江西南昌市第二中学2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题

**基本信息** 南昌二中高一数学期末卷聚焦核心知识，通过复数、立体几何、向量等模块，以翻折问题、垂心面积最值等情境，考查空间观念与逻辑推理，体现数学思维的层次性。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数共轭、圆台体积、向量投影|基础概念辨析，如第5题向量投影考查数学语言表达| |多选|3/18|正方体线线关系、梯形面积比|选项分层，如第10题正方体中点线位置关系考查空间观念| |填空|3/15|球表面积与三棱锥体积、解三角形|情境化设计，如第13题球内三棱锥体积关联空间想象| |解答|5/77|四棱锥线面平行、斜三棱柱截面周长|多问递进，如第17题从证明到求线面角，提升逻辑推理能力|

南昌二中2025-2026学年度下学期高一数学期末试卷 命题人：游辛 一、单项选择题：每题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.复数-2的共轭复数是() A.i+2B.i-2C.-2-iD.2-i 【答案】B 55(i+2) 【解析】因为2-222-，所以复数2的共轭复数是2+.故选：B. 2. 某圆台上底面圆半径为1，下底面圆半径为2，母线长为V2,则该圆台 的体积为() 7π 5π 2π A.3B.3C.3D.3π 【答案】A 【详解】设圆台的母线长为1，高为h, 因为圆台上底面圆的半径r为1，下底面圆半径R为2，母线I=V2, 因此圆台的高为h=-(R-)=2-=1, 所以圆台休积为”-写R+R+rh写4+2+x1= 3」 故选：A 3.已知ena=,ma+)=-2,则m月=( ) A.B.c.9. 【答案】D 【详解】由ma-子，ma+=2, 装器 411 3 2 故选：D 4.己知m,n是两条不同的直线，a,是两个不同的平面，则下列命题正确的 为( A.若m/a,n/Ia,则m/n B.若mLa,B1a,则m/Ip C.若m⊥a,a/IB,则m1B D.若m,nca,m/B,n/IB,则a/IB 【答案】C 【详解】A:由m/Ia,nl1a,则m,n平行、异面、相交均可能，错， B:由m⊥a,B⊥a,则m/IB或mcB,错， C:由m1,/P,结合线面垂直、面面平行的性质有m1B,对， D:由m,nca,m/1B,nIP,要使a/IB,根据面面平行的判定定理，条件还需m,n相 交，错 故选：C 5.已知两个非零向量a,b满足a+Ha-1,则a-2b在b方向上的投影向量为 () A55e6 D.-2b 【答案】D 【详解】由a+Ha-1,两边平方得a++2a.b=a+6-2ai,则ai=0, a-2b)-b6=-25 而(a-2b)-b=-26,所以a-26在方方向上的投影向量为6P 故选：D 6.已知直三棱柱ABC-AB,C中，∠ABC=120°，AB=2,BC=CC,=1,则异面直线 AB与BC所成角的余弦值为 5 15 10 3 A.2B.5C.5D.3 【答案】C 【解析】如图所示，补成直四棱柱ABCD-ABCD, 则所求角为∠BCD,:BC=V2,BD=V22+1-2x2x1xcos60°=V5,CD=AB=V5, 易得CD=0+8C,因此o∠Bc0%怎0 CD55,故选C. D 将函数=s通+(0的图象向右平移6个单位长度，得函数及 的图象，若8(~在62上单调，则实数@的取值范围为( A.(,1 B.c 【答案】B. 【弹部】时数因-r+的医您向右移云个单位长定， 个 =x-0r+T∈T,r+ π0rπ 则 6+4434), 即y=sint在4'34)上单调， 0rt元 3+42, 解 8.如图，在平面四边形ABCD中，4B=4C=CD=,∠ADC=吾，∠DB- 6, 3, 4 5π 将△ACD沿AC翻折至△ACP,若二面角P-AC-B的平面角为6，则PB=( B V13 V22 V3B.2C.2D.2 D 二、多项选择题：每题6分，共18分.在每小题的四个选项中，有多项是符 合题目要求的.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.若平面向量ā，满足a==2,ā+)=23，则下列说法正确的是 A.a6=2B.a与的夹角为店 C.(a+b)1(a-b)D.a-b=2 【答案】ACD 【解答过程】对于A,由a+=(a+-a+=a+2a-i+,代入a)-b=2, a+=23, (23)=22+2ài+2,12=4+2à6+4，解得à·b=2,故A正确. 5 对于B,设a与b的夹角为0，由a·b=|ab)cos0,得：2=2×2×cos6, cs0=,则0=3，故B错误. 对于C,(a+a-)=l2-=2-2=0,故ā+1a-,故C正确. 对于D,由a-=a-2ab+b=22-2×2+2=4,得a-=2,故D正确. 故选：ACD 10.如图，下列四个正方体中，A,B,C,D分别是正方体的顶点或棱的中点， 则AB⊥CD的有() A B C D 【答案】ABD 6 11.如图，梯形ABCD中，AB∥DC,对角线AC与BD交于点O,若B=(2,-4), D=),且01B的面积为3，则(） A.∠BAD=3 B.△ABD的面积为6 d<号 【答案】ACD 【详解】A选项：∠BAD是向量B与AD的夹角，已知AB=(2,4),AD=I,3), AB·AD cOS∠BAD= -102 |ABAD25V10:2, 由于∠BAD∈O,,所以∠BD= =4,故A正确； B选项：由选项A可知 n∠BAD=sin3n=V2 42, 根据三角烂面积公式可得5m号而s血∠B0-25而号-； 2,故B错误； C选项：因为AB∥DC,△AOB~aCOD，,且△AOB与△ABD同高， S△40B=B0=A0AB_3 则面积比等于底之比S△D BD AC AB+CD5 设风丽，得 3 又4c=而+0c-而+号=)+，4=写， 0-c-9,故C正确； D选项：由于 c-c-a-(3-26) 则c.iois.4 3一333，故D正确 三、填空题：每题5分，共15分. 12.如图所示，在长方体ABCD-4B,CD中，和棱AB不相交的棱有 条 D A D B (第12题图) 答案：7条 13·已知A,B,C是表面积为36π的球O的球面上的三个点，且AC=AB=BC=3 则三棱锥O-ABC的体积为 8 【详解】设球的半径为R, 则4πR=36π，解得R=3, 、3 由题意可知：。4是边长为3的等边三角形，其外接圆半径2sm背 3 所以球心O到平面ABC的距离为d=VR2-r2=√6】 3x6-92 1V3 所以三棱锥0-4BC的体积为3x4 4. 1.若ABC的角C所对边ab,且满足-2沙：m-0,则角A的最大 值为 【答案】石 【解风为8号20，所以-。 即a-2h+46caS=0,即0-2冰+6+gC-0,所以+2mC-0, 从而sinA+2 sin BcosC=0,即sin(B+C)+2 sin BcosC=0, 所以3 sin BcosC=-cos BsinC,显然sinB>0,sinC>0, 又因为a+2 bcosC=0,所以cosC<0,从而cosB>0,所以tanB>0, 所以tanC=-3tanB, 所以m4m(8+0yC72， 一≤ 1 tan B +3tan B 2.1 3 ×3tanB V tan B 当且仅当anB3tanB 1 ，郎分 -3.tanC=-3 等号成立， +B=元C=2 tan 4 3 2 此时6 3,因为3,所以角A的最大值为6. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字证明、证明过程或演 算步骤. 15.(13分) 已知平面向量a=(2,3),万=(six,cosx). sinx-3cosx (1)若a⊥6，求cosx+2simr的值； (2)若x=0,且a与a+mb的夹角为锐角，求m的取值范围. 【答案】(1)4 2号且m0 【详解】(1)a⊥6，故ab=(2,3)-(sinx,cosr)=2sinx+3cosx=0, 故anxs-3 , 10 3 sinx-3cosx tanx-3 -3 2 9 cosx+2sinx 1+2tanx 34； 1+2×-2 (2)x=0,6=(0,1),a+mb=(2,3)+(0,m）=(2,3+m）, a与a+mb的夹角为锐角，故(a+mb)=(2,3)(2,3+m）=4+9+3m>0 解得片， 且ā与a+mb不同向共线，即2(3+m)-2x3≠0，即m≠0， 综上，m>号且m0: 16.(15分) 已知函数f)=sin+v5 sine0sar-w>0), 2 的最小正周期为π. (1)求()的解析式： (2)若ae0,且fa=月，求如2z的值. 11 【详解】(1)因为f)=sin'or+V5 Bsinxco- 2 所以f6)=)0-cos2ox+5s 2 sin2ox-1 sn2ar-君， 因为最小正周期为元，所以w=1,则f)=s2x-君） X四为@=m2a有-黄，所以2a云（后0， .1 所以cos2a-乃)=22 63, 则m2a=m2a-看+7-sm2a-君cmsg+ew2a急sn活 6 6 61 6 sin2a=sin(2a-元+=sin(2a-元cos2tcos(2a-元sin元 66 6 6 6 6 6 17.(15分) 12 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,AC∩BD=H,且H为AC 的中点，又点E为PC的中点，AD=CD=1,DB=32. D (1)证明：PAW平面BDE; (2)证明：平面PAC⊥平面PBD; (3)求直线BC与平面PBD所成的角的正弦值， √26 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)26 【详解】(1)证明：连结EH,如图所示： D B C-H 在aPAC中，H为AC的中点，E为PC的中点， 所以EH为△PAC的中位线，所以EHIIPA, 又HEC平面BDE,PAt平面BDE, 所以PAM平面BDE. 13 (2)证明：因为PD⊥平面ABCD,ACc平面ABCD, 所以PD⊥AC, 又AD=CD,H为AC的中点，则AC L BD, 又PDOBD=D,PD,BDC平面PBD,故AC⊥平面PBD ACc平面P1C 平面PACL平面PBD (3)由AC⊥平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影， 所以∠CBH为直线BC与平面PBD所成的角 由AD⊥CD,AD=CD=1,DB=3N2, 有D1=C-2h-55 2, 2 在Rt△BHC中， BC=BH2+CH2 ② 所以sn∠CBH-C美26 BC√1326 √26 所以直线BC与平面PBD所成的角的正弦值26. 14 18(17分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若V3sin2A=2cosA+1. (1)求A的大小： ②若6-2,0为线段C上一点，且丽=派，0 2,求a; (3)设F是△ABC的垂心，AF=V5,求△BFC面积的最大值. 18【详解】(1)因为3sin2A=2cos2A+1, 所以6sm24=21+241,即5如24-s2A=2, 2 所以24-石+2kx,即4=号+红， 因为40，所以4-. (2)因为丽=0，所以-4西+C, 4 两边平方得：而-6店+6C+号C, 整理化简得：c2+3bc+9b=76,因为c=b+2, 所以b=2,c=4, 因为0=B+c2-26cos4=4+16-16x)12 所以a=2W5 15 (3)如图，延长AF,BF,CF与BC,AC,AB分别交于点D,E,H, A 夕 F B D 因为F是垂心，所以AF⊥BC,BF⊥AC,CF⊥AB, 又因为BC-号，所以∠E=∠4CH=云 6, 设∠B1D=a, BD=a+∠Fc-号a,∠DPc- 则 Z-a AF BF 在△ABF中，sin ZABFsin∠BAF,因为AF=V5, 所以BF=25sina, ，Dr=Brew∠aFD=25 ina名+e, Finin- oc=r,m∠rc=2w5 sn+a小m行-c-25 ina.os+ag, sina 即c=25.&+a, BC=BD+DC=2sina-sin+a+2cosa-cos 6 (6 C=23sina 即 2cosa+ 2 sina +23cosa cosa- 所以5rBc.F- x2 3sinaxcos +a=sina.cosa- 9 2-sina si2.3J31—⊙s=asin2z+3V3 9 ）3v5 22 ￥cos2a-3535f， 42 sin 2a+ 64 16 因为20.即2后8 所以a+2 所以当2如+看- 3V5 时，S△rc有最大值4. 19.(17分) 如图，斜三棱柱ABC-AB,C中，平面BAC1平面ABC,AB=AC=CC=2, LBAC三4，CC与平面ABC所成的角为30°，P为4B的中占 (1)求证：AB⊥CC: 17 (2)求点B到平面ACC的距离； (3)过点C作与平面APC平行的平面u,求平面a截斜三棱柱ABC-AB,C的 截面周长. 【解析】(1)如图1，过点C作CO1AB于点O,连接OC, 因为平面BAC1平面ABC,所以COL平面ABC, 所以∠CC0就是CC与平面ABC所成的角，即∠C,C0=30° 4 因为CG=2,所以C0=L0C=5 B 3π 因为2B4G-4,所以01=0C=1, 图1 因为OC=2,所以OA+OC2=AC2,即0C⊥AB, 18 又因为OC∩OC=O,所以AB⊥平面COC,所以AB⊥CC: 2闪为c01平直c,所以长a0C0c-5. 因为0A=0C1,所以4G=5, 在△1CG中，4C=CC=24C=2 所以5g5x 22, 所以4s-s-4a5.即-2 7; (3)如图2，取AB的中点M,连接B,M,CM,B,C B 因为P为AB的中点，所以MC∥PC, 图2 又因为MCa平面APC,PCC平面APC, 所以CM∥平面APC, 因为M,P分别为AB,AB的中点，所以BM∥AP, 同理可证MB,∥平面APC,又因为MB∩MC=M, -A5 所以平面MB,C∥平面APC, 如图3，可求MC=V万，MB=5 如图4，因为 G.CB-(CB-BC 19 图4 历u2a5228-西-c 即CB-BC=12,因为BC=0, 所以CB=V22,所以△MB,C的周长为V5+V7+V22 20 南昌二中2025-2026学年度下学期高一数学期末试卷 命题人：游辛 审题人：龙光鹏 一、单项选择题：每题5分，共40分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数的共轭复数是( ) A． B． C． D． 2． 某圆台上底面圆半径为1，下底面圆半径为2，母线长为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 3．已知，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．已知两个非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 A． B． C． D． 7．将函数（）的图象向右平移个单位长度，得函数的图象，若在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在平面四边形中，，，，将沿翻折至，若二面角的平面角为，则（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：每题6分，共18分．在每小题的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若平面向量，满足，，则下列说法正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C． D． 10．如图，下列四个正方体中，分别是正方体的顶点或棱的中点，则的有（ ） A B C D 11．如图，梯形中，，对角线与交于点．若，，且的面积为3，则（   ） A． B．的面积为6 C． D． 三、填空题：每题5分，共15分． 12．如图所示，在长方体中，和棱不相交的棱有________条． （第12题图） 13．已知，，是表面积为的球的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为_______． 14．若的角所对边，且满足，则角A的最大值为_____ 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字证明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知平面向量，. (1)若⊥，求的值； (2)若，且与的夹角为锐角，求的取值范围. 16．（15分） 已知函数的最小正周期为． （1）求的解析式； （2）若，且，求的值． 17．（15分）如图，在四棱锥中，平面，，，且为的中点，又点为的中点，，. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求直线与平面所成的角的正弦值. 18． （17分）在中，内角，，的对边分别为，，，若． (1) 求的大小； (2)若，为线段上一点，且，，求； (3)设是的垂心，，求面积的最大值． 19．（17分）如图，斜三棱柱中，平面平面，， ，与平面所成的角为，为的中点． （1）求证：； （2）求点到平面的距离； （3）过点作与平面平行的平面，求平面截斜三棱柱的截面周长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $