江西师范大学附属中学2025-2026学年高一下学期期末数学试卷

**基本信息** 江西师大附中高一数学期末卷以复数几何意义、向量运算、立体几何探究等试题为载体，考查数学抽象、空间观念和推理能力，体现知识综合应用与核心素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数运算、向量投影、三角函数值域|基础巩固，如第1题复数几何意义，第7题余弦函数值域| |多选题|3/18|复数性质、正方体线面关系、三角函数图象|能力提升，如第10题正方体异面直线与截面周长| |填空题|3/15|直观图面积、三角恒等变换、函数对称性|细节考查，如第12题正三角形直观图面积| |解答题|5/77|向量夹角、解三角形、立体几何证明与计算、函数综合|创新应用，如第17题线面平行探究与截面计算，第19题函数零点与三角形组成条件|

2025-2026江西师大附中高一年级下学期数学期末试卷答案 单选CBDACBCA 多选9.ABD 10. BD 11.ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.　已知正三角形ABC的边长为,则△ABC的直观图△A'B'C'的面积为 . 【详解】∵正三角形ABC的边长为,∴正三角形ABC的面积S=,设△ABC的直观图△A'B'C'的面积为S',则S'=S=. 13.若，则 . 【详解】 由已知 .故答案为. 14.已知函数，若函数的一个零点为．其图象的一条对称轴为直线，且在上单调，则的最大值为______． 【详解】函数的最小正周期，由函数的一个零点为，其图象的一条对称轴为直线， 得，解得，则， 由在上单调，得，即，因此， 解得，而，于是， 当时，，，由， 得，而，则，， 当时，，函数在上不单调，不符合题意； 当时，，，由， 得，而，则，， 当时，，在上单调，符合题意； 当时，，，由， 得，而，则，， 当时，，在上单调，符合题意， 因此或，所以的最大值为6. 故答案为：6 四、解答题：本题共五大题，共77分。 15．已知向量，满足：，，． （1）求与的夹角的余弦值； （2）若，求实数的值． 解：（1）已知向量，满足：，， 因为， 所以①， 根据平面向量模长公式可得，且， 代入①上式得，即， 根据两向量夹角公式可得， 因此与的夹角的余弦值； （2）因为， 所以， 化简可得， 将，，代入可得， 即，解得或． 16．在△中，内角，，的对边分别为，，，若． （1）求的大小； （2）若，为角的平分线，点在线段上，，求△的面积． 解：（1）因为，所以， 由正弦定理得， 又，所以， 因为，所以； （2）因为为角的角平分线，由， 所以， 因为，解得①， ，由余弦定理知，从而②， 由①②解得，从而△的面积为． 17．如图，在四棱锥中，平面，为的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面； (1)证明：取中点，连接， ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形，即， ∵平面，平面， ∴平面.      (2)证明：∵平面平面， ∴ ∵，，， ∴， ∴，即， ∵，平面，平面， ∴平面. 18．在中，为的中点，在边上，交于；且，设，. (1)试用，表示； (2)已知，，. ①若，求的余弦值； ②已知在上，且，若，求的范围. 解：（1）由共线，得，则， 整理得， 由共线，得，则， 整理得，而不共线， 由平面向量基本定理，得，解得， 所以. （2）①（1）得，， 由，得， 则， ， ， 所以. ②由（1）知，则， 由共线，设. 由，得，而，， 则，整理得， 即，显然，则， 由，得，则，解得， 所以的范围是. 19．已知函数，，，，恒成立． （1）求的值及的解析式； （2），当时，有两个零点，，求的取值范围； （3）已知，，，且以，，为边能够组成三角形，对于任意满足上述条件的，，，若以为边也能够组成三角形，求的最大值． 解：（1）由题意，恒成立， 令，可得， 可得， 又函数，，， 可得， 当，，， ，故，代入上式子则有， ， 此式若恒成立则，，即，所以， 故； （2）当，在单调递增，，， 令，故有两个不同的解，且在内， 故，，，， 即的取值范围为，； （3）易知当时，为负数，决不能构成三角形，故， 因为的值域为，，考虑到两边之和大于第三边，临界值，即， 故考虑到；，由于要求的最大值，先考虑， （ⅰ）若取，，则这三个数可作为一个三角形的三边长， 但，，，此时，两边之和等于第三边，不能作为任何一个三角形的三边长，故不满足题意； 当时，对任意三角形的三边，，，若，，，则分类讨论如下： ①当时，，同理，， ，，，，故，，，，， 同理可证，， ②当时，，可得如下两种情况： 当时，由，得， 由在上单调递增可得， 当时，， 由在上单调递增，可得， 综上得，，又由及余弦函数在上单调递减， 得， ， 同理可证其余两式， 所以，，也是某个三角形的三边长， 故时，满足题意， 综上，的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西师大附中2025—2026学年下学期 高一年级数学期末试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在复平面内，复数其中为虚数单位对应的点位于(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.若，则（    ） A． B． C． D．3 3.如图，在中，，点是的中点，设，则(    ) A. B. C. D. 4. 向量与非零向量的夹角为，则在上的投影数量为（    ） A． B． C．1 D． 5.如图，为测量河对岸CD两点间的距离．在楼顶处观察的俯角为，观察点的俯角为，为楼底一点且平面BCD，若楼高，，则（    ） A． B． C． D． 6.设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7.函数在上的值域为(    ) A. B. C. D. 8.已知锐角三角形中，角所对的边分别为的面积为，且，若，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（ ） A．为实数 B． C．若，则 D． 10．如图所示，在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（     ）    A．直线与是平行直线 B．直线与是异面直线 C．直线与所成的角为 D．过，，三点的截面周长为 11．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B．若，，则 C．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数 D．当时，曲线与有4个交点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知正三角形ABC的边长为,则△ABC的直观图△A'B'C'的面积为 . 13.若，则 . 14.已知函数，若函数的一个零点为．其图象的一条对称轴为直线，且在上单调，则的最大值为______． 四、解答题：本题共五大题，共77分。 15．（13分）已知向量，满足：，，． （1）求与的夹角的余弦值； （2）若，求实数的值． 16．（15分）在△中，内角，，的对边分别为，，，若． （1）求的大小； （2）若，为角的平分线，点在线段上，，求△的面积． 17.（15分）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，，且，点为棱的中点． （1）求证：平面； （2）若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由； （3）若，，请在图中作出四棱锥过点，及棱中点的截面，并求出截面周长． 18．（17分）在中，为的中点，在边上，交于；且，设，. (1)试用，表示； (2)已知，，. ①若，求的余弦值； ②已知在上，且，若，求的范围. 19．（17分）已知函数，，，，恒成立． （1）求的值及的解析式； （2），当时，有两个零点，，求的取值范围； （3）已知，，，且以，，为边能够组成三角形，对于任意满足上述条件的，，，若以为边也能够组成三角形，求的最大值． 发布日期：2026/6/27 8:19:45；用户：刘芝君；邮箱：13307091371；学号：48939468 学科网（北京）股份有限公司 $