方形拼成一个矩形AEDF，则∠1＋∠2＝______． 【答案】45° 【解析】由勾股定理，得BC＝a，BA＝a，BD＝2a，AC＝a，AD＝a. ∴＝＝，＝＝，＝＝，∴＝＝，∴△ABC∽△DBA，∴∠2＝∠BAC，∴∠1＋∠2＝∠1＋∠BAC＝∠ABF.∵∠ABF＝45°，∴∠1＋∠2＝45°. 14．如图，在中，是斜边上的高，于点，除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ____ 【答案】4 【解析】∵是斜边上的高，于点，∴，，在和中，∵， ∴；在和中，∵， ∴；∵，∴，∴；∵，，∴，在和中，， ∴；∴图中与相似的三角形有个． 15．如图：点D在的边上，连接，下列条件：①；②；③；④．其中不能判定的是_____ （填序号）． 【答案】④ 【解析】①，∴，②∵， ∴，③∵，∴，∵，∴， ④条件不符合，不能判定，故答案为：④． 16．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC＝BC．图中相似三角形共有　 　对． 【答案】3 【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠C＝90°，AD＝DC＝CB，∵DE＝CE，FC＝BC， ∴DE：CF＝AD：EC＝2：1，∴△ADE∽△ECF，∴AE：EF＝AD：EC，∠DAE＝∠CEF， ∴AE：EF＝AD：DE，即AD：AE＝DE：EF，∵∠DAE+∠AED＝90°，∴∠CEF+∠AED＝90°， ∴∠AEF＝90°，∴∠D＝∠AEF，∴△ADE∽△AEF，∴△AEF∽△ADE∽△ECF，即△ADE∽△ECF，△ADE∽△AEF，△AEF∽△ECF．故答案为：3． 17．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，N是AB的中点，MN⊥BC于点M，则△BMN∽△　 　，相似比为 　 　． 【答案】BAC；1：4． 【解析】∵MN⊥BC，∴∠NMB＝90°，∴∠A＝∠NMB，∵∠B＝∠B，∴△BMN∽△BAC， ∴∠BNM＝∠C＝30°，，∴AB＝BC；∵N是AB的中点，∴BN＝AB；∴BN＝BC； ∴相似比为BN：BC＝1：4．故答案为：BAC；1：4． 18．如图，点E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的点，连接AE，交CD于点F，那么该图形中与△CEF相似的三角形共有 　 　个． 【答案】2 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，即AD∥CE，AB∥CF，∴△ADF∽△ECF，△ABE∽△FCE，∴该图形中与△CEF相似的三角形共有2个，故答案为：2． 19．如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结论中：①BE＝DC；②∠BOD＝60°；③△BOD∽△COE．正确的序号是　 　． 【答案】①② 【解析】∵△ABD、△AEC都是等边三角形，∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠CAE＝60°，∴∠DAC＝∠BAC+60°，∠BAE＝∠BAC+60°，∴∠DAC＝∠BAE，∴△DAC≌△BAE，∴BE＝DC． ∴∠ADC＝∠ABE，∵∠BOD+∠BDO+∠DBO＝180°，∴∠BOD＝180°﹣∠BDO﹣∠DBO＝180°﹣（60°﹣∠ADC）﹣（60°+∠ABE）＝60°，∵△DAC≌△BAE，∴∠ADC＝∠ABE，∠AEB＝∠ACD，∵∠DBO＝∠ABD+∠ABE＝60°+∠ABE，∠OCE＝∠ACE+∠ACO＝60°+∠ACD，∵∠ABE≠∠ACD，∴∠DBO≠∠OCE，∴两个三角形的最大角不相等，∴△BOD不相似于△COE； 故答案为：①②． 20．如图，，是四边形的对角线，，若，，，则的长为_____________． 【答案】 【解析】如图，过点作，交的延长线于点，∴，∵，，，∴由勾股定理得，；∵，，∴由勾股定理得，；∵， ∴，∴，∴，∴，即，解得，∴，由勾股定理得，，故答案为：． （三）解答题 21．如图方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上． (1)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由； (2)P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取三个格点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似．(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连接相应线段，不必说明理由) 解：(1)△ABC和△DEF相似．理由：根据勾股定理，得AB＝2 ，AC＝，BC＝5.同理，DE＝4 ，DF＝2 ，EF＝2 .∵＝＝＝＝，∴△ABC∽△DEF. (2)答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可：△DP2P5，△P5P4F，△DP2P4，△P5P4D，△P4P5P2，△FDP1.在图中连接相应线段略 22．在方格纸中，每个小方格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．在如图所示的5×5方格纸中，已知点A(0，－2)，B(－1，0)，作格点△ABC，使它和△OAB相似(相似比不为1)，求点C的坐标． 解：由题意，得OA＝2，OB＝1.在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB＝.∵相似比不为1，∴△OAB∽△CAB或△OAB∽△CBA不合题意，∴△ABC和△OAB相似应分两种情况讨论：[]①∠ABC＝90°，当△BCA∽△OAB时，＝＝，即＝＝， 解得AC＝5，BC＝2 .分别以点A，B为圆心，5，2 为半径作圆，两圆的交点C的坐标是(3，2)．同理，当△BAC∽△OAB时，可知不存在这样的格点； ②∠BAC＝90°，当△ACB∽△OAB时，＝＝，即＝＝，解得AC＝2 ，BC＝5.易得点C的坐标是(4，0)．同理，当△ABC∽△OAB时，可知不存在这样的格点． 综上所述，点C的坐标为(3，2)或(4，0)． 23.如图，已知P是正方形ABCD边BC上一点，BP＝3PC，Q是CD的中点． (1)求证：△ADQ∽△QCP； (2)若AB＝10，连结BD交AP于点M，交AQ于点N，求BM，QN的长． 解：（1）证明：∵正方形ABCD中，BP＝3PC，Q是CD的中点，∴PC＝BC，CQ＝DQ＝CD，且BC＝CD＝AD，∴PC∶DQ＝CQ∶AD＝1∶2，∵∠PCQ＝∠ADQ＝90°，∴△ADQ∽△QCP；　 (2)易证△BMP∽△DMA，∴BM∶DM＝BP∶AD＝3∶4，∵AB＝10，∴BD＝10，∴BM＝，同理QN＝. 24．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DH⊥BM于点H，且与AC的延长线交于点E，与BC交于点F. 求证：(1)△AED∽△CBM； (2)AE·CM＝AC·CD. 证明：(1)∵CD是Rt△ABC斜边AB上的高，∴∠ACB＝∠ADC＝90°，∴∠A＋∠ACD＝90°，∠BCM＋∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCM.同理可得∠MDH＝∠MBD.∵∠CMB＝∠CDB＋∠MBD＝90°＋∠MBD，∠ADE＝∠ADC＋∠MDH＝90°＋∠MDH，∴∠ADE＝∠CMB.又∠A＝∠BCM，∴△AED∽△CBM. (2)由(1)可知△AED∽△CBM，∴＝，即AE·CM＝AD·CB.∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，∴△ACD∽△ABC，∴＝，即AC·CD＝AD·BC，∴AE·CM＝AC·CD. 25．如图，在中，，于点． （1）求证：； （2）若点是边上一点，连接交于，交边于点，求证：． 解：（1）证明：，，， ， ，； （2）证明：，，，，，，，， ，． 26．如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与点A，B重合)，分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”． 解决问题： (1)如图①，∠A＝∠B＝∠DEC＝45°，试判断点E是不是四边形ABCD的边AB上的“相似点”，并说明理由； (2)如图②，在矩形ABCD中，已知AB＝2 ，BC＝3，M是AD边上的一点，将矩形ABCD沿CM折叠，点D恰好落在AB边上的点E处．求证：点E是四边形ABCM的边AB上的一个“强相似点”． 解： (1)点E是四边形ABCD的边AB上的“相似点”．理由如下：∵∠DEC＝45°， ∴∠AED＋∠BEC＝135°.∵∠A＝45°，∴∠ADE＋∠AED＝135°，∴∠ADE＝∠BEC，∴△ADE∽△BEC，∴点E是四边形ABCD的边AB上的“相似点”． (2)证明：由题意可知DM＝EM，EC＝CD＝AB＝2 ，∠A＝∠B＝∠MEC＝90°.由勾股定理，得BE＝＝＝.则AE＝.∵∠A＝∠B＝∠MEC＝90°， ∴∠AEM＋∠AME＝90°，∠AEM＋∠BEC＝90°，∴∠AME＝∠BEC.又∵∠A＝∠B，∴△AEM∽△BCE，∴＝，即＝，解得AM＝1.由勾股定理，得EM＝2.∵＝，＝，∴＝，即＝.又∵∠A＝∠CEM，∴△AEM∽△ECM. 又∵△AEM∽△BCE，∴△AEM∽△BCE∽△ECM，∴点E是四边形ABCM的边AB上的一个“强相似点”． 27.从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． (1)如图7①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线； (2)在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数； (3)如图②，在△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长． ①　　　　　　　　　② 答图① 答图② 答图③ 解：(1)证明：∵∠A＝40°，∠B＝60°，∴∠ACB＝80°，∴△ABC不是等腰三角形，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝40°，∴∠ACD＝∠A＝40°，∴△ACD为等腰三角形，∵∠DCB＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割线； (2)①当AD＝CD时，如答图①，∠ACD＝∠A＝48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝96°； ②当AD＝AC时，如答图②，∠ACD＝∠ADC＝＝66°，∵△BDC∽△BCA， ∴∠BCD＝∠A＝48°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝114°； ③当AC＝CD时，如答图③，∠ADC＝∠A＝48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍去．综上所述，∠ACB＝96°或114°； (3)∵△BCD∽△BAC，∴＝，设BD＝x，∵AC＝AD＝2，∴()2＝x(x＋2)， ∵x＞0，∴x＝－1，即BD＝－1，∵△BCD∽△BAC，∴＝＝， ∴CD＝×2＝－. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上预习手册11 《第3章图形的相似第2节探索三角形相似的条件（二）》预习讲义 一．学习目标 ( 1.熟记并理解四种三角形相似判定定理（AA、SAS、SSS、HL），区分每种判定的适用条件与易错点。 2.能根据题目已知条件，快速选择合适的判定方法，完成简单三角形相似证明与计算。 3.掌握相似判定与全等判定的类比区别，规避 “ 边边角 ” 判定相似的典型陷阱。 4.初步掌握直角三角形相似的专属HL判定，区分普通三角形与直角三角形判定差异。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.四大相似判定定理的内容、几何语言规范书写。 2.灵活运用AA、SAS、SSS判定任意三角形相似，运用HL判定直角三角形相似。 （二） 难点 1.SAS判定的核心易错点：必须是夹角相等，非夹角相等不能判定相似。 2.复杂图形中找准对应边、对应角，避免对应关系错乱。 3.区分全等（相等）与相似（成比例）判定条件的异同 ) 三．知识梳理 类比三角形全等的SSS、SAS、ASA、HL判定，猜想相似三角形的判定规律，相似核心是形状相同、大小成比例。 （一）两角分别相等判定相似（AA判定） 1.猜想 若两个三角形中有两组对应角分别相等，根据三角形内角和180°，第三组角必然相等，两个三角形形状完全相同，是否相似？ 【解析】三角形内角和固定为 180°，如果已经有两组对应角相等，剩下的第三组角也一定对应相等；三个角全部对应相等，三角形的形状就完全一样， 三角形相似判定定理。 2.定理总结（AA判定） 两角分别相等的两个三角形相似。 3.几何语言 在△ABC和△A'B'C'中 ∵∠A=∠A',∠B=∠B' ∴△ABC ∽△A'B'C' 4.极简结论 只要找到两个对应角相等，即可直接证相似，是做题最常用、最简单的判定方法。 （二）两边成比例且夹角相等判定相似（SAS相似判定） 1.对比辨析（重中之重易错点） 全等SAS：两边相等、夹角相等→全等 相似SAS：两边对应成比例、夹角相等→相似 2.关键思考 若两边成比例，不是夹角的角相等，三角形一定相似吗？ 结论：__________（填“一定”或“不一定”），此为考试高频陷阱！ 【解析】不一定，原因：两边对应成比例，但如果相等的角不是这两条边的夹角（也就是SSA的情况），画出的三角形会有两种不同的形状，无法保证三角形相似，这是相似判定里最常见的陷阱。 3.定理总结（SAS相似） 两边对应成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似。 4.几何语言 在△ABC和△A'B'C'中 ∵AB：A'B'=AC：A'C',∠A=∠A' ∴△ABC∽△A'B'C' （三）三边成比例判定相似（SSS相似判定） 1.类比全等 全等SSS：三边对应相等→全等 相似SSS：三边对应成比例→相似 2.定理总结（SSS相似） 三边对应成比例的两个三角形相似。 3.几何语言 在△ABC和△A'B'C'中 ∵AB：A'B'=BC：B'C'=AC：A'C' ∴△ABC∽△A'B'C' 4.适用场景：题目只给边长数据、无角度时，优先用SSS判定 （四）直角三角形专属相似判定（HL相似判定） 1.适用前提：仅限直角三角形 2.定理总结（HL相似） 两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，则两个直角三角形相似。 3.几何语言 在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中， ∵∠C=∠C'=90o AB：A'B'=AC：A'C' ∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C' 4.补充 直角三角形除HL外，任意一个锐角相等（AA）、两条直角边成比例（SAS） 均可证相似。 （五）四大判定方法不比较 判定方法 适用三角形 核心条件 优先级 AA 任意三角形 两组角对应相等 最高（最常用） SAS相似 任意三角形 两边成比例+夹角相等 中等（易错） SSS相似 任意三角形 三边对应成比例 仅边长题使用 HL相似 直角三角形 斜边、一直角边成比例 直角三角形专属 四．经典例题 1.已知△ABC中,∠A=40°,∠B=75°,下图各三角形中与△ABC相似的是(　　) A.① B.② C.①② D.①②③ 2．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（　　） A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD•AC D．＝ 3．如图，点P是▱ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（　　） A．0对 B．1对 C．2对 D．3对 4．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（　　） A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C．＝ D．＝ 5．已知：△ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上，若以A，E，F为顶点的三角形与△ABC相似，则需要增加的一个条件是 　　．（写出一个即可） 6．在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A，B），过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A＝36°，AB＝AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有 　　条． 7.如图，在△ABC中，D是AB边上一点，且∠ADC＝∠ACB. 求证：AC2＝AD·AB. 8．如图，在△ABC中，AB＝8 cm，AC＝16 cm，点P从A出发，以每秒2 cm的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3 cm的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动．那么，当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？ 9．如图，∠AOB＝90°，OA＝OB＝BC＝CD.请找出图中的相似三角形，并说明理由． 10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4.Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB(如图①)或线段AB的延长线(如图②)于点P. (1)当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC. (2)当△PQB为等腰三角形时，求AP的长． 五．夯实基础 （一）选择题 1.如图,在Rt△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥BC.在图中的三角形中,两两相似的三角形的对数为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 2.如图所示,已知△ABC,则下列各项中与△ABC相似的是(　　) A B C D 3．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是 （　　） A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．＝ D．＝ 4．如图，给出下列条件，其中不能单独判定△ABC∽△ACD的条件为（　　） A．∠B＝∠ACD B．∠ADC＝∠ACB C．＝ D．＝ 5．如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（　　） A．P1 B．P2 C．P3 D．P4 6．如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 7．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对 （二）填空题 9．如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件　 　，使△ABC∽△ACD．（只填一个即可） 10．如图，在▱ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形：　 　． 11．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝4，点P是边AB上一点，若△APD与△BPC相似，则满足条件的点P有　　个． 12．如图是一个常见铁夹的侧面示意图，铁夹的侧面是轴对称图形，OA，OB表示铁夹的两个边，点C在轴线上，CD⊥OA于点D，已知AD＝15 mm，OD＝24 mm，CD＝10 mm，则A，B两点间的距离为________． 13．在△ABC与△DEF中，∠C＝∠E＝90°，AC＝5，AB＝13，DF＝26，要使△ABC与△DEF相似，DE的长可以是_____________. 14.如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，点N在边AB上找到一点N(不与点A，B重合)，当AN＝_______时，使得△CDM与△MAN相似。 （三）解答题 15．如图，在大小为6×6的正方形方格中，△ABC的顶点A，B，C都在单位正方形的顶点上．请在图中画一个△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC(相似比不为1)，且点A1，B1，C1都在正方形方格的顶点上． 16. 如图,在矩形ABCD中,E为AD上一点,EF⊥EC交AB于点F,连接FC.求证:△AEF∽△DCE. 17．如图，已知CD为△ABC的高，AC·CD＝BC·AD.求证：∠ACB＝90°. 18．如图，已知AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，C是线段BD的中点，且ED＝1，AC＝2 ，BD＝4.求证：△ABC∽△CDE. 19．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且＝. (1)求证：△ADF∽△ACG； (2)若＝，求的值． 20.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在CD，AD上，连结AE，BF，AE⊥BF且AE＝BF． (1)求证：AB＝AD． (2)连结EF，BE，线段FD是线段AD与AF的比例中项． ①若AD＝4，求线段FD的长． ②求证：△DEF∽△CEB． 六．巩固训练 （一）选择题 1.如图,平行四边形ABCD中,F是CD上一点,连接BF并延长,交AD的延长线于点G,交AC于E,则图中的相似三角形共有(　　) A.8对 B.6对 C.4对 D.2对 2.如图,△ABC中,∠A=78°,AB=6,AC=9,将△ABC沿选项中的虚线剪开,剪下的三角形(阴影部分)与原三角形不相似的是(　　) A B C D 3．如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（　　） A．（6，0） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2） 4．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，在正方形网格上，若要使△ABC∽△PBD，则点P应在( ) A．点P1处 B．点P2处 C．点P3处 D．点P4处 6．下列四组图形中，不一定相似的是（　　） A．两直角边之比为1：2的两个直角三角形 B．任意两个等边三角形 C．有一锐角相等的两个直角三角形 D．有一个角相等的两个等腰三角形 7．在下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是（　　） A．∠A＝∠D，∠B＝∠E B．＝且∠B＝∠E C．＝＝ D．＝且∠A＝∠D 8．如图，已知矩形ABCD中，点E是边AD上的任一点，连接BE，过E作BE的垂线交BC延长线于点F，交边CD于点P，则图中共有相似三角形（　　） A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 9．如图，∠ABD＝∠BDC＝90°，∠A＝∠CBD，AB＝3，BD＝2，则CD的长为（　　） A． B． C．2 D．3 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（　　） A． B． C． D．2 （二）填空题 11．如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是　∠C＝∠BAD　（填一个即可） 12．如图，正方形ABCD的边长为2，AE＝EB，MN＝1，线段MN的两端在CB，CD上滑动．当CM＝________时，△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似． 13.如图，三个边长为a的小正方形拼成一个矩形AEDF，则∠1＋∠2＝______． 14．如图，在中，是斜边上的高，于点，除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ____ 15．如图：点D在的边上，连接，下列条件：①；②；③；④．其中不能判定的是_____ （填序号）． 16．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC＝BC．图中相似三角形共有　 　对． 17．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，N是AB的中点，MN⊥BC于点M，则△BMN∽△　 　，相似比为 　 　． 18．如图，点E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的点，连接AE，交CD于点F，那么该图形中与△CEF相似的三角形共有 　 　个． 19．如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结论中：①BE＝DC；②∠BOD＝60°；③△BOD∽△COE．正确的序号是　 　． 20．如图，，是四边形的对角线，，若，，，则的长为_____________． （三）解答题 21．如图方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上． (1)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由； (2)P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取三个格点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似．(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连接相应线段，不必说明理由) 22．在方格纸中，每个小方格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．在如图所示的5×5方格纸中，已知点A(0，－2)，B(－1，0)，作格点△ABC，使它和△OAB相似(相似比不为1)，求点C的坐标． 23.如图，已知P是正方形ABCD边BC上一点，BP＝3PC，Q是CD的中点． (1)求证：△ADQ∽△QCP； (2)若AB＝10，连结BD交AP于点M，交AQ于点N，求BM，QN的长． 24．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DH⊥BM于点H，且与AC的延长线交于点E，与BC交于点F. 求证：(1)△AED∽△CBM； (2)AE·CM＝AC·CD. 25．如图，在中，，于点． （1）求证：； （2）若点是边上一点，连接交于，交边于点，求证：． 26．如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与点A，B重合)，分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”． 解决问题： (1)如图①，∠A＝∠B＝∠DEC＝45°，试判断点E是不是四边形ABCD的边AB上的“相似点”，并说明理由； (2)如图②，在矩形ABCD中，已知AB＝2 ，BC＝3，M是AD边上的一点，将矩形ABCD沿CM折叠，点D恰好落在AB边上的点E处．求证：点E是四边形ABCM的边AB上的一个“强相似点”． 27.从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． (1)如图7①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线； (2)在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数； (3)如图②，在△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长． ①　　　　　　　　　② ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $